河南省洛陽市偃師高中2025屆數(shù)學高一上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

河南省洛陽市偃師高中2025屆數(shù)學高一上期末統(tǒng)考模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．高斯是德國著名的數(shù)學家，近代數(shù)學奠基者之一，享有數(shù)學王子的美譽，他和阿基米德、牛頓并列為世界三大數(shù)學家，用其姓名命名的“高斯函數(shù)”為，其中表示不超過的最大整數(shù)，例如，已知函數(shù)，令函數(shù)，則的值域為（）A.B.C.D.2．已知，函數(shù)在上遞減，則的取值范圍為（）A. B.C. D.3．下列函數(shù)中，以為最小正周期的偶函數(shù)是（）A.y=sin2x+cos2xB.y=sin2xcos2xC.y=cos（4x+）D.y=sin22x﹣cos22x4．某集團校為調查學生對學?！把訒r服務”的滿意率，想從全市3個分校區(qū)按學生數(shù)用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為的樣本．已知3個校區(qū)學生數(shù)之比為，如果最多的一個校區(qū)抽出的個體數(shù)是60，那么這個樣本的容量為（）A. B.C. D.5．如圖，向量，，的起點與終點均在正方形網(wǎng)格的格點上，若，則（）A. B.C.2 D.46．若函數(shù)的定義域和值域都為R，則關于實數(shù)a的下列說法中正確的是A.或3 B.C.或 D.7．從裝有兩個紅球和兩個白球的口袋內任取兩個球，那么互斥而不對立的事件是（）A.至少有一個白球與都是紅球 B.恰好有一個白球與都是紅球C.至少有一個白球與都是白球 D.至少有一個白球與至少一個紅球8．直線與函數(shù)的圖像恰有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.9．在中，若，且，則的形狀為A.等邊三角形 B.鈍角三角形C.銳角三角形 D.等腰直角三角形10．函數(shù)的圖象的橫坐標和縱坐標同時擴大為原來的3倍，再將圖象向右平移3個單位長度，所得圖象的函數(shù)解析式為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．直線l與平面α所成角為60°，l∩α＝A，則m與l所成角的取值范圍是_______.12．已知是定義在上奇函數(shù)，且函數(shù)為偶函數(shù)，當時，，則______13．已知向量，，，則=_____.14．設定義在區(qū)間上的函數(shù)與的圖象交于點，過點作軸的垂線，垂足為，直線與函數(shù)的圖象交于點，則線段的長為__________15．函數(shù)的最大值為（）.16．已知函數(shù)，則函數(shù)零點的個數(shù)為_________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．為了凈化空氣，某科研單位根據(jù)實驗得出，在一定范圍內，每噴灑1個單位凈化劑，空氣中釋放的濃度（單位：毫克/立方米）隨著時間(單位：小時)變化的函數(shù)關系式近似為．若多次噴灑，則某一時刻空氣中的凈化劑濃度為每次投放的凈化劑在相應時刻所釋放的濃度之和．由實驗知，當空氣中凈化劑的濃度不低于4(毫克/立方米)時，它才能起到凈化空氣的作用（1）若一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間約達幾小時？（結果精確到0.1，參考數(shù)據(jù)：，）（2）若第一次噴灑2個單位的凈化劑，3小時后再噴灑2個單位的凈化劑，設第二次噴灑小時后空氣中凈化劑濃度為(毫克/立方米)，其中①求的表達式；②求第二次噴灑后的3小時內空氣中凈化劑濃度的最小值18．在平面直角坐標系xOy中，角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點，以角的終邊為始邊，逆時針旋轉得到角Ⅰ求值；Ⅱ求的值19．已知全集U＝R，集合，，求：(1)A∩B；(2).20．已知關于x的不等式：a（1）當a=-2時，解此不等式；（2）當a>0時，解此不等式21．化簡求值：（1）.（2）已知都為銳角，，求值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】先進行分離，然后結合指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)性質求出的值域，結合已知定義即可求解【詳解】解：因為，所以，所以，則的值域故選：C2、B【解析】求出f（x）的單調減區(qū)間A，令（，π）?A，解出ω的范圍【詳解】解：f（x）sin（ωx），令，解得x，k∈Z∵函數(shù)f（x）sin（ωx）（ω＞0）在（，π）上單調遞減，∴，解得ω2k，k∈Z∴當k＝0時，ω故選：B【點睛】本題考查了三角函數(shù)的單調性與單調區(qū)間，考查轉化能力與計算能力，屬于基礎題3、D【解析】A中，周期為,不是偶函數(shù)；B中，周期為，函數(shù)為奇函數(shù)；C中，周期為，函數(shù)為奇函數(shù)；D中，周期為，函數(shù)為偶函數(shù)4、B【解析】利用分層抽樣比求解.【詳解】因為樣本容量為，且3個校區(qū)學生數(shù)之比為，最多的一個校區(qū)抽出的個體數(shù)是60，所以，解得，故選：B5、D【解析】根據(jù)圖象求得正確答案.【詳解】由圖象可知.故選：D6、B【解析】若函數(shù)的定義域和值域都為R，則.解得或3.當時，，滿足題意；當時，，值域為{1}，不滿足題意.故選B.7、B【解析】列舉每個事件所包含的基本事件，結合互斥事件和對立事件的定義，依次驗證即可.【詳解】解：對于A，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但是對立，故A錯誤；對于B，事件：“恰好有一個白球”與事件：“都是紅球”不能同時發(fā)生，但從口袋內任取兩個球時還有可能是兩個都是白球，所以兩個事件互斥而不對立，故B正確；對于C，事件：“至少有一個白球”與事件：“都是白球”可以同時發(fā)生，所以這兩個事件不是互斥的，故C錯誤；對于D，事件：“至少有一個白球”與事件：“至少一個紅球”可以同時發(fā)生，即“一個白球，一個紅球”，所以這兩個事件不是互斥的，故D錯誤.故選：B.8、C【解析】解方程組，得，或由直線與函數(shù)的圖像恰有三個公共點，作出圖象，結合圖象，知∴實數(shù)的取值范圍是故選C【點睛】本題考查滿足條件的實數(shù)的取值范圍的求法，解題時要認真審題，注意數(shù)形結合思想的合理運用9、D【解析】由條件可得A為直角，結合，可得解.【詳解】，=，又，為等腰直角三角形，故選D.【點睛】本題考查了向量數(shù)量積表示兩個向量的垂直關系，考查了三角形的形狀，屬于基礎題.10、D【解析】函數(shù)的圖像的橫坐標和縱坐標同時擴大為原來的3倍，所得圖像的解析式為，再向右平移3個單位長度，所得圖像的解析式為，選D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據(jù)直線l與平面α所成角是直線l與平面α內所有直線成的角中最小的一個，直線l與平面α所成角的范圍，即可求出結果【詳解】由于直線l與平面α所成角為60°，直線l與平面α所成角是直線l與平面α內所有直線成的角中最小的一個，而異面直線所成角的范圍是（0，]，直線m在平面α內，且與直線l異面，故m與l所成角的取值范圍是.故答案為【點睛】本題考查直線和平面所成的角的定義和范圍，判斷直線與平面所成角是直線與平面α內所有直線成的角中最小的一個，是解題的關鍵12、【解析】求出函數(shù)的周期即可求解.【詳解】根據(jù)題意，為偶函數(shù)，即函數(shù)圖象關于直線對稱，則有，又由為奇函數(shù)，則，則有，即，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，所以，故答案為：13、【解析】先根據(jù)向量的減法運算求得,再根據(jù)向量垂直的坐標表示,可得關于的方程,解方程即可求得的值.【詳解】因為向量，，所以則即解得故答案為:【點睛】本題考查了向量垂直的坐標關系,屬于基礎題.14、【解析】不妨設坐標為則的長為與的圖象交于點，即解得則線段的長為點睛：本題主要考查的知識點是三角函數(shù)的圖象及三角函數(shù)公式的應用．突出考查了數(shù)形結合的思想，同時也考查了考生的運算能力，本題的關鍵是解出是這三點的橫坐標，而就是線段的長15、【解析】利用可求最大值.【詳解】因為，即，，取到最小值；所以函數(shù)的最大值為.故答案為：.【點睛】本題主要考查三角函數(shù)的最值問題，借助正弦函數(shù)的值域能方便求解，側重考查數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).16、【解析】解方程，即可得解.【詳解】當時，由，可得（舍）或；當時，由，可得.綜上所述，函數(shù)零點的個數(shù)為.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），（2）①（），②28毫克/立方米【解析】（1）根據(jù)已知可得，一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度，分類討論解出即可（2）①由題意可得（），②由于可化為，然后利用基本不等式可求出其最小值【詳解】解：（1）根據(jù)已知可得，一次噴灑4個單位的凈化劑，濃度，則當時，由，得，所以，當時，由，得，，得，所以，綜上，，所以一次噴灑4個單位的凈化劑，則凈化時間約達小時，（2）①由題意可知，第一次噴灑2個單位的凈化劑，3小時后的濃度為（毫克/立方米），所以第二次噴灑小時后空氣中凈化劑濃度為（），②（），，當且僅當，即時取等號，所以第二次噴灑小時時空氣中凈化劑濃度達到最小值28毫克/立方米【點睛】關鍵點點睛：此題考查了函數(shù)的實際應用、分段函數(shù)的意義和性質、基本不等式、分類討論的思想，考查分析問題的能力，解題的關鍵是正確理解題意，求出（），然后利用基本不等式求出其最小值，屬于較難題18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】Ⅰ由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義，求得的值Ⅱ先根據(jù)題意利用任意角的三角函數(shù)的定義求得、的值，再利用二倍角公式求得、的值，再利用兩角和的余弦公式求得的值【詳解】解：Ⅰ角的頂點與原點O重合，始邊與x軸的正半軸重合，它的終邊過點，Ⅱ以角的終邊為始邊，逆時針旋轉得到角，由Ⅰ利用任意角的三角函數(shù)的定義可得，，，【點睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，二倍角公式，兩角和的余弦公式的應用，屬于中檔題19、(1);(2)(－∞，3)∪[4，＋∞)【解析】(1)化簡集合B,直接求交集即可；(2)求出集合B的補集，進而求并集即可.【詳解】(1)由已知得：B＝(－∞，3)，A＝[1，4)，∴A∩B＝[1，3)(2)由已知得：＝(－∞，1)∪[4，＋∞)，∴()∪B＝(－∞，3)∪[4，＋∞)【點睛】本題考查集合的基本運算，借助數(shù)軸是求解交、并、補集的好方法，常考題型20、（1）{x|x<-12（2）當a=13時，解集為?；當0<a<13時，解集為{x|3<x<【解析】（1）利用一元二次不等式的解法解出即可；（2）不等式可變形為(x－3)(x－1a)＜0，然后分a＝13、0＜a＜13、a＞【小問1詳解】當a＝－2時，不等式－2x2＋5x＋3＜0整理得(2x＋1)(x－3)＞0，解得x＜－12或x＞3當a＝－2時，原不等式解集為{x|x＜－12或x＞【小問2詳解】當a＞0時，不等式ax2－(3a＋1)x