高中數(shù)學中的“隱形圓”問題

高中數(shù)學中的“隱形圓”問題“隱形圓”問題是高中數(shù)學中難度較大的一個跨單元內容，它承接于初中的圓，融入了高中的平面向量、解三角形、解析幾何等內容，試題的難度以中檔或中高檔為主，注重考查學生的綜合能力.當然，這部分內容在教材上也多有涉及，比如阿波羅尼斯圓、圓的參數(shù)方程等.本文將借助幾個數(shù)學模型來講解高中數(shù)學中的“隱形圓”問題.一、“圓的定義”模型例1已知點在動直線上的射影點為，若點，那么的最大值為__________.解析動直線方程可化為，故直線恒過定點.因為定點在動直線上的射影點為.所以，則點的軌跡是以為直徑的圓，圓心為的中點，圓的半徑.又因為，所以點在圓外，故的最大值為.變式1已知點是圓的動點，直線上存在兩點，，使得恒成立，則線段長度的最小值是（）A.B.C.D.解析A知識升華此類問題往往利用圓的定義或圓的幾何性質確定隱形圓.，是定點，動點滿足：①，②，③，④則是以為直徑的圓（①③④需除去，兩點）.二、“三角形對邊對角”模型例2已知，，分別為△的三個內角，，的對邊，，且，則△面積的最大值為__________.解析由題意知，由正弦定理知，所以，故，所以.又因為（為△外接圓半徑），所以點為優(yōu)弧（不含、點）上任意點.故當距離最遠時（此時△為等邊三角形），△的面積最大，最大值為.變式2在△ABC中，（1）求；（2）若，求△ABC周長的最大值.解析（1）；（2）.知識升華此類問題往往已知三角形的對邊對角，結合正弦定理確定隱形圓.三、“阿波羅尼斯圓”模型例3（教材P97例6改編）已知，，動點與點的距離是它與的距離的倍，求點的軌跡.思考如果把例3中的“倍”改為“（）倍”，點的軌跡又是什么？變式3滿足條件，的三角形面積的最大值是__________.解析以中點為原點，直線為軸建立平面直角坐標系，則，.設，則由知.化簡得，即.所以點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓（除去軸上的兩個點），故三角形的高最大值為圓的半徑.所以三角形的面積最大值為.知識升華已知平面上兩定點、，則滿足（且）的點的軌跡是一個圓.這個軌跡最先由古希臘數(shù)學家阿波羅尼斯（前262—前190）發(fā)現(xiàn)，故稱阿波羅尼斯圓，簡稱阿氏圓.四、“距離平方和”模型例4在平面直角坐標系中，已知圓，點，若圓上存在點，滿足，則實數(shù)的取值范圍是____________.解析設，由得.化簡得，故點在圓上.又因為點在圓上，故圓與圓相交或相切時滿足題意.由兩圓位置關系知，，所以的取值范圍是.變式4在平面直角坐標系中，已知，為圓上兩點，點，且，則線段長的取值范圍為____________.解析知識升華已知平面上兩定點、，則滿足（其中）的點的軌跡是一個圓.（1）代數(shù)證明設（）.以中點為原點，直線為軸建立平面直角坐標系.則，.又設，則由得.化簡得，整理有.所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.（需要特別說明的是，由于坐標系的不同，故該圓圓心的坐標表示不唯一.）（2）幾何證明設為中點，故，.所以.所以，即.所以當時，點的軌跡是以（中點）為圓心，為半徑的圓.五、“向量數(shù)量積”模型例5（多選）已知點，，若圓上存在點滿足，則實數(shù)的值可以為（）A.B.C.D.解析BD變式5已知點，，點在直線上，若滿足等式的點有兩個，則實數(shù)的取值范圍是____________.解析知識升華已知平面上兩定點、，則滿足（其中）的點的軌跡是一個圓.（1）代數(shù)證明設（）.以中點為原點，直線為軸建立平面直角坐標系.則，.又設，則由得，整理有.所以當時，點的軌跡是以為圓心，為半徑的圓.（需要特別說明的是，由于坐標系的不同，故該圓圓心的坐標表示不唯一）（2）幾何證明設為中點，故，.所以，故.所以.所以當時，點的軌跡是以（中點）為圓心，為半徑的圓.六、“圓的參數(shù)方程”模型例6（教材P89第10題改編）在平面直角坐標系中，如果點的坐標滿足，其中為參數(shù)，則點的軌跡方程為____________.變式6已知，則的最小值是____________.解析知識升華（其中為參數(shù)）為圓的參數(shù)方程，表示圓心為，半徑為的圓.課后鞏固1.已知點在圓上，點，，滿足的點的個數(shù)為（）A.B.C.D.解析B2.已知點，若過點的直線與圓交于、兩點，則的最大值為（）A.B.C.D.解析設AB中點為P，則，且，所以點P的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為，當P在圓Q上運動的過程中，的最大值為，所以的最大值為12.3.已知，，是平面向量，是單位向量.若非零向量與的夾角為，向量滿足，則的最小值是（）A.B.C.D.解析A4.已知圓和兩點，，若圓上存在點，使得，則的取值范圍是____________.解析5.若對任意，直線與圓均無公共點，則實數(shù)的取值范圍為____________.解析6.