2025屆湖南省衡陽市耒陽市正源學校數(shù)學高一上期末統(tǒng)考模擬試題含解析

2025屆湖南省衡陽市耒陽市正源學校數(shù)學高一上期末統(tǒng)考模擬試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程有五個不同實根，則m的值是（）A.0或 B.C.0 D.不存在2．若，且，則的值是A. B.C. D.3．已知函數(shù)，則下列說法不正確的是A.的最小正周期是 B.在上單調(diào)遞增C.是奇函數(shù) D.的對稱中心是4．下列函數(shù)，表示相同函數(shù)的是（）A.， B.，C.， D.，5．設，給出下列四個結(jié)論：①；②；③；④.其中所有的正確結(jié)論的序號是A.①② B.②③C.①②③ D.②③④6．已知函數(shù)與的圖象關(guān)于軸對稱，當函數(shù)和在區(qū)間同時遞增或同時遞減時，把區(qū)間叫做函數(shù)的“不動區(qū)間”.若區(qū)間為函數(shù)的“不動區(qū)間”，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.7．直線l1的傾斜角,直線l1⊥l2，則直線l2的斜率為A.- B.C.- D.8．已知、是方程兩個根，且、，則的值是（）A. B.C.或 D.或9．在正項等比數(shù)列中，若依次成等差數(shù)列，則的公比為A.2 B.C.3 D.10．已知正三棱錐P—ABC（頂點在底面的射影是底面正三角形的中心）的側(cè)面是頂角為30°腰長為2的等腰三角形，若過A的截面與棱PB，PC分別交于點D和點E，則截面△ADE周長的最小值是（）A. B.2C. D.2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)的定義域是____________.12．已知集合A={0,1,2,3,4,5}，集合B={1,3,5,7,9}，則Venn圖中陰影部分表示的集合中元素的個數(shù)為________13．命題“”的否定是______.14．寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)_________①在R上單調(diào)遞增；②；③15．已知且，若，則的值為___________.16．若函數(shù)（，且）在上是減函數(shù)，則實數(shù)的取值范圍是__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．甲、乙兩城相距100km，某天然氣公司計劃在兩地之間建天然氣站P給甲、乙兩城供氣，設P站距甲城.xkm，為保證城市安全，天然氣站距兩城市的距離均不得少于10km.已知建設費用y（萬元）與甲、乙兩地的供氣距離（km）的平方和成正比（供氣距離指天然氣站到城市的距離），當天然氣站P距甲城的距離為40km時，建設費用為1300萬元.（1）把建設費用y（萬元）表示成P站與甲城的距離x（km）的函數(shù)，并求定義域；（2）求天然氣供氣站建在距甲城多遠時建設費用最小，并求出最小費用的值.18．已知二次函數(shù)，關(guān)于x的不等式<0的解集為（1）求實數(shù)m、n的值；（2）當時，解關(guān)于x的不等式；（3）當是否存在實數(shù)a，使得對任意時，關(guān)于x的函數(shù)有最小值-5.若存在，求實數(shù)a值；若不存在，請說明理由19．已知函數(shù)fx=2sin（1）在用“五點法”作函數(shù)fx2x-0ππ3π2πx3π5π9πf0200完成上述表格，并在坐標系中畫出函數(shù)y=fx在區(qū)間0,π（2）求函數(shù)fx（3）求函數(shù)fx在區(qū)間-π20．如圖，在三棱錐中，平面平面為等邊三角形，且分別為的中點（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；21．已知（）.（1）當時，求關(guān)于的不等式的解集；（2）若f（x）是偶函數(shù)，求k的值；（3）在（2）條件下，設，若函數(shù)與的圖象有公共點，求實數(shù)b的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】令，做出的圖像，根據(jù)圖像確定至多存在兩個的值，使得與有五個交點時，的值或取值范圍，進而轉(zhuǎn)為求方程在的值或取值范圍有解，利用一元二次方程根的分布，即可求解.【詳解】做出圖像如下圖所示：令，方程，為，當時，方程沒有實數(shù)解，當或時，方程有2個實數(shù)解，當，方程有4個實數(shù)解，當時，方程有3個解，要使方程方程有五個實根，則方程有一根為1，另一根為0或大于1，當時，有或，當時，，或，滿足題意，當時，，或，不合題意，所以.故選:C.【點睛】本題考查復合方程的解，換元法是解題的關(guān)鍵，數(shù)形結(jié)合是解題的依賴，或直接用選項中的值代入驗證，屬于較難題.2、B【解析】由已知利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式可求，的值，即可得解【詳解】由題意，知，且，所以，則，故選B【點睛】本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應用，其中解答中熟練應用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，準確求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了運算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】對進行研究，求出其最小正周期，單調(diào)區(qū)間，奇偶性和對稱中心，從而得到答案.【詳解】，最小正周期為；單調(diào)增區(qū)間為，即，故時，在上單調(diào)遞增；定義域關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)；對稱中心橫坐標為，即，所以對稱中心為【點睛】本題考查了正切型函數(shù)的最小正周期，單調(diào)區(qū)間，奇偶性和對稱中心，屬于簡單題.4、B【解析】由兩個函數(shù)相同的定義，定義域相同且對應法則相同，依次判斷即可【詳解】選項A，一個為指數(shù)運算、一個為對數(shù)運算，對應法則不同，因此不為相同函數(shù)；選項B，，為相同函數(shù)；選項C，函數(shù)定義域為，函數(shù)定義域為，因此不為相同函數(shù)；選項D，與函數(shù)對應法則不同，因此不為相同函數(shù)故選：B5、B【解析】因為，所以①為增函數(shù)，故=1，故錯誤②函數(shù)為減函數(shù)，故，所以正確③函數(shù)為增函數(shù)，故，故，故正確④函數(shù)為增函數(shù)，，故，故錯誤點睛：結(jié)合指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)單調(diào)性可以逐一分析得出四個結(jié)論的真假性.6、C【解析】若區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2x﹣t|的“不動區(qū)間”，則函數(shù)f（x）=|2x﹣t|和函數(shù)F（x）=|﹣t|在[1，2]上單調(diào)性相同，則（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，進而得到答案【詳解】∵函數(shù)y=f（x）與y=F（x）的圖象關(guān)于y軸對稱，∴F（x）=f（﹣x）=|2﹣x﹣t|，∵區(qū)間[1，2]為函數(shù)f（x）=|2x﹣t|的“不動區(qū)間”，∴函數(shù)f（x）=|2x﹣t|和函數(shù)F（x）=|2﹣x﹣t|在[1，2]上單調(diào)性相同，∵y=2x﹣t和函數(shù)y=2﹣x﹣t的單調(diào)性相反，∴（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，即1﹣t（2x+2﹣x）+t2≤0在[1，2]上恒成立，即2﹣x≤t≤2x在[1，2]上恒成立，即≤t≤2，故答案為：C【點睛】（1）本題主要考查不動點定義及利用定義解答數(shù)學問題的能力，考查指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)，考查不等式的恒成立問題，意在考查學生對這些知識的掌握水平和分析推理能力.(2)正確理解不動區(qū)間的定義，得到（2x﹣t）（2﹣x﹣t）≤0在[1，2]上恒成立，是解答的關(guān)鍵7、C【解析】由題意可得L2的傾斜角等于30°+90°＝120°，從而得到L2的斜率為tan120°，運算求得結(jié)果【詳解】如圖：直線L1的傾斜角α1＝30°，直線L1⊥L2，則L2的傾斜角等于30°+90°＝120°，∴L2的斜率為tan120°＝﹣tan60°，故選C【點睛】本題主要考查直線的傾斜角和斜率的關(guān)系，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于基礎(chǔ)題8、B【解析】先用根與系數(shù)的關(guān)系可得＋＝，＝4，從而可得＜0，＜0，進而，所以，然后求的值，從而可求出的值.【詳解】由題意得＋＝，＝4，所以，又、，故，所以，又.所以.故選：B.9、A【解析】由等差中項的性質(zhì)可得，又為等比數(shù)列，所以，化簡整理可求出q的值【詳解】由題意知，又為正項等比數(shù)列，所以，且，所以，所以或（舍），故選A【點睛】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應用，熟練掌握等差中項的性質(zhì)，及等比數(shù)列的通項公式是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題10、D【解析】可以將三棱錐側(cè)面展開,將計算周長最小值轉(zhuǎn)化成計算兩點間距離最小值,解三角形,即可得出答案.【詳解】將三棱錐的側(cè)面展開,如圖則將求截面周長的最小值,轉(zhuǎn)化成計算的最短距離,結(jié)合題意可知=,,所以,故周長最小值為,故選D.【點睛】本道題目考查了解三角形的知識,可以將空間計算周長最小值轉(zhuǎn)化層平面計算兩點間的最小值,即可.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用對數(shù)函數(shù)的定義域列出不等式組即可求解.【詳解】由題意可得，解得，所以函數(shù)的定義域為.故答案為：12、3【解析】由集合定義，及交集補集定義即可求得.【詳解】由Venn圖及集合的運算可知，陰影部分表示的集合為?又A={0,1,2,3,4,5}，B={1,3,5,7,9}，∴A∩B={1,3,5}，∴即Venn圖中陰影部分表示的集合中元素的個數(shù)為3故答案為：3.13、【解析】根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題，寫出結(jié)論.【詳解】原命題是全稱命題，故其否定是特稱命題，所以原命題的否定是“”.【點睛】本小題主要考查全稱命題的否定是特稱命題，除了形式上的否定外，還要注意否定結(jié)論，屬于基礎(chǔ)題.14、（答案不唯一，形如均可）【解析】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及運算得出.【詳解】對函數(shù)，因在R上單調(diào)遞增，所以在R上單調(diào)遞增；，.故答案為：（答案不唯一，形如均可）15、##【解析】根據(jù)將對數(shù)式化為指數(shù)式，再根據(jù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)即可得解.【詳解】解：因為，所以，所以.故答案為：.16、【解析】根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性，列出式子，進行求解即可.【詳解】由題可知：函數(shù)在上是減函數(shù)所以，即故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）天然氣供氣站建在距甲城50km時費用最小，最小費用的值為1250萬元.【解析】（1）設出比例系數(shù)，根據(jù)題意得到建設費用y（萬元）表示成P站與甲城距離x（km）的函數(shù)的解析式，再利用代入法求出比例系數(shù)，進而求出函數(shù)解析式、定義域；（2）利用配方法進行求解即可.【詳解】（1）設比例系數(shù)為k，則又，，所以，即，所以（1）由（1）可得所以所以當時，y有最小值為1250萬元所以天然氣供氣站建在距甲城50km時費用最小，最小費用的值為1250萬元，18、（1）；（2）答案見解析；（3）存在，.【解析】（1）利用給定條件結(jié)合一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系，借助韋達定理計算作答.（2）分類討論求解一元二次不等式即可作答.（3）換元，借助二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值，計算判斷作答.【小問1詳解】依題意，不等式的解集是，因此，是關(guān)于x的一元二次方程的二根，且，于得，解得，所以實數(shù)m、n的值是：.【小問2詳解】當時，由（1）知：，當時，，解得：或，當時，解得，當時，不等式化：，解得：，所以，當時，原不等式的解集是，當時，原不等式的解集是，當時，原不等式的解集是.【小問3詳解】假設存在實數(shù)滿足條件，由（1）知，，，因，則設，函數(shù)化為：，顯然，于是得在上單調(diào)遞減，當時，，由解得：或（舍去），又，所以存在實數(shù)滿足條件，.【點睛】易錯點睛：解含參數(shù)的一元二次不等式，首先注意二次項系數(shù)是否含有參數(shù)，如果有，必須按二次項系為正、零、負三類討論求解.19、（1）答案見解析（2）單調(diào)遞增區(qū)間：-π8（3）-2,【解析】(1)利用給定的角依次求出對應的三角函數(shù)值，進而填表，結(jié)合“五點法”畫出圖象即可；(2)根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間計算即可；(3)根據(jù)x的范圍求出2x-π4【小問1詳解】2x-0ππ3π2πxπ3π5π7π9πf020-20函數(shù)圖象如圖所示，【小問2詳解】令-π2+2kπ≤2x-得-π8+kπ≤x≤所以函數(shù)fx的單調(diào)遞增區(qū)間：-π8【小問3詳解】因為x∈-π4所以sin2x-當2x-π4=-π2當2x-π4=π4所以函數(shù)fx在區(qū)間-π420、（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）因為分別為的中點，所以，由線面平行的判定定理，即可得到平面；（2）因為為的中點，得到，利用面面垂直的性質(zhì)定理可證得平面，由面面垂直的判定定理，即可得到平面平面【詳解】（1）因為、分別為、的中點，所以.又因為平面，所以平面；（2）因為，為的中點，所以，又因為平面平面，平面平面，且平面，所以平面，平面，平面平面.【點睛】本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：（1）證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；（2）證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；（3）證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直21、（1）（2）1（3）【解析】（1）根據(jù)條件列指數(shù)不等式，直接求解即可；（2）利用偶函數(shù)定義列直接求解即可；（3）根據(jù)題意