專題08 二次函數(shù)與PA-PB最大值（解析版）

專題08二次函數(shù)與PA-PB最大值解題點(diǎn)撥1．口訣：同側(cè)差最大2．圖形：如圖1所示，A、B為定點(diǎn)，P為l上一動(dòng)點(diǎn)，試求的最大值與最小值．解析1：“最大值”兩邊只差小于第三邊，≤AB，當(dāng)A、B、P三點(diǎn)共線時(shí)，取等號(hào)②所以連接BA并延長與l的交點(diǎn)即為所求點(diǎn)解析2：“最小值”①絕對(duì)值具有非負(fù)性≥0，當(dāng)AP＝PB時(shí)成立②P為AB中垂線與l的交點(diǎn)．直擊中考1．（2022·湖南常德·統(tǒng)考中考真題）如圖，已經(jīng)拋物線經(jīng)過點(diǎn)，，且它的對(duì)稱軸為．(1)求此拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，當(dāng)?shù)拿娣e為15時(shí)，求的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的坐標(biāo)以及的最大值【答案】(1)(2)(3)的最大值為【分析】（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線為再利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式即可；（2）設(shè)且記OA與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)直線為：解得：可得直線為：則利用列方程，再解方程即可；（3）如圖，連接AB，延長AB交拋物線于P，則此時(shí)最大，由勾股定理可得最小值，再利用待定系數(shù)法求解AB的解析式，聯(lián)立一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式，解方程組可得P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：拋物線經(jīng)過點(diǎn)，∴設(shè)拋物線為：拋物線過，且它的對(duì)稱軸為．解得：∴拋物線為：（2）解：如圖，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，設(shè)且記OA與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為Q，設(shè)直線為：解得：直線為：解得：或∵則（3）如圖，連接AB，延長AB交拋物線于P，則此時(shí)最大，設(shè)AB為：代入A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，解得：∴AB為：解得：【點(diǎn)睛】本題考查的是利用待定系數(shù)法求解二次函數(shù)的解析式，坐標(biāo)與圖形面積，三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，勾股定理的應(yīng)用，確定最大時(shí)P的位置是解本題的關(guān)鍵．2．（2022春·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知拋物線過點(diǎn)，，且它的對(duì)稱軸為，點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．(1)求此拋物線的解析式；(2)當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，求的坐標(biāo)；(3)在（2）的條件下，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，求的坐標(biāo)以及的最大值．【答案】(1)(2)點(diǎn)的坐標(biāo)為(3)【分析】（1）利用待定系數(shù)法直接求解即可；（2）點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，直線的解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)，則，得出，利用面積建立等式求解；（3）當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，、、在同一條直線上，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：∵拋物線過點(diǎn)，，且它的對(duì)稱軸為，∴拋物線與軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)拋物線解析式為，把代入，得，解得：，∴，故此拋物線的解析式為；（2）解：∵點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限，∴設(shè)，設(shè)直線的解析式為，則，解得：，∴直線的解析式為，設(shè)直線與拋物線對(duì)稱軸交于點(diǎn)，則，∴，∵，∴，解得：，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）解：設(shè)直線的解析式為，把，代入得：，解得：，∴直線的解析式為，當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí)，、、在同一條直線上，∵是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，∴，解得：，（舍）∴，此時(shí)，．【點(diǎn)睛】本題考查了求解二次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)與圖形的面積、最值問題，解題的關(guān)鍵是添加適當(dāng)?shù)剌o助線，通過數(shù)形結(jié)合來求解．3．（2022春·天津紅橋·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知拋物線過點(diǎn)，，其對(duì)稱軸為．(1)求該拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限．①當(dāng)?shù)拿娣e為15時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；②是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最大值時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)；【詳解】（1）解：設(shè)拋物線的解析式為：，則：，解得：，∴；（2）解：如圖與對(duì)稱軸交于點(diǎn)，設(shè)設(shè)直線的解析式為：，則：，解得：，∴，當(dāng)時(shí)，，∴，∵，∴，解得：或，∵點(diǎn)在第一象限，∴，∴②設(shè)直線的解析式為，把代入得：解得：，∴直線的解析式為，∵，∴當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí)，最長，解得：（舍）∴；所以當(dāng)時(shí)，最長．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用．正確的求出二次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．4．（2022春·重慶·九年級(jí)西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線與x軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，其對(duì)稱軸是直線．(1)求拋物線解析式；(2)如圖2，P是直線BC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PC、PB，當(dāng)四邊形ACPB面積最大時(shí)，y軸上有一點(diǎn)Q，使得的值最大，求出的最大值與此時(shí)的Q點(diǎn)坐標(biāo)；(3)如圖3，拋物線上有一點(diǎn)，在（2）的條件下，將拋物線沿射線AP平移2個(gè)單位長度得到新拋物線，點(diǎn)D是新拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)F在直線CP上，是否存在以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形？若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)D的橫坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說明理由，【答案】(1)(2)的最大值為，(3)0或或或【分析】（1）用待定系數(shù)法可得拋物解析式為；（2）過P作軸交于K，作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于Q，由可得：，，即知四邊形面積最大即是最大，由，知直線解析式為，設(shè)，則，可得，故當(dāng)時(shí)，最大為，此時(shí)，由，A與關(guān)于y軸對(duì)稱得，知，為的最大值，由可得，直線解析式是，即可得到答案；（3）由得，由得直線解析式為，即可得，由得直線解析式為，設(shè)，分三種情況：①以為對(duì)角線，，得或，②以為對(duì)角線，，方程組無實(shí)數(shù)解；③以為對(duì)角線，，解得或．【詳解】（1）∵拋物線與x軸交于點(diǎn)，對(duì)稱軸是直，∴解得，∴拋物解析式為；（2）過P作軸交于K，作A關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接交y軸于Q，如圖：由可得：∴為定值，四邊形面積最大，即是最大，由知直線BC解析式為，設(shè)，則，∴∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最大為，此時(shí)，由，A與關(guān)于y軸對(duì)稱得，此時(shí)為|的最大值，由可得，直線解析式是，∴的最大值為，在中，令得，∴，答：的最大值為，；（3）存在以點(diǎn)A，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的平行四邊形，理由如下：在中，令得，∴，由得直線解析式為，∴將拋物線沿射線移2個(gè)單位長度相當(dāng)于把拋物線向右平移個(gè)單位，再向下平移1個(gè)單位，∴，由得直線解析式為，設(shè)，又，①以為對(duì)角線，則中點(diǎn)重合，∴，解得或，②以為對(duì)角線，同理得，方程組無實(shí)數(shù)解；③以為對(duì)角線，∴，解得或，綜上所述，點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為0或或或．【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，涉及待定系數(shù)法，三角形面積，平行四邊形的性質(zhì)及應(yīng)用，拋物線的平移變換等，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)和相關(guān)線段的長度，本題綜合性較強(qiáng)，計(jì)算量較大．5．（2022春·四川眉山·九年級(jí)?？计谀┤鐖D，已知拋物線與直線y=0.5x＋3相交于A，B兩點(diǎn)，交ⅹ軸于C，D兩點(diǎn)，連接AC，BC，已知A（0，3），C（－3，0）.(1)求拋物線的表達(dá)式；(2)在拋物線對(duì)稱軸l上找一點(diǎn)M，使|MB一MD|的值最大，并求出這個(gè)最大值；(3)點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，過點(diǎn)P作PQ⊥PA交y軸于點(diǎn)Q，是否存在點(diǎn)P，使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】(1)(2)(3)在點(diǎn)P（1，6）【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；（2）根據(jù)對(duì)稱性可得MC=MD，再解方程組可得B點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)兩邊之差小于第三邊可得B，C，M共線，最后根據(jù)勾股定理即可解答；（3）根據(jù)等腰直角三角形的判定可得∠BCE，∠ACO，再根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可列出關(guān)于x的方程，然后解方程可求得x，最后根據(jù)自變量與函數(shù)值的對(duì)應(yīng)關(guān)系即可解答．（1）解：將A（0，3），C（﹣3，0）代入函數(shù)解析式，得，解得，拋物線的解析式是．（2）解：如圖：∵點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，∴對(duì)l上任意一點(diǎn)有MD=MC，聯(lián)立方程組，解得（不符合題意，舍），，∴B（﹣4，1），∴當(dāng)點(diǎn)B，C，M共線時(shí)，|MB﹣MD|取最大值，即為BC的長，如圖：過點(diǎn)B作BE⊥x軸于點(diǎn)E，在Rt△BEC中，由勾股定理，得BC=，∴|MB﹣MD|取最大值為．（3）解：存在點(diǎn)P使得以A，P，Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，∵B（﹣4，1），C（－3，0）∴點(diǎn)E（-4,0）∴BE=CE=1∵在Rt△BEC中，∴∠BCE=45°，在Rt△ACO中，∵AO=CO=3，∴∠ACO=45°，∴∠ACB=180°﹣45°﹣45°=90°，如圖：過點(diǎn)P作PG⊥y軸于G點(diǎn)，∠PGA=90°，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x2+x+3）（x＞0）①當(dāng)∠PAQ=∠BAC時(shí)，△PAQ∽△CAB，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠CAB，∴△PGA∽△BCA，∴，即，∴，解得x1=1，x2=0（舍去），∴P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為×12+×1+3=6，∴P（1，6），②當(dāng)∠PAQ=∠ABC時(shí)，△PAQ∽△CBA，∵∠PGA=∠ACB=90°，∠PAQ=∠ABC，∴△PGA∽△ACB，∴，即=3，∴，解得x1=﹣（舍去），x2=0（舍去）∴此時(shí)無符合條件的點(diǎn)P．綜上所述，存在點(diǎn)P（1，6）．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，主要考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)與幾何的綜合、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活應(yīng)用相關(guān)知識(shí)并掌握分類討論思想是解答本題的關(guān)鍵．6．（2022秋·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，已知拋物線的解析式為，拋物線與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交點(diǎn)于點(diǎn)C．(1)請(qǐng)分別求出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；(2)連接AC、BC，將△ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為M、N，求點(diǎn)M、N的坐標(biāo)；(3)若點(diǎn)為該拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，在（2）的條件下，請(qǐng)求出使最大時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，并請(qǐng)直接寫出的最大值．【答案】(1)A（-4，0），B（1，0），C（0，3），對(duì)稱軸為直線(2)M（1，5），N（4，1）(3)當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0）或時(shí)，的值最大，此時(shí)最大值為【分析】（1）提取二次項(xiàng)系數(shù)后分解因式，可以得出拋物線與x軸交點(diǎn)，令x=0代入可以得到與y軸的交點(diǎn)，把解析式配方后可得對(duì)稱軸；（2）根據(jù)題意作出幾何圖形，通過旋轉(zhuǎn)性質(zhì)以及通過AAS求證△OBC≌△QNB即可分別求出M、N的坐標(biāo)；（3）分析題意可得出，當(dāng)P，N，B在同一直線上時(shí)，|NP-BP|的值最大，聯(lián)立直線BN解析式以及拋物線解析式即可求出P的坐標(biāo)．【詳解】（1）解：∵，令x=0，則y=3，令y=0，則，解得x=-4或1，∴A（-4，0），B（1，0），C（0，3），∵，∴對(duì)稱軸為直線x=-；（2）解：如圖所示：過N作NQ⊥x軸于點(diǎn)Q，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得MB⊥x軸，∠CBN=90°，BM=AB=5，BN=BC，∴M（1，5），∠OBC+∠QBN=90°，∵∠OBC+∠BCO=90°，∴∠BCO=∠QBN，又∵∠BOC=∠NQB=90°，BN=BC，∴△OBC≌△QNB（AAS），∴BQ=OC=3，NQ=OB=1，∴OQ=1+3=4，∴N（4，1）；（3）解：設(shè)直線NB的解析式為y=kx+b.∵B（1，0）、N（4，1）在直線NB上，∴，解得：，∴直線NB的解析式為：y=x-，當(dāng)點(diǎn)P，N，B在同一直線上時(shí)|NP-BP|=NB=，當(dāng)點(diǎn)P，N，B不在同一條直線上時(shí)|NP-BP|＜NB，∴當(dāng)P，N，B在同一直線上時(shí)，|NP-BP|的值最大，即點(diǎn)P為直線NB與拋物線的交點(diǎn)．解方程組：，解得：或，∴當(dāng)P的坐標(biāo)為（1，0）或時(shí)，|NP-BP|的值最大，此時(shí)最大值為．【點(diǎn)睛】本題屬于二次函數(shù)綜合題，考查待定系數(shù)法，旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，本題的關(guān)鍵是數(shù)形相結(jié)合，以及正確討論出當(dāng)P，N，B在同一直線上時(shí)，|NP-BP|的值最大是解題的關(guān)鍵．7．（貴州省安順市2019年中考數(shù)學(xué)試題）如圖，拋物線與直線分別相交于，兩點(diǎn)，且此拋物線與軸的一個(gè)交點(diǎn)為，連接，．已知，．（1）求拋物線的解析式；（2）在拋物線對(duì)稱軸上找一點(diǎn)，使的值最大，并求出這個(gè)最大值；（3）點(diǎn)為軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作交軸于點(diǎn)，問：是否存在點(diǎn)使得以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）；（2）點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）時(shí)，取最大值為；（3）存在點(diǎn)．【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可知：當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，可使的值最大，據(jù)此求解即可；（3）先求得，再過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，這樣就把以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似問題轉(zhuǎn)化為以，，為頂點(diǎn)的三角形與相似的問題，再分當(dāng)時(shí)與時(shí)兩種情況，分別求解即可．【詳解】解：（1）將，代入得：，解得：，∴拋物線的解析式是；（2）解方程組：，得，，∵，∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)不共線時(shí)，根據(jù)三角形三邊關(guān)系得，當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，，∴當(dāng)點(diǎn)、、三點(diǎn)共線時(shí)，取最大值，即為的長，如圖，過點(diǎn)作BE⊥x軸于點(diǎn)，則在中，由勾股定理得：，∴取最大值為；易求得直線BC的解析式為：y=－x－3，拋物線的對(duì)稱軸是直線，當(dāng)時(shí)，，∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）；∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（，）時(shí)，取最大值為；（3）存在點(diǎn)，使得以、、為頂點(diǎn)的三角形與相似．設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，在中，∵，∴，在中，∵，∴，∴，，過點(diǎn)作于點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)，如圖，∵，，∴∽，∵，∴①當(dāng)時(shí)，∽，∴，解得，，（舍去）∴點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，∴點(diǎn)為；②當(dāng)時(shí)，∽，∴，解得（舍去），（舍去），∴此時(shí)無符合條件的點(diǎn)；綜上所述，存在點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式、相似三角形的判定與性質(zhì)、一元二次方程的解法、兩函數(shù)的交點(diǎn)和線段差的最值等問題，其中（1）題是基礎(chǔ)題型，（2）題的求解需運(yùn)用三角形的三邊關(guān)系，（3）題要注意分類求解，避免遺漏，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、相似三角形的判定與性質(zhì)以及一元二次方程的解法．8．（2022·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）已知二次函數(shù)．(1)對(duì)于任意m，二次函數(shù)都會(huì)經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，求此定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)時(shí)，如圖，二次函數(shù)與y軸的交點(diǎn)為M，頂點(diǎn)為N．①若點(diǎn)P是x軸上的動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)；②設(shè)點(diǎn)Q是二次函數(shù)上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)H是直線MN上的動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)Q，使得△OQH是以點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)的等腰Rt△OQH？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)（，21）；(2)①PN-PM的最大值為，點(diǎn)P坐標(biāo)為（，0）；②存在，（，）或（，）或（，）【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)解析式化為y=x2+x+m（x+4）+9，當(dāng)x=-4時(shí)，y與m無關(guān)，將x=-4代入取出y的值即可．（2）①當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的解析式為，當(dāng)點(diǎn)P，M，N三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取得最大值，求得直線MN的解析式，再求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用勾股定理即可求解；②分兩種情況，利用全等三角形的判定和性質(zhì)以及函數(shù)圖象上點(diǎn)的特征，即可求解．（1）解：∵=x2+x+m（x+4）+9，∴當(dāng)x=-4時(shí)，m（x+4）=0，∴y=（-4）2+（-4）+9=16+5=21．∴對(duì)于任意m，拋物線都會(huì)經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)（-4，21）；（2）解：①當(dāng)時(shí)，二次函數(shù)的解析式為，

∴點(diǎn)M坐標(biāo)為（0，），頂點(diǎn)N坐標(biāo)為（1，），∵，∴當(dāng)點(diǎn)P，M，N三點(diǎn)在一條直線上時(shí)，取得最大值，如圖，連接MN并延長，交x軸于點(diǎn)P，設(shè)直線MN的函數(shù)