數(shù)學(xué)教案：函數(shù)的應(yīng)用（Ⅰ）

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7（),\s\do5（整體設(shè)計)）教學(xué)分析函數(shù)基本模型的應(yīng)用是本章的重點內(nèi)容之一．教科書用例題作示范，并配備了較多的實際問題讓學(xué)生進行練習(xí)．在例題中,分別介紹了分段函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、二次函數(shù)的應(yīng)用．三維目標1．培養(yǎng)學(xué)生由實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的建模能力,即根據(jù)實際問題進行信息綜合列出函數(shù)解析式．2．會利用函數(shù)圖象性質(zhì)對函數(shù)解析式進行處理得出數(shù)學(xué)結(jié)論，并根據(jù)數(shù)學(xué)結(jié)論解決實際問題．3．通過學(xué)習(xí)函數(shù)基本模型的應(yīng)用,體會實踐與理論的關(guān)系,初步向?qū)W生滲透理論與實踐的辯證關(guān)系．重點難點教學(xué)重點:根據(jù)實際問題分析建立數(shù)學(xué)模型，并根據(jù)數(shù)學(xué)模型解決實際問題．教學(xué)難點：建立數(shù)學(xué)模型．課時安排1課時eq\o(\s\up7(），\s\do5（教學(xué)過程)）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例））思路1例1某列火車從北京西站開往石家莊，全程277km.火車出發(fā)10min開出13km后，以120km/h勻速行駛．試寫出火車行駛的總路程s與勻速行駛的時間t之間的關(guān)系,并求離開北京2h時火車行駛的路程．解:因為火車勻速運動的時間為(277－13)÷120＝eq\f(11，5）（h)，所以0≤t≤eq\f（11,5）.因為火車勻速行駛th所行駛路程為120t,所以，火車行駛的總路程s與勻速行駛時間t之間的關(guān)系是s＝13＋120t(0≤t≤eq\f（11,5））．離開北京2h時火車行駛的路程s＝13＋120×eq\f（11，6）＝233(km）．點評:本題函數(shù)模型是一次函數(shù)，要借助于相關(guān)的物理知識來解決。變式訓(xùn)練電信局為了滿足客戶不同需要，設(shè)有A、B兩種優(yōu)惠方案，這兩種方案應(yīng)付話費(元)與通話時間(分鐘）之間關(guān)系如下圖所示（其中MN∥CD)．（1）分別求出方案A、B應(yīng)付話費（元）與通話時間x（分鐘)的函數(shù)表達式f(x)和g(x）;(2)假如你是一位電信局推銷人員，你是如何幫助客戶選擇A、B兩種優(yōu)惠方案的?并說明理由．解：（1)先列出兩種優(yōu)惠方案所對應(yīng)的函數(shù)解析式：f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（20,0≤x≤100，\f（3,10)x－10，x>100,）)g（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（50，0≤x≤500,\f（3,10）x－100，x〉500.))（2）當f(x)＝g（x）時,eq\f(3，10)x－10＝50，∴x＝200?！喈斂蛻敉ㄔ挄r間為200分鐘時，兩種方案均可；當客戶通話時間為0≤x＜200分鐘，g（x)＞f（x)，故選擇方案A；當客戶通話時間為x＞200分鐘時，g(x)＜f(x)，故選擇方案B.例2某農(nóng)家旅游公司有客房300間，每間日房租為20元,每天都客滿．公司欲提高檔次，并提高租金．如果每間客房每日增加2元，客房出租數(shù)就會減少10間．若不考慮其他因素，旅游公司將房間租金提高到多少時,每天客房的租金總收入最高？分析：由題設(shè)可知,每天客房總的租金是增加2元的倍數(shù)的函數(shù)．設(shè)提高為x個2元，則依題意可算出總租金(用y表示）的表達式．由于客房間數(shù)不太多，為了幫助同學(xué)理解這道應(yīng)用題,我們先用列表法求解,然后再用函數(shù)的解析表達式求解．解：方法一依題意可列表如下：xy0300×20＝60001(300－10×1）(20＋2×1)＝63802(300－10×2)（20＋2×2)＝67203（300－10×3）（20＋2×3）＝70204(300－10×4)（20＋2×4)＝72805（300－10×5)（20＋2×5）＝75006(300－10×6）(20＋2×6）＝76807（300－10×7）(20＋2×7）＝78208（300－10×8)(20＋2×8）＝79209(300－10×9)(20＋2×9）＝798010（300－10×10)（20＋2×10)＝800011（300－10×11）（20＋2×11)＝798012(300－10×12)（20＋2×12）＝792013（300－10×13)(20＋2×13）＝7820……由上表容易得到，當x＝10,即每天租金為40元時，能出租客房200間，此時每天總租金最高，為8000元．再提高租金，總收入就要小于8000元了．方法二設(shè)客房租金每間提高x個2元,則將有10x間客房空出,客房租金的總收入為y＝(20＋2x)（300－10x）＝－20x2＋600x－200x＋6000＝－20（x2－20x＋100－100）＋6000＝－20(x－10)2＋8000。由此得到，當x＝10時，ymax＝8000.因此每間租金為20＋10×2＝40（元)時，客房租金的總收入最高,每天為8000元．點評：二次函數(shù)模型是最重要的函數(shù)模型,是課程標準和高考的重點.變式訓(xùn)練某車間生產(chǎn)某種產(chǎn)品,固定成本為2萬元，每生產(chǎn)一件產(chǎn)品成本增加100元,已知總收益R（總收益指工廠出售產(chǎn)品的全部收入,它是成本與總利潤的和，單位：元）是年產(chǎn)量Q（單位：件)的函數(shù),滿足關(guān)系式：R＝f（Q）＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(400Q－\f(1，2)Q2，0≤Q≤400,,80000，Q〉400，)）求每年生產(chǎn)多少產(chǎn)品時，總利潤最大？此時總利潤是多少元？解:y＝R－100Q－20000＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（300Q－\f（1,2)Q2－20000，0≤Q≤400，，60000－100Q，Q〉400））(Q∈Z）．(1)0≤Q≤400時，y＝－eq\f(1,2）（Q－300）2＋25000,∴當Q＝300時,ymax＝25000.（2）Q＞400時，y＝60000－100Q＜20000,∴綜合(1）（2)，當每年生產(chǎn)300件時利潤最大為25000元。例1某單位計劃用圍墻圍出一塊矩形場地，現(xiàn)有材料可筑墻的總長度為l，如果要使圍墻圍出的場地面積最大，問矩形的長、寬各等于多少？解：設(shè)矩形的長為x(0＜x＜eq\f(l,2)），則寬為eq\f（1，2)（l－2x),從而矩形的面積為S＝x·eq\f（l－2x,2）＝－x2＋eq\f（l，2）x＝－[x2－eq\f(l，2）x＋(eq\f（l，4）)2－(eq\f(l，4））2］＝－（x－eq\f（l，4））2＋eq\f(l2，16）。由此可得,該函數(shù)在x＝eq\f(l，4)時取得最大值，且Smax＝eq\f（l2，16)。這時矩形的寬為eq\f（l－2x，2)＝eq\f(l,4).即這個矩形是邊長等于eq\f（l，4）的正方形時，所圍出的面積最大．點評：本題轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值，在實際應(yīng)用問題中，二次函數(shù)是最常見的函數(shù)模型.變式訓(xùn)練某農(nóng)產(chǎn)品去年各季度的市場價格如下表：季度第一季度第二季度第三季度第四季度每噸售價(單位：元）195.5200。5204。5199。5今年某公司計劃按去年各季度市場價格的“平衡價m"（平衡價m是這樣的一個量：m與各季度售價差的平方和最小）收購該種農(nóng)產(chǎn)品，并按每個100元納稅10元（又稱征稅率為10個百分點)，計劃可收購a萬噸，政府為了鼓勵公司多收購這種農(nóng)產(chǎn)品，決定將稅率降低x個百分點，預(yù)測收購量可增加2x個百分點，（1)根據(jù)題中條件填空,m＝________（元/噸);(2)寫出稅收y（萬元）與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）若要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不少于原計劃稅收的83.2％，試確定x的取值范圍．解：（1）∵f(m)＝(m－195。5)2＋(m－200.5）2＋(m－204。5）2＋(m－199。5）2＝4m2－1600m＋160041,∴m＝200。（2)降低稅率后的稅率為(10－x）%,農(nóng)產(chǎn)品的收購量為a(1＋2x％)萬噸,收購總金額為200a（1＋2x%），故y＝200a(1＋2x%）(10－x）%＝eq\f（200,10000）a（100＋2x）(10－x）＝eq\f(1，50)a(100＋2x)（10－x)(0＜x＜10）．(3）原計劃稅收為200a×10％＝20a（萬元)，依題意得eq\f（1，50)a（100＋2x）(10－x）≥20a×83。2％，即x2＋40x－84≤0.解得－42≤x≤2.又0＜x＜10，∴0＜x≤2.∴x的取值范圍是0＜x≤2。例2建立函數(shù)數(shù)學(xué)模型的例子．問題：我國1999～2002年國內(nèi)生產(chǎn)總值(單位：萬億元）如下表所示:年份1999200020012002x0123生產(chǎn)總值8.20678.94429。593310。2398（1)畫出函數(shù)圖形，猜想它們之間的函數(shù)關(guān)系,近似地寫出一個函數(shù)關(guān)系式；(2）利用得出的關(guān)系式求生產(chǎn)總值，與表中實際生產(chǎn)總值比較；(3）利用關(guān)系式估計2003年我國的國內(nèi)生產(chǎn)總值．解：（1）畫出函數(shù)圖形．從函數(shù)的圖形可以看出，畫出的點近似地落在一條直線上，可選擇線性函數(shù)建立數(shù)學(xué)模型．如下圖所示．設(shè)所求的線性函數(shù)為y＝kx＋b.把直線通過的兩點(0，8.2067）和(3，10。2398）代入上式，解方程組，得k＝0.6777，b＝8.2067.因此，所求的函數(shù)關(guān)系式為y＝f(x）＝0.6777x＋8.2067。（2）由得到的關(guān)系式計算出2000年和2001年的國內(nèi)生產(chǎn)總值分別為f（1)＝0.6777×1＋8.2067＝8。8844，f（2）＝0。6777×2＋8。2067＝9。5621,與實際的生產(chǎn)總值相比，誤差不超過0。1萬億元．（3)假設(shè)我國2002年以后國內(nèi)生產(chǎn)總值還按上面的關(guān)系式增長,則2003年(即x＝4時）的國內(nèi)生產(chǎn)總值為y＝f（4）＝0.6777×4＋8.2067＝10.9175，所以2003年國內(nèi)生產(chǎn)總值約為10。9175萬億元．點評：根據(jù)國家統(tǒng)計局公布的數(shù)據(jù)，我國2003年國內(nèi)生產(chǎn)總值為11.6694萬億元，比估計的數(shù)字高得多．這說明為解決實際問題所建立的數(shù)學(xué)模型是否符合實際情況，還要經(jīng)過實踐的驗證,如果與實際誤差較大，就要修正得到的數(shù)學(xué)模型．這里是同學(xué)們第一次學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模，問題雖然簡單，但體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的主要思路．順此思路，同學(xué)們不妨取兩點(0，8。2067），（2，9.5933)去求函數(shù)關(guān)系式，進一步體會數(shù)學(xué)建模的思想。變式訓(xùn)練九十年代,政府間氣候變化專業(yè)委員會(IPCC）提供的一項報告指出：使全球氣候逐年變暖的一個重要因素是人類在能源利用與森林砍伐中使CO2濃度增加．據(jù)測，1990年、1991年、1992年大氣中的CO2濃度分別比1989年增加了1個可比單位、3個可比單位、6個可比單位．若用一個函數(shù)模擬九十年代中每年CO2濃度增加的可比單位數(shù)y與年份增加數(shù)x的關(guān)系,模擬函數(shù)可選用二次函數(shù)或函數(shù)y＝a·bx＋c(其中a、b、c為常數(shù))，且又知1994年大氣中的CO2濃度比1989年增加了16個可比單位，請問用以上哪個函數(shù)作為模擬函數(shù)較好？解：（1)若以f（x)＝px2＋qx＋r作模擬函數(shù)，則依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（p＋q＋r＝1，,4p＋2q＋r＝3，,9p＋3q＋r＝6，))解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（p＝\f(1,2)，,q＝\f（1，2），，r＝0，）)∴f（x)＝eq\f(1,2)x2＋eq\f（1,2)x.(2）若以g(x）＝a·bx＋c作模擬函數(shù)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（ab＋c＝1,,ab2＋c＝3，,ab3＋c＝6，)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a＝\f(8，3），,b＝\f（3，2）,，c＝－3，))∴g(x)＝eq\f(8，3）·(eq\f（3,2））x－3.(3)利用f（x）、g(x)對1994年CO2濃度作估算，則其數(shù)值分別為：f（5）＝15可比單位，g（5）＝17.25可比單位，∵|f（5）－16|＜|g(5)－16｜，故選f（x）＝eq\f（1,2）x2＋eq\f（1,2)x作為模擬函數(shù)與1994年的實際數(shù)據(jù)較為接近。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓(xùn)練)）1．我市有甲、乙兩家乒乓球俱樂部，兩家設(shè)備和服務(wù)都很好,但收費方式不同．甲家每張球臺每小時5元；乙家按月計費，一個月中30小時以內(nèi)(含30小時)每張球臺90元，超過30小時的部分每張球臺每小時2元．小張準備下個月從這兩家中的一家租一張球臺開展活動，其活動時間不少于15小時，也不超過40小時．設(shè)在甲家租一張球臺開展活動x小時的收費為f(x)元（15≤x≤40），在乙家租一張球臺開展活動x小時的收費為g（x)元(15≤x≤40），試求f（x)和g(x）．答案:f(x）＝5x（15≤x≤40）；g（x）＝eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（90，15≤x≤30，，2x＋90,30<x≤40。）)2．A、B兩城相距100km,在兩地之間距A城xkm處D地建一核電站給A、B兩城供電，為保證城市安全．核電站距城市距離不得少于10km。已知供電費用與供電距離的平方和供電量之積成正比,比例系數(shù)λ＝0.25。若A城供電量為20億度/月，B城為10億度/月．把月供電總費用y表示成x的函數(shù),并求定義域．答案:y＝5x2＋eq\f(5,2)（100—x)2（10≤x≤90)．3．當人的生活環(huán)境溫度改變時,人體代謝率也有相應(yīng)的變化，下表給出了實驗的一組數(shù)據(jù),這組數(shù)據(jù)能說明什么?環(huán)境溫度/（℃)410203038代謝率/4185J/(h·m2）60444040.554解：在這個實際問題中出現(xiàn)了兩個變量：一個是環(huán)境溫度；另一個是人體的代謝率．不難看出，對于每一個環(huán)境溫度都有唯一的人體代謝率與之對應(yīng),這就決定了一個函數(shù)關(guān)系．實驗數(shù)據(jù)已經(jīng)給出了幾個特殊環(huán)境溫度時的人體代謝率，為了使函數(shù)關(guān)系更直觀，我們將表中的每一對實驗值在直角坐標系中表示出來．在醫(yī)學(xué)研究中，為了方便，常用折線把它們連接起來(如下圖）．根據(jù)圖象，可以看出下列性質(zhì)：(1）代謝率曲線在小于20℃的范圍內(nèi)是下降的,在大于30℃的范圍內(nèi)是上升的；（2）環(huán)境溫度在20℃～30℃時,代謝率較低，并且較穩(wěn)定，即溫度變化時，代謝率變化不大；（3）環(huán)境溫度太低或太高時，它對代謝率有較大影響．所以，臨床上做“基礎(chǔ)代謝率”測定時,室溫要保持在20℃～30℃之間,這樣可以使環(huán)境溫度的影響最?。?．某蛋糕廠生產(chǎn)某種蛋糕的成本為40元/個，出廠價為60元/個，日銷售量為1000個，為適應(yīng)市場需求,計劃提高蛋糕檔次，適度增加成本．若每個蛋糕成本增加的百分率為x(0＜x＜1），則每個蛋糕的出廠價相應(yīng)提高的百分率為0。5x，同時預(yù)計日銷售量增加的百分率為0。8x,已知日利潤＝(出廠價一成本)×日銷售量，且設(shè)增加成本后的日利潤為y.（1)寫出y與x的關(guān)系式；(2）為使日利潤有所增加,求x的取值范圍．解：（1)由題意，得y＝[60×(1＋0。5x)－40×(1＋x）]×1000×（1＋0.8x）＝2000(－4x2＋3x＋10）（0＜x＜1）．（2)要保證日利潤有所增加，當且僅當eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（y－（60－40）×1000>0，,0<x<1，））即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（－4x2＋3x>0,，0〈x〈1.))解得0＜x＜eq\f（3，4）.所以為保證日利潤有所增加,x應(yīng)滿足0＜x＜eq\f(3,4）.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)某養(yǎng)殖廠需定期購買飼料，已知該廠每天需要飼料200千克，每千克飼料的價格為1。8元,飼料的保管與其他費用為平均每千克每天0.03元，購買飼料每次支付運費300元．(1)求該廠多少天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小？（2）若提供飼料的公司規(guī)定，當一次購買飼料不少于5噸時其價格可享受八五折優(yōu)惠(即原價的85％)．問該廠是否考慮利用此優(yōu)惠條件，請說明理由．解：(1)設(shè)該廠應(yīng)隔x（x∈N＋)天購買一次飼料，平均每天支付的總費用為y1，∵飼料的保管與其他費用每天比前一天少200×0。03＝6(元），∴x天飼料的保管與其他費用共有6(x－1）＋6(x－2)＋…＋6＝3x2－3x(元）．從而有y1＝eq\f（1,x）(3x2－3x＋300)＋200×1。8＝eq\f（300,x）＋3x＋357,可以證明y1＝eq\f（300,x）＋3x＋357在(0，10）上為減函數(shù)，在（10，＋∞)上為增函數(shù)．∴當x＝10時，y1有最小值417,即每隔10天購買一次飼料才能使平均每天支付的總費用最小．(2)若廠家利用此優(yōu)惠條件，則至少25天購買一次飼料，設(shè)該廠利用此優(yōu)惠條件，每隔x天(x≥25）購買一次飼料,平均每天支付的總費用為y2,則y2＝eq\f(1，x)(3x2－3x＋300）＋200×1.8×0.85＝eq\f（300，x）＋3x＋303(x≥25)．∵函數(shù)y2在[25，＋∞）上是增函數(shù),∴當x＝25時，y2取得最小值為390。而390＜417，∴該廠應(yīng)接受此優(yōu)惠條件．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))本節(jié)學(xué)習(xí)了一、二次函數(shù)的實際應(yīng)用，建立函數(shù)模型解決實際問題．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)課本習(xí)題2－3A2、3、4.eq\o(\s\up7(）,\s\do5（設(shè)計感想))本節(jié)設(shè)計從現(xiàn)實例題開始，讓學(xué)生從現(xiàn)實中體會函數(shù)模型的選擇,然后通過幾個實例介紹常用函數(shù)模型．接著通過最新題型訓(xùn)練學(xué)生由圖表轉(zhuǎn)化為函數(shù)解析式的能力，從而解決實際問題,本節(jié)的每個例題的素材都是貼近現(xiàn)代生活，學(xué)生非常感興趣的問題,很容易引起學(xué)生的共鳴．eq\o(\s\up7(），\s\do5(備課資料))[備選例題］例1假設(shè)國家收購某種農(nóng)產(chǎn)品的價格是120元/擔(dān)，其中征稅標準為每100元征8元（叫稅率為8%)，計劃可收購m萬擔(dān)（其中m為正常數(shù)),為了減輕農(nóng)民負擔(dān)，如果稅率降低x%，預(yù)計收購量可增加(2x)％.（1)寫出稅收y(萬元)與x的函數(shù)關(guān)系式；(2)要使此項稅收在稅率調(diào)節(jié)后不低于原計劃的78％，求x的取值范圍．解：(1）y＝120m×104［1＋(2x)%]×(8－x）％＝120m（－2x2－84x＋800)．(2）由題意知120m(－2x2－84x＋800)≥0.78×120m×104×8％，解得0＜x≤2。所以x的取值范圍是0＜x≤2。例2某廠生產(chǎn)一種暢銷的新型工藝品，為此更新專用設(shè)備和制作模具花去了200000元，生產(chǎn)每件工藝品的直接成本為300元，每件工藝品的售價為500元，產(chǎn)量x對總成本C、單位成本P、銷售收入R以及利潤L之間存在什么樣的函數(shù)關(guān)系？表示了什么實際含義？解：總成本C與產(chǎn)量x的關(guān)系為C＝200000＋300x；單位成本P與產(chǎn)量x的關(guān)系為P＝eq\f(200000，x）＋300；銷售收入R與產(chǎn)量x的關(guān)系為R＝500x；利潤L與產(chǎn)量x的關(guān)