專題一三角形中基本量的計算問題(原卷版+解析)

專題一三角形中基本量的計算問題1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．變形(1)a＝eq\f(bsinA,sinB)，b＝eq\f(asinB,sinA)，c＝eq\f(asinC,sinA)；(2)sinA＝eq\f(asinB,b)，sinB＝eq\f(bsinA,a)，sinC＝eq\f(csinA,a)；(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．2．三角形面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r，R為別是△ABC內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑)，并可由此計算R、r．3．解三角形有關的二級結論(1)三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)．(2)三角形中的三角函數(shù)關系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠eq\f(π,2))；④sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；⑤coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠eq\f(π,2))．(3)三角形中的不等關系①在三角形中大邊對大角，大角對大邊．②A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB．③若△ABC為銳角三角形，則A＋B>eq\f(π,2)，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC為鈍角三角形(假如C為鈍角)，則A＋B<eq\f(π,2)，sinA<cosB，cosA>sinB．④c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為銳角．⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinx＜x＜tanx．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則1＜sinx＋cosx≤eq\r(2)．(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：①若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；②若式子中含有a，b，c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”，然后進行三角恒等變換；③若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；④含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；⑤同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理．考點一計算三角形中的角或角的三角函數(shù)值【方法總結】計算三角形中的角或角的三角函數(shù)值的解題技巧此類問題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，最簡單的問題是只用正弦定理或余弦定理即可解決．中等難度的問題要結合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決．難度較大的問題要結合三角恒等變換并同時用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【例題選講】[例1](1)(2013·湖南)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asinB＝eq\r(3)b，則角A等于()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案D解析在△ABC中，利用正弦定理得，2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)．又A為銳角，∴A＝eq\f(π,3)．(2)(2017·全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，則A＝________．答案(1)75°解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，結合b<c得B＝45°，則A＝180°－B－C＝75°．(3)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，則cosC等于()A．eq\f(7,25)B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25)D．eq\f(24,25)答案A解析∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sinB＝5sinC．又∵C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB．∵sinB≠0，∴cosB＝eq\f(4,5)，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(7,25)．(4)(2017·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，則C＝()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案B解析由題意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，則sinC(sinA＋cosA)＝eq\r(2)sinCsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，因為C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，又因為A∈(0，π)，所以A＋eq\f(π,4)＝π，所以A＝eq\f(3π,4)．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(2,sin\f(3π,4))＝eq\f(\r(2),sinC)，則sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，得C＝eq\f(π,6)．(5)(2018·全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案C解析因為a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以S△ABC＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)absinC，所以tanC＝1．又C∈(0，π)，故C＝eq\f(π,4)．(6)(2016·山東)△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，則A等于()A．eq\f(3π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案C解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)，故選C．(7)E，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF＝________．答案eq\f(3,4)解析如圖，設AB＝6，則AE＝EF＝FB＝2．因為△ABC為等腰直角三角形，所以AC＝BC＝3eq\r(2)．在△ACE中，A＝45°，AE＝2，AC＝3eq\r(2)，由余弦定理可得CE＝eq\r(10)．同理，在△BCF中可得CF＝eq\r(10)．在△CEF中，由余弦定理得cos∠ECF＝eq\f(10＋10－4,2×\r(10)×\r(10))＝eq\f(4,5)，所以tan∠ECF＝eq\f(3,4)．(8)(2014·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a，2sinB＝3sinC，則cosA的值為________．答案－eq\f(1,4)解析由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝eq\f(3,2)c．又b－c＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)a，即a＝2c．由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c2)＝eq\f(－\f(3,4)c2,3c2)＝－eq\f(1,4)．(9)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB的值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4)D．eq\f(\r(2),3)答案B解析因為sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4)．(10)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，則eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)的值是________．答案4解析由eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC及余弦定理，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，化簡得a2＋b2＝eq\f(3,2)c2．又eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC及正弦定理，得eq\f(sinB,sinA)＋eq\f(sinA,sinB)＝6cosC，故sinAsinBcosC＝eq\f(1,6)(sin2B＋sin2A)．又eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝eq\f(sinC,cosC)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosA,sinA)＋\f(cosB,sinB)))＝eq\f(sin2C,cosCsinAsinB)，所以eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝eq\f(6sin2C,sin2B＋sin2A)＝eq\f(6c2,a2＋b2)＝4．【對點訓練】1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(b,\r(3)cosB)＝eq\f(a,sinA)，則cosB等于()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)2．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于________．3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，則cosB＝()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(\r(5),4)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(5),6)4．已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若3bcosC＝c(1－3cosB)，則sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶25．(2013·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，則B等于()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)6．如圖，在△ABC中，∠C＝eq\f(π,3)，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2eq\r(2)，則cosA等于()A．eq\f(2\r(2),3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(6),4)D．eq\f(\r(6),3)7．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，則cosC的值為________．8．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，則cos5B＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)或－1D．－eq\f(\r(3),2)或09．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，則sinB等于________．10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的大小為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)11．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點D在邊BC上，∠BAD＝45°，則tan∠CAD的值為________．12．(2020·全國Ⅲ)在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，則cosB等于()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)13．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝120°，a＝2b，則tanA＝________．14．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(eq\r(3)＋1)∶2，則最大角為________．15．(2020·全國Ⅰ)如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝eq\r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝________．16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tanC＝()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2，△ABC面積的最大值為eq\r(3)，則角B的值為()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(π,4)18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，則C＝________．19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB，則角B＝________．20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，則A＝()A．60°B．120°C．30°D．150°21．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則A＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(2π,3)22．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinB－sinA,sinC)＝eq\f(\r(3)a＋c,a＋b)，則角B＝_______．23．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且eq\f(b＋a,sinC)＝eq\f(2asinB－c,sinB－sinA)，則A＝________．24．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，若a2－b2＝eq\r(3)bc，sinC＝2eq\r(3)sinB，則角A為()A．30°B．60°C．120°D．150°25．設△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別為a，b，c．若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB，則角C＝________．26．△ABC中，內(nèi)角A，B，C對應的邊分別為a，b，c，c＝2a，bsinB－asinA＝eq\f(1,2)asinC，則sinB的值為()A．eq\f(2\r(2),3)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(7),4)D．eq\f(1,3)27．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若a＝4，b＝5，c＝6，則eq\f(sin2A,sinC)等于________．考點二計算三角形中的邊或周長【方法總結】計算三角形中的邊長的解題技巧此類問題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，最簡單的問題是只用正弦定理或余弦定理即可解決．中等難度的問題要結合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決．難度較大的問題要結合三角恒等變換并同時用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【例題選講】[例2](1)在△ABC中，若A＝60°，a＝2eq\r(3)，則eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)等于________．答案4解析eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(2\r(3),sin60°)＝4，所以a＝4sinA，b＝4sinB，c＝4sinC，所以eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝eq\f(4sinA＋sinB＋sinC,sinA＋sinB＋sinC)＝4．(2)(2016·全國Ⅱ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝________．答案eq\f(21,13)解析因為A，C為△ABC的內(nèi)角，且cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，所以sinA＝eq\f(3,5)，sinC＝eq\f(12,13)，所以sinB＝sin(π－A－C)＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＋eq\f(4,5)×eq\f(12,13)＝eq\f(63,65)．又a＝1，所以由正弦定理得b＝eq\f(asinB,sinA)＝eq\f(63,65)×eq\f(5,3)＝eq\f(21,13)．(3)在△ABC中，C＝eq\f(2π,3)，AB＝3，則△ABC的周長為()A．6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3B．6sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋3C．2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3D．2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,6)))＋3答案C解析設△ABC的外接圓半徑為R，則2R＝eq\f(3,sin\f(2π,3))＝2eq\r(3)，于是BC＝2RsinA＝2eq\r(3)sinA，AC＝2RsinB＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))．于是△ABC的周長為2eq\r(3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sinA＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)－A))))＋3＝2eq\r(3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,3)))＋3．(4)(2016·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A．eq\r(2)B．eq\r(3)C．2D．3答案D解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×eq\f(2,3)，解得b＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b＝－\f(1,3)舍去))．(5)(2018·全國Ⅱ)在△ABC中，coseq\f(C,2)＝eq\f(\r(5),5)，BC＝1，AC＝5，則AB＝()A．4eq\r(2)B．eq\r(30)C．eq\r(29)D．2eq\r(5)答案A解析由題意得cosC＝2cos2eq\f(C,2)－1＝2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),5)))eq\s\up10(2)－1＝－eq\f(3,5)．在△ABC中，由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC×BC×cosC＝52＋12－2×5×1×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)))＝32，所以AB＝4eq\r(2)．(6)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且a，b，c成等比數(shù)列．若sinB＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(12,ac)，則a＋c的值為________．答案3eq\r(7)解析因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b2＝ac．因為sinB＝eq\f(5,13)，cosB＝eq\f(12,ac)，所以ac＝13，因為b2＝a2＋c2－2accosB，所以a2＋c2＝37，所以(a＋c)2＝63，所以a＋c＝3eq\r(7)．(7)如圖，在△ABC中，∠B＝45°，D是BC邊上的一點，AD＝5，AC＝7，DC＝3，則AB的長為_____．答案eq\f(5\r(6),2)解析在△ADC中，AD＝5，AC＝7，DC＝3，由余弦定理得cos∠ADC＝eq\f(AD2＋DC2－AC2,2AD·DC)＝－eq\f(1,2)，∴∠ADC＝120°，∠ADB＝60°，在△ABD中，AD＝5，∠B＝45°，∠ADB＝60°，由正弦定理得eq\f(AB,sin∠ADB)＝eq\f(AD,sinB)，∴AB＝eq\f(5\r(6),2)．(8)如圖所示，在四邊形ABCD中，AD⊥CD，AD＝10，AB＝14，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，則BC的長為________．答案8eq\r(2)解析在△ABD中，由余弦定理，得AB2＝AD2＋BD2－2AD·BD·cos∠ADB，設BD＝x，則有142＝102＋x2－2×10xcos60°，∴x2－10x－96＝0，∴x1＝16，x2＝－6(舍去)，∴BD＝16．在△BCD中，由正弦定理知，eq\f(BC,sin∠CDB)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴BC＝eq\f(16,sin135°)·sin30°＝8eq\r(2)．(9)在△ABC中，三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若S△ABC＝2eq\r(3)，a＋b＝6，eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，則c等于()A．2eq\r(7)B．4C．2eq\r(3)D．3eq\r(3)答案C解析∵eq\f(acosB＋bcosA,c)＝2cosC，由正弦定理，得sinAcosB＋cosAsinB＝2sinCcosC，∴sin(A＋B)＝sinC＝2sinCcosC，由于0<C<π，sinC≠0，∴cosC＝eq\f(1,2)，∴C＝eq\f(π,3)，∵S△ABC＝2eq\r(3)＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(\r(3),4)ab，∴ab＝8，又a＋b＝6，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝2，,b＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝2，))c2＝a2＋b2－2abcosC＝4＋16－8＝12，∴c＝2eq\r(3)，故選C．(10)已知△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(6)，△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)．若線段BA的延長線上存在點D，使∠BDC＝eq\f(π,4)，則CD＝________．答案eq\r(3)解析因為S△ABC＝eq\f(1,2)AC·BC·sin∠BCA，即eq\f(\r(3),2)＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(6)×sin∠BCA，所以sin∠BCA＝eq\f(1,2)．因為∠BAC>∠BDC＝eq\f(π,4)，所以∠DAC<eq\f(3π,4)，又∠DAC＝∠ABC＋∠ACB，所以∠ACB<eq\f(3π,4)，則∠BCA＝eq\f(π,6)，所以cos∠BCA＝eq\f(\r(3),2)．在△ABC中，AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠BCA＝2＋6－2×eq\r(2)×eq\r(6)×eq\f(\r(3),2)＝2，所以AB＝eq\r(2)＝AC，所以∠ABC＝∠ACB＝eq\f(π,6)，在△BCD中，eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠DBC)，即eq\f(\r(6),\f(\r(2),2))＝eq\f(CD,\f(1,2))，解得CD＝eq\r(3)．【對點訓練】1．在△ABC中，A∶B＝1∶2，sinC＝1，則a∶b∶c等于()A．1∶2∶3B．3∶2∶1C．1∶eq\r(3)∶2D．2∶eq\r(3)∶12．在△ABC中，若b＝5，B＝eq\f(π,4)，tanA＝2，則a＝________．3．設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若a＝eq\r(3)，sinB＝eq\f(1,2)，C＝eq\f(π,6)，則b＝________．4．△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，asinAsinB＋bcos2A＝eq\r(2)a，則eq\f(b,a)等于()A．2eq\r(3)B．2eq\r(2)C．eq\r(3)D．eq\r(2)5．(2019浙江)在中，，，，點在線段上，若，則___________，___________．6．設△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且cosA＝eq\f(3,5)，cosB＝eq\f(5,13)，b＝3，則c＝________．7．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(4,5)，cosC＝eq\f(5,13)，a＝1，則b＝()A．eq\f(21,13)B．eq\f(7,5)C．eq\f(12,13)D．eq\f(23,12)8．(2017·山東)在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若△ABC為銳角三角形，且滿足sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是()A．a(chǎn)＝2bB．b＝2aC．A＝2BD．B＝2A9．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且b＝2，eq\f(sin2C,1－cos2C)＝1，B＝eq\f(π,6)，則a的值為()A．eq\r(3)－1B．2eq\r(3)＋2C．2eq\r(3)－2D．eq\r(2)＋eq\r(6)10．在△ABC中，若AB＝eq\r(13)，BC＝3，∠C＝120°，則AC＝()A．1B．2C．3D．411．△ABC的角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若cosA＝eq\f(7,8)，c－a＝2，b＝3，則a＝()A．2B．eq\f(5,2)C．3D．eq\f(7,2)12．(2013·福建)在△ABC中，已知點D在BC邊上，AD⊥AC，sin∠BAC＝eq\f(2\r(2),3)，AB＝3eq\r(2)，AD＝3，則BD的長為()A．3B．eq\r(3)C．2D．eq\r(2)13．(2014·廣東)在△ABC中，角A，B，C所對應的邊分別為a，b，c，已知bcosC＋ccosB＝2b，則eq\f(a,b)＝____．14．(2014·全國Ⅱ)鈍角三角形ABC的面積是eq\f(1,2)，AB＝1，BC＝eq\r(2)，則AC等于()A．5B．eq\r(5)C．2D．115．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若A＝eq\f(π,3)，eq\f(3sin2C,cosC)＝2sinAsinB，且b＝6，則c＝()A．2B．3C．4D．616．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足2cos2A＋eq\r(3)sin2A＝2，b＝1，S△ABC＝eq\f(\r(3),2)，則A＝________，eq\f(b＋c,sinB＋sinC)＝________．17．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，acosB＋bcosA＝2ccosC，c＝eq\r(7)，且△ABC的面積為eq\f(3\r(3),2)，則△ABC的周長為()A．1＋eq\r(7)B．2＋eq\r(7)C．4＋eq\r(7)D．5＋eq\r(7)18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知a＝4，b＝2eq\r(6)，sin2A＝sinB，則邊c的長為()A．2B．3C．4D．2或419．已知a，b，c分別為△ABC內(nèi)角A，B，C的對邊，sin2B＝2sinAsinC，且a>c，cosB＝eq\f(1,4)，則eq\f(a,c)＝()A．2B．eq\f(3,2)C．3D．420．若△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知2bsin2A＝asinB，且c＝2b，則eq\f(a,b)＝()A．2B．3C．eq\r(2)D．eq\r(3)21．(2019·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知asinA－bsinB＝4csinC，cosA＝－eq\f(1,4)，則eq\f(b,c)＝()A．6B．5C．4D．322．在△ABC中，已知B＝eq\f(π,4)，D是BC邊上一點，AD＝10，AC＝14，DC＝6，則AB的長為________．23．在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c．若2cos2eq\f(A＋B,2)－cos2C＝1，4sinB＝3sinA，a－b＝1，則c的值為()A．eq\r(13)B．eq\r(7)C．eq\r(37)D．624．在△ABC中，B＝60°，C＝45°，BC＝8，D是BC上的一點，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\f(\r(3)－1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，則AD的長為_______．25．如圖，在△ABC中，D是BC上的一點．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝eq\r(10)，DC＝eq\r(2)，則AB＝________．26．如圖，在△ABC中，AB＝eq\r(2)，點D在邊BC上，BD＝2DC，cos∠DAC＝eq\f(3\r(10),10)，cos∠C＝eq\f(2\r(5),5)，則AC＝________．27．已知AB⊥BD，AC⊥CD，AC＝1，AB＝2，∠BAC＝120°，則BD的長等于________．28．在四邊形ABCD中，BC＝a，DC＝2a，且A∶∠ABC∶C∶∠ADC＝3∶7∶4∶10，則AB的長為______．29．在△ABC中，a，b，c分別是內(nèi)角A，B，C的對邊，且B為銳角，若eq\f(sinA,sinB)＝eq\f(5c,2b)，sinB＝eq\f(\r(7),4)，S△ABC＝eq\f(5\r(7),4)，則b的值為________．30．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知A＝eq\f(π,4)，b＝eq\r(6)，△ABC的面積為eq\f(3＋\r(3),2)，則c＝________，B＝________．31．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知B＝30°，△ABC的面積為eq\f(3,2)，且sinA＋sinC＝2sinB，則b的值為________．32．在△ABC中，B＝30°，AC＝2eq\r(5)，D是AB邊上的一點，CD＝2，若∠ACD為銳角，△ACD的面積為4，則BC＝________．33．已知△ABC中，AC＝eq\r(2)，BC＝eq\r(6)，△ABC的面積為eq\f(\r(3),2)．若線段BA的延長線上存在點D，使∠BDC＝eq\f(π,4)，則CD＝________．34．在△ABC中，A＝60°，BC＝eq\r(10)，D是AB邊上不同于A，B的任意一點，CD＝eq\r(2)，△BCD的面積為1，則AC的長為()A．2eq\r(3)B．eq\r(3)C．eq\f(\r(3),3)D．eq\f(2\r(3),3)專題一三角形中基本量的計算問題1．正、余弦定理在△ABC中，若角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，R為△ABC外接圓半徑，則定理正弦定理余弦定理內(nèi)容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC．變形(1)a＝eq\f(bsinA,sinB)，b＝eq\f(asinB,sinA)，c＝eq\f(asinC,sinA)；(2)sinA＝eq\f(asinB,b)，sinB＝eq\f(bsinA,a)，sinC＝eq\f(csinA,a)；(3)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(4)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(5)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(6)eq\f(a＋b＋c,sinA＋sinB＋sinC)＝2R．cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)．2．三角形面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r(r，R為別是△ABC內(nèi)切圓半徑和外接圓半徑)，并可由此計算R、r．3．解三角形有關的二級結論(1)三角形內(nèi)角和定理在△ABC中，A＋B＋C＝π；變形：eq\f(A＋B,2)＝eq\f(π,2)－eq\f(C,2)．(2)三角形中的三角函數(shù)關系①sin(A＋B)＝sinC；②cos(A＋B)＝－cosC；③tan(A＋B)＝－tanC(C≠eq\f(π,2))；④sineq\f(A＋B,2)＝coseq\f(C,2)；⑤coseq\f(A＋B,2)＝sineq\f(C,2)．⑥在非Rt△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝tanA·tanB·tanC(A，B，C≠eq\f(π,2))．(3)三角形中的不等關系①在三角形中大邊對大角，大角對大邊．②A>B?a>b?sinA>sinB?cosA<cosB．③若△ABC為銳角三角形，則A＋B>eq\f(π,2)，sinA>cosB，cosA<sinB，a2＋b2>c2．若△ABC為鈍角三角形(假如C為鈍角)，則A＋B<eq\f(π,2)，sinA<cosB，cosA>sinB．④c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2<a2＋b2?C為銳角．⑤a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b．⑥若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則sinx＜x＜tanx．若x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則1＜sinx＋cosx≤eq\r(2)．(4)三角形中的射影定理在△ABC中，a＝bcosC＋ccosB；b＝acosC＋ccosA；c＝bcosA＋acosB．在處理三角形中的邊角關系時，一般全部化為角的關系，或全部化為邊的關系．若出現(xiàn)邊的一次式一般采用到正弦定理，出現(xiàn)邊的二次式一般采用到余弦定理．若已知條件同時含有邊和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要選擇“邊化角”或“角化邊”，變換原則如下：①若式子中含有正弦的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；②若式子中含有a，b，c的齊次式，優(yōu)先考慮正弦定理“邊化角”，然后進行三角恒等變換；③若式子中含有余弦的齊次式，優(yōu)先考慮余弦定理“角化邊”，然后進行代數(shù)式變形；④含有面積公式的問題，要考慮結合余弦定理求解；⑤同時出現(xiàn)兩個自由角（或三個自由角）時，要用到三角形的內(nèi)角和定理．考點一計算三角形中的角或角的三角函數(shù)值【方法總結】計算三角形中的角或角的三角函數(shù)值的解題技巧此類問題主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面積公式，最簡單的問題是只用正弦定理或余弦定理即可解決．中等難度的問題要結合三角恒等變換再用正弦定理或余弦定理即可解決．難度較大的問題要結合三角恒等變換并同時用正弦定理、余弦定理和面積公式才能解決．【例題選講】[例1](1)(2013·湖南)在銳角△ABC中，角A，B所對的邊長分別為a，b，若2asinB＝eq\r(3)b，則角A等于()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案D解析在△ABC中，利用正弦定理得，2sinAsinB＝eq\r(3)sinB，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)．又A為銳角，∴A＝eq\f(π,3)．(2)(2017·全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知C＝60°，b＝eq\r(6)，c＝3，則A＝________．答案(1)75°解析由正弦定理，得sinB＝eq\f(bsinC,c)＝eq\f(\r(6)×\f(\r(3),2),3)＝eq\f(\r(2),2)，結合b<c得B＝45°，則A＝180°－B－C＝75°．(3)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別是a，b，c．已知8b＝5c，C＝2B，則cosC等于()A．eq\f(7,25)B．－eq\f(7,25)C．±eq\f(7,25)D．eq\f(24,25)答案A解析∵8b＝5c，∴由正弦定理，得8sinB＝5sinC．又∵C＝2B，∴8sinB＝5sin2B，∴8sinB＝10sinBcosB．∵sinB≠0，∴cosB＝eq\f(4,5)，∴cosC＝cos2B＝2cos2B－1＝eq\f(7,25)．(4)(2017·全國Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知sinB＋sinA(sinC－cosC)＝0，a＝2，c＝eq\r(2)，則C＝()A．eq\f(π,12)B．eq\f(π,6)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,3)答案B解析由題意得sin(A＋C)＋sinA(sinC－cosC)＝0，∴sinAcosC＋cosAsinC＋sinAsinC－sinAcosC＝0，則sinC(sinA＋cosA)＝eq\r(2)sinCsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，因為C∈(0，π)，所以sinC≠0，所以sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A＋\f(π,4)))＝0，又因為A∈(0，π)，所以A＋eq\f(π,4)＝π，所以A＝eq\f(3π,4)．由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(c,sinC)，得eq\f(2,sin\f(3π,4))＝eq\f(\r(2),sinC)，則sinC＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，得C＝eq\f(π,6)．(5)(2018·全國Ⅲ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為eq\f(a2＋b2－c2,4)，則C＝()A．eq\f(π,2)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案C解析因為a2＋b2－c2＝2abcosC，且S△ABC＝eq\f(a2＋b2－c2,4)，所以S△ABC＝eq\f(2abcosC,4)＝eq\f(1,2)absinC，所以tanC＝1．又C∈(0，π)，故C＝eq\f(π,4)．(6)(2016·山東)△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2(1－sinA)，則A等于()A．eq\f(3π,4)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,4)D．eq\f(π,6)答案C解析在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，∵b＝c，∴a2＝2b2(1－cosA)，又∵a2＝2b2(1－sinA)，∴cosA＝sinA，∴tanA＝1，∵A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,4)，故選C．(7)E，F(xiàn)是等腰直角三角形ABC斜邊AB上的三等分點，則tan∠ECF＝________．答案eq\f(3,4)解析如圖，設AB＝6，則AE＝EF＝FB＝2．因為△ABC為等腰直角三角形，所以AC＝BC＝3eq\r(2)．在△ACE中，A＝45°，AE＝2，AC＝3eq\r(2)，由余弦定理可得CE＝eq\r(10)．同理，在△BCF中可得CF＝eq\r(10)．在△CEF中，由余弦定理得cos∠ECF＝eq\f(10＋10－4,2×\r(10)×\r(10))＝eq\f(4,5)，所以tan∠ECF＝eq\f(3,4)．(8)(2014·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c.已知b－c＝eq\f(1,4)a，2sinB＝3sinC，則cosA的值為________．答案－eq\f(1,4)解析由2sinB＝3sinC及正弦定理得2b＝3c，即b＝eq\f(3,2)c．又b－c＝eq\f(1,4)a，∴eq\f(1,2)c＝eq\f(1,4)a，即a＝2c．由余弦定理得cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(\f(9,4)c2＋c2－4c2,2×\f(3,2)c2)＝eq\f(－\f(3,4)c2,3c2)＝－eq\f(1,4)．(9)在△ABC中，角A，B，C所對的邊長分別為a，b，c，sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，且c＝2a，則cosB的值為()A．eq\f(1,4)B．eq\f(3,4)C．eq\f(\r(2),4)D．eq\f(\r(2),3)答案B解析因為sinA，sinB，sinC成等比數(shù)列，所以sin2B＝sinAsinC，由正弦定理得b2＝ac，又c＝2a，故cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)＝eq\f(a2＋4a2－2a2,4a2)＝eq\f(3,4)．(10)在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC，則eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)的值是________．答案4解析由eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC及余弦定理，得eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6×eq\f(a2＋b2－c2,2ab)，化簡得a2＋b2＝eq\f(3,2)c2．又eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)＝6cosC及正弦定理，得eq\f(sinB,sinA)＋eq\f(sinA,sinB)＝6cosC，故sinAsinBcosC＝eq\f(1,6)(sin2B＋sin2A)．又eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝eq\f(sinC,cosC)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(cosA,sinA)＋\f(cosB,sinB)))＝eq\f(sin2C,cosCsinAsinB)，所以eq\f(tanC,tanA)＋eq\f(tanC,tanB)＝eq\f(6sin2C,sin2B＋sin2A)＝eq\f(6c2,a2＋b2)＝4．【對點訓練】1．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(b,\r(3)cosB)＝eq\f(a,sinA)，則cosB等于()A．－eq\f(1,2)B．eq\f(1,2)C．－eq\f(\r(3),2)D．eq\f(\r(3),2)1．答案B解析由正弦定理知eq\f(sinB,\r(3)cosB)＝eq\f(sinA,sinA)＝1，即tanB＝eq\r(3)，由B∈(0，π)，所以B＝eq\f(π,3)，所以cosB＝coseq\f(π,3)＝eq\f(1,2)，故選B．2．在△ABC中，已知(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于________．2．答案7∶5∶3解析∵(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，∴eq\f(b＋c,4)＝eq\f(c＋a,5)＝eq\f(a＋b,6)．令eq\f(b＋c,4)＝eq\f(c＋a,5)＝eq\f(a＋b,6)＝k(k>0)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＋c＝4k,c＋a＝5k,a＋b＝6k))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝\f(7,2)k，,b＝\f(5,2)k，,c＝\f(3,2)k，))∴sinA∶sinB∶sinC＝a∶b∶c＝7∶5∶3．3．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若a＝eq\f(\r(5),2)b，A＝2B，則cosB＝()A．eq\f(\r(5),3)B．eq\f(\r(5),4)C．eq\f(\r(5),5)D．eq\f(\r(5),6)3．答案B解析由正弦定理，得sinA＝eq\f(\r(5),2)sinB，又A＝2B，所以sinA＝sin2B＝2sinBcosB，所以cosB＝eq\f(\r(5),4)．4．已知a，b，c為△ABC的三個內(nèi)角A，B，C所對的邊，若3bcosC＝c(1－3cosB)，則sinC∶sinA＝()A．2∶3B．4∶3C．3∶1D．3∶24．答案C解析由正弦定理得3sinBcosC＝sinC－3sinCcosB，3sin(B＋C)＝sinC，因為A＋B＋C＝π，所以B＋C＝π－A，所以3sinA＝sinC，所以sinC∶sinA＝3∶1，故選C．5．(2013·遼寧)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c．若asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，且a＞b，則B等于()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(2π,3)D．eq\f(5π,6)5．答案A解析由條件得eq\f(a,b)sinBcosC＋eq\f(c,b)sinBcosA＝eq\f(1,2)，由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝eq\f(1,2)，∴sin(A＋C)＝eq\f(1,2)，從而sinB＝eq\f(1,2)，又a＞b，且B∈(0，π)，因此B＝eq\f(π,6)．另解由射影定理可知acosC＋ccosA＝b，則(acosC＋ccosA)sinB＝bsinB，又asinBcosC＋csinBcosA＝eq\f(1,2)b，則有bsinB＝eq\f(1,2)b，sinB＝eq\f(1,2)．又a>b，所以A>B，則B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，故B＝eq\f(π,6)．6．如圖，在△ABC中，∠C＝eq\f(π,3)，BC＝4，點D在邊AC上，AD＝DB，DE⊥AB，E為垂足．若DE＝2eq\r(2)，則cosA等于()A．eq\f(2\r(2),3)B．eq\f(\r(2),4)C．eq\f(\r(6),4)D．eq\f(\r(6),3)6．答案C解析依題意得，BD＝AD＝eq\f(DE,sinA)＝eq\f(2\r(2),sinA)，∠BDC＝∠ABD＋∠A＝2∠A．在△BCD中，eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(BD,sinC)，eq\f(4,sin2A)＝eq\f(2\r(2),sinA)×eq\f(2,\r(3))＝eq\f(4\r(2),\r(3)sinA)，即eq\f(4,2sinAcosA)＝eq\f(4\r(2),\r(3)sinA)，由此解得cosA＝eq\f(\r(6),4)．7．在△ABC中，sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，則cosC的值為________．7．答案eq\f(1,3)解析由sinA∶sinB∶sinC＝3∶2∶3，可得a∶b∶c＝3∶2∶3．不妨設a＝3k，b＝2k，c＝3k(k＞0)，則cosC＝eq\f(3k2＋2k2－3k2,2×3k×2k)＝eq\f(1,3)．8．在△ABC中，若b＝1，c＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，則cos5B＝()A．－eq\f(\r(3),2)B．eq\f(1,2)C．eq\f(1,2)或－1D．－eq\f(\r(3),2)或08．答案A解析由b＝1，c＝eq\r(3)，A＝eq\f(π,6)，結合余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，即a2＝1＋3－2×1×eq\r(3)×eq\f(\r(3),2)＝1，得a＝1．由此a＝b，則B＝A＝eq\f(π,6)，因此cos5B＝coseq\f(5π,6)＝－eq\f(\r(3),2)，故選A．9．已知在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2b2－2a2＝ac＋2c2，則sinB等于________．9．答案eq\f(\r(15),4)解析由2b2－2a2＝ac＋2c2，得2(a2＋c2－b2)＋ac＝0．由余弦定理，得a2＋c2－b2＝2accosB，∴4accosB＋ac＝0．∵ac≠0，∴4cosB＋1＝0，cosB＝－eq\f(1,4)，又B∈(0，π)，∴sinB＝eq\r(1－cos2B)＝eq\f(\r(15),4)．10．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若(a2＋c2－b2)tanB＝eq\r(3)ac，則角B的大小為()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)或eq\f(5π,6)D．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)10．答案D解析由余弦定理a2＋c2－b2＝2accosB，得2acsinB＝eq\r(3)ac，因為ac≠0，所以sinB＝eq\f(\r(3),2)，所以B＝eq\f(π,3)或eq\f(2π,3)．11．如圖，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，點D在邊BC上，∠BAD＝45°，則tan∠CAD的值為________．11．答案eq\f(8＋\r(15),7)解析從構造角的角度觀察分析，可以從差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以從和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需從余弦定理入手求出∠A的正切值，問題就迎刃而解了．解法1在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝eq\f(32＋22－42,2×3×2)＝－eq\f(1,4)，所以tanA＝－eq\r(15)，于是tan∠CAD＝tan(A－45°)＝eq\f(tanA－tan45°,1＋tanAtan45°)＝eq\f(8＋\r(15),7)．解法2由解法1得tanA＝－eq\r(15)．由tan(45°＋∠CAD)＝－eq\r(15)得eq\f(tan45°＋tan∠CAD,1－tan45°tan∠CAD)＝－eq\r(15)，即eq\f(1＋tan∠CAD,1－tan∠CAD)＝－eq\r(15)，解得tan∠CAD＝eq\f(8＋\r(15),7)．12．(2020·全國Ⅲ)在△ABC中，cosC＝eq\f(2,3)，AC＝4，BC＝3，則cosB等于()A．eq\f(1,9)B．eq\f(1,3)C．eq\f(1,2)D．eq\f(2,3)12．答案A解析由余弦定理得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝42＋32－2×4×3×eq\f(2,3)＝9，所以AB＝3，所以cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(9＋9－16,2×3×3)＝eq\f(1,9)．13．已知△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，C＝120°，a＝2b，則tanA＝________．13．答案eq\f(\r(3),2)解析c2＝a2＋b2－2abcosC＝4b2＋b2－2×2b×b×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝7b2，∴c＝eq\r(7)b，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(b2＋7b2－4b2,2×b×\r(7)b)＝eq\f(2,\r(7))，∴sinA＝eq\r(1－cos2A)＝eq\r(1－\f(4,7))＝eq\f(\r(3),\r(7))，∴tanA＝eq\f(sinA,cosA)＝eq\f(\r(3),2)．14．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(eq\r(3)＋1)∶2，則最大角為________．14．答案75°解析由題意可知c<b<a，或a<b<c，不妨設c＝2x，則a＝(eq\r(3)＋1)x，∴cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，即eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3)＋12x2＋4x2－b2,2·\r(3)＋1x·2x)，∴b2＝6x2，∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(\r(3)＋12x2＋6x2－4x2,2\r(3)＋1x·\r(6)x)＝eq\f(\r(2),2)，∴C＝45°，∴A＝180°－60°－45°＝75°．15．(2020·全國Ⅰ)如圖，在三棱錐P－ABC的平面展開圖中，AC＝1，AB＝AD＝eq\r(3)，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE＝30°，則cos∠FCB＝________．15．答案－eq\f(1,4)解析在△ABD中，∵AB⊥AD，AB＝AD＝eq\r(3)，∴BD＝eq\r(6)，∴FB＝BD＝eq\r(6)．在△ACE中，∵AE＝AD＝eq\r(3)，AC＝1，∠CAE＝30°，∴EC＝eq\r(\r(3)2＋12－2×\r(3)×1×cos30°)＝1，∴CF＝CE＝1．又∵BC＝eq\r(AC2＋AB2)＝eq\r(12＋\r(3)2)＝2，∴在△FCB中，由余弦定理得cos∠FCB＝eq\f(CF2＋BC2－FB2,2×CF×BC)＝eq\f(12＋22－\r(6)2,2×1×2)＝－eq\f(1,4)．16．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若△ABC的面積為S，且2S＝(a＋b)2－c2，則tanC＝()A．eq\f(3,4)B．eq\f(4,3)C．－eq\f(4,3)D．－eq\f(3,4)16．答案C解析因為2S＝(a＋b)2－c2＝a2＋b2－c2＋2ab，結合面積公式與余弦定理，得absinC＝2abcosC＋2ab，即sinC－2cosC＝2，所以(sinC－2cosC)2＝4，即eq\f(sin2C－4sinCcosC＋4cos2C,sin2C＋cos2C)＝4，所以eq\f(tan2C－4tanC＋4,tan2C＋1)＝4，解得tanC＝－eq\f(4,3)或tanC＝0(舍去)，故選C．17．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若b＝2，△ABC面積的最大值為eq\r(3)，則角B的值為()A．eq\f(2π,3)B．eq\f(π,3)C．eq\f(π,6)D．eq\f(π,4)17．答案B解析由余弦定理得4＝a2＋c2－2accosB≥2ac－2accosB＝2ac(1－cosB)，當且僅當a＝c時取等號，所以ac≤eq\f(2,1－cosB)，S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB≤eq\f(1,2)×eq\f(2sinB,1－cosB)＝eq\f(1,tan\f(B,2))，即eq\f(1,tan\f(B,2))＝eq\r(3)，所以B為eq\f(π,3)．18．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，則C＝________．18．答案eq\f(π,6)解析由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA，所以b2＋c2－2bccosA＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，eq\r(3)sinA－cosA＝eq\f(b2＋c2,bc)，b，c>0，2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,6)))＝eq\f(b2＋c2,bc)＝eq\f(c,b)＋eq\f(b,c)≥2，當且僅當b＝c時，等號成立，因此b＝c，A－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2)，所以A＝eq\f(2π,3)，所以C＝eq\f(π－\f(2π,3),2)＝eq\f(π,6)．19．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，asinA＋csinC－eq\r(2)asinC＝bsinB，則角B＝________．19．答案45°解析由正弦定理，得a2＋c2－eq\r(2)ac＝b2，由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB，故cosB＝eq\f(\r(2),2)．又因為B為三角形的內(nèi)角，所以B＝45°．20．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且2asinA＝(2sinB＋sinC)b＋(2c＋b)sinC，則A＝()A．60°B．120°C．30°D．150°20．答案B解析由已知，根據(jù)正弦定理得2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c，即a2＝b2＋c2＋bc．由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccosA，得cosA＝－eq\f(1,2)，又A為三角形的內(nèi)角，故A＝120°．21．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，則A＝()A．eq\f(π,6)B．eq\f(π,3)C．eq\f(5π,6)D．eq\f(2π,3)21．答案B解析∵(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)sinC，∴由正弦定理得(a＋b)(a－b)＝c(c－b)，即b2＋c2－a2＝bc．所以cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，所以A＝eq\f(π,3)．22．△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若eq\f(sinB－sinA,sinC)＝eq\f(\r(3)a＋c,a＋b)，則角B＝_______．22．答案eq\f(5π,6)解析由eq\f(sinB－sinA,sinC)＝