數(shù)學(xué)教材習(xí)題點撥：變化率與導(dǎo)數(shù)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精教材習(xí)題點撥1．(思考1）當空氣容量從V1增加到V2時，氣球的平均膨脹率是多少？答：氣球的平均膨脹率為eq\f(rV2－rV1，V2－V1）＝eq\f(\r（3,\f（3V2，4π））－\r(3，\f(3V1，4π)）,V2－V1)。2．（探究)計算運動員在0≤t≤eq\f(65,49)這段時間里的平均速度,并思考下面的問題:（1)運動員在這段時間里是靜止的嗎?（2）你認為用平均速度描述運動員的運動狀態(tài)有什么問題嗎?答：（1)運動員不是靜止的；（2）在0≤t≤eq\f(65，49)這段時間內(nèi)的平均速度eq\x\to(v)＝eq\f(h\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(65，49)）)－h(huán)0，\f(65,49)－0）＝0,而運動員在這段時間內(nèi)不是靜止的，因此用平均速度描述運動員的狀態(tài)不合適．3．（思考2)觀察函數(shù)y＝f（x)的圖象，平均變化率eq\f（Δy，Δx)＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）表示什么？答：eq\f（Δy，Δx）＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）表示y＝f（x）圖象上兩點A(x1，f(x1)）、B（x2，f（x2））連線的斜率．（1）運動員在某一時刻t0的瞬時速度怎樣表示？(2）函數(shù)f（x）在x＝x0處的瞬時變化率怎樣表示?答：(1)運動員在某一時刻t0的瞬時速度為eq\o(lim,\s\do4（Δt→0))eq\f（ht0＋Δt－h(huán)t0，Δt)；(2）函數(shù)y＝f(x）在x＝x0處的瞬時變化率為eq\o(lim,\s\do4(Δx→0）)eq\f（Δy，Δx)＝eq\o（lim,\s\do4(Δx→0））eq\f（fx0＋Δx－fx0,Δx）.練習(xí)解:在第3h和5h時，原油溫度的瞬時變化率分別為－1和3。它說明在第3h附近,原油溫度大約以1℃/h的速率下降；在第5h時,原油溫度大約以3℃/h的速率上升．（問題)此處的切線定義與以前學(xué)過的切線定義有什么不同？答：初中平面幾何中圓的切線的定義：直線和圓有唯一公共點時，叫做直線和圓相切．這時直線叫做圓的切線,惟一的公共點叫做切點．圓是一種特殊的曲線．這種定義并不適用于一般曲線的切線．比如圖中的曲線C，直線l1雖然與曲線C有唯一的公共點N，但我們不能認為它與曲線C相切;而另一條直線l2,雖然與曲線C有不止一個公共點，我們還是認為它是曲線C在點M處的切線．因此,以上圓的切線的定義并不適用于一般的曲線．通過逼近方法，將割線趨于的確定位置的直線定義為切線，適用于各種曲線．所以,這種定義才真正反映了切線的直觀本質(zhì)．練習(xí)1解：函數(shù)h(t)在t＝t3附近單調(diào)遞增,在t＝t4附近單調(diào)遞增．并且,函數(shù)h（t)在t4附近比在t3附近增加得慢．點撥：體會“以直代曲”的思想．練習(xí)20．29;0.18.習(xí)題1。1A組1．解：在t0處，雖然W1（t0）＝W2（t0)，然而eq\f(W1t0－W1t0－Δt,－Δt)≥eq\f（W2t0－W2t0－Δt,－Δt），所以單位時間里企業(yè)甲比企業(yè)乙的平均治污率大，因此企業(yè)甲比企業(yè)乙略好一籌．點撥：考查平均變化率的應(yīng)用，體會平均變化率的內(nèi)涵．2．解：eq\f(Δh，Δt)＝eq\f(h1＋Δt－h(huán)1，Δt）＝－4。9Δt－3。3，所以h′(1)＝－3。3。這說明運動員在t＝1s附近以每秒3.3m的速度下降．3．解：物體在第5s的瞬時速度就是函數(shù)s(t)在t＝5時的導(dǎo)數(shù)．eq\f（Δs，Δt）＝eq\f(s5＋Δt－s5，Δt）＝Δt＋10，所以s′(5）＝10。因此物體在第5s時的瞬時速度為10m/s，它在第5s的動能U＝eq\f（1，2）×3×102＝150J.4．解:設(shè)車輪的角速度為θ，時間為t，則θ＝kt2(k＞0)．由題意可知，當t＝0.8時,θ＝2π。所以k＝eq\f(25π，8)，于是θ＝eq\f（25π,8)t2。車輪轉(zhuǎn)動開始后第3。2s時的瞬時角速度就是函數(shù)θ（t)在t＝3.2s時的導(dǎo)數(shù)．eq\f（Δθ，Δt)＝eq\f（θ3.2＋Δt－θ3.2，Δt)＝eq\f（25π，8)Δt＋20π，所以θ′(3.2)＝20π.因此，車輪在開始轉(zhuǎn)動后第3.2s時的瞬時角速度為20π弧度/秒．5．解:由題圖可知，函數(shù)f(x)在x＝－5處切線的斜率大于零，所以函數(shù)在x＝－5附近單調(diào)遞增．同理可得，函數(shù)f(x）在x＝－4、－2、0、1附近分別單調(diào)遞增、幾乎沒有變化、單調(diào)遞減、單調(diào)遞減．點撥：“以直代曲”思想的應(yīng)用．6．解:第一個函數(shù)的圖象是一條直線，其斜率是一個小于零的數(shù)，因此，其導(dǎo)數(shù)f′（x）的圖象如圖（1)所示；第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）恒大于零，并且隨著x的增加，f′(x)的值也在增加，如圖(2）所示；對于第三個函數(shù)，當x小于零時，f′（x)小于零,當x大于零時，f′(x)大于零，并且隨著x的增加，f′(x）的值也在增加，如圖(3)所示．以下給出了滿足上述條件的導(dǎo)函數(shù)圖象中的一種．點撥：本題意在讓學(xué)生將導(dǎo)數(shù)與曲線的切線斜率相聯(lián)系．B組1．解：高度關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)刻畫的是運動變化的快慢，即速度；速度關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)刻畫的是速度變化的快慢，根據(jù)物理知識，這個量就是加速度．2．解：如圖所示．點撥:由給出的v(t）的信息獲得s(t)的相關(guān)信息,并據(jù)此畫出s(t）的圖象的大致的形狀．這個過程基于對導(dǎo)數(shù)內(nèi)涵的了解，以及數(shù)與形之間的相互轉(zhuǎn)換．3．解：由題意可知，函數(shù)f（x)的圖象在點(1，－5)處的切線斜率為－1