第九講數(shù)學(xué)高考的創(chuàng)新試題解題指導(dǎo)理科

資料內(nèi)容僅供您學(xué)習(xí)參考，如有不當(dāng)或者侵權(quán)，請聯(lián)系改正或者刪除。第九講數(shù)學(xué)高考的創(chuàng)新試題解題指導(dǎo)第一節(jié)需要抽象概括的創(chuàng)新試題高考數(shù)學(xué)歸納抽象創(chuàng)新題的命題特點(diǎn):加強(qiáng)創(chuàng)新意識的考查,有利于實(shí)現(xiàn)選拔功能;深化課改,促進(jìn)能力立意命題的實(shí)踐和發(fā)展.其中新定義信息型創(chuàng)新題是近年高考出現(xiàn)頻率最高的創(chuàng)新題之一,因其背景新穎,構(gòu)思巧妙,能有效甄別考生的思維品質(zhì),因而倍受高考命題專家垂青.題型一定義新概念【例1】設(shè)是一個(gè)數(shù)集,且至少含有兩個(gè)數(shù),若對任意、,都有、,、(除數(shù)),則稱是一個(gè)數(shù)域.例如有理數(shù)集是數(shù)域;數(shù)集也是數(shù)域.有下列命題:①整數(shù)集是數(shù)域; ②若有理數(shù)集,則數(shù)集必為數(shù)域;③數(shù)域必為無限集; ④存在無窮多個(gè)數(shù)域.其中正確的命題的序號是(把你認(rèn)為正確的命題的序號填填上)點(diǎn)撥:本題定義了新的概念:數(shù)域,審題非常關(guān)鍵,解題時(shí)可采用排除法,代入特殊的數(shù)值對選項(xiàng)進(jìn)行排除篩選.此題是以高等數(shù)學(xué)中”群、環(huán)、域”的知識考查高中數(shù)學(xué)中有關(guān)知識的問題,體現(xiàn)了高考數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)的和諧接軌,以高考數(shù)學(xué)知識為背景的問題,對已有的知識改造、重組創(chuàng)造”新知識”的問題,也成為高考試題的一大亮點(diǎn).定義一個(gè)新概念,要求學(xué)生面對陌生情境,迅速提取有用信息,要善于挖掘概念的內(nèi)涵與本質(zhì),并合理遷移運(yùn)用已學(xué)的知識加以解決.這類問題較好地考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力、知識遷移能力以及學(xué)生探究性學(xué)習(xí)的潛能.解析:對于整數(shù)集,當(dāng),時(shí),,故①錯(cuò);對于滿足的集合,不是數(shù)域,②錯(cuò);若是數(shù)域,則存在且,依定義,,,,,均是中元素,故中有無數(shù)元素,③正確;類似數(shù)集也是數(shù)域,④正確,故選③,④易錯(cuò)點(diǎn):審題不清,未能理解數(shù)域的定義所應(yīng)滿足的條件.變式與引申1.定義若平面點(diǎn)集中的任一個(gè)點(diǎn),總存在正實(shí)數(shù),使得集合,稱為一個(gè)開集．給出下列集合:①;②;③;④．其中是開集的是．(請寫出所有符合條件的序號)題型二定義新數(shù)表【例2】全體正整數(shù)排成一個(gè)三角形數(shù)陣:123456789101112131415******根據(jù)以上排列規(guī)律,數(shù)陣中第()行的從左向右的第3個(gè)數(shù)是.點(diǎn)撥:由數(shù)陣找到()行的最后一個(gè)數(shù).數(shù)表其實(shí)是數(shù)列的一種分拆,不同的分拆方式就會產(chǎn)生不同的數(shù)表,本題中的數(shù)陣是對正整數(shù)數(shù)列的一種重排,只要找出其排列規(guī)律便不難求得答案,本題以三角形數(shù)表為載體,考查了學(xué)生觀察、歸納、猜想的思維能力.源于楊輝三角的數(shù)表蘊(yùn)含著豐富的性質(zhì),數(shù)表型試題在各地高考試卷中屢見不鮮.解析:該數(shù)陣的第1行有1個(gè)數(shù),第2行有2個(gè)數(shù),…,第行有個(gè)數(shù),則第()行的最后一個(gè)數(shù)為,則第行的第3個(gè)數(shù)為.易錯(cuò)點(diǎn):未能找到新的數(shù)陣的規(guī)律,解題無從入手.變式與引申2.將數(shù)列中的所有項(xiàng)按每一行比上一行多一項(xiàng)的規(guī)則排成如下數(shù)表:*****記表中的第一列數(shù)構(gòu)成的數(shù)列為,．為數(shù)列的前項(xiàng)和,且滿足．(Ⅰ)證明數(shù)列成等差數(shù)列,并求數(shù)列的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)上表中,若從第三行起,第一行中的數(shù)按從左到右的順序均構(gòu)成等比數(shù)列,且公比為同一個(gè)正數(shù)．當(dāng)時(shí),求上表中第行所有項(xiàng)的和．題型三定義新數(shù)列【例3】若數(shù)列滿足(為正常數(shù),),則稱為”等方比數(shù)列”．甲:數(shù)列是等方比數(shù)列;乙:數(shù)列是等比數(shù)列,則A．甲是乙的充分條件但不是必要條件B．甲是乙的必要條件但不是充分條件C．甲是乙的充要條件D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件點(diǎn)撥:本題主要考察等比數(shù)列的定義和創(chuàng)新定義的理解、轉(zhuǎn)換.等比數(shù)列,則公比應(yīng)唯一確定.數(shù)列是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容,圍繞數(shù)列問題創(chuàng)設(shè)情境,設(shè)計(jì)出一些新穎的題目是近幾年高考的一大亮點(diǎn),如上海卷的”對稱數(shù)列”、湖北卷的”等方比數(shù)列”、江蘇卷的”絕對差數(shù)列”、的北京卷的”等和數(shù)列”等,各種新數(shù)列精彩紛呈,此類試題形式新穎、內(nèi)容深遠(yuǎn)、能力要求廣泛、解法多樣,能夠較好地考查考生的學(xué)習(xí)能力、邏輯思維能力、應(yīng)用能力和創(chuàng)新能力等.解析:由等比數(shù)列的定義數(shù)列,若乙:是等比數(shù)列,公比為,即,則甲命題成立;反之,若甲:數(shù)列是等方比數(shù)列,即即公比不一定為,則命題乙不成立,故選B.易錯(cuò)點(diǎn):是由,得到的是兩個(gè)等比數(shù)列,而命題乙是指一個(gè)等比數(shù)列,忽略等比數(shù)列的確定性,容易錯(cuò)選C.變式與引申3.對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列變換成數(shù)列．對于每項(xiàng)均是非負(fù)整數(shù)的數(shù)列,定義變換,將數(shù)列各項(xiàng)從大到小排列,然后去掉所有為零的項(xiàng),得到數(shù)列;又定義．設(shè)是每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,令()．(Ⅰ)如果數(shù)列為5,3,2,寫出數(shù)列;(Ⅱ)對于每項(xiàng)均是正整數(shù)的有窮數(shù)列,證明;(Ⅲ)證明:對于任意給定的每項(xiàng)均為正整數(shù)的有窮數(shù)列,存在正整數(shù),當(dāng)時(shí),．本節(jié)主要考查:數(shù)學(xué)歸納抽象創(chuàng)新題的求解要求認(rèn)真理解題意,透過”現(xiàn)象”把握問題的本質(zhì),并將它抽象成數(shù)學(xué)如函數(shù)、數(shù)列問題,運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識求解．新定義問題的求解一般分三大步驟進(jìn)行:(1)對新定義進(jìn)行信息提取,確定化歸方向;(2)對新定義所提取的信息進(jìn)行加工,探究解決方法;(3)對定義中提取知識進(jìn)行轉(zhuǎn)換,有效地輸出.其中對定義信息的提取和化歸轉(zhuǎn)化是求解的關(guān)鍵,也是一個(gè)難點(diǎn).點(diǎn)評:抽象是指舍棄事物非本質(zhì)的屬性,揭示其本質(zhì)的屬性;概括是指把僅僅屬于某一類對象的共同屬性區(qū)分出來的思維過程.抽象和概括是相互聯(lián)系的,沒有抽象就不可能有概括,而概括必須在抽象的基礎(chǔ)上得出某一觀點(diǎn)或作出某項(xiàng)結(jié)論.抽象概括能力就是從具體的、生動(dòng)的實(shí)例,在抽象概括的過程中,發(fā)現(xiàn)研究對象的本質(zhì);從給定的大量信息材料中,概括出一些結(jié)論,并能應(yīng)用于解決問題或作出新的判斷.平時(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要切實(shí)加強(qiáng)自主探究能力和創(chuàng)新意識的培養(yǎng),從而不斷提高自身的數(shù)學(xué)素養(yǎng),增強(qiáng)分析問題和解決問題的綜合能力.如能夠多訂閱報(bào)刊雜志,從雜志中涉獵新題.有了新題還得用好新題,經(jīng)過新題歸納解題的思維方法,激發(fā)學(xué)生的思維風(fēng)暴;關(guān)注題型的縱橫發(fā)展,注重多元性,拓展發(fā)散思維.另外,還要注意強(qiáng)化數(shù)學(xué)建模,提高實(shí)踐能力,發(fā)展個(gè)性特長.重點(diǎn)抓好運(yùn)用高中數(shù)學(xué)知識解決生活中的實(shí)際問題的能力的培養(yǎng)與訓(xùn)練,注重?cái)?shù)學(xué)知識和技能應(yīng)用的靈活性、綜合性、發(fā)散性和遷移性.以提高數(shù)學(xué)閱讀能力為起點(diǎn),建立數(shù)學(xué)模型為核心,尋找或自行編制一些貼近生活的實(shí)際應(yīng)用題,特別是概率與統(tǒng)計(jì)應(yīng)用題.習(xí)題9－1圖9-1-11．(高考江西卷·理)如圖9-1-1圖9-1-1向滾動(dòng),M和N是小圓的一條固定直徑的兩個(gè)端點(diǎn)．那么,當(dāng)小圓這樣滾過大圓內(nèi)壁的一周,點(diǎn)M,N在大圓內(nèi)所繪出的圖形大致是()2．設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?若存在常數(shù),使對一切實(shí)數(shù)均成立,則稱為”倍約束函數(shù)”.現(xiàn)給出下列函數(shù):①;②;③;④;⑤是定義在實(shí)數(shù)集R上的奇函數(shù),且對一切,均有.其中是”倍約束函數(shù)”的有()A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)圖9-1-23.如圖9-1-2,坐標(biāo)紙上的每個(gè)單元格的邊長為1,由下往上的六個(gè)點(diǎn):圖9-1-21,2,3,4,5,6的橫縱坐標(biāo)分別對應(yīng)數(shù)列的前12項(xiàng),如下表所示:按如此規(guī)律下去,則_______.4．圖9-1-3展示了一個(gè)由區(qū)間到實(shí)數(shù)集的映射過程:區(qū)間中的實(shí)數(shù)對應(yīng)數(shù)軸上的點(diǎn),如圖9-1-3中的圖①;將線段圍成一個(gè)圓,使兩端點(diǎn)、恰好重合,如圖②;再將這個(gè)圓放在平面直角坐標(biāo)系中,使其圓心在軸上,點(diǎn)的坐標(biāo)為,如圖③.圖③中直線與軸交于點(diǎn),則的象就是,記作.圖9-1-3(Ⅰ)方程的解是;(Ⅱ)下列說法中正確命題的序號是.(填出所有正確命題的序號)①;②是奇函數(shù);③在定義域上單調(diào)遞增;④的圖像關(guān)于點(diǎn)對稱．需要構(gòu)建模式的創(chuàng)新試題高考數(shù)學(xué)應(yīng)用題的命題方向,是引導(dǎo)學(xué)生自覺地置身于現(xiàn)實(shí)生活的大環(huán)境中,關(guān)心身邊的數(shù)學(xué)問題,了解社會,關(guān)心社會,形成健全的人格.題型一構(gòu)建指數(shù)函數(shù)模式的問題【例1】有一個(gè)受到污染的湖泊,其湖水的容積為立方米,每天流出湖泊的水量都是立方米,現(xiàn)假設(shè)下雨和蒸發(fā)正好平衡,且污染物質(zhì)與湖水能很好地混合,用表示某一時(shí)刻每立方米湖水所含污染物質(zhì)的克數(shù),我們稱為在時(shí)刻時(shí)的湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù),已知當(dāng)前污染源以每天克的污染物質(zhì)污染湖水,湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)滿足關(guān)系式:(),其中是湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù).(Ⅰ)當(dāng)湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)為常數(shù)時(shí),求湖水污染的初始質(zhì)量分?jǐn)?shù);(Ⅱ)求證:當(dāng)時(shí),湖泊的污染程度將越來越嚴(yán)重;(Ⅲ)如果政府加大治污力度,使得湖泊的所有污染停止,那么需要經(jīng)過多少天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%?點(diǎn)撥:本題結(jié)合實(shí)際生活中湖泊水質(zhì)的問題,得到湖水污染指數(shù)的函數(shù)關(guān)系式,經(jīng)過分析函數(shù)的特征,得到污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)的情況.解析:(Ⅰ)∵為常數(shù),有,∴(Ⅱ)我們易證得,則∵,,,∴. 故湖水污染質(zhì)量分?jǐn)?shù)隨時(shí)間變化而增加,污染越來越嚴(yán)重.(Ⅲ)污染停止即,,設(shè)經(jīng)過天能使湖水污染下降到初始污染水平5%,即∴,∴,故需要天才能使湖水的污染水平下降到開始時(shí)污染水平的5%.易錯(cuò)點(diǎn):審題不清,未能理解湖水污染指數(shù)的函數(shù)關(guān)系式中各個(gè)參數(shù)之間的關(guān)系,對于較為復(fù)雜解析式?jīng)]能找到影響函數(shù)單調(diào)性的參數(shù).變式與引申1.設(shè)D和D1是兩個(gè)平面區(qū)域,且.在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)M,記”點(diǎn)M落在區(qū)域D1內(nèi)”為事件A,則事件A發(fā)生的概率P(A)=eq\f(D1的面積,D的面積).在東西方向直線延伸的湖岸上有一港口A,一艘機(jī)艇以40km/h的速度從A港出發(fā),30分鐘后因故障而停在湖里.已知機(jī)艇出發(fā)后,先按東偏北某個(gè)方向直線前進(jìn),以后又改成正北,但不知最初的方向和何時(shí)改變方向,如果去營救,則營救到機(jī)艇的概率是.題型二構(gòu)建二次函數(shù)模式的問題【例2】一個(gè)人以6米/秒的速度去追停在交通燈前的汽車,當(dāng)她離汽車25米時(shí),交通燈由紅變綠,汽車以1米/秒2的加速度勻加速開走,那么()A．人可在7米內(nèi)追上汽車B．人可在10米內(nèi)追上汽車C．人追不上汽車,其間距離最近為5米D．人追不上汽車,其間距離最近為7米點(diǎn)撥:本題是一道加速行程問題,需要運(yùn)用物理現(xiàn)象建立數(shù)學(xué)模型,即汽車行程+25=人的行程,建立二次函數(shù)關(guān)系式．解析:若經(jīng)秒人剛好追上汽車,則,由,得考慮距離差故當(dāng)時(shí),有最小值7,即人與汽車最少相距7米,故選D．易錯(cuò)點(diǎn):理解物理運(yùn)動(dòng)情境時(shí)出現(xiàn)了偏差,未能得到正確的二次函數(shù)關(guān)系式.變式與引申2.給出下列一系列化合物的分子式:、、則該系列化合物中,分子中含碳元素的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最大可無限接近()．A．95% B．96% C．97% D．98%題型三構(gòu)建對勾函數(shù)模式的問題【例3】某工廠擬建一座平面圖(如圖9-2-1所示)為矩形且面積為的三級污水處理池,如果池外周壁建造單價(jià)為每米400元,中間兩條隔墻建造單價(jià)為每米248元,池底建造單價(jià)為每平方米80元(池壁厚度忽略不計(jì),且池?zé)o蓋)圖圖9-2-1(Ⅰ)寫出總造價(jià)(元)與污水處理池長()的函數(shù)關(guān)系式;(Ⅱ)若由于地形限制,長、寬都不能超過,求的定義域;(Ⅲ)在條件(Ⅱ)下,污水處理池的長和寬各為多少時(shí),污水處理池的總造價(jià)最低?并求出最低總造價(jià).點(diǎn)撥:本題給出一個(gè)實(shí)際問題的情景,如何設(shè)計(jì)污水處理池,使得造價(jià)最低.首先需要根據(jù)題意建立造價(jià)關(guān)于設(shè)計(jì)方案的函數(shù)模型,再根據(jù)條件求出函數(shù)的定義域,在求解函數(shù)的最值方面常見的方法是分析函數(shù)在定義域上的單調(diào)性,進(jìn)而求最值.解析:(Ⅰ)因污水處理水池的長為,則寬為,總造價(jià)為:(Ⅱ)由題設(shè)條件,解得,即函數(shù)定義域?yàn)?Ⅲ)先研究函數(shù)在上的單調(diào)性,對于任意的,不妨設(shè)則,,,即又,,即故函數(shù)在上是減函數(shù),∴當(dāng)時(shí),取得最小值,此時(shí)綜上,當(dāng)污水處理池的長為,寬為時(shí),總造價(jià)最低,最低為45000元易錯(cuò)點(diǎn):建立函數(shù)模型后未考慮函數(shù)定義域,對于對勾函數(shù)的單調(diào)性不熟悉.【注】對勾函數(shù)是一種類似于反比例函數(shù)的一般函數(shù).所謂的對勾函數(shù),是形如的函數(shù),是一種教材上沒有但考試?yán)舷矚g考的函數(shù),因此更加要注意和學(xué)習(xí).我們發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)過的均值不等式實(shí)際就是對勾函數(shù)的參數(shù)a,b同號時(shí)的特例,等號成立時(shí)能取到最值;當(dāng)不能取到等號時(shí)就要用對勾函數(shù)的單調(diào)性來求函數(shù)的最值.若a,b異號:(1)a＞0,b＜0時(shí),在定義域內(nèi)是增函數(shù),遞增區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞),(2)a＜0,b＞0時(shí),在定義域內(nèi)是減函數(shù),遞減區(qū)間為(-∞,0)和(0,+∞).經(jīng)過研究我們能夠知道高中階段的對勾函數(shù)的參數(shù)主要是a,b同號,求最值的應(yīng)用,因此我們要熟悉對勾函數(shù)的圖像、性質(zhì)和單調(diào)性.本題考查的是學(xué)生對于對勾函數(shù)單調(diào)性的理解,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間上單調(diào)遞增,在上取得極小值,這一函數(shù)性質(zhì)在不等式和導(dǎo)數(shù)中均有重要應(yīng)用.學(xué)生可思考若不限制函數(shù)的定義域,此題的最優(yōu)造價(jià)方案又將如何.變式與引申3.要建一間地面面積為20,墻高為的長方形儲藏室,在四面墻中有一面安裝一扇門(門的面積和墻面的面積按一定的比例設(shè)計(jì)).已知含門一面的平均造價(jià)為300元,其余三面的造價(jià)為200元,屋頂?shù)脑靸r(jià)為250元.問怎樣設(shè)計(jì)儲藏室地面矩形的長與寬,能使總價(jià)最低,最低造價(jià)是多少?本節(jié)主要考查:近年高考應(yīng)用題的背景:安徽省是添加劑的搭配方案問題,北京市是公司招聘員工的考試方案問題,廣東省是運(yùn)動(dòng)員射擊問題,湖北省、遼寧省是數(shù)學(xué)競賽問題,湖南省是小型煤礦進(jìn)行安全檢查問題,江西省是商場舉行抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)問題,重慶市是乘客上下電梯問題,浙江是摸球問題,真正做到了”貼近生活、背景公平、控制難度”的命題原則.隨著學(xué)習(xí)能力、理性思維能力、創(chuàng)新意識逐步納入高考考查的軌道,關(guān)心社會熱點(diǎn)的結(jié)合新增內(nèi)容的新穎的原創(chuàng)應(yīng)用試題會大量出現(xiàn).點(diǎn)評:所謂應(yīng)用意識就是能綜合應(yīng)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識、思想和方法解決問題,包括解決在相關(guān)學(xué)科、生產(chǎn)、生活中簡單的數(shù)學(xué)問題;能理解對問題陳述的材料,并對所提供的信息資料進(jìn)行歸納、整理和分類,將實(shí)際問題抽象為數(shù)學(xué)問題,建立數(shù)學(xué)模型;應(yīng)用相關(guān)的數(shù)學(xué)方法解決問題并加以驗(yàn)證,并能用數(shù)學(xué)語言正確地表示和說明.應(yīng)用的主要過程是依據(jù)現(xiàn)實(shí)的生活背景,提煉相關(guān)的數(shù)量關(guān)系,將現(xiàn)實(shí)問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,構(gòu)造數(shù)學(xué)模型,并加以解決.情境創(chuàng)新問題,題型新穎,形式多樣,融綜合性、應(yīng)用性、開放性、創(chuàng)新性于一體．要求認(rèn)真理解題意,透過”現(xiàn)象”把握問題的本質(zhì),并將它抽象成數(shù)學(xué)(如函數(shù)、數(shù)列、概率、不等式、三角等)問題,運(yùn)用相應(yīng)的數(shù)學(xué)知識求解．習(xí)題9－21．定義:則稱為集合A的n階拆分,則滿足條件的A的階拆分有組.(用最簡計(jì)算式作答)2．已知函數(shù)(x≥1)的圖像是C1,函數(shù)y=g(x)的圖像C2與C1關(guān)于直線y=x對稱;(Ⅰ)求函數(shù)y=g(x)的解析式及定義域M;(Ⅱ)對于函數(shù)y=h(x),如果存在一個(gè)正的常數(shù)a,使得定義域A內(nèi)的任意兩個(gè)不等的值x1,x2都有:｜h(x1)－h(huán)(x2)｜≤a｜x1－x2｜成立,則稱函數(shù)y=h(x)為A上的利普希茲Ⅰ類函數(shù)．試證明:y＝g(x)是M上的利普希茲Ⅰ類函數(shù);(Ⅲ)設(shè)A、B是曲線C2上任意不同兩點(diǎn),證明:直線AB與直線y＝x必相交．3．某分公司經(jīng)銷某種品牌產(chǎn)品,每件產(chǎn)品的成本為元,而且每件產(chǎn)品需向總公司交元()的管理費(fèi),預(yù)計(jì)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為元()時(shí),一年的銷售量為萬件,(Ⅰ)求該分公司一年的利潤(萬元)與每件產(chǎn)品的售價(jià)的函數(shù)關(guān)系式;(Ⅱ)當(dāng)每件產(chǎn)品的售價(jià)為多少元時(shí),該分公司一年的利潤最大,并求出的最大值.圖9-2-3MNKOyBCD(A)x4．如圖9-2-3,某新建小區(qū)有一片邊長為1(單位:百米)的正方形剩余地塊,中間部分是一片池塘,池塘的邊緣曲線段為函數(shù)的圖像,另外的邊緣是平行于正方形兩邊的直線段．為了美化該地塊,計(jì)劃修一條穿越該地塊的直路(寬度不計(jì)),直路與曲線段相切(切點(diǎn)記為),并把該地塊分為兩部分．記點(diǎn)到邊距離為,表示該地塊在直路左下部分的面積．圖9-2-3MNKOyBCD(A)x(1)求的解析式;(2)求面積的最大值．5．某人玩硬幣走跳棋的游戲,已知硬幣出現(xiàn)正、反面的概率都是．棋盤上標(biāo)有第0站、第1站、第2站、……、第100站．一枚棋子開始在第0站,棋手每擲一次硬幣,棋子向前跳動(dòng)一次,若擲出正面,棋子向前跳一站;若擲出反面,則棋子向前跳兩站,直到棋子跳到第99站(勝利大本營)或第100站(失敗大本營)時(shí),該游戲結(jié)束．設(shè)棋子跳到第站的概率為;(Ⅰ)求,,;(Ⅱ)求證:;(Ⅲ)求玩該游戲獲勝的概率．研究性問題的創(chuàng)新試題研究性學(xué)習(xí)作為一種適應(yīng)新形勢需要的學(xué)習(xí)方法,其核心是自主學(xué)習(xí),有助于激發(fā)學(xué)生創(chuàng)造動(dòng)機(jī),提高動(dòng)手實(shí)踐能力,樹立科學(xué)思想,培養(yǎng)創(chuàng)新精神.因此,在近幾年高考命題中都有所體現(xiàn).而要解決高考中的研究性學(xué)習(xí)問題,就要針對提出的數(shù)學(xué)問題,充分研究問題的條件和結(jié)論之間的聯(lián)系,運(yùn)用解決問題和分析問題的數(shù)學(xué)能力,發(fā)現(xiàn)解題依據(jù),從中尋求最佳解題方法.題型一知識類比問題【例1】在中有余弦定理:.拓展到空間,類比三角形的余弦定理,寫出斜三棱柱的3個(gè)側(cè)面面積與其中兩個(gè)側(cè)面所成二面角之間的關(guān)系式,并予以證明.點(diǎn)撥:根據(jù)類比猜想得出.其中為側(cè)面為與所成的二面角的平面角.本題考查由平面三角形的余弦定理到空間斜三棱柱的拓展推廣,因?yàn)轭惐仁菙?shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要源泉,因此平時(shí)的教學(xué)與復(fù)習(xí)中更要注意類比等思想方法的學(xué)習(xí).解析:作斜三棱柱的直截面DEF,則為面與面所成角,在中有余弦定理:,同乘以,得:即易錯(cuò)點(diǎn):本題考查的是立體幾何中的余弦定理,學(xué)生容易將平面幾何余弦定理中邊長之間的關(guān)系直接生搬硬套在立體幾何中.變式與引申1.已知橢圓具有性質(zhì):若、是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個(gè)點(diǎn),點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn),當(dāng)直線、的斜率都存在,并記為、時(shí),那么與之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值.試對雙曲線寫出具有類似特性的性質(zhì),并加以證明.題型二條件探索性問題例2已知首項(xiàng)為的數(shù)列滿足,其中:為常數(shù).(Ⅰ)若對任意的,有對任意的都成立,求的值;(Ⅱ)當(dāng)時(shí),若,數(shù)列是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列?請說明理由;(Ⅲ)當(dāng)確定后,數(shù)列由其首項(xiàng)確定,當(dāng)時(shí),經(jīng)過對數(shù)列的探究,寫出”是有窮數(shù)列”的一個(gè)真命題(不必證明)說明:對于第(Ⅲ)小題,將根據(jù)寫出真命題所體現(xiàn)的思維層次和對問題探究的完整性,給予不同的評分.點(diǎn)撥:本題作為高考的壓軸題,考察學(xué)生對數(shù)列中遞推公式的理解和應(yīng)用,因此可從遞推公式入手,求出關(guān)于通項(xiàng)的方程,求出參數(shù),第(Ⅱ)小題可應(yīng)用證明數(shù)列單調(diào)性的定義法,直接比較與的大小,第(Ⅲ)小題屬于開放探索型題型,要求學(xué)生寫出使得結(jié)論成立的條件,此時(shí)關(guān)鍵在于求出與結(jié)論等價(jià)的充分必要條件.條件開放的數(shù)學(xué)問題,可用執(zhí)果索因的演繹法或由特殊到一般的歸納法,也能夠從結(jié)論出發(fā),利用給定的條件,逆向推理直到終結(jié)點(diǎn)便是所探索的條件．解析:(Ⅰ)由于,則,當(dāng)時(shí),由于的任意性,得,則(Ⅱ)數(shù)列是遞減數(shù)列,由于,,則,恒成立.又由于,,因此數(shù)列是單調(diào)遞減數(shù)列.(Ⅲ)真命題:數(shù)列滿足,若,則數(shù)列是有窮數(shù)列;數(shù)列滿足,若,,則數(shù)列是有窮數(shù)列;數(shù)列滿足,則數(shù)列是有窮數(shù)列的充要條件是存在,使得;數(shù)列滿足,則數(shù)列是有窮數(shù)列且項(xiàng)數(shù)為的充要條件是,易錯(cuò)點(diǎn):求解遞推公式時(shí),推導(dǎo)與之間的關(guān)系式出錯(cuò).另外,判斷并證明數(shù)列單調(diào)性中,沒有利用一般的歸納法得到,給接下來的證明帶來困難.變式與引申2.給定集合,映射滿足:①當(dāng)時(shí),;②任取若,則有.則稱映射:是一個(gè)”優(yōu)映射”.例如:用表1表示的映射:是一個(gè)”優(yōu)映射”.表1表212323112343(Ⅰ)已知表2表示的映射:是一個(gè)優(yōu)映射,請把表2補(bǔ)充完整(只需填出一個(gè)滿足條件的映射);(Ⅱ)若映射:是”優(yōu)映射”,且方程的解恰有6個(gè),則這樣的”優(yōu)映射”的個(gè)數(shù)是_____.題型三結(jié)論探索型問題例3如圖9－3－1,在直棱柱ABCD—A1B1C1D1中．(Ⅰ)當(dāng)A1CB1D1時(shí),試確定底面四邊形ABCD的形狀;(Ⅱ)如果底面ABCD是正方形,E是C1D1的中點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù),當(dāng)時(shí),DECA1．若存在,求出實(shí)數(shù)的范圍;若不存在,說明理由．點(diǎn)撥:(Ⅰ)根據(jù)條件,能夠考慮四邊形的特殊性,采用逆推法;(2)在ABCD是正方形的情況下,能夠建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量運(yùn)算的確定性來轉(zhuǎn)化開放運(yùn)動(dòng)的不定條件,方便問題的解決．解析:(Ⅰ)根據(jù)條件與結(jié)論分析,如果A1CB1D1,則BD一定垂直平面AA1C,只要滿足條件ACBD就能推出結(jié)論,因此對四邊形ABCD的形狀能夠是正方形、菱形、箏形．圖9－3－1(Ⅱ)以A為原點(diǎn)建立如圖9－4所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè)底面邊長AB=,AA1=,則圖9－3－1因?yàn)?如果有DECA1,則此時(shí),故不存在滿足條件的實(shí)數(shù)．易錯(cuò)點(diǎn):空間點(diǎn)的坐標(biāo)易寫錯(cuò),向量運(yùn)算不正確.變式與引申3.設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為,向量,,且.(Ⅰ)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程;(Ⅱ)過點(diǎn)作直線與曲線交于兩點(diǎn),若(為坐標(biāo)原點(diǎn)),是否存在直線,使得四邊形為矩形?若存在,求出直線的方程;若不存在,請說明理由.題型四綜合探究能力問題例4對于函數(shù),若存在,使成立,則稱為的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù).(Ⅰ)當(dāng),時(shí),求函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn);(Ⅱ)若對任意實(shí)數(shù),函數(shù)恒有兩個(gè)相異的不動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍;(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,若圖像上,兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),且,兩點(diǎn)關(guān)于直線對稱,求的最小值.點(diǎn)撥:理解不動(dòng)點(diǎn)的概念,求出不動(dòng)點(diǎn)的充要條件.本題以高等數(shù)學(xué)中不動(dòng)點(diǎn)的概念為背景,考察學(xué)生能綜合靈活運(yùn)用所學(xué)數(shù)學(xué)知識,思想方法.對新概念、新知識、新信息、新情景、新問題進(jìn)行分析、探索、創(chuàng)造性的解決問題的能力.解析:(Ⅰ),因?yàn)闉椴粍?dòng)點(diǎn),因此有因此或,因此和為的不動(dòng)點(diǎn).Ⅱ,即,由題設(shè)恒成立,即對任意,恒成立,因此有,因此.(Ⅲ)由,得,由題設(shè)即,設(shè),的中點(diǎn)為,則,因?yàn)?因此,因此有,因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí),有最小值.易錯(cuò)點(diǎn):學(xué)生未能理解不動(dòng)點(diǎn)的概念,僅僅簡單地從字面上理解,未能轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言,這也要求我們在訓(xùn)練學(xué)生思維能力方面重要的是把握對概念的理解.變式與引申4.設(shè)是定義在上的函數(shù),若存在,使得在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則稱為上的單峰函數(shù),為峰點(diǎn),包含峰點(diǎn)的區(qū)間為含峰區(qū)間．(=1\*ROMANI)證明:對任意的,,,若,則為含峰區(qū)間;若,則為含峰區(qū)間;(=2\*ROMANII)對給定的(),證明:存在,滿足,使得由(I)所確定的含峰區(qū)間的長度不大于(區(qū)間長度等于區(qū)間的右端點(diǎn)與左端點(diǎn)之差)本節(jié)主要考查:高考數(shù)學(xué)命題中的研究性創(chuàng)新問題主要有學(xué)習(xí)能力型、結(jié)論探索型、解題策略研究型、綜合探究能力型等幾種類型.研究性創(chuàng)新問題因其思維含量高、知識覆蓋面廣、綜合性強(qiáng),這類創(chuàng)新題在高考中頻