新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第21講一類中點(diǎn)連線過定點(diǎn)問題(原卷版+解析)

第21講一類中點(diǎn)連線過定點(diǎn)問題一、解答題1．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和等于．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；①證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．②求四邊形面積的最小值．2．在直角坐標(biāo)系中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．3．已知斜率為的的直線與橢圓交于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，直線在軸上的截距為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的倍.（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)都在橢圓上，且都經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，，線段的中點(diǎn)分別為，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn).求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，說明理由.4．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓過點(diǎn)，且焦距為2，過點(diǎn)分別作斜率為的橢圓的動(dòng)弦，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．5．橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），且直線與的斜率的乘積為．（1）求橢圓的方程；（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于，，，四點(diǎn)，線段、的中點(diǎn)分別為、，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．6．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦．若弦的中點(diǎn)分別為，證明：直線恒過定點(diǎn)．7．設(shè)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為4.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)，作軌跡的兩條互相垂直的弦，，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，試判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.8．已知拋物線，過焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn).（1）若，求；（2）過焦點(diǎn)再作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且分別是線段的中點(diǎn)，若，證明：直線過定點(diǎn).第21講一類中點(diǎn)連線過定點(diǎn)問題一、解答題1．在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，已知平行四邊形兩條對(duì)角線的長(zhǎng)度之和等于．（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（2過作互相垂直的兩條直線、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于、，與動(dòng)點(diǎn)的軌跡交于點(diǎn)、，、的中點(diǎn)分別為、；①證明：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．②求四邊形面積的最小值．【答案】（1）；（2）①證明見解析，定點(diǎn)坐標(biāo)為；②.【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)已知條件得出，結(jié)合橢圓的定義可知點(diǎn)的軌跡是橢圓，求出、、的值，結(jié)合橢圓的焦點(diǎn)位置可得出點(diǎn)的軌跡方程，并求出的取值范圍；（2）①分析出直線的斜率存在且不為零，可設(shè)直線的方程為，可得出直線的方程為，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與點(diǎn)的軌跡方程聯(lián)立，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，同理求出點(diǎn)的坐標(biāo)，求出直線的方程，進(jìn)而可得出直線所過定點(diǎn)的坐標(biāo)；②求得、，利用基本不等式可求得四邊形面積的最小值．【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，依題意，，所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡為橢圓（左、右頂點(diǎn)除外），則，，，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是；（2）①若與軸重合，則直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有交點(diǎn)，不合乎題意；若與軸重合，則直線與動(dòng)點(diǎn)的軌跡沒有交點(diǎn)，不合乎題意；設(shè)直線的方程為，則直線的方程為，直線、均過橢圓的焦點(diǎn)（橢圓內(nèi)一點(diǎn)），、與橢圓必有交點(diǎn)．設(shè)、，由，由韋達(dá)定理可得，則，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得點(diǎn)，直線的斜率為，直線的方程是，即，當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過定點(diǎn)．綜上，直線過定點(diǎn)；②由①可得，，，同理可得，所以，四邊形的面積為，當(dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)．因此，四邊形的面積的最小值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問題解決方法一般分兩種：一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來求最值；二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值．2．在直角坐標(biāo)系中，已知一動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且在軸上截得的弦長(zhǎng)為4，設(shè)動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線．（1）求曲線的方程；（2）過點(diǎn)作互相垂直的兩條直線，，與曲線交于，兩點(diǎn)，與曲線交于，兩點(diǎn)，線段，的中點(diǎn)分別為，，求證：直線過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）證明見解析；．【解析】試題分析：（1）設(shè)圓心坐標(biāo)，利用圓心的半徑相等可建立等式，求得曲線的方程；（2）易知兩直線的斜率都存在，設(shè)直線斜率可得直線方程，與拋物線方程聯(lián)立可得點(diǎn)坐標(biāo)，同理可得的坐標(biāo)，得直線的方程，得其過定點(diǎn)，且得出定點(diǎn)坐標(biāo)．試題解析：（1）設(shè)圓心，依題意有，即得，∴曲線的方程為．（2）易知直線，的斜率存在且不為0，設(shè)直線的斜率為，，，則直線：，，由得，，∴，，∴．同理得．當(dāng)或時(shí)，直線的方程為；當(dāng)且時(shí)，直線的斜率為，∴直線的方程為，即，∴直線過定點(diǎn)，其坐標(biāo)為．考點(diǎn)：曲線的軌跡方程；直線與拋物線的位置關(guān)系．【易錯(cuò)點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)法解決函數(shù)的單調(diào)性問題：（1）當(dāng)不含參數(shù)時(shí)，可通過解不等式直接得到單調(diào)遞增（或遞減）區(qū)間．（2）已知函數(shù)的單調(diào)性，求參數(shù)的取值范圍，應(yīng)用條件恒成立，解出參數(shù)的取值范圍（一般可用不等式恒成立的理論求解），應(yīng)注意參數(shù)的取值是不恒等于的參數(shù)的范圍．3．已知斜率為的的直線與橢圓交于點(diǎn)，線段中點(diǎn)為，直線在軸上的截距為橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)的倍.（1）求橢圓的方程；（2）若點(diǎn)都在橢圓上，且都經(jīng)過橢圓的右焦點(diǎn)，設(shè)直線的斜率分別為，，線段的中點(diǎn)分別為，判斷直線是否過定點(diǎn)，若過定點(diǎn).求出該定點(diǎn)，若不過定點(diǎn)，說明理由.【答案】（1）；（2）過定點(diǎn)，.【分析】（1）利用點(diǎn)差法可得，再由直線的方程為，求出軸上的截距，結(jié)合題意即可求解.（2）設(shè)直線的方程分別為，分別將直線與橢圓方程聯(lián)立，分別求出，，求出直線方程，化簡(jiǎn)整理即可求解.【詳解】本題考查橢圓的方程及直線與橢圓的位置關(guān)系，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算及邏輯推理的核心素養(yǎng).（1）設(shè)，則，且兩式相減得即，即，所以又直線的方程為，令，得所以，所以橢圓的方程為.（2）由題意得，直線的方程分別為，設(shè)，聯(lián)立，得，所以，則同理所以由得，所以直線的方程為整理得，所以直線過定點(diǎn).【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查了直線與橢圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是設(shè)出直線方程，求出點(diǎn)、以及直線的方程為，考查了運(yùn)算求解能力，綜合性比較強(qiáng).4．已知中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的橢圓過點(diǎn)，且焦距為2，過點(diǎn)分別作斜率為的橢圓的動(dòng)弦，設(shè)分別為線段的中點(diǎn)．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，求證：直線恒過定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）（0，）【解析】試題分析：（1）由焦距為2，得，可得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為，又點(diǎn)在橢圓上，根據(jù)橢圓定義，橢圓上的點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，即可求出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出直線的方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系以及探究直線過哪個(gè)定點(diǎn)．試題解析：（1）由題意知設(shè)右焦點(diǎn)橢圓方程為（2）由題意，設(shè)直線，即代入橢圓方程并化簡(jiǎn)得同理當(dāng)時(shí)，直線的斜率直線的方程為又化簡(jiǎn)得此時(shí)直線過定點(diǎn)（0，）當(dāng)時(shí)，直線即為軸，也過點(diǎn)綜上，直線過定點(diǎn)考點(diǎn)：圓錐曲線中的最值與范圍問題5．橢圓：的左右焦點(diǎn)分別為，，左右頂點(diǎn)分別為，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)（不與，重合），且直線與的斜率的乘積為．（1）求橢圓的方程；（2）過作兩條互相垂直的直線與（均不與軸重合）分別與橢圓交于，，，四點(diǎn)，線段、的中點(diǎn)分別為、，求證：直線過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)．【答案】(1)(2)見解析，經(jīng)過定點(diǎn)為【解析】試題分析：（1）根據(jù)題意，列出方程，求解的值，即可求得橢圓的方程；（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，求得的坐標(biāo)，由題設(shè)若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對(duì)稱，得該定點(diǎn)一定是直線與的交點(diǎn)，進(jìn)而求得直線過定點(diǎn)．試題解析：（1）設(shè)，由題，整理得，，整理得，結(jié)合，得，，所求橢圓方程為．（2）設(shè)直線：，聯(lián)立橢圓方程，得，得，，∴，，由題，若直線關(guān)于軸對(duì)稱后得到直線，則得到的直線與關(guān)于軸對(duì)稱，所以若直線經(jīng)過定點(diǎn)，該定點(diǎn)一定是直線與的交點(diǎn)，該點(diǎn)必在軸上．設(shè)該點(diǎn)為，，，由，得，代入，坐標(biāo)化簡(jiǎn)得，經(jīng)過定點(diǎn)為．點(diǎn)睛：本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,解答此類題目，通常利用的關(guān)系，確定橢圓（圓錐曲線）方程是基礎(chǔ)，通過聯(lián)立直線方程與橢圓（圓錐曲線）方程的方程組，應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，得到“目標(biāo)函數(shù)”的解析式，確定函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解，此類問題易錯(cuò)點(diǎn)是復(fù)雜式子的變形能力不足，導(dǎo)致錯(cuò)漏百出，本題能較好的考查考生的邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力、分析問題解決問題的能力等．6．已知橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，該橢圓經(jīng)過點(diǎn)，且離心率為．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過橢圓長(zhǎng)軸上一點(diǎn)作兩條互相垂直的弦．若弦的中點(diǎn)分別為，證明：直線恒過定點(diǎn)．【答案】（1）;（2）．【分析】(1)根據(jù)已知得到方程組，解方程組即得橢圓的方程.(2)先求直線MN的方程，，即得直線MN經(jīng)過的定點(diǎn)，再討論當(dāng)時(shí)，直線也經(jīng)過定點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在橢圓上，∴，又∵離心率為，∴，∴，∴，解得，，∴橢圓方程為．（2）證明：設(shè)直線的方程為，，則直線的方程為，聯(lián)立，得，設(shè)，，則，，∴，由中點(diǎn)坐標(biāo)公式得，將的坐標(biāo)中的用代換，得的中點(diǎn)，∴直線的方程為，，令得，∴直線經(jīng)過定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，直線也經(jīng)過定點(diǎn)，綜上所述，直線經(jīng)過定點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，過定點(diǎn)．【點(diǎn)睛】（1）本題主要考查求橢圓的方程，考查橢圓中直線的定點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵有兩點(diǎn)，其一是求出直線的方程為，，其二是討論當(dāng)時(shí)，直線也經(jīng)過定點(diǎn).7．設(shè)圓過點(diǎn)，且在軸上截得的弦的長(zhǎng)為4.（1）求圓心的軌跡的方程；（2）過點(diǎn)，作軌跡的兩條互相垂直的弦，，設(shè)、的中點(diǎn)分別為、，試判斷直線是否過定點(diǎn)？并說明理由.【答案】(1)(2)見解析【解析】分析：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，由題意結(jié)合幾何關(guān)系可得圓心的軌跡方程為；（2）設(shè)，，，，聯(lián)立直線與軌跡的方程可得點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，則直線MN的方程為，直線恒過定點(diǎn).詳解：（1）設(shè)圓心的坐標(biāo)為，如圖過圓心作軸于，則為的中點(diǎn)，在中，，∵，，∴即；（2）設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立有：，∴，，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為，同理可得：點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的斜率為，其方程為，整理得，不論為何值，點(diǎn)均滿足方程，∴直線恒過定點(diǎn).點(diǎn)睛：求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．8．已知拋物線，過焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)