2024-2025學年新教材高中數(shù)學第十章概率10.1隨機事件與概率2教案新人教A版必修第二冊

PAGE10.1.2事務的關系和運算本節(jié)《一般中學課程標準數(shù)學教科書-必修二（人教A版）第九章《10.1.2事務的關系和運算》，事務的關系與運算是繼隨機事務的后續(xù)部分,本節(jié)課提出了事務的關系、事務的運算等兩部分.學生將通過新舊學問的對比學習來進行自主學習，同時通過共同探討來理解和駕馭新學問的實際含義.由于事務的抽象性，所以教學時將大量采納“韋恩圖”幫助學生理解事務的關系，同時強調(diào)區(qū)分事務關系、運算與集合的關系、運算的區(qū)分與聯(lián)系.為概率的學習打好基礎。并加深對概率思想方法的理解。從而發(fā)展學生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。課程目標學科素養(yǎng)A.理解并駕馭時間的關系和運算．B.能夠?qū)⑹聞盏倪\算關系學問敏捷運用到實際事務中．1.數(shù)學建模：事務關系的運用2.邏輯推理：事務運算與集合運算的聯(lián)系與區(qū)分3.數(shù)學運算：事務運算4.數(shù)據(jù)分析：在詳細事例中分析事務關系與運算1.教學重點：件運算關系的實際含義．2.教學難點：事務運算關系的應用.多媒體教學過程教學設計意圖核心素養(yǎng)目標情境與問題從前面的學習中可以看到,我們在一個隨機試驗中可以定義很多隨機事務。這些事務有的簡潔,有的困難,我們希望從簡潔事務的概率推算出困難事務的概率,所以須要探討事務之間的關系和運算.例如：Ci=“點數(shù)為i”,i=1,2,3,4,5,6;D1=“點數(shù)不大于3”；D2=“點數(shù)大于3”；E1=“點數(shù)為1或2”；E2=“點數(shù)為2或3”；F=“點數(shù)為偶數(shù)”；G=“點數(shù)為奇數(shù)”；請用集合的形式表示這些事務，借助集合與集合的關系和運算,你能發(fā)覺這些事務之間的聯(lián)系嗎？引例：在擲骰子試驗中，視察骰子朝上面的點數(shù)，可以定義很多隨機事務用集合的形式表示事務C1=“點數(shù)為1”和事務G=“點數(shù)為奇數(shù)”,它們分別是C1={1}和G={1,3,5}.明顯,假如事務C1發(fā)生,那么事務G肯定發(fā)生,事務之間的這種關系用集合的形式表示,就是{1}?{1,3,5},即C1?G.這時我們說事務G包含事務C1.；一般地,事務A與事務B至少有一個發(fā)生,這樣的一個事務中的樣本點或者在事務A中,或者在事務B中,我們稱這個事務為事務A與事務B的并事務(或和事務）,記作AUB(或A+B).可以用圖中的綠色區(qū)域和黃色區(qū)域表示這個并事務.一般地,事務A與事務B同時發(fā)生,這樣的一個事務中的樣本點既在事務A中,也在事務B中,我們稱這樣的一個事務為事務A與事務B的交事務(或積事務）,記作A∩B(或AB).藍色區(qū)域表示交事務用集合的形式表示事務C3=“點數(shù)為3”和事務C4=“點數(shù)為4”.它們分別C3={3},C4={4}.明顯,事務C3與事務C4不行能同時發(fā)生,用集合的形式表示這種關系,就是{3}∩{4}=Φ,即C3∩C4=Φ,這時我們稱事務C3與事務C4互斥.一般地,假如事務A與事務B不能同時發(fā)生,也就是說A∩B是一個不行能事務,即A∩B=Φ,則稱事務A與事務B互斥(或互不相容）.可以用圖表示這兩個事務互斥.其含義是,事務A與事務B在任何一次試驗中不會同時發(fā)生．用集合的形式表示事務F=“點數(shù)為偶數(shù)”、事務G=“點數(shù)為奇數(shù)”,它們分別是F={2,4,6},G={1,3,5}.在任何一次試驗中,事務F與事務G兩者只能發(fā)生其中之一,而且也必定發(fā)生其中之一.事務之間的這種關系,用集合的形式可以表示為{2,4,6}∪{1,3,5}={1,2,3,4,5,6},即F∪G=Ω,且{2,4,6}∩(1,3,5}=Φ,即F∩G=Φ.此時我們稱事務F與事務G互為對立事務.事務D1與D2也有這種關系.一般地,假如事務A和事務B在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生,即A∪B=Ω,且A∩B=Φ,那么稱事務A與事務B互為對立.其含義是：事務A與事務在任何一次試驗中有且僅有一個發(fā)生．事務A的對立事務記為,可以用圖表示為.1.拋挪一顆質(zhì)地勻稱的骰子，有如下隨機事務：Ci=“點數(shù)為i”，其中i=1,2,3,4,5,6;D1=“點數(shù)不大于2”，D2=“點數(shù)大于2”，D3=“點數(shù)大于4”；E=“點數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點數(shù)為偶數(shù)”。推斷下列結論是否正確.(1)C1與C2互斥；(2)C2,C3為對立事務;(3)C3?D2;(4)D3?D2;(5)D1∪D2=Ω,D1D2=Φ;(6)D3=C5∪C6;(7)E=C1∪C3∪C5;(8)E,F為對立事務；(9)D2∪D3=D2;(10)D2∩D3=D3.答案：（2）錯，其余都對綜上所述,事務的關系或運算的含義,以及相應的符號表示如下事務的關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生A?B并事務(和事務)A與B至少一個發(fā)生AUB或A+B交事務(積事務)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B=Φ互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B=Φ,AUB=Ω類似地,我們可以定義多個事務的和事務以及積事務.例如,對于三個事務A,B,C,AUBUC(或A+B+C)發(fā)生當且僅當A,B,C中至少一個發(fā)生,A∩B∩C(或ABC)發(fā)生當且僅當A,B,C同時發(fā)生,等等.例5如圖,由甲、乙兩個元件組成一個并聯(lián)電路,每個元件可能正?；蚴?設事務A=“甲元件正?！?B=“乙元件正?！?(1)寫出表示兩個元件工作狀態(tài)的樣本空間；(2)用集合的形式表示事務A,B以及它們的對立事務；(3)用集合的形式表示事務A∪B和事務A∩B,并說明它們的含義及關系.分析：留意到試驗由甲、乙兩個元件的狀態(tài)組成,所以可以用數(shù)組(x1,x2)表示樣本點.這樣,確定事務A,B所包含的樣本點時,不僅要考慮甲元件的狀態(tài),還要考用乙元件的狀態(tài).解：(1)用x1,x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài),則可以用(x1,x2)表示這個并聯(lián)電路的狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效,則樣本空間為Ω={(0,0),(0,1),(1,0),(1,1)}.(2)A={(1,0),(1,1)},B={(0,1),(1,1)},,(3)用x1,x2分別表示甲、乙兩個元件的狀態(tài),則可以用(x1,x2)表示這個并聯(lián)電路的狀態(tài),以1表示元件正常,0表示元件失效.A∪B={(0,1),(1,0),(1,1)},A∩B={(0,0)};A∪B表示電路工作正常,表示電路工作不正常；A∪B和互為對立事務.例6一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球,其中有2個紅色球(標號為1和2),2個綠色球(標號為3和4),從袋中不放回地依次隨機摸出2個球.設事務R1=“第一次摸到紅球”,R2=“其次次摸到紅球”,R=“兩次都摸到紅球”,G=“兩次都摸到綠球”,M=“兩個球顏色相同”,N=“兩個球顏色不同”(2)事務R與R1,R與G,M與N之間各有什么關系？(3)事務R與事務G的并事務與事務M有什么關系？事務R1與事務R2的交事務與事務R有什么關系？用數(shù)組(x1,x2)表示可能的結果,x1是第一次摸到的球的標號,x2是其次次摸到的球的標號Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3)}R1={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)}R2={(2,1),(3,1),(4,1),(1,2),(3,2),(4,2)}R={(1,2),(2,1)}G={(3,4),(4,3)},M={(1,2),(2,1),(3,4),(4,3)}N={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)}(2)因為R?R1,所以事務R1包含事務R因為R∩G=Φ,所以事務R與事務G互斥；因為M∪N=Ω,M∩N=Φ,所以事務M與事務N互為對立事務.(3)因為R∪G=M,所以事務M是事務R與事務G的并事務；因為R1∩R2=R,所以事務R是事務R1與事務R2的交事務.由詳細事例動身，提出問題，讓學生了解事務關系和運算與集合運算的聯(lián)系。發(fā)展學生數(shù)學抽象、直觀想象和邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過聯(lián)系集合運算和韋恩圖幫助學生理解事務關系及其運算。發(fā)展學生數(shù)學抽象、邏輯推理的核心素養(yǎng)。通過實例分析，讓學生駕馭分析事務關系的方法加深對概念的理解，提升推理論證實力，提高學生的數(shù)學抽象、數(shù)學建模及邏輯推理的核心素養(yǎng)。三、達標檢測1.某人打靶時連續(xù)射擊兩次，下列事務中與事務“至少一次中靶”互為對立的是().(A)至多一次中靶(B)兩次都中靶(C)只有一次中靶(D)兩次都沒有中靶解析：“至少一次中靶”的對立事務是“兩次都沒有中靶”，所以選D2.同時拋擲兩枚硬幣,向上面都是正面為事務M,向上面至少有一枚是正面為事務N,則有()A.M?NB.M?NC.M=ND.M<NA3.拋擲一枚勻稱的正方體骰子,事務P＝{向上的點數(shù)是1},事務Q＝{向上的點數(shù)是3或4},M＝{向上的點數(shù)是1或3},則P∪Q＝,M∩Q＝_______________________.{向上的點數(shù)是1或3或4}{向上的點數(shù)是3}4.在30件產(chǎn)品中有28件一級品,2件二級品,從中任取3件,記“3件都是一級品”為事務A,則A的對立事務是________．至少有一件是二級品5.某小組有3名男生和2名女生，從中任選2名同學參與演講競賽．推斷下列每對事務是不是互斥事務，假如是，再判別它們是不是對立事務．(1)恰有一名男生與恰有2名男生；(2)至少有1名男生與全是男生；(3)至少有1名男生與全是女生；(4)至少有1名男生與至少有1名女生．[解析]判別兩個事務是否互斥，就是考查它們是否能同時發(fā)生；判別兩個互斥事務是否對立，就要考查它們是否必有一個發(fā)生且只有一個發(fā)生．(1)因為“恰有1名男生”與“恰有2名男生”不行能同時發(fā)生，所以它們是互斥事務；當恰有兩名女生時它們都不發(fā)生，所以它們互斥不對立事務．(2)因為“恰有兩名男生”發(fā)生時，“至少有一名男生”與“全是男生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事務．(3)因為“至少有一名男生”與“全是女生”不行能同時發(fā)生，所以它們互斥；由于它們必有一個發(fā)生，所以它們互斥對立．(4)由于選出的是“一名男生一名女生”時，“至少有一名男生”與“至少有一名女生”同時發(fā)生，所以它們不是互斥事務．[點評]推斷兩個互斥事務是否對立要依據(jù)試驗的條件，考慮事務關系必需先考慮條件．本題條件若改成“某小組有3名男生1名女生，任取2人”，則“恰有1名男生”與“恰有2名男生”便是對立事務．通過練習鞏固本節(jié)所學學問，通過學生解決問題，發(fā)展學生的數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學建模的核心素養(yǎng)。四、小結事務的關系或運算的含義,以及相應的符號表示如下事務的關系或運算含義符號表示包含A發(fā)生導致B發(fā)生A?B并事務(和事務)A與B至少一個發(fā)生AUB或A+B交事務(積事務)A與B同時發(fā)生A∩B或AB互斥(互不相容)A與B不能同時發(fā)生A∩B=Φ互為對立A與B有且僅有一個發(fā)生A∩B=Φ,AUB=Ω(1)包含關系、相等關系的判定①事務的包含關系與集合的包含關系相像；②兩事務相等的實質(zhì)為相同事務，即同時發(fā)生或同時不發(fā)生．(2)推斷事務是否互斥的兩個步驟第一步，確定每個事務包含的結果；其次步，確定是否有一個結果發(fā)生會意味著兩個事務都發(fā)生，若是，則兩個事務不互斥，否則就是互斥的．(3)推斷事務是否對立的兩個步驟第一步，推斷是互斥事務；其次步，確定兩個事務必定有