專題04平面直角坐標系的綜合問題（題型與解法）

專題04平面直角坐標系的綜合問題“圖形與坐標”是“圖形與幾何”領(lǐng)域的主要內(nèi)容之一.其中有這樣一類問題，即根據(jù)已知點的變化情況，利用猜想、歸納、驗證等方法，探究點的坐標變化規(guī)律.這類問題要求通過歸納概括，得到猜想和規(guī)律,并加以驗證，這需要同學們具有合情推理能力，也要有創(chuàng)新精神.TOC\o"13"\h\u題型1：平面直角坐標系的綜合運用 2題型2：平面直角坐標系的規(guī)律問題 2題型1：平面直角坐標系的綜合運用1．在平面直角坐標系中，有點，，且m，n滿足．(1)如圖1，A、B兩點坐標為A，B；(2)如圖2，點D為y軸負半軸上一點，過點D作，E為線段上任意一點，以O(shè)為頂點作，交于點F．①寫出、∠DFO、∠EOF的數(shù)量關(guān)系并給出證明．②如圖3，若，點G為線段與線段之間一點，連接，且，，求的度數(shù)．【解答】（1）由題意得：，解得：，∵，∴，∴，，故答案為：，；（2）①，證明如下：如圖2，過點O作，∴，∵，∴，∴，∴；②由（2）①得：，∵，∴，∴，∵，，∴，如圖3，過點G作，∴，∵，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，角的和差、等量代換，解題的關(guān)鍵是熟悉平行線的性質(zhì)和角的計算．2．如圖，在平面直角坐標系中，將點向右平移4個單位得到點，將線段向上平移個單位，再向右平移1個單位得到線段（點與點對應(yīng)，點與點對應(yīng)），且四邊形的面積為8．(1)求點，的坐標；(2)連接與軸交于點，求的值：(3)若點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度向上平移運動，同時點從點出發(fā)，以每秒個單位的速度向左平移運動，當點到達點后停止運動，若射線交軸于點，設(shè)與的面積差為，問：是否定值？如果S是定值，請求出它的值：如果不是定值，請說明理由．【解答】（1）解：∵點向右平移4個單位得到點，∴點的坐標為，∵，∴，∵由平移性質(zhì)可知，，∴點的坐標為；（2）解：解法1：∵和同底，∴，∵，∴，∵，∴，∵和同高，∴；解法2：∵，∴，即∴，∴，∴；（3）解：結(jié)論：的值是定值3，理由如下：①如圖，當點在線段上時，連接．設(shè)運動時間為秒，由題意：∴，，∴，∴，∴②如圖，當點在上時，連接．由①可知，∴綜上所述，的值是定值3．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，坐標與圖形變化——平移，三角形面積等等，靈活運用所學知識是解題的關(guān)鍵．3．【材料閱讀】小明偶然發(fā)現(xiàn)線段的端點的坐標為，端點的坐標為，則這條線段中點的坐標為．通過進一步探究，在平面直角坐標系中，以任意點，為端點的線段中點坐標為．(1)【知識運用】如圖，平行四邊形的對角線相交于點，點在軸上，為坐標原點，點的坐標為，則點的坐標為______；(2)【能力拓展】在直角坐標系中，有，，三點，另有一點與點，，構(gòu)成平行四邊形，求點的坐標．【解答】（1）解：設(shè)H的坐標為，，，為中點，，．∴點H的坐標為，故答案為：；（2）解：設(shè)D點的坐標為，當為對角線時，的中點坐標為．點的坐標為解得∴此時D點的坐標為，當為對角線時，同理求得D點的坐標為，當為對角線時，同理求得D點的坐標為，∴點的坐標為或或．【點睛】本題主要考查了中點坐標公式和平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進行求解．4．如圖，組成的正方形網(wǎng)格的每個小方格的邊長都為單位1，每一個小方格的頂點叫做格點．已知點A、、、都在格點上．請按下述要求畫圖并回答問題：(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担裹c的坐標為；(2)在（1）的條件下，完成下列問題：①過點作，，并寫出點的坐標；②在網(wǎng)格中軸的下方找出所有的格點，使，并寫出格點的坐標；③線段交軸于點，求點的坐標．【解答】（1）解：∵點，∴原點O在點B下方一個單位，右方一個單位處，建立平面直角坐標系，如圖所示：（2）解：①為所求作的線段，如圖所示：此時點E的坐標為；②如圖，過點B作的平行線，則、為符合條件的格點；點，．③連接，，如圖所示：設(shè)點M的坐標為，則，∵，∴，解得：，∴點M的坐標為．【點睛】本題主要考查了坐標與圖形，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握網(wǎng)格中的格點特點．5．在平面直角坐標系經(jīng)中，給出如下定義：點A到x軸、y軸距離的較小值稱為點A的“短距”，當點P的“短距”等于點Q的“短距”時，稱P、Q兩點為“等距點”．(1)點的“短距”為；(2)點的“短距”為1，求的值；(3)若，兩點為“等距點”，求的值．【解答】（1）解：點到x軸、y軸距離分別為2，5，∴“短距”為2，故答案為：2；（2）點的“短距”為1，，∴，，解得：或；（3）點到x軸的距離為，到y(tǒng)軸距離為1，點到x軸的距離為，到y(tǒng)軸距離為4，∴當時，即或時，，∴或，解得或；當時，即時，，∴或，解得（舍去）或（舍去），綜上所訴，或．【點睛】本題考查了新定義問題，掌握點到坐標軸的距離、解絕對值方程，并理解新定義是解題的關(guān)鍵．6．“求索”數(shù)學興趣小組探究平面內(nèi)橫、縱坐標滿足特定關(guān)系的動點的運動軌跡問題：【方法探索】(1)組長小謙提出問題：動點隨著的變化形成的運動軌跡是什么？小志的思考：取3個特殊值得到3個點坐標，發(fā)現(xiàn)3點在一條直線上，可以利用待定系數(shù)法求出該直線的表達式；小遠的思考：令，，再求與的函數(shù)關(guān)系式．請你選擇一種方法確定點運動軌跡的函數(shù)表達式為________；【問題解決】(2)小明設(shè)計了一道動點問題考小誠，請聰明的你幫小誠解答：如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，，點從點出發(fā)以每秒8個單位的速度沿軸向左運動，同時點從點出發(fā)以每秒6個單位的速度沿軸向上運動，點是的中點，設(shè)運動時間為，請用含的式子表示點的坐標，并求的最小值；【拓展運用】(3)高老師給出坐標平面內(nèi)兩個動點：，．①小勇說：點、的運動軌跡都是直線；小智說：點、在運動過程中不可能重合；請你選擇下面正確的看法（

）A．小勇的說法對

B．小智的說法對

C．兩人的說法都對

D．兩人的說法都錯②請你求出線段的最小值．【解答】（1）解：小志的方法：當，點的坐標分別為：，設(shè)過點的直線的解析式為：，則：，解得：；∴，當時，，∴點，在直線上，∴點運動軌跡的函數(shù)表達式為；小遠的方法：令，，∴，∴，∴點運動軌跡的函數(shù)表達式為；故答案為：；（2）解：∵，，∴，，∴移動到點的位置需要的時間為：秒，①當時，，，，則：；②當時，，∴，，即：則：；綜上：，連接，則：，∴當三點共線時，的值最小，∵，∴，∴當時，的值最小值為，此時的值最小為；（3）①∵，令，則：；∴，∴點的軌跡為拋物線；∵，令，則：，∴；∴點的軌跡為直線；聯(lián)立，整理，得：，∵，∴方程沒有實數(shù)根，即拋物線和直線沒有交點，∴小智的說法正確，故選B．②把直線平移，直至平移后的直線與拋物線相切時，拋物線與平移后的直線的交點到直線的距離即為線段的最小值，設(shè)平移后的直線為，聯(lián)立，整理，得：，∵直線與拋物線只有一個交點，∴，解得：，∴，解得：，∴，∴平移后的直線與拋物線的交點為：，∴當時，到直線的距離即為的最小值，∵，∴，∴當時，的值最小，為．【點睛】本題考查坐標與圖形，二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合應(yīng)用．熟練掌握兩點間的距離公式，中點坐標公式，正確的求出函數(shù)的解析式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)進行求解，是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標系中，直線：與直線：交于點，與y軸交于點，與x軸交于點C．(1)求直線的函數(shù)表達式；(2)在平面直角坐標系中有一點，使得，請求出點P的坐標；(3)點M為直線上的動點，過點M作y軸的平行線，交于點N，點Q為y軸上一動點，且為等腰直角三角形，請直接寫出滿足條件的點M的坐標．【解答】（1）解：∵點在直線：上，∴，即，∵直線：過點，點，∴，解得：，∴直線的函數(shù)表達式為：；（2）解：∵，∴當以為底邊時，兩三角形等高，∴過點P且與直線平行的直線為：，①直線過點，得為：，當時，，∴點，②點關(guān)于點的對稱點為，直線過點，得為：，當時，，∴點，綜上所述，點P坐標為或；（3）解：設(shè)，則，∴，①如圖1，若，，則有，∴，∴或，∴或，②如圖2，圖3，若或，則，∴，∴或，∴或，綜上所述，點M的坐標為或或或．【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，一次方程（組）的解法，三角形面積，等腰直角三角形，考查了分類討論思想．第（3）題中三角形面積相等底相等即高相等是解題關(guān)鍵，第（4）題要注意分類討論的目的性，通過數(shù)形結(jié)合找等量關(guān)系．8．如圖，在平面直角坐標系中，，，，，，．且．．(1)直接寫出、、各點的坐標：、、；(2)如圖1，，，點，在四邊形的邊上，且在第二象限．若是以為直角邊的等腰直角三角形，請直接寫出點的坐標，并對其中一種情況計算說明；(3)如圖2，為軸正半軸上一動點，過的直線軸，平分交直線于點．為上的點，且，在運動中的長度是否發(fā)生變化？若變化，求出變化范圍；若不變，求出定值．【解答】（1），，，，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，且四邊形是矩形，，，，；（2）如圖，若點在上時，過點作軸，過點作于，過點作于點，，，，且，，，，，，，，四邊形是矩形，，且點，點坐標，如圖，若點在上，過點作，交的延長線于，，，且，，，點坐標，；（3）不發(fā)生變化，如圖，過點作于點，平分，，，，，，，且，，，，，，，，，，，點在運動中的長度不發(fā)生變化．【點睛】本題考查了算術(shù)平方根的非負性，矩形的性質(zhì)與判定，坐標與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，掌握全等三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．9．如圖1，已知直線：，點在直線上．是過定點的一簇直線．嘉淇用繪圖軟件觀察與的關(guān)系．記過點時的直線為．(1)求的值及的解析式；(2)探究與的數(shù)量關(guān)系；當與軸的交點為時，記此時的直線為，與的交點記為A，求的長；(3)當與直線的交點為整點（橫、縱坐標均為整數(shù)），且的值也為整數(shù)時，稱為“美好直線”．①在如圖所示的視窗下（，），求為“美好直線”時的值；②視窗的大小不變，改變其可視范圍，且變化前后原點始終在視窗中心．現(xiàn)將圖中坐標系的單位長度變?yōu)樵瓉淼模沟迷谝暣皟?nèi)能看到所有“美好直線”與直線的交點，求的最小整數(shù)值．【解答】（1）解：將點代入，解得；將，分別代入中，得，解得，的解析式為；（2）解：過定點，則，；過，且，，，的解析式為；解得，與的交點為，；（3）解：①當，時，上的整點為，，當過時，且，，是“美好直線”；當過時，且，，不是“美好直線”，綜上，的值為；②設(shè)直線上的任一整點為，則，，，，當，均為整數(shù)時，滿足題意；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；當時，；上滿足條件的點為，，，，，若這些點全部出現(xiàn)在視窗中，的最小整數(shù)值為4．【點睛】本題考查了利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，坐標與圖形，理解“美好直線”的定義和條件是解決本題的關(guān)鍵．10．如圖，在平面直角坐標系中，直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，與直線（）交于點P，．(1)求直線的解析式；(2)連接、，若直線上存在一點Q，使得，求點Q的坐標；(3)將直線向下平移1個單位長度得到直線，直線l與x軸交于點E，點N為直線l上的一點，在平面直角坐標系中，是否存在點M，使以點O，E，N，M為頂點的四邊形是矩形？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【解答】（1）解：∵直線與x軸、y軸分別交于點A、點B，∴令，則，∴點A為，∴，∵，∴點C為，點D為，∴直線的解析式為；（2）解：在中，令，則，∴點B為，∵，解得，∴點P的坐標為；∴；∵點Q在直線上，則設(shè)點Q為，則當點Q在點B的下方時，如下圖：∵，點P的坐標為，∴，∵，∴，∴，解得：，∴，∴點的坐標為；當點Q在點P的上方時，如上圖：，∴，∴解得：，∴，∴點的坐標為；綜合上述，點的坐標為或；（3）解：∵直線向下平移1個單位長度得到直線，∴直線為，令，則，∴點E的坐標為，即；當作為矩形的邊時，如圖：∴點N的坐標為，∴點M的坐標為；當作為矩形的對角線時，如圖：∴點F的坐標為，∵，∴，∵，∴是等腰直角三角形，∴，∴四邊形是正方形，∴，，∴，∴點M的坐標為；綜合上述，則點M的坐標為或；【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，一次函數(shù)的圖像和性質(zhì)，坐標與圖形，等腰直角三角形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握所學的知識，正確的作出圖形，從而運用分類討論的思想進行解題．11．點是平面直角坐標系中的一點且不在坐標軸上，過點向軸，軸作垂線段，若垂線段的長度的和為，則點叫做“垂距點”例如：下圖中的是“垂距點”．(1)在點，，中，是“垂距點”的點為；(2)求函數(shù)的圖象上的“垂距點”的坐標；(3)的圓心的坐標為，半徑為若上存在“垂距點”，則的取值范圍是．【解答】（1）解：由題意得，垂線段的長度的和為4．，，故答案為：．（2）解：設(shè)函數(shù)的圖像上的“垂距點”的坐標．由題意得．①當時，．∴．②當時，．∴（不合題意，舍）．③當時，．∴．∴

綜上所述，函數(shù)y＝2x＋3的圖像上的“垂距點”的坐標是，．（3）解：設(shè)“垂距點”的坐標為，則當時，，即；當時，，即；當時，，即；當時，，即；當與相切時，過點作直線于點，則為等腰直角三角形，∴當過點時，上不存在“垂距點”，此時∴若存在“垂距點”，則的取值范圍是．故答案為：．【點睛】本題考查平面直角坐標系相關(guān)，結(jié)合題干定義以及書本所學點到軸的距離即為橫縱坐標的絕對值進行分析計算．12．如圖①，在平面直角坐標系中，點A、B的坐標分別為，現(xiàn)同時將點A、B向上平移2個單位長度，再向右平移一個單位長度，得到A、B的對應(yīng)點C、D，連接．(1)寫出點C、D的坐標并求出四邊形的面積；(2)在x軸上是否存在一點F，使得的面積是面積的2倍？若存在，請求出點F的坐標；若不存在，請說明理由；(3)如圖②，點P是直線上一個動點，連接，當點P在直線上運動時，請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系．【解答】（1）∵點A，B的坐標分別為，將點A，B分別向上平移2個單位長度，再向右平移1個單位長度，分別得到點A，B的對應(yīng)點C，D，∴點，點，，∴，四邊形是平行四邊形，∴；（2）存在，理由：設(shè)F坐標為，∵的面積是面積的2倍，∴，即，解得或，∴P點的坐標為或；（3）①當點P在線段上時，如圖，作，

由平移可知：，∴，∴，∴；即；②當點P在線段的延長線上時，如圖，作，由平移可知：，∴，∴，∴；即；③當點P在線段的延長線上時，如圖，作，由平移可知：，∴，∴，∴；即；綜上，或或．【點睛】題考查平行線的判定和性質(zhì)，點平移的規(guī)律．對點的位置進行分類討論是解題的關(guān)鍵．13．在直角坐標系中，已知，，且，滿足．(1)求的面積；(2)將線段平移至，且，且，求點的坐標；(3)如圖，已知，（點在線段上），且實數(shù)、、滿足，連接交于點，點是線段上的一點，連接、、，有，求點的坐標．【解答】（1）解：由題意可得，，解得，，∴，，∴；（2）解：過點C作軸，延長交l于M，過點B作于N，過點A作于T，設(shè)，，即，解得，，∴，，即，∴，∴或，∴或，∴點C的坐標是或；（3）解：設(shè)，，解得，，∵，，，，∴，∴，∴，解答，，∵點D在第四象限，∴，過點D作軸于點Q，過點B作軸于點S，，即，解得，∴D點的坐標為．【點睛】本題考查的是非負數(shù)的性質(zhì)、三角形的面積計算、解二元一次方程組、坐標與圖形性質(zhì)，掌握坐標與圖形性質(zhì)及三角形的面積公式是解題的關(guān)鍵．14．已知，在平面直角坐標系中，點在軸的正半軸上，點在第一象限，且、滿足等式，連接、．(1)如圖1，求，的值；(2)如圖2，點在軸負半軸上一點，且其橫坐標為，過點作，，連接、．設(shè)的面積為，求與之間的關(guān)系式（不需要寫出的取值范圍）；(3)如圖3，在（2）的條件下，作，垂足為點，連接交于點，連接，交軸于點，當軸時，求的面積．【解答】（1）解：∵，即：，∴，，∴，；（2）作軸，則，，∵，∴，∴，在與中，，∴，∴，∵點在軸負半軸上一點，且其橫坐標為，∴，則的面積；（3）由（1）知，，則，，∴，且軸，即為等腰直角三角形，，∴，過點作，延長交于，故，∵，，即：∴，，即∴，，又∵，∴，∴，故為等腰直角三角形，∴，作交于，連接，過作，交于，可知，為等腰直角三角形，故，，∵軸，則，即：∴，∴，∴，，則，∴為等腰直角三角形，故：，，∴，，∴，又∵，∴，∴，即，∵軸，∴，故為等腰直角三角形，∴，由（2）可知，，則，，∴，則，∴．【點睛】本題考查算術(shù)平方根的非負性，全等三角形的判定及性質(zhì)，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和等腰直角三角形證得是解決問題的關(guān)鍵．15．在平面直角坐標系中，點，點B在x軸正半軸上，點C在第一象限內(nèi)．(1)如圖1，．①若是以AC為斜邊的直角三角形，且．請在圖（1）中利用圓規(guī)、無刻度直尺作出點C的位置（不寫作法，保留作圖痕跡），寫出點C的坐標________；②若是等邊三角形．求點C的坐標；(2)如圖2，是等邊三角形，點C在以為圓心，半徑為r的圓上．若存在兩個滿足條件，求r的取值范圍．【解答】（1）解：是以AC為斜邊的直角三角形，點C在第一象限內(nèi)，，如圖，過點B作的垂線，，在第一象限內(nèi)截取，連接即可；，即，過點C作軸于D，，，，，，；②如圖，取中點E，連接并延長交于F，作軸于D，由題意可知垂直平分，，，，，，，解得：，，，，，，，，，，，，；（2）如圖，取中點E，連接并延長交于F，作軸于D，軸于G，設(shè)，，，，，解得：，，則，，由題意可知垂直平分，，，，，，，，，整理得：，，，，，，，，，，，整理得：，點C在第一象限內(nèi)，，即點C在直線上，，當時，，不在直線上，點B在x軸正半軸上，當點B與點O重合時,如圖，等邊三角形邊長為2，可求得：當與相切時，如圖，作直線分別與x，y軸相交于H，I，過P作分別與x，y軸相交于J，K，過O作于L，交于M，則四邊形為矩形，，令求得，令求得，，，設(shè)解析式為，將代入求得，，令求得，令求得，，，，，，，，，，，．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，一次函數(shù)的應(yīng)用及坐標與圖形；解題的關(guān)鍵是通過等積法構(gòu)造等量關(guān)系得到．16．已知：如圖1．在平面直角坐標系中，C在第二象限內(nèi)的一點，軸于A，，且滿足，點P在的平分線上，Q在x軸上．．(1)求a，b的值；(2)若，求證：；(3)如圖2，在y軸正半軸上取點B，使得，為第四象限上一點，過點D作x軸、y軸的垂線交直線于G、H兩點，當m，n滿足什么關(guān)系時，，并說明理由．【解答】（1）解：∵，∴解得：；（2）解：過點P作，垂足為N，過點P向的延長線作，垂足為F，如圖所示，∵，是的平分線，∴，，∵，∴，在四邊形中，由四邊形內(nèi)角和定理知：，∴，∴，∴，∴，在中，，在中，，∴，∴，∴；（3）解：由題意得：C點坐標為，，∴A點坐標為，由（1）得：，∴A點坐標為，∵且點B在y軸正半軸，∴B點坐標為，，由題意得：，∴，，∴，，，，∴，當時，，∵點D坐標為，∴由題意得：，，即，∴，∵過點A、B，∴將A、B兩點坐標代入得：，整理得：，∴當時，．【點睛】本題考查幾何問題綜合題，涉及到了角平分線的性質(zhì)，三角形全等，靈活運用所學知識是解題關(guān)鍵．題型2：平面直角坐標系的規(guī)律問題1．如圖，已知直線a：，直線b：和點，過點P作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，過點作y軸的平行線交直線a于點，過點作x軸的平行線交直線b于點，…，按此作法進行下去，則點的橫坐標為（）A． B． C． D．【解答】解：由題意知，，，，，，，，，∴的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，的橫坐標為，……∴可推導一般性規(guī)律為：的橫坐標為，∴的橫坐標為，∴的橫坐標為，∴的橫坐標為，∴的橫坐標為，故選：A．【點睛】本題考查了點坐標的規(guī)律探究，一次函數(shù)等知識．解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意推導一般規(guī)律．2．如圖，在平面直角坐標系上有點，點A第一次跳動至點，第二次點跳動至點，第三次點跳動至點，第四次點跳動至點，……依此規(guī)律跳動下去，則點的坐標是（

）A． B． C． D．【解答】解：觀察發(fā)現(xiàn)，點A第1次跳動至點，第3次點跳動至點，第5次跳動至點的坐標是，第7次跳動至點的坐標是，…第次跳動至點的坐標是，因為，所以點的坐標是．故選：D【點睛】本題考查了坐標與圖形的性質(zhì)，以及圖形的變化問題，結(jié)合圖形得到奇數(shù)次跳動的點的橫坐標與縱坐標的變化情況是解題的關(guān)鍵．3．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整數(shù)點，其順序按圖中“→”方向排列，如（1，0），（2，0），（2，1），（3，2），（3，1），（3，0），（4，0），……，根據(jù)這個規(guī)律探索可得第2023個點的坐標是（）A． B． C． D．【解答】把第一個點作為第一列，和作為第二列，依此類推，則第一列有1個點，第二列有2個點，，第n列有n個點，則n列共有個點，并且在奇數(shù)列點的順序是由上到下，偶數(shù)列點的順序由下到上，∵，∴第2023個點一定在第64列，由下到上是第7個點，因而第2023個點的坐標是，故選：D．【點睛】本題考查了學生的觀察圖形的能力和理解能力，解此題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形得出規(guī)律，題目比較典型，但是一道比較容易出錯的題目．4．如圖，在平面直角坐標系中，有若干個整點，按圖中→方向排列，即，…，則按此規(guī)律排列下去第23個點的坐標為（）A． B． C． D．【解答】解：∵……∴觀察發(fā)現(xiàn)：每三個點為一組，每組第一個點坐標為：，，∴第23個點在第八組的第二個，∵第八組的第一個點坐標為：，∴第23個點的坐標為：，故選：D．【點睛】本題考查的是坐標規(guī)律的探究，解題的關(guān)鍵是仔細觀察坐標變化規(guī)律，掌握從具體到一般的探究方法．5．如圖，在一個單位為l的方格紙上，，，，．．．，是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6，．．．的等腰直角三角形，若的頂點坐標分別為，，，則依圖中所示規(guī)律，的橫坐標為（

）A． B．1010 C．1012 D．【解答】解：∵各三角形都是等腰直角三角形，∴直角頂點的縱坐標的長度為斜邊的一半，，，…，∵余3，∴點在x軸負半軸，橫坐標是．故選：A．【點睛】本題是對點的坐標變化規(guī)律的考查，根據(jù)2023是奇數(shù)，求出點的橫坐標是奇數(shù)時的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．在平面直角坐標系中，將若干個邊長為2個單位長度的等邊三角形按如圖所示的規(guī)律擺放，點P從原點O出發(fā)，以每秒2個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊→→→→…的路線運動，設(shè)第n秒運動到點（n為正整數(shù)），則點的坐標是（

）A． B． C． D．【解答】解：過點作軸于B，∵圖中是邊長為2個單位長度的等邊三角形，∴，∴，∴，，同理，，，，，…∴中每6個點的縱坐標規(guī)律：，0，，0，，0，點從原點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度沿著等邊三角形的邊“…”的路線運動，1秒鐘走一段，∴P運動每6秒循環(huán)一次，∴點P的縱坐標規(guī)律：，0，，0，，0，…，點P的橫坐標規(guī)律：1，2，3，4，5，6，…，，∵，∴點的縱坐標為，∴點的橫坐標為，∴點的坐標，故選C．【點睛】本題考查點的坐標變化規(guī)律，平面直角坐標系中點的特點及等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，確定點的坐標規(guī)律是解題的關(guān)鍵．7．如圖，在平面直角坐標系中，一動點從原點O出發(fā)，按向上，向右，向下，向右的方向不斷地移動，每移動一個單位，得到點，那么坐標為（

）A． B． C． D．【解答】由圖象可知，縱坐標每四個點循環(huán)一次，而，∴的縱坐標與的縱坐標相同，都等于0．循環(huán)中與對應(yīng)的點分別為，∴對應(yīng)的點的橫坐標的變化規(guī)律為（n為循環(huán)次數(shù)），∴的橫坐標為，∴．故選：D．【點睛】本題考查平面直角坐標系中的動點規(guī)律問題，找準點的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在平面直角坐標系中，已知點，，一智能機器人從點A出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿方向勻速循環(huán)前行，當機器人前行了時，其所在位置的點的坐標為（）A． B． C． D．【解答】解：∵，，∴，∴機器人從點A出發(fā)沿著回到點A所走路程是：，∴每過10秒點P回到A點一次，∵，∴第2023秒時于第3秒時機器人所在的位置相同，∵，∴此時機器人在上，距離B為1個單位長度，∴機器人所在點的坐標為，故選：A．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探索，正確理解題意找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為的正六邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)個，得到正六邊形，當時，頂點的坐標是（

）A． B． C． D．【解答】解：∵正六邊形，∴每個內(nèi)角的度數(shù)為，即，∴正六邊形的一個外角為，即與軸正半軸的夾角為，如圖所示，未旋轉(zhuǎn)時，連接，正六邊形的邊長為，，過點作于點，∴，在中，根據(jù)勾股定理得，，∴，∴，當正六邊形繞點順時針旋轉(zhuǎn)，∴，即旋轉(zhuǎn)次，正六邊形回到起始位置，∴當時，，即旋轉(zhuǎn)次后，又旋轉(zhuǎn)了個，即回到起始位置后又旋轉(zhuǎn)了，如圖所示，∴，，∴，即當時，頂點的坐標是，故選：．【點睛】本題主要考查平面直角坐標系中幾何圖形變換與點坐標，掌握幾何圖形的特點及變換的規(guī)律，找出點坐標變換的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10．如圖，已知正方形的對角線，相交于點M，頂點A、B、C的坐標分別為、、，規(guī)定“把正方形先沿x軸翻折，再向右平移1個單位”為一次變換，如此這樣，連續(xù)經(jīng)過2022次變換后，點M的坐標變?yōu)椋ǎ〢． B． C． D．【解答】解：∵正方形的頂點A，B，C分別是，∴正方形的對角線的交點M的坐標為，∵把正方形先沿軸翻折，再向右平移個單位”為一次變換，∴第一次變換后M的坐標為，第二次變換后的坐標，第三次變換后的坐標，第四次變換后的坐標，，可發(fā)現(xiàn)第n次后，當n為偶數(shù)，點M的坐標為，∴連續(xù)經(jīng)過第2022次時，點M的坐標為，即．故選A．【點睛】本題主要考查了點的坐標規(guī)律探索，正方形的性質(zhì)，勾股定理，坐標與圖形變化—軸對稱和平移，正確找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．11．在平面直角坐標系中，直線l：與x軸交于點，如圖所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得點，……，在直線l上，點，…，在y軸正半軸上，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【解答】解：當時，有，解得：，點的坐標為．四邊形為正方形，點的坐標為．同理，，，，，，，，，，（n為正整數(shù)），點的坐標為．故選：C．【點睛】本題考查了一次函數(shù)圖象上點的坐標特征、正方形的性質(zhì)以及規(guī)律型：點的坐標，根據(jù)點的坐標的變化找出變化規(guī)律“為正整數(shù)”是解題的關(guān)鍵．12．如圖，在直角坐標系中，已知點的坐標為，進行如下操作：將線段按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，再將其長度伸長為的2倍，得到線段；又將線段按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，長度伸長為的2倍，得到線段，如此重復操作下去，得到線段，，…則的坐標為（）A． B． C． D．【解答】解：過點作軸于點，軸于點，由題意可得出：，，，則，∵將線段按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，∴每個點循環(huán)一圈，∵，∴點的坐標與點的坐標在第象限，∵，∵，∴，∴，∴點的坐標為，故選：A．【點睛】本題考查了坐標與圖形－坐標的變化規(guī)律，含的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識點，讀懂題意，得出坐標的變化規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．13．如圖，在單位為1的方格紙上，，，，…，都是斜邊在x軸上，斜邊長分別為2，4，6，…的等腰直角三角形，若的頂點坐標分別為，，，則依圖中所示規(guī)律，的坐標為（

）A． B．） C． D．【解答】解：圖中的各三角形都是等腰直角三角形，各等腰直角三角形的直角頂點的縱坐標的絕對值為斜邊的一半，，，，，，，……，當下標為偶數(shù)時的點的坐標規(guī)律如下：當下標是2、6、10…時，橫坐標為1，縱坐標為下標的一半，當下標是4、8、12…時，橫坐標是2，縱坐標為下標的一半的相反數(shù)，每四個字母為一組，，∴點A2022在第一象限，橫坐標為1，縱坐標是，的坐標為為，故選：A．【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規(guī)律，根據(jù)坐標正確得到規(guī)律是解題關(guān)鍵．14．如圖，動點P在平面直角坐標系中按圖中所示方向運動，第一次從原點O運動到點，第二次運動到點，第三次運動到點，第四次運動到點，第五次運動到點，第六次運動到點，按這樣的運動規(guī)律，點的縱坐標是（

）A． B．0 C．1 D．2【解答】解：觀察圖像點的坐標：、、、、、、、，可以發(fā)現(xiàn)規(guī)律：橫坐標與次數(shù)相等，縱坐標每7次運動組成一個循環(huán)：1、1、0、、0、2、0，，動點的坐標是，動點的縱坐標是0，故選：B．【點睛】本題主要考查了點的坐標變化規(guī)律，利用數(shù)形結(jié)合并從圖象中發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律是解題關(guān)鍵．15．已知點與點在同一條平行于x軸的直線上