湖南省株洲市2023屆高三下學(xué)期一模數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1株洲市2023屆高三年級(jí)教學(xué)質(zhì)量統(tǒng)一檢測(cè)（一）數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.設(shè)集合，集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用一元二次不等式的解法求出集合，然后再根據(jù)集合的特征和交集的概念即可求解.〖詳析〗由題意可知：集合，又因?yàn)榧?，所以，故選：.2.已知i為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算求出復(fù)數(shù)，然后利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.〖詳析〗因?yàn)閺?fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則，在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，所以在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，故選：.3.已知四邊形是平行四邊形，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗計(jì)算得出，利用平面向量的線性運(yùn)算可得出關(guān)于、的表達(dá)式，即可得出的值．〖詳析〗，，，，，故，故選：C．4.已知三棱錐的側(cè)面展開(kāi)圖放在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，那么在三棱錐中，與所成的角為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由題知，，進(jìn)而取中點(diǎn)，連接，證明平面即可得，進(jìn)而得〖答案〗..〖詳析〗解：由圖可知，在三棱錐中，，，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，，所以，因?yàn)槠矫?，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，即與所成的角為故選：D5.在平面直角坐標(biāo)系中，已知兩點(diǎn)，到直線的距離分別是1與4，則滿(mǎn)足條件的直線共有（）A.1條 B.2條 C.3條 D.4條〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)圓的概念和切線的性質(zhì)，分別以為圓心，以為半徑作圓，滿(mǎn)足題意的直線為兩圓的公切線，進(jìn)而求解.〖詳析〗分別以為圓心，以為半徑作圓，因?yàn)?，所以?xún)蓤A外切，有三條公切線，即滿(mǎn)足條件的直線共有3條，故選：C6.今年11月，為預(yù)防新冠疫情蔓延，株洲市有，，三個(gè)小區(qū)被隔離；從菜市場(chǎng)出發(fā)的專(zhuān)車(chē)必須每天準(zhǔn)時(shí)到這3個(gè)小區(qū)運(yùn)送蔬菜，以解決小區(qū)居民的日常生活問(wèn)題．，，，之間的行車(chē)距離用表中的數(shù)字表示．若專(zhuān)車(chē)從出發(fā)，每個(gè)小區(qū)經(jīng)過(guò)且只經(jīng)過(guò)一次，然后再返回，那么專(zhuān)車(chē)行駛的最短距離是（）0763705465083480A.17 B.18 C.23 D.25〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，專(zhuān)車(chē)行駛的最短距離應(yīng)該選擇或，再求距離即可.〖詳析〗解：由表中數(shù)據(jù)可知，到的距離最大，到的距離次之，所以，為使行駛距離最短，與之間不能直達(dá)，與之間不能直達(dá)，所以，專(zhuān)車(chē)行駛的最短距離應(yīng)該選擇或，此時(shí)最短距離為或.故選：B7.已知曲線為雙曲線，則該雙曲線的焦距為（）A.2 B. C.4 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意可知：雙曲線為等軸雙曲線，根據(jù)題意求出實(shí)半軸長(zhǎng)和虛半軸長(zhǎng)，進(jìn)而計(jì)算即可求解.〖詳析〗由題意可知：雙曲線為等軸雙曲線，因?yàn)榈容S雙曲線的一條對(duì)稱(chēng)軸為，則雙曲線與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)分別為，所以實(shí)半軸長(zhǎng)為，從而虛半軸長(zhǎng)為，所以焦距為，故選：.8.已知，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算以及作差法，整理代數(shù)式，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性，可得的大小關(guān)系；根據(jù)二項(xiàng)式定理以及中間執(zhí)法，整理，可得〖答案〗.〖詳析〗由，，則，令，，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，即，故，可得，即；由，且，則，即綜上，.故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．）9.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，且，則（）A. B.C.數(shù)列是等差數(shù)列 D.數(shù)列是等比數(shù)列〖答案〗AC〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)可以判斷A正確；利用等差數(shù)列通項(xiàng)公式可以判斷B錯(cuò)誤；根據(jù)等差數(shù)列的概念可判斷C，根據(jù)特例可判斷D.〖詳析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，對(duì)A，因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，且，則由等差數(shù)列性質(zhì)可得，故A正確；對(duì)B，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)C，因?yàn)?，則數(shù)列是等差數(shù)列，故C正確；對(duì)D，如數(shù)列為，顯然數(shù)列不是等比數(shù)列，故D錯(cuò)誤;故選：AC.10.關(guān)于函數(shù)有以下四個(gè)選項(xiàng)，正確的是（）A.對(duì)任意的a，都不是偶函數(shù) B.存在a，使是奇函數(shù)C.存在a，使 D.若的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則〖答案〗AD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，然后結(jié)合正弦型函數(shù)的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.〖詳析〗因?yàn)椋渲?，，?duì)于A，要使為偶函數(shù)，則，且，即對(duì)任意的a，都不是偶函數(shù)，故正確；對(duì)于B，要使為奇函數(shù)，則，且，即不存在a，使是奇函數(shù)，故正確；對(duì)于C，因?yàn)椋叔e(cuò)誤；對(duì)于D，若的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，則，，解得，且，所以，即，故正確.故選：AD11.已知三棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，其外接球的球心為O．點(diǎn)E滿(mǎn)足，過(guò)點(diǎn)E作平行于和的平面，分別與棱相交于點(diǎn)，則（）A.當(dāng)時(shí)，平面經(jīng)過(guò)球心OB.四邊形的周長(zhǎng)隨的變化而變化C.當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積取得最大值D.設(shè)四棱錐的體積為，則〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗說(shuō)明平面為正方形，從而推出其對(duì)角線交點(diǎn)到三棱錐各頂點(diǎn)的距離相等，即可判斷A；設(shè)三棱錐棱長(zhǎng)，求得四邊形的周長(zhǎng)，可判斷B；當(dāng)時(shí)，利用線面位置關(guān)系求出四棱錐的底面積和高的表達(dá)式，可得體積的表達(dá)式，利用導(dǎo)數(shù)判斷其最值，判斷C；求得四棱錐的體積的表達(dá)式，計(jì)算，可判斷D.〖詳析〗對(duì)于A選項(xiàng)，因?yàn)槠矫妫矫?，平面平面，，同理可得，所以，同理，所以，四邊形為平行四邊形，則，取線段的中點(diǎn)M，連接，因?yàn)椋琈為的中點(diǎn)，所以，同理，因?yàn)槠矫妫云矫?，平面，，?dāng)時(shí)，則E為的中點(diǎn)，則F為中點(diǎn)，同理E為的中點(diǎn)，則H為中點(diǎn)，則，因?yàn)?，所以四邊形為正方形，連接，交于，則,由三棱錐的所有棱長(zhǎng)均相等，則,可知，H為的中點(diǎn)，故，同理,又，故,則，即即為外接球的球心O，故當(dāng)時(shí)，平面即經(jīng)過(guò)球心O，A正確；對(duì)于B，設(shè)三棱錐的棱長(zhǎng)為a,由（1）知且四邊形為平行四邊形，,所以,同理，所以四邊形的周長(zhǎng)為，即四邊形的周長(zhǎng)不隨的變化而變化，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，由以上分析可得，，故，設(shè)交于N，交于R，連接,因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，，由于平面?故平面，平面，故平面平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)M作,垂足為T(mén)，并延長(zhǎng)交于Q，則，平面,則平面,即的長(zhǎng)即為間的距離，也為A點(diǎn)到平面的距離，由，可知，由于，則，而，故Q為的中點(diǎn)，故，故，則，故四棱錐的體積,令，則，令，則或（舍去），當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，故時(shí)，在上取到最大值，即當(dāng)時(shí)，四棱錐的體積取得最大值，C正確；對(duì)于D，由以上分析可知，而，故Q為的中點(diǎn)，則T為的中點(diǎn)，也即的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，T即為三棱錐外接球的球心O，此時(shí)，時(shí)，不重合，且根據(jù)正四面體的特征可知O一定在上,則四棱錐的高為，故四棱錐的體積為，則，D正確，故選：ACD〖『點(diǎn)石成金』〗難點(diǎn)『點(diǎn)石成金』：本題綜合性較強(qiáng)，涉及的知識(shí)點(diǎn)較多，解答時(shí)要發(fā)揮空間想象能力，明確空間的線面的位置關(guān)系，難點(diǎn)在于要根據(jù)線面位置關(guān)系計(jì)算出相應(yīng)的量的值，從而結(jié)合相關(guān)的體積公式，表示出體積，進(jìn)而判斷結(jié)論.12.已知是函數(shù)的零點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.〖答案〗ABC〖解析〗〖祥解〗設(shè)，由可得，再根據(jù)選項(xiàng)依次判斷正誤即可.〖詳析〗設(shè)，，，，即，所以要使為系數(shù)都是整數(shù)的整式方程的根，則方程必須包含因式.由中的最高次數(shù)為4，是它的一個(gè)零點(diǎn)，因此，即對(duì)選項(xiàng)，，是正確的；對(duì)選項(xiàng)，，是正確的；對(duì)選項(xiàng)，，是正確的；對(duì)選項(xiàng)，，當(dāng)時(shí)，最小值為，當(dāng)時(shí)，無(wú)最小值，因此選項(xiàng)是錯(cuò)誤.故選：.〖『點(diǎn)石成金』〗關(guān)鍵『點(diǎn)石成金』：本題解題關(guān)鍵在于將含有無(wú)理數(shù)的平方根式通過(guò)兩次平方化成有理數(shù)，得到含有無(wú)理數(shù)解的有理數(shù)整式方程，從而得解.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.在的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)等于__________．（用數(shù)字作答）〖答案〗〖解析〗〖祥解〗利用二項(xiàng)式定理，先求出展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)和的系數(shù)，即得解.〖詳析〗由，根據(jù)二項(xiàng)式定理，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，所以當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為；當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式的系數(shù)為；所以原式中展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為.故〖答案〗為：.14.已知，若在區(qū)間上存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿(mǎn)足，則可以為_(kāi)_________．（填一個(gè)值即可）〖答案〗5（大于等于5的正整數(shù)均可）〖解析〗〖祥解〗利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求解即可.〖詳析〗因?yàn)椋?，又在區(qū)間上存在兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a，b，滿(mǎn)足，所以，解得，所以可以為5，故〖答案〗為：5（大于等于5的整數(shù)均可）15.過(guò)原點(diǎn)的直線l與曲線交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)A，B作x軸的垂線，與曲線交于C，D兩點(diǎn)，則直線CD的斜率為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)，，根據(jù)點(diǎn)，，共線，得出，得出，再由C，D兩點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式，得出，代換即可得出〖答案〗．〖詳析〗設(shè)，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)，，共線，，即，可得：，即，又，，故〖答案〗為：．16.已知橢圓的左右焦點(diǎn)為，，過(guò)的直線交橢圓C于P，Q兩點(diǎn)，若，且，則橢圓C的離心率為_(kāi)_________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)橢圓的定義，線段比例關(guān)系和余弦定理即可求解.〖詳析〗因?yàn)?，所以，又，所以，所以，在三角形中，，三角形中，，以上兩式相等整理得，故或（舍去），故，故〖答案〗為?四、解答題（本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）17.如圖，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)度.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由勾股定理得到，從而求出，再利用余弦差角公式進(jìn)行計(jì)算；（2）先求出，再利用余弦定理求出〖答案〗.〖小問(wèn)1詳析〗在中，由勾股定理得，，；〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理得?8.2023年亞運(yùn)會(huì)在中國(guó)杭州舉辦，開(kāi)幕式門(mén)票與其他賽事門(mén)票在網(wǎng)上開(kāi)始預(yù)定，亞奧理事會(huì)規(guī)定：開(kāi)幕式門(mén)票分為A、B兩檔，當(dāng)預(yù)定A檔未成功時(shí)，系統(tǒng)自動(dòng)進(jìn)入B檔預(yù)定，已知獲得A檔門(mén)票的概率是，若未成功，仍有的概率獲得B檔門(mén)票的機(jī)會(huì)；而成功獲得其他賽事門(mén)票的概率均為，且獲得每張門(mén)票之間互不影響．甲預(yù)定了一張A檔開(kāi)幕式門(mén)票，一張賽事門(mén)票；乙預(yù)定了兩張賽事門(mén)票．（1）求甲乙兩人都沒(méi)有獲得任何門(mén)票的概率；（2）求乙獲得的門(mén)票數(shù)比甲多的概率．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)甲、乙獲得的門(mén)票數(shù)分別為、，分別求、的分布列，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）“乙獲得的門(mén)票數(shù)比甲多”有3種可能、和，結(jié)合（1）中的數(shù)據(jù)運(yùn)算求解.〖小問(wèn)1詳析〗由題意可得：預(yù)定一張開(kāi)幕式門(mén)票不成功的概率，成功的概率為，設(shè)甲獲得的門(mén)票數(shù)為，則的可能取值為，故，故的分布列為：012設(shè)乙獲得的門(mén)票數(shù)為，則，故，故的分布列為：012故甲乙兩人都沒(méi)有獲得任何門(mén)票的概率.〖小問(wèn)2詳析〗由（1）可得：乙獲得的門(mén)票數(shù)比甲多的概率.19.如圖（1），已知菱形ABCD中，沿對(duì)角線BD將其翻折，使，設(shè)此時(shí)AC的中點(diǎn)為O，如圖（2）．（1）求證：點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面上的射影；（2）求直線AD與平面BCD所成角的余弦值．〖答案〗（1）證明見(jiàn)詳析（2）〖解析〗〖祥解〗（1）利用等腰三角形中線及勾股定理證明線線垂直，然后證明線面垂直，即可判斷點(diǎn)在的面上的射影；（2）利用等體積法求出點(diǎn)點(diǎn)A到平面BCD的距離，利用定義求出線面角的正弦值，進(jìn)一步求出余弦值〖小問(wèn)1詳析〗連接DO，因?yàn)椋琌為AC的中點(diǎn)，所以，設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，又因?yàn)椋?，連接BO，則，又因?yàn)?，，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，平面，平面，所以平面，所以點(diǎn)O是點(diǎn)D在平面上的射影；〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)點(diǎn)A到平面BCD的距離為h，設(shè)菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，且，則的面積為，則，的面積為，由（1）知，平面，，所以，由得，，所以，設(shè)直線AD與平面BCD所成角為，則，所以，即直線AD與平面BCD所成角的余弦值為20.數(shù)列滿(mǎn)足，.（1）若，求證：是等比數(shù)列.（2）若，的前項(xiàng)和為，求滿(mǎn)足的最大整數(shù).〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）98〖解析〗〖祥解〗（1）由已知得，可得，進(jìn)而得證；（2）利用錯(cuò)位相減結(jié)合分組求和可得，結(jié)合二項(xiàng)式定理進(jìn)行放縮，進(jìn)而得解.〖小問(wèn)1詳析〗，，，由已知可得，，，，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列；〖小問(wèn)2詳析〗由（1）得，所以，設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，則①，②，①②得，所以，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以，，所以滿(mǎn)足的最大整數(shù)為21.已知曲線與曲線N關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且的頂點(diǎn)在曲線N上．（1）若為正三角形，且其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，求此時(shí)該三角形的面積；（2）若三邊所在的三條直線中，有兩條與曲線M相切，求證第三條直線也與曲線M相切．〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由題意得出曲線N的方程，設(shè)出的頂點(diǎn)，求出直線方程并聯(lián)立可得坐標(biāo)，結(jié)合面積公式即可求解；（2）設(shè)出頂點(diǎn)與切線方程，聯(lián)立直線與拋物線，利用相切條件結(jié)合判別式為零即可求解；〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)榍€與曲線N關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以曲線N的方程為，又為正三角形，且其中一個(gè)頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，故不妨設(shè)為原點(diǎn)，則直線的方程為，由解得，進(jìn)而