數(shù)學教案：空間直角坐標系

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(），\s\do5(整體設(shè)計）)教學分析教材介紹了空間直角坐標系有關(guān)概念．本節(jié)難度不大，可以讓學生自己閱讀教材，留給學生足夠的空間．值得注意的是課前讓學生自己制作空間直角坐標系模型,讓學生經(jīng)歷知識的形成過程．三維目標1．掌握空間直角坐標系的有關(guān)概念，培養(yǎng)學生的空間想象能力．2．會求空間直角坐標系中點的坐標,提高解決問題的能力．重點難點教學重點：在空間直角坐標系中確定點的坐標．教學難點：通過建立適當?shù)目臻g直角坐標系確定空間點的坐標，以及相關(guān)應(yīng)用．課時安排1課時eq\o(\s\up7(），\s\do5(教學過程))導(dǎo)入新課設(shè)計1.大家先來思考這樣一個問題,飛機飛行的速度非?？?，即使民航飛機速度也非?？?有很多飛機時速在1000km以上，而全世界又這么多飛機，這些飛機在空中風馳電掣,速度是如此的快,豈不是很容易撞機嗎？但事實上，飛機的失事率是極低的，比火車,汽車要低得多,原因是，飛機都是沿著國際統(tǒng)一劃定的航線飛行，而在劃定某條航線時,不僅要指出航線在地面上的經(jīng)度和緯度，還要指出航線距離地面的高度．為此我們學習空間直角坐標系．設(shè)計2.我們知道數(shù)軸上的任意一點M都可用對應(yīng)的一個實數(shù)x表示，建立了平面直角坐標系后，平面上任意一點M都可用對應(yīng)的一對有序?qū)崝?shù)（x,y）表示．那么假設(shè)我們建立一個空間直角坐標系時，空間中的任意一點是否可用對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組（x，y，z）表示出來呢？為此我們學習空間直角坐標系．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(提出問題））1．在初中，我們學過數(shù)軸，那么什么是數(shù)軸？決定數(shù)軸的因素有哪些？數(shù)軸上的點怎樣表示？2．在初中，我們學過平面直角坐標系，那么如何建立平面直角坐標系？決定平面直角坐標系的因素有哪些？平面直角坐標系上的點怎樣表示？3．閱讀教材，在空間怎樣確定點的位置?4．閱讀教材,在空間直角坐標系中怎樣確定點的坐標？5．閱讀教材，坐標平面和坐標軸上點的坐標有什么特點？6．閱讀教材，說出八個卦限．討論結(jié)果：1．在初中,我們學過數(shù)軸是規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．決定數(shù)軸的因素有原點、正方向和單位長度．這是數(shù)軸的三要素．數(shù)軸上的點可用與這個點對應(yīng)的實數(shù)x來表示．2．在初中，我們學過平面直角坐標系，平面直角坐標系是以一點為原點O，過原點O分別作兩條互相垂直的數(shù)軸Ox和Oy，xOy稱平面直角坐標系,平面直角坐標系具有以下特征:兩條數(shù)軸互相垂直；原點重合；通常取向右、向上為正方向；單位長度一般取相同的．平面直角坐標系上的點用它對應(yīng)的橫、縱坐標表示，括號里橫坐標寫在縱坐標的前面，它們是一對有序?qū)崝?shù)(x,y）．3．為了確定空間點的位置，我們在平面直角坐標系xOy的基礎(chǔ)上，通過原點O,再作一條數(shù)軸z,使它與x軸，y軸都垂直（如上圖)，這樣它們中的任意兩條都互相垂直；軸的方向通常這樣選擇：從z軸的正方向看，x軸的正半軸沿逆時針方向轉(zhuǎn)90°能與y軸的正半軸重合．這時,我們說在空間建立了一個空間直角坐標系Oxyz，O叫做坐標原點．4．如上圖所示，過點P作一個平面平行于平面yOz(這樣構(gòu)造的平面同樣垂直于x軸),這個平面與x軸的交點記為Pz，它在x軸上的坐標為x(圖中為2)，這個數(shù)x就叫做點P的x坐標．過點P作一個平面平行于平面xOz(垂直于y軸)，這個平面與y軸的交點記為Py，它在y軸上的坐標為y(圖中為3），這個數(shù)y就叫做點P的y坐標．過點P作一個平面平行于坐標平面xOy(垂直于z軸），這個平面與z軸的交點記為Pz,它在z軸上的坐標為z(圖中為5)，這個數(shù)z就叫做點P的z坐標．這樣，我們對空間中的一個點，定義了三個實數(shù)的有序數(shù)組作為它的坐標,記作P(x，y，z)（圖中為P（2,3,5）)．其中x,y，z也可稱為點P的坐標分量．反之，任意給定三個實數(shù)的有序數(shù)組（x，y,z），就能夠確定空間一個點的位置與之對應(yīng)．為此，按照剛才作圖的相反順序，在坐標軸上分別作出點Px，Py，Pz,使它們在x軸、y軸、z軸上的坐標分別是x，y，z。再分別通過這些點作平面平行于平面yOz，xOz，xOy，這三個平面的交點，就是所求的點P.這樣,在空間任意一點與三個實數(shù)的有序數(shù)組(點的坐標）之間，我們就建立起一一對應(yīng)關(guān)系．每兩條坐標軸分別確定的平面yOz，xOz，xOy，叫做坐標平面．5．xOy平面(通過x軸和y軸的平面）是坐標形如（x，y,0）的點構(gòu)成的點集,其中x，y為任意的實數(shù);xOz平面(通過x軸和z軸的平面)是坐標形如(x,0，z）的點構(gòu)成的點集，其中x，z為任意的實數(shù)；yOz平面(通過y軸和z軸的平面）是坐標形如（0，y，z）的點構(gòu)成的點集，其中y,z為任意的數(shù)；x軸是坐標形如（x，0,0）的點構(gòu)成的點集，其中x為任意實數(shù)；y軸是坐標形如(0，y,0）的點構(gòu)成的點集，其中y為任意實數(shù);z軸是坐標形如（0,0，z)的點構(gòu)成的點集，其中z為任意實數(shù)．通過點P作平行于坐標平面的平面與坐標軸的交點Px,Py，Pz，其過程也就是作點P在坐標軸上的投影．即,從點P向坐標軸引垂線，它們的垂足分別為Px，Py，Pz.所以點P的空間坐標為點P在坐標軸上的投影在這些坐標軸上的坐標．6．三個坐標平面把空間分為八部分,每一部分都稱為一個卦限．在坐標平面xOy上方，分別對應(yīng)該坐標平面上四個象限的卦限，稱為第Ⅰ、第Ⅱ、第Ⅲ、第Ⅳ卦限；在下方的卦限稱為第Ⅴ、第Ⅵ、第Ⅶ、第Ⅷ卦限（如下圖)．在每個卦限內(nèi)，點的坐標各分量的符號是不變的．例如在第Ⅰ卦限，三個坐標分量x，y，z都為正數(shù)；在第Ⅱ卦限，x為負數(shù)，y,z都為正數(shù)……eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（應(yīng)用示例)）思路1例1如下圖,點P′在x軸正半軸上，｜OP′｜＝2，P′P在xOz平面上，且垂直于x軸，｜P′P|＝1.求點P′和P的坐標．解：點P′的坐標為(2，0,0),點P的坐標為（2，0,1)．變式訓練已知點P′在x軸正半軸上，|OP′｜＝2,PP′在xOz平面上，且垂直于x軸，｜PP′|＝1,求點P′和P的坐標．解：顯然，P′在x軸上，它的坐標為(2，0,0）．若點P在xOy平面上方，則點P的坐標為(2，0,1)．若點P在xOy平面下方，則點P的坐標為(2，0,－1)．例2在空間直角坐標系中作出點P(3，－2，4）．分析：已知點P（x，y,z)，可以先確定P′(x，y,0）在xOy平面上的位置．|P′P|＝|z|,如果z＝0，則點P即點P′；如果z〉0，則點P與z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)；如果z〈0，則點P與z軸的負半軸在xOy平面的同側(cè)，即可依此方法作出P點．解：先確定P′(3，－2,0）在xOy平面上的位置．因為點P的z坐標為4,則｜P′P｜＝4，且點P和z軸的正半軸在xOy平面的同側(cè)，這樣就確定了點P在空間直角坐標系中的位置，如下圖．變式訓練在同一個空間直角坐標系中畫出下列各點：A（0,0,0），B（3，0,0)，C(3，2,0），D（0,2，0），A′（0,0，1),B′(3，0，1）,C′（3,2,1）,D′（0，2,1）．解：在空間直角坐標系中,畫出以上各點,如下圖,它們剛好是一個長方體的八個頂點．思路2例1如下圖,長方體OABC—D′A′B′C′中，|OA|＝3，｜OC｜＝4，｜OD′｜＝2。寫出D′，C，A′，B′四點的坐標．分析：要寫出點的坐標，首先要確定點的位置,再根據(jù)各自坐標的含義和特點寫出．D′在z軸上,因此它的橫縱坐標都為0；C在y軸上，因此它的橫豎坐標都為0;A′是zOx面上的點,y＝0;B′不在坐標面上，三個坐標都要求．解：D′在z軸上，而｜OD′｜＝2,因此它的豎坐標為2,橫縱坐標都為0,因此D′的坐標是(0,0,2)．同理,C的坐標為（0，4,0）．A′是zOx平面上的點,y＝0，A′的橫坐標就是|OA｜＝3，A′的豎坐標就是｜OD′｜＝2,所以A′的坐標就是(3,0,2)．點B′在yOx平面上的射影是點B，因此它的橫坐標與縱坐標與B點的橫坐標與縱坐標相同，在yOx平面上B點的橫坐標為3、縱坐標為4,點B′在z軸上的射影是D′，它的豎坐標與D′的豎坐標相同，點D′的豎坐標為2，所以點B′的坐標是（3,4，2)．點評：能準確地確定空間任意一點的坐標是學好空間直角坐標系的基礎(chǔ),一定掌握如下方法，過點M作三個平面分別垂直于x軸，y軸和z軸,確定x，y和z,同時掌握一些特殊的點的坐標特征．變式訓練如下圖，在正方體OABC—D′A′B′C′中，|OA|＝2。寫出D′、C′、A′、B′四點的坐標．解：D′在z軸上，且OD′＝2，它的豎坐標是2;它的橫坐標x與縱坐標y都是零，所以D′的坐標是(0，0，2）．點C的縱坐標是2。它的橫坐標x與豎坐標z都是零，所以點C的坐標是（0,2，0）．同理，點A′的坐標是（2，0，2）．點B′在xOy平面上的射影是B，因此它的橫坐標x與縱坐標y同點B的橫坐標x與縱坐標y相同．在xOy平面上,點B橫坐標x＝2，縱坐標y＝2；點B′在z軸上的射影是D′,它的豎坐標與點D′的豎坐標相同，點D′的豎坐標z＝2.所以點B′的坐標是(2，2,2)．例2如下圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E，F(xiàn)分別是BB1和D1B1的中點，棱長為1，求E，F(xiàn)點的坐標．解：方法一：從圖中可以看出E點在xOy平面上的射影為B,而B點的坐標為(1，1，0),E點的豎坐標為eq\f（1,2），所以E點的坐標為（1,1，eq\f（1,2))；F點在xOy平面上的射影為G,而G點的坐標為（eq\f（1，2）,eq\f(1，2)，0），F(xiàn)點的豎坐標為1，所以F點的坐標為(eq\f(1,2）,eq\f（1，2)，1)．方法二：從圖中條件可以得到B1(1,1,1)，D1(0，0,1),B(1，1,0）．E為BB1的中點,F為D1B1的中點，由中點坐標公式得E點的坐標為（eq\f（1＋1,2），eq\f(1＋1,2)，eq\f（1＋0,2））＝(1，1，eq\f(1,2))，F(xiàn)點的坐標為(eq\f(1＋0,2),eq\f（1＋0，2)，eq\f(1＋1,2))＝（eq\f(1,2）,eq\f（1,2）,1）．點評：（1)平面上的中點坐標公式可以推廣到空間，即設(shè)A(x1，y1，z1),B（x2，y2，z2），則AB的中點P(eq\f（x1＋x2,2),eq\f（y1＋y2，2)，eq\f(z1＋z2,2))；（2)熟記坐標軸上的點的坐標和坐標平面上的點的坐標特征．變式訓練1．在上題中求B1（1，1，1）點關(guān)于平面xOy對稱的點的坐標．解:設(shè)所求的點為B0（x0，y0，z0)，由于B為B0B1的中點，所以eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(1＝\f(1＋x0,2)，，1＝\f(1＋y0,2），,0＝\f（1＋z0,2）.))解得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝1，，y0＝1，，z0＝－1.）)所以B0（1,1，－1)．2．在上題中求B1(1，1,1）點關(guān)于z軸對稱的點的坐標．解：設(shè)所求的點為P(x0，y0，z0），由于D1為PB1的中點,因為D1(0,0，1)，所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(0＝\f（1＋x0，2），，0＝\f（1＋y0,2)，,1＝\f（1＋z0,2）。)）解之,得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x0＝－1，，y0＝－1，,z0＝1。））所以P（－1,－1,1）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓練)）1．有下列敘述，其中正確敘述的個數(shù)為()①在空間直角坐標系中,在Oy軸上的點的坐標一定可記為(0,b,0)；②在空間直角坐標系中，在yOz平面上的點的坐標一定可記為(0，b，c）;③在空間直角坐標系中，在Oz軸上的點的坐標一定可記為（0,0，c);④在空間直角坐標系中，在zOx平面上的點的坐標一定可記為(a，b，c）．A．1B．2C．3D．4答案：C2．在空間直角坐標系中的點P（a，b，c），有下列敘述：①點P（a，b,c）關(guān)于橫軸（x軸)的對稱點是P1(a，－b，c）；②點P(a，b，c）關(guān)于yOz坐標平面的對稱點為P2(a，－b，－c)；③點P(a，b，c)關(guān)于縱軸(y軸)的對稱點是P3(a,－b，c）;④點P(a,b，c）關(guān)于坐標原點的對稱點為P4(－a，－b，－c）．其正確敘述的個數(shù)為()A．3B．2C．1D．0答案：C3．在空間直角坐標系中的點P(x，y,z）關(guān)于①坐標原點；②橫軸(x軸）；③縱軸(y軸)；④豎軸(z軸);⑤xOy坐標平面；⑥yOz坐標平面；⑦zOx坐標平面的對稱點的坐標是什么？答案：根據(jù)平面直角坐標系的點的對稱方法結(jié)合中點坐標公式可知:點P(x，y，z）關(guān)于坐標原點的對稱點為P1（－x，－y，－z);點P（x，y，z)關(guān)于橫軸（x軸)的對稱點為P2（x，－y，－z）；點P(x，y,z）關(guān)于縱軸(y軸）的對稱點為P3(－x,y，－z)；點P（x，y，z)關(guān)于豎軸(z軸）的對稱點為P4（－x，－y,z）；點P（x，y,z）關(guān)于xOy坐標平面的對稱點為P5(x,y，－z)；點P（x,y，z）關(guān)于yOz坐標平面的對稱點為P6（－x，y,z)；點P(x，y,z）關(guān)于zOx坐標平面的對稱點為P7（x,－y,z）．點評:其中記憶的方法為：關(guān)于誰誰不變，其余的相反．如關(guān)于橫軸(x軸)的對稱點，橫坐標不變，縱坐標、豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù);關(guān)于xOy坐標平面的對稱點，橫坐標、縱坐標不變，豎坐標相反．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升）)結(jié)晶體的基本單位稱為晶胞，左下圖是食鹽晶胞的示意圖(可看成是八個棱長為eq\f（1，2）的小正方體堆積成的正方體)，其中用空白點表示代表鈉原子,黑點代表氯原子．如右下圖，建立空間直角坐標系Oxyz后，試寫出全部鈉原子所在位置的坐標．解：把圖中的鈉原子分成下、中、上三層來寫它們所在位置的坐標．下層的原子全部在xOy平面上，它們所在位置的z坐標全是0，所以這五個鈉原子所在位置的坐標分別是（0,0，0）、（1,0,0）、(1，1,0)、（0,1,0)、（eq\f（1,2）,eq\f(1,2)，0）．中層的原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點的z坐標為eq\f(1，2）；所以，這四個鈉原子所在位置的坐標分別是(eq\f(1,2),0,eq\f(1，2））、(1，eq\f(1,2)，eq\f(1,2)）、(eq\f(1，2），1，eq\f(1,2)）、（0，eq\f（1,2），eq\f(1,2))；上層的原子所在的平面平行于xOy平面，與z軸交點的z坐標為1，所以這五個鈉原子的坐標分別是（0,0,1)，（1,0,1），(1,1，1)，(0，1,1），(eq\f(1,2），eq\f（1,2)，1）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)））本節(jié)學習了：1．空間直角坐標系及坐標；2．中點公式：P1(x1，y1，z1），P2(x2，y2，z2），則P1P2中點M的坐標為(eq\f(x1＋x2，2），eq\f(y1＋y2，2），eq\f(z1＋z2，2)）．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)）)本節(jié)練習A2題．eq\o（\s\up