山東省鄒平市一中學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題含解析

山東省鄒平市一中學(xué)校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末學(xué)業(yè)水平測試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知拋物線上一點M與焦點間的距離是3，則點M的縱坐標(biāo)為（）A.1 B.2C.3 D.42．已知命題：△中，若，則；命題：函數(shù)，，則的最大值為.則下列命題是真命題的是（）A. B.C. D.3．頂點在原點，關(guān)于軸對稱，并且經(jīng)過點的拋物線方程為（）A. B.C. D.4．記等差數(shù)列的前n項和為，若，，則等于（）A.5 B.31C.38 D.415．從1，2，3，4，5中任取2個不同的數(shù)，兩數(shù)和為偶數(shù)的概率為（）A. B.C. D.6．《九章算術(shù)》第三章“衰分”介紹比例分配問題：“衰分”是按比例遞減分配的意思，通常稱遞減的比例（即百分比）為“衰分比”.如：甲、乙、丙、丁分別分得，，，，遞減的比例為，那么“衰分比”就等于，今共有糧石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得石，甲、丙所得之和為石，則“衰分比”為（）A. B.C. D.7．已知梯形中，，且，則的值為（）A. B.C. D.8．函數(shù)在上是單調(diào)遞增函數(shù)，則的最大值等于（）A.2 B.3C.5 D.69．在中國古代，人們用圭表測量日影長度來確定節(jié)氣，一年之中日影最長的一天被定為冬至.從冬至算起，依次有冬至、小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣，其日影長依次成等差數(shù)列，若冬至、立春、春分日影長之和為31.5尺，小寒、雨水，清明日影長之和為28.5尺，則大寒、驚蟄、谷雨日影長之和為（）A.25.5尺 B.34.5尺C.37.5尺 D.96尺10．已知命題“”為真命題，“”為真命題，則（）A.為假命題，為真命題 B.為真命題，為真命題C.為真命題，為假命題 D.為假命題，為假命題11．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)圖象都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心.設(shè)函數(shù)，則（）A. B.C. D.12．圓的圓心和半徑分別是（）A.， B.，C.， D.，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知直線與直線平行，則直線，之間的距離為__________.14．已知命題：方程表示焦點在軸上的橢圓；命題：方程表示雙曲線.若為真，則實數(shù)的取值范圍為______.15．若在數(shù)列的每相鄰兩項之間插入此兩項的和，可形成新的數(shù)列，再把所得數(shù)列按照同樣的方法不斷進(jìn)行構(gòu)造，又可以得到新的數(shù)列．現(xiàn)將數(shù)列1，2進(jìn)行構(gòu)造，第1次得到數(shù)列1，3，2；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2；依次構(gòu)造，第次得到數(shù)列1，，，，…，，2；記則______，設(shè)數(shù)列的前n項和為，則______16．曲線在點處的切線方程是______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知拋物線上一點到焦點的距離與到軸的距離相等.（1）求拋物線的方程；（2）若直線與拋物線交于A，兩點，且滿足(為坐標(biāo)原點)，證明：直線與軸的交點為定點.18．（12分）已知拋物線焦點是，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A、B兩點（1）求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；（2）求線段AB的長19．（12分）已知等差數(shù)列滿足，，的前項和為.（1）求及；（2）令，求數(shù)列的前項和.20．（12分）已知數(shù)列的前n項和（1）證明是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）在和之間插入n個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前n項和21．（12分）如圖，在四棱錐中P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，BC⊥平面PAB，PA⊥AB，PA＝2（1）求證：PA⊥平面ABCD；（2）求平面PAD與平面PBC所成角的余弦值22．（10分）如圖，四棱錐P－ABCD的底面ABCD是菱形，PA⊥AB，PA⊥AD，且E、F分別是AC、PB的中點（1）證明：EF∥平面PCD；（2）求證：平面PBD⊥平面PAC

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】利用拋物線的定義求解即可【詳解】拋物線的焦點為，準(zhǔn)線方程為，因為拋物線上一點M與焦點間的距離是3，所以，得，即點M的縱坐標(biāo)為2，故選：B2、A【解析】由三角形內(nèi)角及正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷、的真假，應(yīng)用換元法令，結(jié)合對勾函數(shù)的性質(zhì)確定的值域即知、的真假，根據(jù)各選項復(fù)合命題判斷真假即可.【詳解】由且，可得或，故為假命題，為真命題；令，又，則，故，∵在上遞減，∴，故的最大值為.∴為真命題，為假命題；∴為真，為假，為假，為假.故選：A.3、C【解析】根據(jù)題意，設(shè)拋物線的方程為，進(jìn)而待定系數(shù)求解即可.【詳解】解：由題，設(shè)拋物線的方程為，因為在拋物線上，所以，解得，即所求拋物線方程為故選：C4、A【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，首先根據(jù)題意得到，再解方程組即可得到答案.【詳解】解：設(shè)等差數(shù)列的公差為d，由題知：，解得.故選：A.5、B【解析】利用列舉法，結(jié)合古典概型概率計算公式，計算出所求概率.【詳解】從中任取個不同的數(shù)的方法有，共種，其中和為偶數(shù)的有共種，所以所求的概率為.故選：B【點睛】本小題主要考查古典概型概率計算，屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，然后可得和，解出、的值即可【詳解】根據(jù)題意，設(shè)衰分比為，甲分到石，，又由今共有糧食石，按甲、乙、丙、丁的順序進(jìn)行“衰分”，已知乙分得90石，甲、丙所得之和為164石，則，，解得：，，故選：A7、D【解析】根據(jù)共線定理、平面向量的加法和減法法則，即可求得，進(jìn)而求出的值，即可求出結(jié)果.【詳解】因為，所以又，所以.故選：D.8、B【解析】由f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)，得到在[1，+∞）上，恒成立，從而解得a≤3，故a的最大值為3【詳解】解：∵f（x）＝x3﹣ax在[1，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)∴在[1，+∞）上恒成立即a≤3x2，∵x∈[1，+∞）時，3x2≥3恒成立，∴a≤3，∴a的最大值是3故選：B9、A【解析】由題意可知，十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列，設(shè)冬至日的日影長為尺，公差為尺，利用等差數(shù)列的通項公式，求出，即可求出，從而得到答案【詳解】設(shè)從冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿、芒種這十二個節(jié)氣其日影長依次成等差數(shù)列{}，如冬至日的日影長為尺，設(shè)公差為尺.由題可知，所以，，，，故選：A10、A【解析】根據(jù)復(fù)合命題的真假表即可得出結(jié)果.【詳解】若“”為真命題，則為假命題，又“”為真命題，則至少有一個真命題，所以為真命題，即為假命題，為真命題.故選：A11、B【解析】根據(jù)“拐點”的概念可判斷函數(shù)的對稱中心，進(jìn)而求解.【詳解】，，，令，解得：，而，故函數(shù)關(guān)于點對稱，，，故選：B.12、D【解析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，再求圓心半徑即可.【詳解】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得，故圓心為，半徑為.故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用直線平行與斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式即可得出【詳解】解：因為直線與直線平行，所以，解得，當(dāng)時，，，則故答案為：【點睛】熟練運用直線平行與斜率之間的關(guān)系、點到直線的距離公式，是解題關(guān)鍵14、【解析】既然為真，那么就是為真，即p是假，并且q是真，根據(jù)橢圓和雙曲線的定義即可解出?！驹斀狻俊邽檎?，∴p為假，q為真；考慮p為真的情況：解得……①；由于p為假，∴或；由于q為真，∴，即……②；由①和②得：；故答案為：.15、①.81②.【解析】根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造寫出前面幾次得到的新數(shù)列，尋找規(guī)律，構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項公式，再進(jìn)行求和.【詳解】第1次得到數(shù)列1，3，2，此時；第2次得到數(shù)列1，4，3，5，2，此時；第3次得到數(shù)列1，5，4，7，3，8，5，7，2，此時；第4次得到數(shù)列1，6，5，9，4，11，7，10，3，11，8，13，5，12，7，9，2，此時，故81，且故，又，所以數(shù)列是以為首項，公比為3的等比數(shù)列，所以，故，所以故答案為：81，16、x-y-2=0【解析】解：因為曲線在點（1,－1）處的切線方程是由點斜式可知為x-y-2=0三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)利用拋物線點，n)到焦點的距離等于到x軸的距離求出，從而得到拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程(2)聯(lián)立直線與拋物線方程，通過韋達(dá)定理求出直線方程，然后由，即可求解【小問1詳解】由題意可得，故拋物線方程為；【小問2詳解】設(shè)，，，，直線的方程為，聯(lián)立方程中，消去得，，則，又，解得或(舍去)，直線方程為，直線過定點18、（1）拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，（2）【解析】（1）根據(jù)焦點可求出的值，從而求出拋物線的方程，即可得到準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)，，，，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立消去，整理得，得到根與系數(shù)的關(guān)系，由拋物線的定義可知，代入即可求出所求【小問1詳解】解：由焦點，得，解得所以拋物線的方程為，其準(zhǔn)線方程為，【小問2詳解】解：設(shè)，，，直線的方程為.與拋物線方程聯(lián)立，得，消去，整理得，由拋物線定義可知，所以線段的長為19、（1），；（2）.【解析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件，，解方程組可得，，進(jìn)而可得等差數(shù)列的通項公式，再利用等差數(shù)列的前項和公式可得；（2）將數(shù)列的通項公式代入可得的通項公式，利用錯位相減法求和可得結(jié)果.【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的首項為，公差為，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因為，所以，故，，兩式相減得，所以.【點睛】本題的核心是考查錯位相減求和.一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項和時，可采用錯位相減法求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列{bn}的公比，然后作差求解.20、（1）證明見解析，（2）【解析】（1）利用及已知即可得到證明，從而求得通項公式；（2）先求出通項，再利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】因，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，又，解得，所以是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，故【小問2詳解】因為，所以，，，，所以，所以21、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理來證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法來求得平面與平面所成角的余弦值.【小問1詳解】由于平面，所以，由于,所