2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.6三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)單應(yīng)用1教學(xué)教案新人教A版必修4

PAGE《三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)潔應(yīng)用》教學(xué)內(nèi)容解析本節(jié)課是一般中學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)試驗(yàn)教科書(shū)《數(shù)學(xué)》（必修4）中第一章《三角函數(shù)》第六節(jié)“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)潔應(yīng)用”的其次課時(shí)。“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)潔應(yīng)用”一節(jié)教材共設(shè)置了4個(gè)例題，按部就班地從四個(gè)層次來(lái)介紹三角函數(shù)模型的應(yīng)用。教學(xué)共分兩個(gè)課時(shí)，通過(guò)第一課時(shí)的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)初步駕馭了由函數(shù)圖象建立解析式的方法，這為其次課時(shí)的學(xué)習(xí)做好了學(xué)問(wèn)上的鋪墊。其次課時(shí)由拖地什么狀況比較省力引入，實(shí)現(xiàn)從詳細(xì)事例中抽象出三角函數(shù)模型的過(guò)程，再由學(xué)生動(dòng)手解決無(wú)論推力多大，拖把都不會(huì)動(dòng)的問(wèn)題，讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)由實(shí)際問(wèn)題到數(shù)學(xué)模型，再還原到實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程。緊接著第4個(gè)例題，即給出寧波港隨著潮汐改變時(shí)水深與時(shí)刻的改變數(shù)據(jù)，通過(guò)作散點(diǎn)圖，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，建立函數(shù)模型，并用得到的函數(shù)模型解決有關(guān)問(wèn)題。這一課時(shí)的內(nèi)容是一個(gè)比較完整的建立三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的例子，可以讓學(xué)生經(jīng)驗(yàn)運(yùn)用三角函數(shù)模型描述周期現(xiàn)象、解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程。教科書(shū)《三角函數(shù)》這章特地設(shè)置“三角函數(shù)模型的簡(jiǎn)潔應(yīng)用”一節(jié)，目的是讓學(xué)生感受到三角函數(shù)在解決具有周期改變規(guī)律的問(wèn)題中的作用，體驗(yàn)三角函數(shù)與日常生活和其他學(xué)科的聯(lián)系。以使學(xué)生體會(huì)三角函數(shù)的價(jià)值和作用，增加應(yīng)用意識(shí)，同時(shí)還使學(xué)生加深對(duì)有關(guān)學(xué)問(wèn)的理解．通過(guò)例4的教學(xué)，可以使學(xué)生經(jīng)驗(yàn)用三角函數(shù)模型刻畫(huà)周期現(xiàn)象的全過(guò)程，駕馭從實(shí)際問(wèn)題抽象出數(shù)學(xué)模型的一般方法，進(jìn)一步體會(huì)三角函數(shù)是刻畫(huà)周期改變規(guī)律的重要模型。三角函數(shù)模型的建立和應(yīng)用，蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想。首先，是函數(shù)建模思想。本節(jié)內(nèi)容須要對(duì)給出的數(shù)據(jù)細(xì)心視察，找尋規(guī)律，發(fā)覺(jué)表格中的數(shù)量關(guān)系；畫(huà)出散點(diǎn)圖，用曲線擬合這些數(shù)據(jù)，并找出恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型，求其解析式；最終利用所求得的函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題，這體現(xiàn)了數(shù)學(xué)建模的思想。其次，是數(shù)形結(jié)合思想。在用代數(shù)方法處理一些問(wèn)題遇到困難時(shí)，常通過(guò)對(duì)圖象的分析，采納數(shù)形結(jié)合的思想，使問(wèn)題得以解決。三角函數(shù)模型其本身就是“數(shù)”與“形”的統(tǒng)一體。就本節(jié)所涉及的實(shí)際問(wèn)題，依據(jù)所供應(yīng)的數(shù)據(jù)很難一目了然地視察到其改變的規(guī)律，而畫(huà)出它的散點(diǎn)圖，可直觀地反映出數(shù)據(jù)的周期性改變規(guī)律，這樣將“數(shù)”與“形”結(jié)合，使得模型“形”的建立水到渠成．雖然“數(shù)形結(jié)合”的思想在之前學(xué)習(xí)分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等詳細(xì)函數(shù)模型時(shí)，學(xué)生已經(jīng)接觸過(guò)，但結(jié)合本課內(nèi)容，發(fā)揮從“數(shù)”和“形”兩個(gè)方面共同分析解決問(wèn)題的優(yōu)勢(shì)，可以進(jìn)一步加強(qiáng)對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法的理解。此外，在運(yùn)用三角函數(shù)模型解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的過(guò)程中，“函數(shù)與方程”的數(shù)學(xué)思想也得到了體現(xiàn)。三角函數(shù)模型是在學(xué)習(xí)了分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等詳細(xì)函數(shù)模型之后學(xué)習(xí)的又一詳細(xì)函數(shù)模型，在學(xué)問(wèn)的形成過(guò)程中，突出體現(xiàn)了建立模型和應(yīng)用模型兩個(gè)核心環(huán)節(jié)．二、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置（一）教學(xué)目標(biāo)1．利用收集到的數(shù)據(jù)作出散點(diǎn)圖，依據(jù)散點(diǎn)圖進(jìn)行函數(shù)擬合，建立三角函數(shù)模型，駕馭利用三角函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的方法。2．經(jīng)驗(yàn)由實(shí)際問(wèn)題選擇數(shù)學(xué)模型、探討數(shù)學(xué)模型、解決實(shí)際問(wèn)題的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，感悟“數(shù)形結(jié)合”、“函數(shù)與方程”的數(shù)學(xué)思想，并能理解應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”、“函數(shù)與方程”思想解決有關(guān)具有周期運(yùn)動(dòng)規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題。3．培育學(xué)生的視察、分析、探究、歸納及概括實(shí)力以及運(yùn)用圖形計(jì)算器等信息技術(shù)手段解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力，增加學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)。（二）目標(biāo)解析1．學(xué)生在學(xué)習(xí)了分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等函數(shù)模型后，對(duì)建立函數(shù)模型的基本步驟有所了解，但對(duì)數(shù)據(jù)呈現(xiàn)周期性改變規(guī)律的數(shù)學(xué)建模還是初次接觸，特殊是對(duì)如何依據(jù)實(shí)際背景及問(wèn)題的條件，留意考慮實(shí)際意義，對(duì)問(wèn)題的解進(jìn)行詳細(xì)分析，學(xué)生的理解并不深刻．因此如何建立和應(yīng)用數(shù)學(xué)建模是本節(jié)的學(xué)習(xí)目標(biāo)之一。2．?dāng)?shù)學(xué)思想的教學(xué)一般要經(jīng)過(guò)滲透孕育期、領(lǐng)悟形成期、應(yīng)用發(fā)展期、鞏固深化期四個(gè)階段，而非通過(guò)簡(jiǎn)潔如“復(fù)制與灌輸”手段得以實(shí)現(xiàn)．所以通過(guò)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，讓學(xué)生領(lǐng)悟到“數(shù)學(xué)建模思想”、“數(shù)形結(jié)合思想”、“函數(shù)思想”等，并能運(yùn)用這些數(shù)學(xué)思想分析三角函數(shù)的圖象，通過(guò)解決一些具有實(shí)際背景的綜合性問(wèn)題，培育他們綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)和其他學(xué)科學(xué)問(wèn)解決問(wèn)題的實(shí)力。3．通過(guò)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程，使學(xué)生在視察、分析、探究、歸納、概括等思維活動(dòng)中獲得新知，這不僅可以提高學(xué)生的思維實(shí)力，培育學(xué)生運(yùn)用圖形計(jì)算器等信息技術(shù)手段解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)力，同時(shí)也可以增加學(xué)生的應(yīng)用意識(shí)，促進(jìn)學(xué)生良好思維品質(zhì)的形成。教學(xué)重點(diǎn)：用三角函數(shù)模型解決一些具有周期性改變規(guī)律的實(shí)際問(wèn)題；從實(shí)際問(wèn)題中發(fā)覺(jué)周期改變的規(guī)律，并將所發(fā)覺(jué)的規(guī)律抽象為恰當(dāng)?shù)娜呛瘮?shù)模型。教學(xué)難點(diǎn)：分析、整理、提取和利用信息，將實(shí)際問(wèn)題抽象轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)模型，并綜合運(yùn)用相關(guān)學(xué)問(wèn)解決實(shí)際問(wèn)題。三、學(xué)生學(xué)情分析

在學(xué)習(xí)了分段函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)模型后，學(xué)生已經(jīng)驗(yàn)過(guò)視察散點(diǎn)圖，抽象成函數(shù)模型，分析圖象的特征，運(yùn)用圖形計(jì)算器等信息技術(shù)手段求解的數(shù)學(xué)建模過(guò)程，部分學(xué)生對(duì)模型的建立和應(yīng)用往往還停留在操作層面上，對(duì)其中的數(shù)學(xué)意義和蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想的理解并不深刻；當(dāng)面對(duì)三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的生疏背景、困難的數(shù)據(jù)處理等，學(xué)生會(huì)感到困難；尤其是明確問(wèn)題的實(shí)際背景、分析問(wèn)題的困難條件，考慮問(wèn)題的實(shí)際意義，及對(duì)問(wèn)題的解的分析等都會(huì)有肯定的困難。因此在教學(xué)時(shí)，應(yīng)重視審題環(huán)節(jié)，通過(guò)有針對(duì)性的引導(dǎo)，讓學(xué)生仔細(xì)閱讀，抓住關(guān)鍵的詞和句子，弄清題意；留意幫助學(xué)生在分析問(wèn)題中提取其中的數(shù)量關(guān)系；借助散點(diǎn)圖，引導(dǎo)學(xué)生從“形”的特征發(fā)覺(jué)各個(gè)量之間的關(guān)系及他們的改變規(guī)律；同時(shí)留意指導(dǎo)學(xué)生依據(jù)問(wèn)題的實(shí)際意義對(duì)問(wèn)題的解進(jìn)行詳細(xì)的分析。四、教學(xué)策略分析依據(jù)本節(jié)課教材內(nèi)容的特點(diǎn)，為了更直觀、形象地突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)，借助信息技術(shù)工具，以EXCEL繪制散點(diǎn)圖等，變抽象為直觀；同時(shí)輔之以計(jì)算器強(qiáng)大的計(jì)算功能，為學(xué)生的數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)思維供應(yīng)支持。五、教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）開(kāi)宗明義——呈現(xiàn)問(wèn)題同學(xué)們，我們已經(jīng)知道函數(shù)的解析式、圖像、性質(zhì)三者緊密相連。本節(jié)課我們要來(lái)探討解決一些生活生產(chǎn)中的實(shí)際問(wèn)題。首先來(lái)看拖地的問(wèn)題，拖把勻速前進(jìn)時(shí)什么狀況下比較省力?

抽象出數(shù)學(xué)關(guān)系，三角函數(shù)學(xué)問(wèn)解決引導(dǎo)學(xué)生分析出實(shí)際問(wèn)題中蘊(yùn)含著受力平衡這個(gè)實(shí)際模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式，既水平和豎直方向受力平衡，進(jìn)而運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算求出F的表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)思想求出F的最小值。師：當(dāng)拖桿與豎直方向的角度越大時(shí)，越省力，也就是說(shuō)角度越小越費(fèi)勁。當(dāng)推力垂直地面對(duì)下時(shí)，拖把不會(huì)動(dòng)，在這個(gè)改變過(guò)程中有個(gè)臨界角，不管推力多大，拖把都不會(huì)動(dòng)，現(xiàn)在我們要解決這個(gè)問(wèn)題。生：溝通探討出F水平分解力比最大靜摩擦力小，拖把不會(huì)動(dòng)，從手里角度動(dòng)身，列出數(shù)學(xué)關(guān)系式求解。老師課堂巡察，指導(dǎo)，學(xué)生扮演，講解過(guò)程，最終還原回實(shí)際問(wèn)題，今后拖地過(guò)程中如何有效的拖地?！驹O(shè)計(jì)意圖】通過(guò)學(xué)生動(dòng)手再練習(xí)，可以有效鞏固這個(gè)實(shí)際問(wèn)題中的三角學(xué)問(wèn)，同時(shí)解決避開(kāi)拖地死角出現(xiàn)的實(shí)際問(wèn)題。(三）閱讀材料，分析實(shí)際問(wèn)題材料一：寧波港地處我國(guó)大陸海岸線中部，南北和長(zhǎng)江“T”型結(jié)構(gòu)的交匯點(diǎn)上，地理位置適中，是中國(guó)大陸聞名的深水良港。寧波港由北侖港區(qū)、鎮(zhèn)海港區(qū)、寧波港區(qū)、大榭港區(qū)、穿山港區(qū)組成，是一個(gè)集內(nèi)河港、河口港和海港于一體的多功能、綜合性的現(xiàn)代化深水大港?，F(xiàn)有生產(chǎn)性泊位309座，其中萬(wàn)噸級(jí)以上深水泊位60座。材料二：海水受日月的引力，在肯定的時(shí)候發(fā)生漲落的現(xiàn)象叫潮。一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐。在通常狀況下，船在漲潮時(shí)駛進(jìn)航道，靠近碼頭；卸貨后，在落潮時(shí)返回海洋。材料三：按平安條例規(guī)定，寧波港進(jìn)港航道水深在18.2米以上，20萬(wàn)噸以下船舶自由進(jìn)港，25萬(wàn)噸30萬(wàn)噸船舶可候潮進(jìn)出港。問(wèn)題1：平安規(guī)定的依據(jù)是什么？題組形式，激發(fā)學(xué)生抽取實(shí)際模型的實(shí)力。有效引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)入解決模型的過(guò)程。（四）視察數(shù)據(jù)——建立模型材料四：下面是寧波港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系表:時(shí)刻 水深/米 時(shí)刻 水深/米 時(shí)刻 水深/米0:00 25.0 9:00 20.0 18:00 25.03:00 30.0 12:00 25.0 21:00 20.06:00 25.0 15:00 30.0 24:00 25.0問(wèn)題2：假如從函數(shù)角度思索，哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量？問(wèn)題3：選用一個(gè)適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)來(lái)近似描述這個(gè)水深和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，并給出整點(diǎn)時(shí)間的水深近似值？（精確到0.01)問(wèn)題4：視察散點(diǎn)圖，你發(fā)覺(jué)了一些什么結(jié)論？師生活動(dòng)：老師提問(wèn)，學(xué)生思索、回答，老師依據(jù)學(xué)生回答的狀況加以補(bǔ)充，主要從變量間的關(guān)系、水深的最值、水深隨時(shí)間改變有無(wú)規(guī)律等方面去探討．【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)視察表格中的數(shù)據(jù)，先發(fā)覺(jué)水深有改變，盡可能發(fā)覺(jué)或猜想這種改變呈現(xiàn)一種周期性改變規(guī)律，為用散點(diǎn)圖來(lái)表示這些數(shù)據(jù)做好鋪墊．問(wèn)題2：怎么畫(huà)這些數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖？用EXCEL工具。

【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生復(fù)習(xí)用描點(diǎn)法畫(huà)出散點(diǎn)圖的方法．問(wèn)題3：假如我們用一條光滑的曲線把這些點(diǎn)連接起來(lái)，依據(jù)曲線的形態(tài)和走勢(shì)，能用什么樣的函數(shù)來(lái)近似擬合這個(gè)圖象？師生活動(dòng)：老師引導(dǎo)學(xué)生利用圖形計(jì)算器的連線功能將散點(diǎn)連接起來(lái)，如下圖.視察、分析繪出的曲線的形態(tài)和特征，思索、推斷、選擇函數(shù)模型．老師依據(jù)學(xué)生回答的狀況加以補(bǔ)充，突出對(duì)“周期性”的引導(dǎo)，最終確定可以用形如的正弦型函數(shù)來(lái)近似擬合.

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生依據(jù)由散點(diǎn)圖連成的曲線呈周期性的特點(diǎn)選擇正弦型函數(shù)模型，培育學(xué)生的視察、分析、推理、推斷、抽象概括等實(shí)力.問(wèn)題4：如何求出函數(shù)中的，，，和的值，從而確定函數(shù)模型的解析式呢？師生活動(dòng)：師生通過(guò)問(wèn)答的形式，結(jié)合圖象，求出,,,。（1）求振幅。由圖象可以得到最大值是7.5，最小值是2.5，最大值與最小值之差的一半是振幅，=5（2）求。的值跟周期有關(guān)，從圖象可以看到，完成一次往復(fù)運(yùn)動(dòng)要用12小時(shí)，所以周期是12.所以,。（3）求。圖象向上平移了25個(gè)單位。（4）求。代入一個(gè)特殊點(diǎn)，得到。【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生結(jié)合函數(shù)圖象以及已知表格中的數(shù)據(jù)，求出各參數(shù)的值，體會(huì)“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想，利用圖形計(jì)算器驗(yàn)證所求結(jié)果，并兩人合作求出整點(diǎn)時(shí)刻的水深。(三）回來(lái)現(xiàn)實(shí)——提出問(wèn)題我們已經(jīng)知道港口在某季節(jié)每天的時(shí)間與水深關(guān)系可以近似用函數(shù)模型來(lái)刻畫(huà)，下面利用該模型解決有關(guān)貨船進(jìn)出港的一些實(shí)際問(wèn)題.問(wèn)題5：（進(jìn)出港時(shí)間問(wèn)題）一條貨船的吃水深度（船底與水面的距離）為24.5m，平安條例規(guī)定至少要有1.5m的平安間隙（船底與洋底的距離），該船何時(shí)能進(jìn)入港口？在港口能呆多久？師生活動(dòng)：老師通過(guò)以下問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生探究.（1）貨船能夠進(jìn)入港口所須要滿意的條件是什么？（實(shí)際水深≥平安水深）（2）怎樣用數(shù)學(xué)表達(dá)式來(lái)表述這一條件？（3）如何解不等式？（4）若把不等式兩端看成是兩個(gè)函數(shù)，分別作出它們的函數(shù)圖象，用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題，那么滿意我們條件的解是圖象的哪部分？（5）在[0，24]內(nèi)滿意條件的解集是什么？（6）結(jié)合圖象，貨船應(yīng)當(dāng)選擇什么時(shí)間進(jìn)港，什么時(shí)間出港？（7）貨船在港口能呆多久？（8）如何運(yùn)用圖形計(jì)算器幫助我們解決其中的問(wèn)題？學(xué)生利用圖形計(jì)算器分別畫(huà)出和y=26的圖象，找出兩圖象的交點(diǎn)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合得到不等式的解集.【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)問(wèn)題串，幫助學(xué)生弄清晰題目的意思，引導(dǎo)學(xué)生建立函數(shù)模型，借助圖形計(jì)算器，利用數(shù)形結(jié)合思想解決問(wèn)題.得出答案后，通過(guò)檢驗(yàn)它是否與實(shí)際意義相符，對(duì)答案的合理性做出說(shuō)明.問(wèn)題6：（游客登船問(wèn)題）一條客船?？吭趯幉ǜ劭?，潮汐作用下，當(dāng)水深達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)，甲板剛好與碼頭地面平齊。已知地面與甲板的高度差不超過(guò)10cm時(shí)，游客能舒適地登船。視察此表，客船什么時(shí)候起先登船檢票比較合適？乘客有多少舒適的登船時(shí)間？師生活動(dòng)：老師啟發(fā)學(xué)生類(lèi)比、思索，組織學(xué)生探討如下問(wèn)題：（1）“舒適登船”的含義是什么？你能用一個(gè)關(guān)系式來(lái)表述嗎？（2）舒適水深如何表示呢？（3）如何解不等式？學(xué)生在這些問(wèn)題的引導(dǎo)下思索探究，對(duì)于要求解的不等式，學(xué)生依據(jù)剛才解題的經(jīng)驗(yàn)，相互探討尋求解決的途徑，利用圖形計(jì)算器通過(guò)剛才類(lèi)似方法求出不等式的解集?！驹O(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生用函數(shù)模型刻畫(huà)貨船平安水深與時(shí)間的關(guān)系，將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為不等式問(wèn)題.讓學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)“數(shù)形結(jié)合”思想和“函數(shù)與方程”思想在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題中的作用.師生活動(dòng)：在老師的引導(dǎo)下，學(xué)生獨(dú)立思索、探討，然后給出回答。下午發(fā)船的話，游客在14:40左右到15:20可以登船，有40分鐘左右登船時(shí)間?！驹O(shè)計(jì)意圖】將所得的數(shù)學(xué)說(shuō)明轉(zhuǎn)化為實(shí)際問(wèn)題的說(shuō)明.（四）課時(shí)小結(jié)，相識(shí)深化問(wèn)題9：通過(guò)這節(jié)課的學(xué)習(xí)，大家有什么收獲嗎？

（師生一起歸納）1.通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，學(xué)會(huì)了數(shù)據(jù)處理的基本方法和步驟：（1）視察收集到的數(shù)據(jù)，找尋規(guī)律，發(fā)覺(jué)數(shù)據(jù)間的數(shù)量關(guān)系；（2）依據(jù)已知數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖；（3）用光滑的曲線連接散點(diǎn)圖；（4）通過(guò)比較，選擇恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型擬合數(shù)據(jù)；（5）求函數(shù)模型的解析式.

在數(shù)據(jù)處理的過(guò)程中，運(yùn)用了函數(shù)的三種不同的表示方法，分析問(wèn)題并解決問(wèn)題．2.在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)運(yùn)用了“數(shù)學(xué)建模思想”、“數(shù)形結(jié)合思想”、“函數(shù)與方程思想”等數(shù)學(xué)思想方法．【設(shè)