2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第2章統(tǒng)計(jì)2.1.3分層抽樣學(xué)案新人教A版必修3

PAGE2.1.3分層抽樣學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.記住分層抽樣的特點(diǎn)和步驟(重點(diǎn))2．會(huì)用分層抽樣從總體中抽取樣本．(重點(diǎn)、難點(diǎn))3．給定實(shí)際抽樣問(wèn)題會(huì)選擇合適的抽樣方法進(jìn)行抽樣．(易錯(cuò)易混點(diǎn))1．通過(guò)分層抽樣的學(xué)習(xí)，培育數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．2．借助多種抽樣方法的選擇，提升邏輯推理素養(yǎng).1．分層抽樣一般地，在抽樣時(shí)，將總體分成互不交叉的層，然后依據(jù)肯定的比例，從各層獨(dú)立地抽取肯定數(shù)量的個(gè)體，將各層取出的個(gè)體合在一起作為樣本，這種抽樣的方法是一種分層抽樣．當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時(shí)，往往選用分層抽樣的方法．2．分層抽樣的實(shí)施步驟第一步，按某種特征將總體分成若干部分(層)．其次步，計(jì)算抽樣比．抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量).第三步，各層抽取的個(gè)體數(shù)＝各層總的個(gè)體數(shù)×抽樣比．第四步，依各層抽取的個(gè)體數(shù)，按簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣從各層抽取樣本．第五步，綜合每層抽樣，組成樣本．思索：什么狀況下適用分層抽樣？[提示]當(dāng)總體中個(gè)體之間差異較大時(shí)可運(yùn)用分層抽樣．1．為了解某地區(qū)的中小學(xué)生的視力狀況，擬從該地區(qū)的中小學(xué)生中抽取部分學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，事先已了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、中學(xué)三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力狀況有較大差異，且男女生視力狀況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣C．按學(xué)段分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣C[依據(jù)題意，了解到該地區(qū)小學(xué)、初中、中學(xué)三個(gè)學(xué)段學(xué)生的視力狀況有較大差異，且男女生視力狀況差異不大，故要了解該地區(qū)學(xué)生的視力狀況，應(yīng)按學(xué)段分層抽樣．]2．為了保證分層抽樣時(shí)每個(gè)個(gè)體被等可能地抽取，必須要求()A．每層等可能抽取B．每層抽取的個(gè)體數(shù)相等C．按每層所含個(gè)體在總體中所占的比例抽樣D．只要抽取的樣本容量肯定，每層抽取的個(gè)體數(shù)沒(méi)有限制C[分層抽樣為等比例抽樣．]3．某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽出16人參與軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是()A．8,8 B．10,6C．9,7 D．12,4C[抽樣比eq\f(16,54＋42)＝eq\f(1,6)，則一班被抽取人數(shù)為54×eq\f(1,6)＝9人，二班被抽取人數(shù)為42×eq\f(1,6)＝7人．]4．在抽樣過(guò)程中，每次抽取的個(gè)體不再放回總體的為不放回抽樣，那么分層抽樣、系統(tǒng)抽樣、簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣三種抽樣中，為不放回抽樣的有________個(gè)．三[三種抽樣方法均為不放回抽樣．]分層抽樣的概念【例1】下列問(wèn)題中，最適合用分層抽樣方法抽樣的是()A．某電影院有32排座位，每排有40個(gè)座位，座位號(hào)是1～40.有一次報(bào)告會(huì)坐滿了聽(tīng)眾，報(bào)告會(huì)結(jié)束以后為聽(tīng)取看法，要留下32名聽(tīng)眾進(jìn)行座談B．從10臺(tái)冰箱中抽出3臺(tái)進(jìn)行質(zhì)量檢查C．某鄉(xiāng)農(nóng)田有山地8000畝，丘陵12000畝，平地24000畝，凹地4000畝，現(xiàn)抽取農(nóng)田480畝估計(jì)全鄉(xiāng)農(nóng)田平均產(chǎn)量D．從50個(gè)零件中抽取5個(gè)做質(zhì)量檢驗(yàn)C[A的總體容量較大，宜采納系統(tǒng)抽樣方法；B的總體容量較小，用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣法比較便利；C總體容量較大，且各類田地的產(chǎn)量差別很大，宜采納分層抽樣方法；D與B類似．]分層抽樣的特點(diǎn)1適用于總體由差異明顯的幾部分組成的狀況.2樣本能更充分地反映總體的狀況.3等可能抽樣，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性都相等.eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])1．某校有在校中學(xué)生共1600人，其中高一學(xué)生520人，高二學(xué)生500人，高三學(xué)生580人．假如想通過(guò)抽查其中的80人來(lái)調(diào)查學(xué)生的消費(fèi)狀況，考慮到學(xué)生的年級(jí)凹凸消費(fèi)狀況有明顯差別，而同一年級(jí)內(nèi)消費(fèi)狀況差異較小，問(wèn)：應(yīng)采納怎樣的抽樣方法？高三學(xué)生中應(yīng)抽查多少人？[解]因?yàn)椴煌昙?jí)的學(xué)生消費(fèi)狀況有明顯差別，所以應(yīng)采納分層抽樣．因?yàn)?20∶500∶580＝26∶25∶29.所以將80分成26∶25∶29的三部分．設(shè)三部分各抽取的個(gè)體數(shù)分別為26x,25x,29x，由26x＋25x＋29x＝80得x＝1，所以高三學(xué)生中應(yīng)抽查29人．分層抽樣的設(shè)計(jì)及應(yīng)用[探究問(wèn)題]1．怎樣確定分層抽樣中各層入樣的個(gè)體數(shù)？[提示]在實(shí)際操作時(shí)，應(yīng)先計(jì)算出抽樣比＝eq\f(樣本容量,總體容量)，獲得各層入樣數(shù)的百分比，再按抽樣比確定每層須要抽取的個(gè)體數(shù)：抽樣比×該層個(gè)體數(shù)目＝eq\f(樣本容量,總體容量)×該層個(gè)體數(shù)目．2．計(jì)算各層所抽個(gè)體的個(gè)數(shù)時(shí)，假如算出的個(gè)數(shù)值不是整數(shù)怎么辦？[提示]可四舍五入取整，也可先將該層等可能地剔除多余個(gè)體．3．分層抽樣公允嗎？[提示]分層抽樣中，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，與層數(shù)、分層無(wú)關(guān)．假如總體的個(gè)數(shù)為N，樣本容量為n，Ni為第i層的個(gè)體數(shù)，則第i層抽取的個(gè)體數(shù)ni＝n·eq\f(Ni,N)，每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是eq\f(ni,Ni)＝eq\f(1,Ni)·n·eq\f(Ni,N)＝eq\f(n,N).【例2】某政府機(jī)關(guān)有在編人員100人，其中副處級(jí)以上干部10人，一般干部70人，工人20人．上級(jí)機(jī)關(guān)為了了解政府機(jī)構(gòu)改革的看法，要從中抽取一個(gè)容量為20的樣本，試確定用何種方法抽取，請(qǐng)?jiān)敿?xì)實(shí)施操作．思路點(diǎn)撥：eq\x(視察特征)→eq\x(確定抽樣方法)→eq\x(求出比例)→eq\x(確定各層樣本數(shù))→eq\x(從各層中抽樣)→eq\x(樣本)[解]∵機(jī)構(gòu)改革關(guān)系到每個(gè)人的不同利益，故采納分層抽樣方法較妥．∵eq\f(100,20)＝5，∴eq\f(10,5)＝2，eq\f(70,5)＝14，eq\f(20,5)＝4.∴從副處級(jí)以上干部中抽取2人，從一般干部中抽取14人，從工人中抽取4人．因副處級(jí)以上干部與工人數(shù)都較少，他們分別按1～10編號(hào)和1～20編號(hào)，然后采納抽簽法分別抽取2人和4人；對(duì)一般干部70人進(jìn)行00,01，…，69編號(hào)，然后用隨機(jī)數(shù)表法抽取14人．這樣便得到了一個(gè)容量為20的樣本．1．(變條件)某大型工廠有管理人員1200人，銷售人員2000人，車間工人6000人，若要了解改革看法，從全廠人員中抽取一個(gè)容量為46的樣本，試確定用何種方法抽取，請(qǐng)?jiān)敿?xì)實(shí)施操作．[解]改革關(guān)系到每個(gè)人的利益，采納分層抽樣較好．抽樣比：eq\f(46,1200＋2000＋6000)＝eq\f(1,200).∵1200×eq\f(1,200)＝6(人)，2000×eq\f(1,200)＝10(人)，6000×eq\f(1,200)＝30(人)．∴從管理人員中抽取6人，從銷售人員中抽取10人，從車間工人中抽取30人．因?yàn)楦鲗又袀€(gè)體數(shù)目均較多，可以采納系統(tǒng)抽樣的方法獲得樣本．2．(變結(jié)論)在本例中的抽樣方法公允合理嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．[解]從100人中抽取20人，總體中每一個(gè)個(gè)體的入樣可能性都是eq\f(20,100)＝eq\f(1,5)，即抽樣比，按此比例在各層中抽取個(gè)體；副處級(jí)以上干部抽取10×eq\f(1,5)＝2人，一般干部抽70×eq\f(1,5)＝14人，工人抽20×eq\f(1,5)＝4人，以保證每一層中每個(gè)個(gè)體的入樣可能性相同，均為eq\f(1,5)，故這種抽樣是公允合理的．分層抽樣的步驟抽樣方法的選擇【例3】①教化局督學(xué)組到校檢查工作，臨時(shí)需在每班各抽調(diào)兩人參與座談；②某班數(shù)學(xué)期中考試有14人在120分以上，35人在90～119分，7人不及格，現(xiàn)從中抽出8人研討進(jìn)一步改進(jìn)教與學(xué)；③某班春節(jié)聚會(huì)，要產(chǎn)生兩位“幸運(yùn)者”．就這三件事，合適的抽樣方法分別為()A．分層抽樣，分層抽樣，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣B．系統(tǒng)抽樣，系統(tǒng)抽樣，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣C．分層抽樣，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣D．系統(tǒng)抽樣，分層抽樣，簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣思路點(diǎn)撥：依據(jù)各抽樣方法的特征、適用范圍推斷．D[①每班各抽兩人需用系統(tǒng)抽樣．②由于學(xué)生分成了差異比較大的幾層，應(yīng)用分層抽樣．③由于總體與樣本容量較小，應(yīng)用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．故選D.]抽樣方法的選取1若總體由差異明顯的幾個(gè)層次組成，則選用分層抽樣；2若總體沒(méi)有差異明顯的層次，則考慮采納簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣.,當(dāng)總體容量較小時(shí)宜用抽簽法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)宜用隨機(jī)數(shù)表法；當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)宜用系統(tǒng)抽樣；eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練])2．為了解某地區(qū)的“微信健步走”活動(dòng)狀況，擬從該地區(qū)的人群中抽取部分人員進(jìn)行調(diào)查．事先已了解到該地區(qū)老、中、青三個(gè)年齡段人員的“微信健步走”活動(dòng)狀況有較大差異，而男女“微信健步走”活動(dòng)狀況差異不大．在下面的抽樣方法中，最合理的抽樣方法是()A．簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣 B．按性別分層抽樣C．按年齡分層抽樣 D．系統(tǒng)抽樣C[因?yàn)椴煌挲g段人員的“微信健步走”活動(dòng)狀況有較大差異．而男女對(duì)此活動(dòng)差異不大，所以按年齡段分層抽樣最合理．]1．對(duì)于分層抽樣中的比值問(wèn)題，常利用以下關(guān)系式(1)eq\f(樣本容量n,總體容量N)＝eq\f(各層抽取的樣本數(shù),該層的容量)；(2)總體中各層容量之比＝對(duì)應(yīng)層抽取的樣本數(shù)之比．2．選擇抽樣方法的規(guī)律(1)當(dāng)總體容量較小，樣本容量也較小時(shí)，制簽簡(jiǎn)潔，號(hào)簽簡(jiǎn)潔攪勻，可采納抽簽法．(2)當(dāng)總體容量較大，樣本容量較小時(shí)，可采納隨機(jī)數(shù)法．(3)當(dāng)總體容量較大，樣本容量也較大時(shí)，可采納系統(tǒng)抽樣法．(4)當(dāng)總體是由差異明顯的幾部分組成時(shí)，可采納分層抽樣法．1．推斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)當(dāng)總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，往往采納分層抽樣． ()(2)由于分層抽樣是在各層中按比例抽取，故每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性不一樣． ()(3)分層抽樣中不含系統(tǒng)抽樣和簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣． ()[答案](1)√(2)×(3)×2．自2024年12月以來(lái)，湖北武漢爆發(fā)新冠肺炎后，全國(guó)人民急需大量口罩．我市某口罩廠甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)了同一種口罩，數(shù)量分別為2400件，1600件，1200件．為了解它們的口罩質(zhì)量是否存在顯著差異，用分層抽樣方法抽取了一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行調(diào)查，其中從乙車間的產(chǎn)品中抽取了40件，則n＝()A．90B．100C．120D．130D[甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品件數(shù)分別是2400，1600，1200，∴甲、乙、丙三個(gè)車間生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量的比依次為6∶4∶3，故乙車間生產(chǎn)產(chǎn)品所占的比例eq\f(4,13)，∴樣本中乙車間生產(chǎn)產(chǎn)品有40件，占總產(chǎn)品的eq\f(4,13)，∴樣本容量n＝40÷eq\f(4,13)＝130.]3．某城區(qū)有農(nóng)夫、工人、學(xué)問(wèn)分子家庭共計(jì)2000家，其中農(nóng)夫家庭1800戶，工人家庭100戶．現(xiàn)要從中抽取容量為40的樣本，調(diào)查家庭收入狀況，則在整個(gè)抽樣過(guò)程中，可以用到的抽樣方法有()①簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣；②系統(tǒng)抽樣；③分層抽樣A．②③ B．①③C．③ D．①②③D[由三種抽樣方法的特點(diǎn)知，應(yīng)先采納分層抽樣對(duì)農(nóng)夫家庭需用系統(tǒng)抽樣得到樣本，對(duì)工人家庭需用簡(jiǎn)潔隨機(jī)抽樣．]4．一個(gè)地區(qū)共有5個(gè)鄉(xiāng)鎮(zhèn)，人口3萬(wàn)人，其人口比例為3∶2∶5∶2∶3