3.2.1雙曲線的標準方程（七大題型）（原卷版）

3.2.1雙曲線的標準方程課程標準學習目標（1）能從幾何情境中認識雙曲線的幾何特征，說出雙曲線的定義，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)．（2）能類比橢圓標準方程的建立過程，推導出雙曲線的標準方程，并能用于解決簡單的問題，進一步體會建立曲線的方程的方法，發(fā)展直觀想象、數(shù)學運算素養(yǎng)．（1）了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導過程.（2）掌握雙曲線的標準方程及其求法.（3）能利用雙曲線的定義和標準方程解決一些實際應用問題．知識點01雙曲線的定義在平面內(nèi)，到兩個定點、的距離之差的絕對值等于常數(shù)（大于0且）的動點的軌跡叫作雙曲線．這兩個定點、叫雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫作雙曲線的焦距．知識點詮釋：1、雙曲線的定義中，常數(shù)應當滿足的約束條件：，這可以借助于三角形中邊的相關性質(zhì)“兩邊之差小于第三邊”來理解；2、若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；3、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；4、若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；5、若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線．【即學即練1】（2023·全國·高三專題練習）已知動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支知識點02雙曲線的標準方程標準方程的推導：如何建立雙曲線的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設點；（2）點的集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟．（1）建系設點取過焦點、的直線為x軸，線段的垂直平分線為y軸（2）建立直角坐標系．設為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是（），那么F1、F2的坐標分別是、．又設點M與、的距離的差的絕對值等于常數(shù)．（2）點的集合由定義可知，雙曲線就是集合：．（3）代數(shù)方程∵，∴（4）化簡方程將這個方程移項，兩邊平方得：化簡得：兩邊再平方，整理得：（以上推導完全可以仿照橢圓方程的推導．）由雙曲線定義，即c＞a，所以．設，代入上式得：即，其中這就是雙曲線的標準方程．雙曲線的標準方程：1、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中；2、當焦點在軸上時，雙曲線的標準方程：，其中橢圓、雙曲線的區(qū)別和聯(lián)系：橢圓雙曲線根據(jù)根據(jù)，，，（a＞b＞0），（a＞0，b＞0，a不一定大于b）（a最大）（c最大）標準方程統(tǒng)一為：方程（A、B、C均不為零）表示雙曲線的條件方程可化為，即，所以只有A、B異號，方程表示雙曲線．當，時，雙曲線的焦點在x軸上；當，時，雙曲線的焦點在y軸上．知識點詮釋：1、當且僅當雙曲線的對稱中心在坐標原點，對稱軸是坐標軸，雙曲線的方程才是標準方程形式．此時，雙曲線的焦點在坐標軸上．2、雙曲線標準方程中，a、b、c三個量的大小與坐標系無關，是由雙曲線本身所確定的，分別表示雙曲線的實半軸長、虛半軸長和半焦距長，均為正數(shù)，且三個量的大小關系為：，，且．3、雙曲線的焦點總在實軸上，因此已知標準方程，判斷焦點位置的方法是：看、的系數(shù)，如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上．4、對于雙曲線，不一定大于b，因此不能像橢圓那樣通過比較分母的大小來判定焦點在哪一條坐標軸上．【即學即練2】（2023·全國·高二專題練習）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或知識點03求雙曲線的標準方程①待定系數(shù)法：由題目條件確定焦點的位置，從而確定方程的類型，設出標準方程，再由條件確定方程中的參數(shù)、、的值．其主要步驟是“先定型，再定量”；②定義法：由題目條件判斷出動點的軌跡是什么圖形，然后再根據(jù)定義確定方程．知識點詮釋：若定義中“差的絕對值”中的絕對值去掉，點的集合成為雙曲線的一支，先確定方程類型，再確定參數(shù)a、b，即先定型，再定量．若兩種類型都有可能，則需分類討論．【即學即練3】（2023·廣東東莞·高三校聯(lián)考階段練習）已知雙曲線，四點、、、中恰有三點在上，則雙曲線的標準方程為．題型一：雙曲線的定義【典例11】（2024·高二·江西·期末）已知點P是雙曲線：上一點，分別為C的左、右焦點，若，則（

）A．5 B．13 C．5或9 D．5或6【典例12】（2024·高二·河南洛陽·階段練習）已知，是平面內(nèi)兩個不同的定點，則“為定值”是“動點的軌跡是以，為焦點的雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式11】（2024·高三·全國·專題練習）已知動點滿足，則動點的軌跡是（

）A．射線 B．直線C．橢圓 D．雙曲線的一支【變式12】（2024·高二·全國·單元測試）已知，，則動點P的軌跡是（）A．雙曲線 B．雙曲線左支C．一條射線 D．雙曲線右支【變式13】（2024·高二·江蘇常州·期末）已知雙曲線的左右焦點分別為，，點在雙曲線上，，則（

）A．13 B．10 C．1 D．13或1【變式14】（2024·高二·北京·期末）已知AB是平面內(nèi)兩點，且，判斷當P點滿足下列哪個條件時其軌跡不存在（

）A． B．C． D．題型二：雙曲線的標準方程【典例21】（2024·全國·三模）若雙曲線與雙曲線有相同的焦距，且過點，則雙曲線的標準方程為（

）A． B．C．或 D．或【典例22】（2024·高二·上?！るS堂練習）以橢圓的焦點為頂點，且過點的雙曲線標準方程是．【變式21】（2024·高三·廣東·階段練習）已知雙曲線，四點、、、中恰有三點在上，則雙曲線的標準方程為．【變式22】（2024·高二·北京延慶·期末）雙曲線的一個焦點坐標是，且雙曲線經(jīng)過點，則雙曲線的實軸長為，標準方程為．【變式23】（2024·高二·江蘇泰州·階段練習）求適合下列條件的雙曲線標準方程：（1）與雙曲線共焦點，經(jīng)過點；（2）經(jīng)過點和；【變式24】（2024·高二·浙江寧波·期中）在下列條件下求雙曲線標準方程．(1)與雙曲線有相同的漸近線，且經(jīng)過點．(2)焦點在軸上，雙曲線上點到兩焦點距離之差的絕對值為，且經(jīng)過點．題型三：雙曲線方程的充要條件【典例31】（2024·高二·陜西寶雞·期末）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．或【典例32】（2024·高二·安徽蕪湖·階段練習）已知方程表示焦點在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【變式31】（2024·高二·江蘇宿遷·期末）“”是“方程表示雙曲線”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式32】（2024·高二·河南許昌·期末）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【變式33】（2024·高二·湖南邵陽·期末）若方程表示曲線C，則下列說法正確的是（

）A．若，則曲線C為橢圓B．若曲線C為雙曲線，則C．曲線C不可能是圓D．若曲線C表示焦點在x軸上的橢圓，則【變式34】（2024·高二·全國·專題練習）若曲線表示雙曲線，則k的取值范圍是（）A． B．C． D．題型四：雙曲線中焦點三角形的周長與面積及其他問題【典例41】（2024·高二·上?！て谀┰O雙曲線的左、右焦點為、，點是上一點，滿足，則的面積為．【典例42】（2024·高二·上海青浦·階段練習）雙曲線的左右兩個焦點為，，第二象限內(nèi)的一點P在雙曲線上，且，則三角形的面積是．【變式41】（2024·高二·山西大同·期末）點，分別是雙曲線的左、右焦點，點在上，且，則的周長是．【變式42】（2024·高二·遼寧葫蘆島·期中）已知，分別是雙曲線的上、下焦點，過的直線交的上支于A，B兩點，若的長等于虛軸長的3倍，則的周長為．【變式43】（2024·高二·湖南·期中）已知雙曲線，，是其兩個焦點，點在雙曲線上，若，則的面積為．【變式44】（2024·高三·全國·專題練習）雙曲線C的漸近線方程為，一個焦點為，點，點為雙曲線第一象限內(nèi)的點，則當點的位置變化時，周長的最小值為.【變式45】（2024·高二·江蘇·假期作業(yè)）設點P在雙曲線上，為雙曲線的兩個焦點，且，則的周長等于，．題型五：雙曲線上兩點距離的最值問題【典例51】（2024·青海玉樹·模擬預測）已知，為雙曲線的左、右焦點，點P是C的右支上的一點，則的最小值為（

）A．16 B．18 C． D．【典例52】（2024·高三·湖南長沙·階段練習）已知，分別為雙曲線的左、右焦點，P為雙曲線右支上任一點，則的最小值為（

）A．19 B．25 C．37 D．85【變式51】（2024·高二·山東濰坊·階段練習）已知雙曲線：的左焦點為，且是雙曲線上的一點，則的最小值為.【變式52】（2024·高二·江蘇南京·階段練習）若雙曲線的左右焦點分別為為雙曲線上一點，若，則的取值為.【變式53】（2024·高二·上?！るA段練習）設雙曲線的左焦點和右焦點分別是，點是右支上的一點，則的最小值為．題型六：雙曲線上兩線段的和差最值問題【典例61】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）設是雙曲線上一點，，分別是圓和上的點，則的最大值為，最小值為．【典例62】（2024·高二·江西宜春·期末）是雙曲線的右支上一點，分別是圓和上的點，則的最大值為．【變式61】（2024·高二·湖北·期中）已知雙曲線的方程為，點，是其左右焦點，是圓上的一點，點在雙曲線的右支上，則的最小值是．【變式62】（2024·高二·湖北武漢·期末）已知，是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為．【變式63】（2024·高二·江蘇鹽城·期中）已知點，點P是雙曲線左支上的動點，點為雙曲線右焦點，N是圓的動點，則的最小值為．【變式64】（2024·高二·江蘇宿遷·期中）已知是雙曲線上的點，為雙曲線的右焦點，點的坐標為，則的最小值是．【變式65】（2024·高三·江西南昌·階段練習）已知是雙曲線的左焦點，是雙曲線右支上的動點，則的最小值為.【變式66】（2024·高二·遼寧錦州·期末）P為雙曲線右支上一點，M，N分別是圓和上的點，則的最大值為.題型七：求軌跡方程【典例71】（2024·高二·全國·課后作業(yè)）在中，，的內(nèi)切圓切BC于D點，且，則頂點A的軌跡方程為．【典例72】（2024·高二·上海楊浦·期中）在中，，，，則頂點的軌跡方程是.【變式71】（2024·高二·河北張家口·階段練習）已知圓與圓和圓均外切，則點的軌跡方程為.【變式72】（2024·高二·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知圓，圓，若動圓M與圓均外切，則動圓圓心的軌跡方程為.【變式73】（2024·高三·全國·專題練習）已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為．【變式74】（2024·高二·全國·課堂例題）如圖所示，已知定圓：，定圓：，動圓M與定圓，都外切，則動圓圓心M的軌跡方程為.

【變式75】（2024·高二·遼寧撫順·階段練習）已知點A(0，4)，B(0，－4)，從點C同時出發(fā)的兩個質(zhì)點M，N均以每秒2個單位長度的速度做勻速直線運動，M從C運動到A，N從C運動到B，且M到達A的時間比N到達B的時間晚3秒，則C的軌跡方程為.【變式76】（2024·高二·上?！るS堂練習）已知動點滿足，則動點M的軌跡方程是．【變式77】（2024·高二·陜西寶雞·期中）已知點，，若動點滿足，則動點的軌跡方程為.【變式78】（2024·高二·上?！ふn堂例題）已知P為圓C：上任意一點，．若線段的垂直平分線交直線于點Q，則點Q的軌跡方程為．【變式79】（2024·高二·上?！るS堂練習）在平面直角坐標系xOy中，動點P關于x軸對稱的點為Q，且，則點P的軌跡方程為.1．（2024·高二·云南迪慶·期末）已知點，，動點滿足條件.則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（2024·高二·全國·課后作業(yè)）已知雙曲線的兩個焦點為，，M是此雙曲線上的一點，且滿足，，則該雙曲線的方程是（

）A． B． C． D．3．（2024·高二·福建福州·期末）已知分別為雙曲線的左?右焦點，過的直線與雙曲線的左支交于兩點，若，則雙曲線的焦距為（

）A． B． C． D．4．（2024·高二·上?！るS堂練習）定義點M到曲線C上每一點的距離的最小值稱為點M到曲線C的距離，那么平面內(nèi)到定圓A的距離與到定點B的距離相等的點的軌跡不可能是（

）A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線一支5．（2024·高二·上海靜安·期末）已知點是雙曲線右支上的一點，點分別是圓和圓上的點．則的最小值為（

）A．3 B．5 C．7 D．96．（2024·高二·云南玉溪·期末）已知圓：和圓：，動圓同時與圓及圓相外切，則動圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．7．（2024·高二·新疆克孜勒蘇·期末）以下幾個命題中，其中真命題的序號為（

）.①雙曲線與橢圓有相同的焦點；②在平面內(nèi)，到定點2,1的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線；③設為兩個定點，為非零常數(shù)，，則動點的軌跡為雙曲線；④過定圓上一定點作圓的動弦為坐標原點，若，則動點的軌跡為橢圓.A．① B．①② C．①④ D．③④8．（2024·高二·甘肅白銀·期末）設雙曲線的左，右焦點分別為,過的直線分別交雙曲線左右兩支于點，連接,若,則（

）A．1 B． C． D．29．（多選題）（2024·高二·安徽馬鞍山·期末）已知曲線，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則是橢圓，其焦點在軸上B．若，則是圓，其半徑為C．若，則是雙曲線，其漸近線方程為D．若，則是兩條直線10．（多選題）（2024·高二·安徽宿州·期中）在平面直角坐標系中，曲線C上任意點P與兩個定點和點連線的斜率之積等于2，則關于曲線C的結(jié)論正確的有（

）A．曲線C為雙曲線 B．曲線C是中心對稱圖形C．曲線C上所有的點都在圓外 D．曲線C是軸對稱圖形11．（多選題）（2024·海南·模擬預測）在平面直角坐標系中，已知點是一個動點，則下列說法正確的