專題06幾何圖形的翻折變換問題（原卷版）-中考數(shù)學壓軸大題專項突破

專題06幾何圖形的翻折變換問題幾何圖形中的翻折變換在中考壓軸題中考查比例較高，翻折變換本質(zhì)上是考查軸對稱的相關知識知識，在解決有關翻折問題的壓軸題時，需要注意三點：（1）掌握軸對稱的有關性質(zhì)：①關于直線對稱的兩個圖形是全等圖形.

②如果兩個圖形關于某直線對稱，對稱軸是對應點連線的垂直平分線.

③兩個圖形關于某直線對稱，如果它們對應線段或延長線相交，那么交點在對稱軸上.

④如果兩個圖形的對應點連線被同一直線垂直平分，那么這兩個圖形關于這條直線對稱.

（2）掌握折疊圖形的性質(zhì)，例如折疊圖形是矩形，那么在解決折疊問題時，就需要結(jié)合矩形的性質(zhì)和軸對稱的性質(zhì)。（3）折疊問題中求解線段的長度，一般要借助勾股定理，列出方程進行求解。 （2022·貴州貴陽·統(tǒng)考中考真題）小紅根據(jù)學習軸對稱的經(jīng)驗，對線段之間、角之間的關系進行了拓展探究．如圖，在中，為邊上的高，，點在邊上，且，點是線段上任意一點，連接，將沿翻折得．(1)問題解決：如圖①，當，將沿翻折后，使點與點重合，則______；(2)問題探究：如圖②，當，將沿翻折后，使，求的度數(shù)，并求出此時的最小值；(3)拓展延伸：當，將沿翻折后，若，且，根據(jù)題意在備用圖中畫出圖形，并求出的值．（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值即可求解；（2）根據(jù)折疊的性質(zhì)即可求得，由三角形內(nèi)角和定理可得，根據(jù)點在邊上，當時，取得最小值，最小值為；（3）連接，設，則，，在中，，延長交于點，在中，，進而根據(jù)，即可求解．【答案】(1)；(2)；(3)作圖見解析，【詳解】（1），是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，，，為邊上的高，，（2），，是等腰直角三角形，，，，，，，，，是等腰直角三角形，為底邊上的高，則點在邊上，當時，取得最小值，最小值為；（3）如圖，連接，，則，設，則，，折疊，，，，，，，，，，，在中，，，延長交于點，如圖，，，，，，在中，，，．本題考查了軸對稱的性質(zhì)，特殊角的三角函數(shù)值，解直角三角形，勾股定理，三角形內(nèi)角和定理，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，綜合運用以上知識是解題的關鍵．（2022·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）我們可以通過面積運算的方法，得到等腰三角形底邊上的任意一點到兩腰的距離之和與一腰上的高之間的數(shù)量關系，并利用這個關系解決相關問題．(1)如圖一，在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G.利用面積證明：．(2)如圖二，將矩形沿著折疊，使點A與點C重合，點B落在處，點G為折痕上一點，過點G作于M，于N.若，，求的長．(3)如圖三，在四邊形中，E為線段上的一點，，，連接，且，，，，求的長．（1）根據(jù)題意，利用等面積法，根據(jù)等腰中，，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題中條件，利用折疊性質(zhì)得到，結(jié)合矩形中得到，從而有，從而確定是等腰三角形，從而利用（1）中的結(jié)論得到，結(jié)合勾股定理及矩形性質(zhì)即可得到結(jié)論；（3）延長交于，連接，過點作于，根據(jù)，，，得到是等腰三角形，從而由（1）知，在中，，在中，，，聯(lián)立方程求解得，從而得到結(jié)論．【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)【詳解】（1）證明：連接，如圖所示：在等腰中，，邊上有一點D，過點D作于E，于F，過點C作于G，由得，；（2）解：連接，過點作于，如圖所示：根據(jù)折疊可知，在矩形中，，則，，即是等腰三角形，在等腰中，，邊上有一點G，過點G作于M，于N，過點作于，由（1）可得，在中，，，則，在四邊形中，，則四邊形為矩形，，即；（3）解：延長交于，連接，過點作于，在四邊形中，E為線段上的一點，，，則，又，，，即是等腰三角形，由（1）可得，設，，，，在中，，在中，，，，解得，經(jīng)檢驗，x=1是方程的解用符合題意，，即．本題考查幾何綜合，涉及到等腰三角形的判定與性質(zhì)、等面積求線段關系、折疊的性質(zhì)、勾股定理求線段長、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，讀懂題意，掌握（1）中的證明過程與結(jié)論并運用到其他情境中是解決問題的關鍵．1．（2022·湖北武漢·?？既＃?）如圖，在正方形中，是上一動點，將正方形沿著折疊，點落在點處，連接，并延長交于點求證：；（2）在（1）的條件下，如圖，延長交邊于點若，求的值；（3）如圖，四邊形為矩形，同樣沿著折疊，連接，延長分別交于兩點，若，則的值為___________（直接寫出結(jié)果）2．（2022·福建寧德·統(tǒng)考二模）在中，點E是BC的中點，點F在AD上．將四邊形ABEF沿EF折疊，得到四邊形．(1)利用圖1，求證：；(2)如圖2，連接BD，若，，，當點落在BD上時，求EF的長；(3)如圖3，當點恰好落在線段CD上時，求證：直線與直線CD重合．3．（2022·山東淄博·統(tǒng)考二模）在Rt△ABC中，，，CD是斜邊AB上的中線，點E為射線BC上一點，將△BDE沿DE折疊，點B的對應點為F．(1)如圖1，若，請直接寫出CD的長（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖2，若，垂足為點G，點F與點D在直線CE的異側(cè)，連接CF．判斷四邊形ADFC的形狀，并說明理由；(3)若，直接寫出的度數(shù)．4．（2022·四川樂山·統(tǒng)考一模）模型探究：如圖1，D、E、F分別為三邊BC、AB、AC上的點，且．（1）與相似嗎？請說明理由；模型應用：為等邊三角形，其邊長為8，E為AB邊上一點，F(xiàn)為射線AC上一點，將沿EF翻折，使A點落在射線CB上的點D處，且．（2）如圖2，當點D在線段BC上時，求的值；（3）如圖3，當點D落在線段CB的延長線上時，求與的周長之比．5．（2022·江蘇徐州·統(tǒng)考二模）正方形的邊長為4．(1)將正方形對折，折痕為，如圖①把這個正方形展平，再將點折到折痕上的點的位置，折痕為，求的長；(2)如圖②當時，在點由點移動到中點的過程中，求面積的取值范圍．6．（2022·山西大同·統(tǒng)考二模）綜合與實踐：如圖1，已知正方形紙片ABCD．實踐操作第一步：如圖1，將正方形紙片ABCD沿AC，BD分別折疊．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于點O．第二步：如圖2，將正方形ABCD折疊，使點B的對應點E恰好落在AC