專題28.7第28章銳角三角函數(shù)元測試（基礎(chǔ)卷）-2020-2021學年九年級數(shù)學下冊尖子生培優(yōu)題典

20202021學年九年級數(shù)學下冊尖子生同步培優(yōu)題典【人教版】專題28.7第28章銳角三角函數(shù)單元測試（基礎(chǔ)卷）姓名：__________________班級：______________得分：_________________注意事項：本試卷滿分120分，試題共26題，其中選擇10道、填空8道、解答8道．答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置．一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．（2020秋?渝中區(qū)校級月考）下列式子正確的是（）A．cos60°=32 B．cos60°+tan45°＝C．tan60°-1tan30°=0 D．sin230°+cos2【分析】根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值和同角的三角函數(shù)的關(guān)系求出每個式子的值，再判斷即可．【解析】A．cos60°=1B．cos60°+tan45°=12+1＝C．tan60°-1tan30°D．sin230°+cos230°＝1，故本選項不符合題意；故選：C．2．（2020秋?沙坪壩區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinB=1213，則tanA．513 B．1312 C．125 【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義得出sinB=ACBC=1213，設(shè)AC＝12x，AB＝13x，根據(jù)勾股定理求出BC【解析】∵sinB=ACBC∴設(shè)AC＝12x，AB＝13x，由勾股定理得：BC=AB2∴tanA=BC故選：D．3．（2020?長沙模擬）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線OA過點（2，1），直線OA與x軸的夾角為α，則tanα的值為（）A．55 B．12 C．2 D【分析】過點C（2，1），作CD⊥x軸于D，則OD＝2，CD＝1，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【解析】過點C（2，1）作CD⊥x軸于D，如圖所示：則OD＝2，CD＝1，在Rt△OCD中，tanα=CD故選：B．4．（2020秋?九龍坡區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠A＝90°，若∠B＝30°，則sinC＝（）A．22 B．12 C．33 【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出∠C，根據(jù)60°的正弦值是32【解析】∵∠A＝90°，∠B＝30°，∴∠C＝90°﹣30°＝60°，∴sinC＝sin60°=3故選：D．5．（2020春?牡丹江期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，AC＝6，AB＝4，則BC的長是（）A．62 B．219 C．213 D．9【分析】作CD⊥AB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出AD，根據(jù)勾股定理求出CD，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解析】過點C作CD⊥AB，交BA的延長線于點D，∵∠BAC＝120°，∴∠DAC＝180°﹣120°＝60°，∴∠ACD＝30°，∴AD=12AC＝∴BD＝AB+AD＝7，由勾股定理得，CD=AC2在Rt△BCD中，BC=BD2故選：B．6．（2020?路南區(qū)一模）如圖，從漁船A處測得燈塔M在北偏東55°方向上，這艘漁船以28km/h的速度向正東方向航行，半小時后到達B處，在B處測得燈塔M在北偏東20°方向上，此時燈塔M與漁船的距離是（）A．28km B．14km C．72km D．142km【分析】根據(jù)題意證明△ABM是等腰三角形，即可得此時燈塔M與漁船的距離．【解析】根據(jù)題意可知：∠MAB＝90°﹣55°＝35°，∠ABM＝90°+20°＝110°，∴∠AMB＝180°﹣∠ABM﹣∠MAB＝35°，∴∠MAB＝∠AMB，∴BM＝AB＝28×12=14所以此時燈塔M與漁船的距離是14km．故選：B．7．（2020?天臺縣一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中點，若CD＝5，AC＝8，則tanA＝（）A．45 B．35 C．34 【分析】直接利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得出AB的長，再利用勾股定理得出BC的長，進而利用直角三角形邊角關(guān)系得出答案．【解析】∵∠ACB＝90°，D是AB的中點，CD＝5，∴AB＝2CD＝10，∵AC＝8，AB＝10，∴BC=10∴tanA=BC故選：C．8．（2020秋?渝中區(qū)校級月考）某興趣小組想測量一座大樓AB的高度，如圖，大樓前有一段斜坡BC，已知BC的長為12米，它的坡度i＝1：3．在離C點40米的D處，用測量儀測得大樓頂端A的仰角為37°，測角儀DE的高度為1.5米，求大樓AB的高度約為多少米？（）（結(jié)果精確到0.1米）（參考數(shù)據(jù)：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，3≈1.73A．39.3 B．37.8 C．33.3 D．25.7【分析】延長AB交直線DC于點F，過點E作EH⊥AF，垂足為點H，在Rt△BCF中利用坡度的定義求得CF的長，則DF即可求得，然后在直角△AEH中利用三角函數(shù)求得AF的長，進而求得AB的長．【解析】如圖，延長AB交直線DC于點F，過點E作EH⊥AF，垂足為點H．∵在Rt△BCF中，BF：CF＝1：3，∴設(shè)BF＝k，則CF=3k∴BC＝2k．又∵BC＝12，∴k＝6，∴BF＝6，CF＝63，∵DF＝DC+CF，∴DF＝40+63在Rt△AEH中，tan∠AEH=AH∴AH＝tan37°×（40+63）≈37.785（米），∵BH＝BF﹣FH，∴BH＝6﹣1.5＝4.5．∵AB＝AH﹣HB，∴AB＝37.785﹣4.5≈33.3．答：大樓AB的高度約為33.3米．故選：C．9．（2020春?南岸區(qū)校級月考）崇州的網(wǎng)紅建筑“竹里”，以數(shù)學符號“∞”表達融合與無限，以高低不平的屋頂表達曲折與變換，小小布與父母一起去竹里感受當?shù)靥赜械闹窬幟袼蓿?.6米的小小布站在自己的竹屋旁的點D時，驚喜地發(fā)現(xiàn)平視前方剛剛看見屋頂最低點C．此時他抬頭看屋頂?shù)淖罡唿cA時，仰角為30°；小小布沿水平方向直線行走一段長度到達竹屋另一側(cè)的點E，抬頭看點A的仰角為53°；A、C、D、E在同一平面內(nèi)，若點A到地面的垂直高度為7.2米，則小小布水平行走了（）（sin53°≈45，tan53°≈43A．7.0米 B．10.0米 C．13.7米 D．17.6米【分析】作AH⊥DE于H，交BF于G，則AH⊥BF，求出AG＝5.6，在Rt△ABG中，由三角函數(shù)定義求出BG＝4.2，在Rt△AFG中，由直角三角形的性質(zhì)得FG=3AG≈9.52，則DE＝BF＝BG+FG≈13.7【解析】如圖，作AH⊥DE于H，交BF于G，則AH⊥BF，由題意得：DE＝BF，GH＝DF＝1.6，AH＝7.2，∴AG＝AH﹣GH＝7.2﹣1.6＝5.6，在Rt△ABG中，tan∠ABG=AG∴BG=AGtan53°在Rt△AFG中，∠AFG＝30°，∴FG=3AG≈1.7×5.6＝9.52∴DE＝BF＝BG+FG＝4.2+9.52≈13.7（米），即小小布水平行走了13.7米；故選：C．10．（2020?武漢模擬）如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，sin∠A=35，O是AC邊上一點，以O(shè)A為半徑的⊙O交AB于點D，若BD＝2，AD＝AC，則線段A．25 B．35 C．210 D．4【分析】作OE⊥AD，根據(jù)正弦的定義求出BC、AC，根據(jù)垂徑定理求出AE，證明△AOE∽△ABC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AO，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【解析】過點O作OE⊥AD于E，設(shè)BC＝3x，在Rt△ABC中，sin∠A=3∴AB＝5x，由勾股定理得，AC=AB2∴AD＝AC＝4x，∵AB＝AD+BD，∴5x＝4x+2，解得，x＝2，∴AC＝AD＝8，AB＝10，BC＝6，∵OE⊥AD，∴AE＝ED=12AD＝∵OE⊥AD，∠C＝90°，∴△AOE∽△ABC，∴AOAB=AE解得，AO＝5，∴OC＝AC﹣AO＝3，由勾股定理得，OB=OC2故選：B．二、填空題（本大題共8小題，每小題3分，共24分）請把答案直接填寫在橫線上11．（2020秋?楊浦區(qū)期中）計算：cos60°tan30°+cot60°＝32【分析】直接利用特殊角的三角函數(shù)值分別代入得出答案．【解析】原式==3=3故答案為：3212．（2020春?雨花區(qū)期中）如圖，已知Rt△ABC中，斜邊AB的長為m，∠B＝40°，則直角邊AC的長是msin40°．【分析】根據(jù)正弦的定義計算，得到答案．【解析】在Rt△ABC中，sinB=AC∴AC＝AB?sinB＝msin40°，故答案為：msin40°．13．（2020秋?河口區(qū)校級月考）在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知tanB=12，則cosA＝5【分析】根據(jù)tanB=12，求出第三邊長的表達式，即可求出cos【解析】如圖：設(shè)AC＝x，∵tanB=1∴BC＝2x，∴AB=AC∴cosA=AC故答案為：5514．（2020?北京二模）如圖，邊長為1的小正方形網(wǎng)格中，點A，B，C，D，E均在格點上，半徑為2的⊙A與BC交于點F，則tan∠DEF＝12【分析】根據(jù)圓周角定理得出∠DBC＝∠DEF，進而得出tan∠DEF＝tan∠DBC，求出答案即可．【解析】由題意可得：∠DBC＝∠DEF，則tan∠DEF＝tan∠DBC=DC故答案為：1215．（2020春?南崗區(qū)校級月考）在△ABC中，∠B＝30°，AB＝4，AC=7，則BC的長為33或3【分析】過A作AD⊥BC于D，分為兩種情況，畫出圖形，求出BD和CD，即可求出答案．【解析】如圖1，過點A作AD⊥BC于點D，∵∠B＝30°，AB＝4，∴AD=12AB＝2，BD＝AB?cos30°＝4×3在Rt△ACD中，∵AD＝2，AC=7∴DC=A∴BC＝BD+DC＝23+3=如圖2，同理可得，AD=12AB＝2，BD＝AB?cos30°＝4×32=2∴BC＝BD﹣DC＝23-綜上所述，BC的長為33或3；故答案為：33或3．16．（2020秋?渝中區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，sinB=55，tanC=34，AC＝52，則BC＝【分析】過A作AD垂直于BC，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD，CD的長，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AB的長，再利用勾股定理求出BD，即可解決問題．【解析】過A作AD⊥BC，在Rt△ACD中，tanC=34，AC＝5∴AD＝32，CD＝42，在Rt△ABD中，sinB=5∴AB=ADsinB=根據(jù)勾股定理得：BD=AB2∴BC＝BD+CD＝102，故答案為102．17．（2020春?南崗區(qū)校級月考）如圖，△ABC中，AC＝BC，AB＝8，點E、F分別在BC、AC邊上，BE＝CF，連接EF，若tan（∠A﹣∠CEF）=34，則線段EF的長為5【分析】過F點作FM∥BC，過點B作BM∥EF，證明△MAF≌△FEC得∠MAF＝∠FEC，再證明∠MAB＝∠MBA，通過解直角三角形求出BM的長即可得到結(jié)論．【解析】過F點作FM∥BC，過點B作BM∥EF，BM，F(xiàn)M相交于點M，連接AM，如圖，∴四邊形BMFE是平行四邊形，∴EF＝BM，∵FM∥BC，∴∠AFM＝∠C，∵AC＝BC，BE＝CF，∴AF＝CE，在△MAF和△FEC中，MF=FC∠AFM=∠C∴△MAF≌△FEC（SAS），∴∠MAF＝∠FEC，∵BM∥EF，∴∠MBC＝∠FEC＝∠MAF，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，∴∠MAB＝∠MBA，∵tan(∠A-∠FEC)=3∴tan∠MAB＝tan∠MBA=3過點M作MN⊥AB于點N，則有，BN=12AB=12又tan∠MBA=MN∴MN＝3，由勾股定理得，BM＝5，∴EF＝BM＝5故答案為：5．18．（2020?思明區(qū)校級二模）如圖是一個地鐵站入口的雙翼閘機．它的雙翼展開時，雙翼邊緣的端點A與B之間的距離為10cm，雙翼的邊緣AC＝BD＝54cm，且與閘機側(cè)立面夾角∠PCA＝∠BDQ＝30°．當雙翼收起時，可以通過閘機的物體的最大寬度為64cm．【分析】如圖，連接AB，CD，過點A作AE⊥CD于E，過點B作BF⊥CD于F．求出CE，EF，DF即可解決問題．【解析】如圖，連接AB，CD，過點A作AE⊥CD于E，過點B作BF⊥CD于F．∵AB∥EF，AE∥BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形，∵∠AEF＝90°，∴四邊形AEFB是矩形，∴EF＝AB＝10（cm），∵AE∥PC，∴∠PCA＝∠CAE＝30°，∴CE＝AC?sin30°＝27（cm），同法可得DF＝27（cm），∴CD＝CE+EF+DF＝27+10+27＝64（cm），故答案為64．三．解答題（共8小題，滿分66分）19．（2019秋?百色期末）計算：2cos45°-32tan30°cos30°+sin2【分析】先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值得到原式＝2×22-32【解析】原式＝2×22-3=2=220．（2019秋?昌平區(qū)期末）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，tanA=13，BC＝2，求【分析】根據(jù)直角三角形的邊角關(guān)系，求出AC，再根據(jù)勾股定理求出AB．【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴tanA=BC∵BC＝2，∴2AC=13，∵AB2＝AC2+BC2＝40，∴AB=21021．（2020秋?楊浦區(qū)期中）如圖，已知在△ABC中，AB＝AC=25，tanB＝2，點D為邊BC延長線上一點，CD＝BC，聯(lián)結(jié)AD．求∠D【分析】首先構(gòu)造直角三角形，過點A作AH⊥BC，然后利用三角函數(shù)的知識求出AH和BH，進而根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)（三線合一）求出CH，再根據(jù)題意求出HD，最后由余切的定義求出答案．【解析】過點A作AH⊥BH∵tanB=∴在Rt△ABH中AB2＝AH2+BH2(25解得BH＝2，則AH＝4∵AB＝AC，AH⊥BC∴HC＝BH＝2∴CD＝BC＝2BH＝4∴HD＝HC+CD＝6cotD=HD22．（2020秋?沙坪壩區(qū)校級月考）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的高，BC＝14，AD＝12，sinB=4（1）求線段CD的長度；（2）求cos∠C的值．【分析】根據(jù)sinB=45，求得AB＝15，由勾股定理得BD＝9，從而計算出CD，再利用三角函數(shù)，求出cos∠【解析】（1）∵AD是BC上的高，∴∠ADB＝∠ADC＝90°．∵sinB=45，AD＝∴AB＝15，∴BD=AB∵BC＝14，∴DC＝BC﹣BD＝14﹣9＝5；（2）由（1）知，CD＝5，AD＝12，∴AC=ADcosC=CD23．（2020秋?豐澤區(qū)校級月考）當0°＜α＜45°時，有2sin（α+45°）＝sinα+cosα．（1）計算sin75°；（2）如圖，△ABC中，AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，請利用這個圖形證明上述結(jié)論．【分析】（1）根據(jù)題意，將α＝30°，代入題目中的等式，即可計算出sin75°的值；（2）根據(jù)題意，作出合適的輔助線，然后根據(jù)銳角三角函數(shù)即可證明結(jié)論成立．【解析】（1）∵當0°＜α＜45°時，有2sin（α+45°）＝sinα+cosα，∴當α＝30°時，2sin（30°+45°）＝sin30°+cos30°，∴2sin75°=1解得，sin75°=2（2）作AD⊥CB交CB的延長線于點D，∵AB＝1，∠ACB＝45°，∠CAB＝α，∴∠ABD＝∠ACB+∠ACB＝45°+α，sin∠ABD=ADAB∴sin（45°+α）＝AD，又∵∠ADC＝90°，∠C＝45°，∴sinC=AD即AD＝AC?sinC＝AC×22∴AC=2AD=2sin（α作BE⊥AC于點E，∵∠CAB＝α，AB＝1，∴sinα=BEAB=BE，cosα∵∠C＝45°，∠BEC＝90°，∴∠C＝∠CBE＝45°，∴BE＝CE，∴AC＝AE+CE＝AE+BE，∴2sin（α+45°）＝sinα+cosα．24．（2020?豐臺區(qū)二模）如圖，AB為⊙O的直徑，C為AB延長線上一點，CD為⊙O的切線，切點為D，AE⊥CD于點E，且AE與⊙O交于點F．（1）求證：點D為BF的中點；（2）如果BC＝5，sinC=35，求【分析】（1）證明OD∥AE可得結(jié)論．（2）在Rt△ODC中，根據(jù)sin∠C=ODOC=35，求出半徑r，再在Rt【解答】（1）證明：如圖，連接OD，AD．∵CD是⊙O的切線，∴OD⊥EC，∵AE⊥EC，∴OD∥AE，∴∠ADO＝∠EAD，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠OAD＝∠EAD，∴DF=即點D是BF的中點．（2）解：過點O作OH⊥AE于H，則AH＝HF．設(shè)OA＝OB＝OD＝r，∵∠ODC＝90°，∴sin∠C=OD∴rr+5解得r=15∵OH⊥AE，EC⊥AE，∴OH∥EC，∴∠AOH＝∠C，∴sin∠AOH＝sin∠C=3∴AHAO∴AH=9∴AF＝2AH＝9．25．（2020?東勝區(qū)二模）如圖是一種簡易臺燈的結(jié)構(gòu)圖，燈座為△ABC（BC伸出部分不計），A、C、D在同一直線上．量得∠ACB＝90°，∠A＝60°，AB＝16cm，∠ADE＝135°，燈桿CD長為40cm，燈管DE長為15cm．（1）求DE與水平桌面（AB所在直線）所成的角；（2）當E點到水平桌面（AB所在直線）的距離為45cm﹣46cm時，視線最佳，通過計算說明此時光線是否為最佳．（參考數(shù)據(jù)：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97，tan15°＝0.27，3=1.73【分析】（1）過點D作DN⊥AB于點N，過E作EM⊥AB于點M，過點D作DF∥AB，交EM于F，得到四邊形DNMF是矩形，進而得出∠EDF的值；（2）利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出DN以及EF的值，進而得出答案．【解析】（1）如圖所示：過點