專題915矩形（培優(yōu)篇）（專項練習）-2022-2023學年八年級數(shù)學下冊基礎知識專項講練（蘇科版）

專題9.15矩形（培優(yōu)篇）（專項練習）一、單選題1．在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，再添加一個條件，仍不能判定四邊形ABCD是矩形的是（）A．AB＝AD B．OA＝OB C．AC＝BD D．DC⊥BC2．如圖，在矩形ABCD中，點O為對角線BD的中點，過點O作線段EF交AD于F，交BC于E，OB＝EB，點G為BD上一點，滿足EG⊥FG，若∠DBC＝30°，則∠OGE的度數(shù)為（）A．30° B．36° C．37.5° D．45°3．如圖，在矩形中，是延長線上一點，，連接、，過點作于點，為上一點，連接，．若，，則的長為（

）A． B．8 C． D．4．如圖，在矩形中，是邊上的動點，于，于，如果，那么()A． B．C． D．5．把一張寬為1cm的長方形紙片ABCD折疊成如圖所示的陰影圖案，頂點A，D互相重合，中間空白部分是以E為直角頂點，腰長為2cm的等腰直角三角形，則紙片的長AD（單位：cm）為（

）A． B． C． D．6．如圖，中，，，，點D是的中點，將沿翻折得到，連接，，則線段的長等于（

）A． B． C． D．7．如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（1，1），B，C，D，把一根長為2022個單位長度且沒有彈性的細線（線的粗細忽略不計）的一端固定在點D處，并按D→A→B→C→D…的規(guī)律緊繞在四邊形ABCD的邊上，則細線的另一端所在位置的點的坐標是（

）A．（1，0） B．（0，1） C． D．8．如圖，矩形紙片中，，，點E、G分別在上，將、分別沿翻折，翻折后點C與點F重合，點B與點P重合．當A、P、F、E四點在同一直線上時，線段長為（

）A． B． C． D．9．如圖．每個小正方形的邊長為1，格點線段與交于點，與交于點，連接．有下列結論①；②；③；④；⑤；⑥的面積為0.75．其中正確的結論有（）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個10．如圖，在中，，，斜邊的兩個端點分別在相互垂直的射線、上滑動，下列結論：①若、兩點關于對稱，則；②、兩點距離的最大值為；③若平分，則；④四邊形的面積為．其中正確結論的個數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，已知矩形中，與相交于，平分交于，，則的度數(shù)為_______．12．如圖，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，點E為BC的中點，將△ABE沿AE折疊，使點B落在矩形內點F處，連接CF，則S△ECF的值為____．13．如圖，在矩形ABCD中，，對角線，BE平分∠ABC交AD于點E，Q是線段BE上的點，連接CQ，過點C作CP⊥CQ交AD的延長線于點P，當△PCQ為等腰三角形時，AP＝______．14．矩形ABCD與矩形CEFG如圖放置，點B、C、E共線，點C、D、G共線，連接AF，取AF的中點H，連接GH．若BC＝EF＝3，CD＝CE＝1，則GH＝_______．15．如圖，在長方形ABCD中，E是AD的中點，F(xiàn)是CE的中點，若△BDF的面積為6平方厘米，則長方形ABCD的面積是_____平方厘米．16．如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝1，將△ABD沿射線DB平移得到△A'B'D'，連接B′C，D′C，則B'C+D'C的最小值是_____．17．如圖，在矩形中，，對角線，點，分別是線段，上的點，將沿直線折疊，點，分別落在點，處．當點落在折線上，且時，的長為______．18．在直角梯形中，AD∥BC，，，，那么________．三、解答題19．已知：矩形ABCD中，對角線AC與BD交于點O，CE平分，交AB于點E，，求的度數(shù)．20．如圖，DE是△ABC的中位線，過點C作CF∥AB，交DE的延長線于點F．(1)求證：BC＝DF；(2)連接CD、AF，當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCF是矩形，請說明理由．21．將矩形置于平面直角坐標系中，點A的坐標為，點C的坐標為點，點在BC上，將矩形沿折疊壓平，使點B落在坐標平面內，設點B的對應點為點E．當時，求點E的坐標；隨著m的變化，試探索：點E能否恰好落在x軸上？若能，請求出m的值；若不能，請說明理由．22．如圖，在矩形中，平分交于E，連接，．(1)如圖1，若，，求的長；(2)如圖2，若點F是邊上的一點，若，連結交于G，①猜想的度數(shù)，并說明理由；②若，求的值．23．如圖，在中，，，是邊上的中線，點E，F(xiàn)分別在，邊上運動（點E不與點A，C重合），且保持，連接，，．求證：；求四邊形的面積；請直接寫出三條線段，，之間的數(shù)量的關系：_______．24．如圖1，在矩形中，，，點為邊上一動點，連接，作點關于直線的對稱點，連接，，，，與交于點．若DE=2，求證：AE//CF．如圖2，連接AC，BD，若點F在矩形ABCD的對角線上，求所有滿足條件的DE的長．如圖3，連接BF，當點F到矩形ABCD一個頂點的距離等于2時，請直接寫出△BCF的面積．參考答案1．A【分析】根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形，對角線相等的平行四邊形是矩形，對各選項分析判斷后利用排除法求解．解：A、AB＝AD，則?ABCD是菱形，不能判定是矩形，故本選項錯誤；B、OA＝OB，根據(jù)平行四邊形的對角線互相平分，AC＝BD，對角線相等的平行四邊形是矩形可得?ABCD是矩形，故本選項正確；C、AC＝BD，根據(jù)對角線相等的平行四邊形是矩形，故本選項正確；D、DC⊥BC，則∠BCD＝90°，根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形可得?ABCD是矩形，故本選項正確．故選：A．【點撥】此題考察矩形的判定，熟記判定定理才可正確解答.2．C【分析】根據(jù)矩形和平行線的性質，得；根據(jù)等腰三角形和三角形內角和性質，得；根據(jù)全等三角形性質，通過證明，得；根據(jù)直角三角形斜邊中線、等腰三角形、三角形內角和性質，推導得，再根據(jù)余角的性質計算，即可得到答案．解：∵矩形ABCD∴∴∵OB＝EB，∴∴∵點O為對角線BD的中點，∴和中∴∴∵EG⊥FG，即∴∴∴故選：C．【點撥】本題考查了矩形、平行線、全等三角形、等腰三角形、三角形內角和、直角三角形的知識；解題的關鍵是熟練掌握矩形、全等三角形、等腰三角形、直角三角形斜邊中線的性質，從而完成求解．3．A【分析】先證得△CDE是等腰直角三角形，再進一步說明∠EBC=∠CGB得到CG=BC=EG=4,說明三角形BCG為等腰三角形，進而說明GH=BH、∠CHB=90°，再根據(jù)直角三角形的性質求得CH=BC=2，進而求得GH=BH=CH=2，最后根據(jù)EH=GH+GE求解即可．解：∵四邊形ABCD是矩形∴∠CDA=90°，AD//BC∴∠CDE=90°，∠AEB=∠EBC=30°∵ED=CD∴△CDE是等腰直角三角形∴∠DCE=∠DEC=45°∴∠CEB=45°30°=15°∵EG=CG∴∠GCE=∠GEB=15°∴∠CGB=∠GCE+∠CEB=30°∴∠EBC=∠CGB∴CG=BC=4∴EG=4∵CH⊥BE∴GH=BH,∠CHB=90°∵∠EBC=30°∴CH=BC=2,GH=BH=CH=2∴EH=GH+EG=4+2．故選A．【點撥】本題主要考查了矩形的性質、等腰三角形的判定與性質、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半等知識點，靈活運用相關知識點成為解答本題的關鍵．4．A【分析】設AC、BD交于點O，連接OP，根據(jù)矩形的性質及勾股定理求出OA=OD=2.5，再求出△AOD的面積，根據(jù)面積關系即可求出答案.解：設AC、BD交于點O，連接OP，∵,∴BD=AC=5，∴OA=OD=2.5，∵，∴，∵于，于，∴，，∴，故選：A.【點撥】此題考查矩形的性質，勾股定理，根據(jù)矩形的性質求出△AOD的面積是解題的關鍵.5．D【分析】如圖，過點M作MH⊥A'R于H，過點N作NJ⊥A'W于J．想辦法求出AR，RM，MN，NW，WD即可解決問題．解：如圖，過點M作MH⊥A'R于H，過點N作NJ⊥A'W于J．由題意△EMN是等腰直角三角形，EM=EN=2，MN=∵四邊形EMHK是矩形，∴EK=A'K=MH=1，KH=EM=2，∵△RMH是等腰直角三角形，∴RH=MH=1，RM=，同法可證NW=，題意AR=RA'=A'W=WD=4，∴AD=AR+RM+MN+NW+DW=4++++4=.故答案為：D.【點撥】本題考查翻折變換，等腰直角三角形的判定和性質，矩形的性質等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構造特殊三角形或特殊四邊形解決問題．6．D【分析】延長交于點，作，垂足為．首先證明垂直平分線段，是直角三角形，求出的長，在中，利用勾股定理即可解決問題．解：如圖，延長交于點，作，垂足為．在中，，，．為的中點，．，，解得．由翻折的性質可知，，，．

，，．．根據(jù)折疊的性質有：，，，，又，，，為直角三角形．．故選：D．【點撥】本題考查翻折變換、直角三角形的斜邊中線的性質、勾股定理等知識，解題的關鍵是學會利用面積法求高，屬于中考常考題型．7．A【分析】先求出四邊形ABCD的周長為10，得到2022÷10的余數(shù)為2，由此即可解決問題．解：∵A（1，1），B（1，1），C（1，2），D（1，2），∴AB∥x軸，CD∥x軸，AD∥y軸，BC∥y軸，∴AB⊥AD，AB⊥BC，CD⊥AB，CD⊥BC，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，∴四邊形ABCD是矩形，∵AB=1(1)=2，BC=1(2)=3，∴四邊形ABCD的周長為：2（AB+BC）=10，∵2022÷10=202…2，且AD=3，∴細線另一端所在位置的點在D處上面2個單位的位置，坐標為（1，0）．故選：A．【點撥】本題主要考查了規(guī)律型：點的坐標，解決問題的關鍵是熟練掌握矩形的周長公式，運用除法得到的余數(shù)確定點的位置．8．B【分析】根據(jù)矩形的性質得到，，，根據(jù)折疊的性質得到，，，根據(jù)勾股定理得到，設，由勾股定理列方程得到，由折疊的性質得到，，，求得，設，則，根據(jù)勾股定理列方程即可得到結論．解：在矩形紙片中，，，∴，，，∵將沿翻折，翻折后點C與點F重合，∴，，，∴，設，∴，，∵，∴，解得：，∴，∵將沿翻折，翻折后點B與點P重合，∴，，，∴，設，則，∵，∴，∴，∴線段GP長為，故選：B．【點撥】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理，根據(jù)勾股定理列方程是解題的關鍵．9．B【分析】先證明，再逐個選項推理即可．解：如圖，由圖可得，，∴，∴∵，∴，∴，∴，故①正確；∵，∴∴∴，∴，∴，故②正確；∵中，∴，∴，故③錯誤；∵，，∴，故④錯誤；連接，∵∴，∵，∴，∵，∴∴，故⑤正確；∵矩形，∴，∵，∴，∴的面積為0.75，故⑥正確；綜上所述，正確的有①②⑤⑥；故選：B．【點撥】本題考查了全等三角形的性質與判定，矩形的性質，掌握這些性質是解決問題的關鍵．10．B解：在中，，，∴，，∴若、兩點關于對稱，如圖，∴為的垂直平分線，∴，∴①正確；②如圖，取的中點為，連接、．∵，∴．當經過點時，最大且、兩點距離的最大值為，∴②正確；③如圖，當，，∴四邊形是矩形，∴與相互平分，但與的夾角為、，不垂直，∴③不正確；④如圖，此時四邊形的面積，，∴④不正確．綜上所述：正確的有①②，個結論．故選．點睛：本題是三角形的綜合題，熟練掌握直角三角形斜邊中線等于斜邊一半是解答本題的關鍵，難度適中．11．【分析】先求出∠ADB，再說明三角形ODC是等邊三角形，推出CD=OC，CE=CD，求出CE=OC，求出∠COE=∠OEC和∠OCB=30°即可解答．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD//BC，∠ADC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∵DE平分∠ADC，∴∠ADE=∠CDE=∠ADC=45°，∵∠BDE=15°，∴∠ADB=∠ADE∠BDE=30°，∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=30°，∴OA=OD=OB=OC，∴∠OBC=∠OCB=30°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°，∵OD=OC，∴△ODC是等邊三角形，∴DC=OC，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠DEC∴∠ADE=∠CDE，∴∠DEC=∠CDE，∴CE=DC∴CE=OC，∴∠COE=∠OEC，∵∠OCB=30°，∴∠COE=（180°∠OCE）=75°．故答案為75°．【點撥】本題考查了矩形的性質、、等邊三角形的性質和判定、三角形的內角和定理等知識點，靈活應用所學知識是解答本題的關鍵．12．【分析】連接BF，根據(jù)三角形的面積公式求出BH，得到BF，根據(jù)直角三角形的判定得到∠BFC=90°，再根據(jù)勾股定理求出CF的長度，進而即可求出S△ECF．解：如圖，連接BF，，∵BC=6，點E為BC的中點，∴BE=3，又∵AB=4，∴AE=，由折疊可知：BF⊥AE（對應點的連線必垂直于對稱軸），∴BH=，∴BF=，∵EF=BE=CE，∴∠BFC=90°，根據(jù)勾股定理可得：CF=，S△ECF=S△BCF=×××=，故答案為：．【點撥】本題考查矩形的性質，折疊的性質，勾股定理以及三角形的面積公式，掌握知識點是解題關鍵．13．5【分析】過點Q作于點H，由矩形的性質并結合勾股定理確定，再證明以及為等腰三角形，即可推導，，然后由計算AP的長即可．解：過點Q作于點H，如下圖，∵四邊形ABCD為矩形，∴，，，∵，，∴，∵，點P在AD的延長線上，∴，∵△PCQ為等腰三角形，CP⊥CQ，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵BE平分∠ABC，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴．故答案為：5．【點撥】本題主要考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理以及等腰三角形的判定與性質等知識，正確作出輔助線，構建全等三角形是解題的關鍵．14．【分析】延長GH交AD于M點，由矩形的性質得出CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，推出DG=CGCD=2，∠HAM=∠HFG，由ASA證得△AMH≌△FGH，得出AM=FG=1，MH=GH，則MD=ADAM=2，在Rt△MDG中，根據(jù)勾股定理得到GM，即可得出結果．解：延長GH交AD于M點，如圖所示：∵四邊形ABCD與四邊形CEFG都是矩形，∴CD=CE=FG=1，BC=EF=CG=3，BE∥AD∥FG，∴DG=CGCD=31=2，∠HAM=∠HFG，∵AF的中點H，∴AH=FH，在△AMH和△FGH中，，∴△AMH≌△FGH（ASA）．∴AM=FG=1，MH=GH，∴MD=ADAM=31=2，在Rt△MDG中，GM=，∴GH=GM=，故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識；熟練掌握矩形的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．15．48【分析】如下圖，設矩形ABCD的長為m，寬為n，過點F作BC、DC的垂線，利用m、n表示出△BFD的面積，從而得出mn的大小，進而得出矩形ABCD的面積．解：如下圖，過點F作BC、CD的垂線，分別交于點Q、G，設矩形ABCD的長為m，寬為n∵點E是AD的中點，點F是EC的中點，AD=m，AB=n∴FQ=，F(xiàn)G==∴∴mn=48故答案為：48【點撥】本題考查三角形面積問題，解題關鍵是利用表示出△BFD的面積，從而推導出mn的大?。?6．【分析】根據(jù)矩形的性質和勾股定理可得BD＝2，即為B′D′的長，作點C關于BD的對稱點G，連接CG交BD于E，連接D′G，如圖，則有CD′＝GD′，CE⊥BD，CG＝2CE，利用三角形的面積可求得CG＝，然后以B′D′，GD′為鄰邊作平行四邊形B′D′GH，可得B′H＝D′G＝CD′，于是當C，B′，H在同一條直線上時，CB′+B′H最短，且B'C+D'C的最小值＝CH，再根據(jù)勾股定理即可求出結果．解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝1，∠A＝90°，∴，∵將△ABD沿射線DB平移得到△A'B'D'，∴B′D′＝BD＝2，作點C關于BD的對稱點G，連接CG交BD于E，連接D′G，如圖，則CD′＝GD′，CE⊥BD，CG＝2CE，∵CE＝，∴CG＝，以B′D′，GD′為鄰邊作平行四邊形B′D′GH，則B′H＝D′G＝CD′，∴當C，B′，H在同一條直線上時，CB′+B′H最短，則B'C+D'C的最小值＝CH，∵四邊形B′D′GH是平行四邊形，∴HG＝B′D′＝2，HG∥B′D′，∴HG⊥CG，∴CH＝．故答案為：．【點撥】本題考查了矩形的性質、軸對稱的性質、平移的性質、平行四邊形的性質和勾股定理等知識，具有一定的難度，利用軸對稱和平移的思想把所求B'C+D'C的最小值轉化為求CB′+B′H的最小值是解題的關鍵．17．2或【分析】分兩種情況討論，由折疊的性質和勾股定理可求解．解：，，，當點落在上時，將沿直線折疊，，，，；當點落在上時，如圖2，連接，過點作于，，，，，，將沿直線折疊，，，，，綜上所述：的長為2或．【點撥】本題考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理等知識，利用勾股定理列出方程是解題的關鍵．18．或##或【分析】該題根據(jù)題意分為兩種情況，首先正確畫出圖形，根據(jù)已知易得的直角邊和斜邊的長，然后利用直角三角形斜邊中線等于斜邊一半得到等邊三角形，進而即可求解．解：∠C存在兩種情況：①當為銳角時，如圖，過作，垂足為，取的中點，連接，，，，，四邊形是矩形，，，，∵，，∴，∴，∴；②當為鈍角時，如圖，過作，垂足為，取的中點，連接，同理①可得，又∵，．∴綜上，或，故答案為或．【點撥】該題重點考查了直角三角形的性質和等邊三角形判定和性質，解決該題的關鍵一是：能根據(jù)題意畫出兩種情況，二是：把該題轉化為直角三角形問題，從而即可求解.19．75°【分析】根據(jù)矩形的性質及CE平分得到∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，得到BE=BC，利用由此得到∠BAC=30°，根據(jù)矩形的性質證得△OBC是等邊三角形，得到BC=OB=BE，由∠EBO=∠BAC=30°求出答案.解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠BCD=90°，OA=OB=OC=OD，CD∥AB，∵CE平分，∴∠BCE=∠DCE=45°，∵CD∥AB，∴∠BEC=∠BCE=∠DCE=45°，∴BC=BE，∵,∴∠BAC=30°，∴∠ACB=60°，∵OB=OC，∴△OBC是等邊三角形，∴BC=OB=BE，∵∠EBO=∠BAC=30°，∴∠BEO=,故答案為：75°.【點撥】此題考查矩形的性質，等邊三角形的判定及性質，等腰三角形等邊對等角的性質，角平分線的性質，題中證得BE=OB是解題的關鍵.20．(1)見分析 (2)當BC＝AC時，四邊形ADCF是矩形，理由見分析．【分析】（1）用平行四邊形的定義判定；（2）當BC＝AC時，四邊形ADCF是矩形．用DE是三角形中位線證明BD=AD，用四邊形DBCF是平行四邊形得到CF∥BD，CF=BD，得到AD=CF，推出四邊形ADCF是平行四邊形，根據(jù)AC=BC，BC=DF，得到AC=DF，從而平行四邊形ADCF是矩形．解：（1）∵DE是△ABC的中位線，∴2DE＝BC，DE∥BC，∵CF∥AB，∴四邊形DBCF是平行四邊形，∴BC=DF；（2）當BC＝AC時，四邊形ADCF是矩形，理由如下：∵DE是△ABC的中位線，∴DB＝AD，∵四邊形DBCF是平行四邊形，∴DB＝CF，∴AD＝CF，∵AB∥CF，∴四邊形ADCF是平行四邊形，∵BC＝AC，BC=CF，∴AC=DF，∴平行四邊形ADCF是矩形．【點撥】本題主要考查了三角形中位線，平行四邊形，熟練掌上三角形中位線性質，平行四邊形的判定和性質，是解決此類問題的關鍵．21．(1)． (2)點E能恰好落在x軸上．

【分析】（1）根據(jù)點A、點D、點C的坐標和矩形的性質可以得到點B和點E的坐標；（2）由折疊的性質求得線段和的長，然后利用勾股定理得到有關m的方程，求得m的值即可．解：（1）當時，點B的坐標為，∴，∴是等腰直角三角形，∴，則，∴，則E在y軸上，且，∴，則點E的坐標為．（2）點E能恰好落在x軸上．理由如下：∵四邊形為矩形，∴，，由折疊的性質可得：，．假設點E恰好落在x軸上，則，即，則．在中，即，即，解得．【點撥】本題考查了翻折變換的性質、矩形的性質、勾股定理、坐標與圖形性質、等腰直角三角形的判定與性質等知識；熟練掌握翻折變換的性質和勾股定理是解題的關鍵．22．(1) (2)①，理由見分析；②【分析】（1）由矩形的性質得，，，由角平分線的性質得出，則是等腰直角三角形，得出，推出，由勾股定理得出；（2）①連接，由（1）得，，由證得，得出，，證明是等腰直角三角形，即可得出結論；②根據(jù)矩形的性質得到，求得，過D作于M，根據(jù)余角的性質得到，得到，過A作于N，根據(jù)等腰三角形的性質得到，根據(jù)全等三角形的性質得到，根據(jù)等腰直角三角形的性質即可得到結論．（1）解：∵四邊形是矩形，∴，，，∵平分，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；（2）①，理由：連接EF，如圖所示：由（1）得：，，在和中，，∴，∴，∵，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴；②∵四邊形是矩形，∴，∴，過D作于M，∴，∴，∴，∵，∴，由①知，，∵，∴，∴，∴，過A作于N，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，由①知，，∴，，∴．【點撥】本題考查了四邊形的綜合題，矩形的性質、全等三角形的判定