專題27圓（全章直通中考）（培優(yōu)練）-2023-2024學年九年級數(shù)學下冊全章復習與專題突破講與練

專題2.7圓（全章直通中考）（培優(yōu)練）單選題（本大題共10小題，每小題3分，共30分）1．（2022·山東聊城·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB，CD是的弦，延長AB，CD相交于點P．已知，，則的度數(shù)是（

）

A．30° B．25° C．20° D．10°2．（2021·內(nèi)蒙古赤峰·統(tǒng)考中考真題）如圖，點C，D在以AB為直徑的半圓上，，點E是上任意一點，連接BE，CE，則的度數(shù)為（

）A．20° B．30° C．40° D．60°3．（2017·貴州黔東南·中考真題）如圖，正方形ABCD中，E為AB中點，F(xiàn)E⊥AB，AF=2AE，F(xiàn)C交BD于O，則∠DOC的度數(shù)為（）A．60° B．67.5° C．75° D．54°4．（2021·廣東·統(tǒng)考中考真題）設O為坐標原點，點A、B為拋物線上的兩個動點，且．連接點A、B，過O作于點C，則點C到y(tǒng)軸距離的最大值（

）A． B． C． D．15．（2023·四川自貢·統(tǒng)考中考真題）如圖，分別經(jīng)過原點和點的動直線，夾角，點是中點，連接，則的最大值是（

）

A． B． C． D．6．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在等腰中，，BC=，同時與邊的延長線、射線相切，的半徑為3．將繞點按順時針方向旋轉，、的對應點分別為、，在旋轉的過程中邊所在直線與相切的次數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．47．（2021·四川眉山·統(tǒng)考中考真題）如圖，在以為直徑的中，點為圓上的一點，，弦于點，弦交于點，交于點．若點是的中點，則的度數(shù)為（

）A．18° B．21° C．22.5° D．30°8．（2021·山東日照·統(tǒng)考中考真題）如圖，平面圖形由直角邊長為1的等腰直角和扇形組成，點在線段上，，且交或交于點．設，圖中陰影部分表示的平面圖形（或）的面積為，則函數(shù)關于的大致圖象是（）A． B． C． D．9．（2021·湖北荊州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在菱形中，，，以為圓心、長為半徑畫，點為菱形內(nèi)一點，連接，，．當為等腰直角三角形時，圖中陰影部分的面積為（

）A．B． C． D．10．（2012·山東煙臺·中考真題）如圖，⊙O1，⊙O，⊙O2的半徑均為2cm，⊙O3，⊙O4的半徑均為1cm，⊙O與其他4個圓均相外切，圖形既關于O1O2所在直線對稱，又關于O3O4所在直線對稱，則四邊形O1O4O2O3的面積為（

）A．12cm2 B．24cm2 C．36cm2 D．48cm2填空題（本大題共8小題，每小題4分，共32分）11．（2023·四川廣安·統(tǒng)考中考真題）如圖，內(nèi)接于，圓的半徑為7，，則弦的長度為．

12．（2022·江蘇常州·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的內(nèi)接三角形．若，，則的半徑是．13．（2023·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）圖1是方格繪成的七巧板圖案，每個小方格的邊長為，現(xiàn)將它剪拼成一個“房子”造型（如圖2），過左側的三個端點作圓，并在圓內(nèi)右側部分留出矩形作為題字區(qū)域（點，，，在圓上，點，在上），形成一幅裝飾畫，則圓的半徑為．若點，，在同一直線上，，，則題字區(qū)域的面積為．

14．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）矩形中，，將矩形沿過點的直線折疊，使點落在點處，若是直角三角形，則點到直線的距離是．15．（2023·四川·統(tǒng)考中考真題）如圖，，半徑為2的與角的兩邊相切，點P是⊙O上任意一點，過點P向角的兩邊作垂線，垂足分別為E，F(xiàn)，設，則t的取值范圍是．

16．（2020·江蘇泰州·統(tǒng)考中考真題）如圖所示的網(wǎng)格由邊長為個單位長度的小正方形組成，點、、、在直角坐標系中的坐標分別為，，，則內(nèi)心的坐標為．

17．（2018·浙江溫州·統(tǒng)考中考真題）小明發(fā)現(xiàn)相機快門打開過程中，光圈大小變化如圖1所示，于是他繪制了如圖2所示的圖形．圖2中留個形狀大小都相同的四邊形圍成一個圓的內(nèi)接六邊形和一個小正六邊形，若PQ所在的直線經(jīng)過點M，PB=5cm，小正六邊形的面積為cm2，則該圓的半徑為cm．18．（2022下·廣東深圳·九年級紅嶺中學?？茧A段練習）如圖，在等腰直角三角形中，，點P在以斜邊為直徑的半圓上，M為的中點，當點P沿半圓從點A運動至點B時，點M運動的路徑長是．

三、解答題（本大題共6小題，共58分）19．（8分）（2023·北京·統(tǒng)考中考真題）如圖，圓內(nèi)接四邊形的對角線，交于點，平分，．

（1）求證平分，并求的大??；（2）過點作交的延長線于點．若，，求此圓半徑的長．20．（8分）（2023·山東·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的直徑，C是圓上一點，D是的中點，弦，垂足為點F．

（1）求證：；（2）P是上一點，，求；（3）在（2）的條件下，當是的平分線時，求的長．21．（10分）（2023·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點，連接，作于點，交線段于點（不與點重合），連接．

（1）若，求的長．（2）求證：．（3）若，猜想的度數(shù)，并證明你的結論．22．（10分）（2020·廣東廣州·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊的外接圓，半徑為2，點在劣弧上運動（不與點重合），連接，，．（1）求證：是的平分線；（2）四邊形的面積是線段的長的函數(shù)嗎？如果是，求出函數(shù)解析式；如果不是，請說明理由；（3）若點分別在線段，上運動（不含端點），經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)，點運動到每一個確定的位置，的周長有最小值，隨著點的運動，的值會發(fā)生變化，求所有值中的最大值．23．（10分）（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，過點D作，交的延長線于點F，交的延長線于點E，連接．若．

（1）求證：為的切線．（2）若，，求的半徑．24．（12分）（2023·湖北宜昌·統(tǒng)考中考真題）如圖1，已知是的直徑，是的切線，交于點，．

（1）填空：的度數(shù)是_________，的長為_________；（2）求的面積；（3）如圖2，，垂足為．是上一點，．延長，與，的延長線分別交于點，求的值．參考答案：1．C【分析】如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．解：如圖，連接OB，OD，AC，

∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．【點撥】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關系，等腰三角形的性質，三角形的內(nèi)角和定理的應用，掌握“圓心角與弧的度數(shù)的關系”是解本題的關鍵．2．B【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質可得，連接AC，得，進一步得出，從而可得結論．解：連接AC，如圖，∵A，B，C，D在以AB為直徑的半圓上，∴∵∴∵AB為半圓的直徑∴，∴∴故選：B．【點撥】此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質，圓周角定理等知識，正確作出輔助線構造直角三角形是解答此題的關鍵．3．A解：如圖，連接DF、BF．∵FE⊥AB，AE=EB，∴FA=FB，∵AF=2AE，∴AF=AB=FB，∴△AFB是等邊三角形，∵AF=AD=AB，∴點A是△DBF的外接圓的圓心，∴∠FDB=∠FAB=30°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，∠ADB=∠DBC=45°，∴∠FAD=∠FBC，∴△FAD≌△FBC，∴∠ADF=∠FCB=15°，∴∠DOC=∠OBC+∠OCB=60°．故選A．【點撥】本題考查了等邊三角形的判定，全等三角形的判定，正方形的性質，此題是一道綜合題目，解決此題的關鍵是合理的推理正確的計算．4．A【分析】設A（a，a2），B（b，b2），求出AB的解析式為，進而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C點在以OD的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當CH為圓E半徑時最大，由此即可求解．解：如下圖所示：過C點作y軸垂線，垂足為H，AB與x軸的交點為D，設A（a，a2），B（b，b2），其中a≠0，b≠0，∵OA⊥OB，∴，∴，即，，設AB的解析式為：，代入A（a，a2），解得：，∴，∵，即，∴C點在以OD的中點E為圓心，以為半徑的圓上運動，當CH為圓E的半徑時，此時CH的長度最大，故CH的最大值為，故選：A．【點撥】本題考查了二次函數(shù)的性質，圓的相關知識等，本題的關鍵是求出AB與y軸交點的縱坐標始終為1，結合，由此確定點E的軌跡為圓進而求解．5．A【分析】根據(jù)已知條件，，得出的軌跡是圓，取點，則是的中位線，則求得的正弦的最大值即可求解，當與相切時，最大，則正弦值最大，據(jù)此即可求解．解：如圖所示，以為邊向上作等邊，過點作軸于點，則，則的橫坐標為，縱坐標為，∴，取點，則是的中位線，∴，∵，∴點在半徑為的上運動，∵是的中位線，∴，∴，當與相切時，最大，則正弦值最大，在中，，過點作軸，過點作于點，過點作于點，則∵與相切，∴，∴，∴，∴，∴設，,則∴∴∴解得：∴∴的最大值為，故選：A．【點撥】本題考查了相似三角形的性質與判定，求正弦，等邊三角形的性質。圓周角定理，得出點的軌跡是解題的關鍵．6．C【分析】首先以A為圓心，以BC邊的中線為半徑畫圓，可得⊙A的半徑為3，計算出OA的長度，可知⊙O與⊙A相切，根據(jù)兩個相切圓的性質，即可得到答案．解：如圖：作AD⊥BC，以A為圓心，以AD為半徑畫圓∵AC、AB所在的直線與⊙O相切，令切點分別為P、Q，連接OP、OQ∴AO平分∠PAQ∵∠CAB=120°∴∠PAO=30°∵OP=3∴AO==6∵∠BAC=120°，AB=AC

∴∠ACB=30°，CD=BC=∴AD==3∴⊙A的半徑為3,∴⊙O與⊙A的半徑和為6∵AO=6∴⊙O與⊙A相切∵AD⊥BC∴BC所在的直線是⊙A的切線∴BC所在的直線與⊙O相切∴當=360°時，BC所在的直線與⊙O相切同理可證明當=180°時，所在的直線與⊙O相切．當⊥AO時，即=90°時，所在的直線與⊙O相切．∴當為90°、180°、360°時，BC所在的直線與⊙O相切故答案選C．【點撥】本題主要考查了圓的切線，涉及到等腰三角形的性質、兩圓的位置關系和特殊角的三角函數(shù)等知識，熟練掌握相關知識，精準識圖并準確推斷圖形的運動軌跡，進行合理論證是本題的解題關鍵．7．C【分析】根據(jù)直徑所對的圓周角是，可知，根據(jù)，可知、的度數(shù)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可知，為等腰三角形，再根據(jù)可求得的度數(shù)．解：∵為的直徑，∴，∵，∴，，∵點是的中點，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：C．【點撥】本題主要考查圓周角定理，垂徑定理，相似三角形，直角三角形斜邊上中線等知識點，找出圖形中幾個相似三角形是解題關鍵．8．D【分析】根據(jù)點的位置，分點在上和點在弧上兩種情況討論，分別寫出和的函數(shù)解析式，即可確定函數(shù)圖象．解：當在上時，即點在上時，有，此時陰影部分為等腰直角三角形，，該函數(shù)是二次函數(shù)，且開口向上，排除，選項；當點在弧上時，補全圖形如圖所示，陰影部分的面積等于等腰直角的面積加上扇形的面積，再減去平面圖形的面積即減去弓形的面積，設，則，，，當時，，，，當時，，，，在，選項中分別找到這兩個特殊值，對比發(fā)現(xiàn)，選項符合題意．故選：D．【點撥】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及性質，圖形的面積等內(nèi)容，選擇題中利用特殊值解決問題是常見方法，構造圖形表達出陰影部分面積是本題解題關鍵．9．A【分析】以點B為原點，BC邊所在直線為x軸，以過點B且與BC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，判斷出，再根據(jù)∠BCP=90°和∠BPC=90°兩種情況判斷出點P的位置，啟動改革免費進行求解即可．解：以點B為原點，BC邊所在直線為x軸，以過點B且與BC垂直的直線為y軸建立平面直角坐標系，如圖，∵△BPC為等腰直角三角形，且點P在菱形ABCD的內(nèi)部，很顯然，①若∠BCP=90°，則CP=BC=2這C作CE⊥AD,交AD于點E，∵四邊形ABCD是菱形∴AB=BC=CD=DA=2，∠D=∠ABC=60°∴CE=CDsin∠D=2∴點P在菱形ABCD的外部，∴與題設相矛盾，故此種情況不存在；②∠BPC=90°過P作PF⊥BC交BC于點F，∵△BPC是等腰直角三角形，∴PF=BF=BC=1∴P（1,1），F(xiàn)（1,0）過點A作AG⊥BC于點G，在Rt△ABG中，∠ABG=60°∴∠BAG=30°∴BG=，AG=∴A，∴點F與點G重合∴點A、P、F三點共線∴∴∴故選：A．【點撥】此題主要考查了菱形的性質、等腰直角三角形的性質、直角三角形的性質以及求不規(guī)則圖形的面積等知識，正確作出輔助線是解答此題的關鍵．10．B【分析】連接O1O2，O3O4，由于圖形既關于O1O2所在直線對稱，又關于O3O4所在直線對稱，故O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共線，O、O3、O4共線，四邊形O1O4O2O3的面積為O1O2×O3O4，根據(jù)條件求出相應線段長，代值求解即可．解：連接O1O2，O3O4，如圖所示：圖形既關于O1O2所在直線對稱，又關于O3O4所在直線對稱，O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共線，O、O3、O4共線，∵⊙O1，⊙O，⊙O2的半徑均為2cm，⊙O3，⊙O4的半徑均為1cm，∴⊙O的直徑為4cm，⊙O3的直徑為2cm，∴O1O2=2×4=8cm，O3O4=4+2=6cm，∴S四邊形O1O4O2O3=O1O2×O3O4=×8×6=24cm2，故選：B．【點撥】本題考查多個圓相切的性質，根據(jù)題意得出O1O2⊥O3O4，O、O1、O2共線，O、O3、O4共線，四邊形O1O4O2O3的面積為O1O2×O3O4是解決問題的關鍵．11．【分析】連接，過點作于點，先根據(jù)圓周角定理可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，，然后解直角三角形可得的長，由此即可得．解：如圖，連接，過點作于點，

，，，，，∵圓的半徑為7，，，，故答案為：．【點撥】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的三線合一，熟練掌握圓周角定理和解直角三角形的方法是解題關鍵．12．1【分析】連接、，根據(jù)圓周角定理得到，根據(jù)勾股定理計算即可．解：連接、，，，，即，解得：，故答案為：1．【點撥】本題考查的是三角形的外接圓與外心，掌握圓周角定理、勾股定理是解題的關鍵．13．5【分析】根據(jù)不共線三點確定一個圓，根據(jù)對稱性得出圓心的位置，進而垂徑定理、勾股定理求得，連接，取的中點，連接，在中，根據(jù)勾股定理即可求解．解：如圖所示，依題意，，∵過左側的三個端點作圓，，又，∴在上，連接，則為半徑，∵，在中，∴解得：；連接，取的中點，連接，交于點，連接，，

∵，∴，∴，∵點，，在同一直線上，∴，∴，又，∴∵，∴∴∵∴∴，∵，設，則在中，即整理得即解得：或∴題字區(qū)域的面積為故答案為：；．【點撥】本題考查了垂徑定理，平行線分線段成比例，勾股定理，七巧板，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．14．6或或【分析】由折疊的性質可得點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，延長交的另一側于點E，則此時是直角三角形，易得點到直線的距離；當過點D的直線與圓相切于點E時，是直角三角形，分兩種情況討論即可求解．解：由題意矩形沿過點的直線折疊，使點落在點處，可知點E在以點A為圓心，長為半徑的圓上運動，如圖，延長交的另一側于點E，則此時是直角三角形，點到直線的距離為的長度，即，

當過點D的直線與圓相切與點E時，是直角三角形，分兩種情況，①如圖，過點E作交于點H，交于點G，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，②如圖，過點E作交于點N，交于點M，

∵四邊形是矩形，∴，∴四邊形是矩形，∵，，，由勾股定理可得，∵，∴，∴到直線的距離，綜上，6或或，故答案為：6或或．【點撥】本題考查了矩形的折疊問題切線的應用，以及勾股定理，找到點E的運動軌跡是解題的關鍵．15．【分析】利用切線的性質以及等腰直角三角形的性質求得，再求得，分兩種情況討論，畫出圖形，利用等腰直角三角形的性質即可求解．解：設與兩邊的切點分別為D、G，連接，延長交于點H，

由，∵，∴，∴，∴，如圖，延長交于點Q，

同理，∵，∴，當與相切時，有最大或最小值，連接，∵D、E都是切點，∴，∴四邊形是矩形，∵，∴四邊形是正方形，∴的最大值為；如圖，

同理，的最小值為；綜上，t的取值范圍是．故答案為：．【點撥】本題考查了切線的性質，等腰直角三角形的性質，勾股定理，求得是解題的關鍵．16．（2，3）【分析】根據(jù)A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，計算出△ABC各邊的長度，易得該三角形是直角三角形，設BC的關系式為：y=kx+b，求出BC與x軸的交點G的坐標，證出點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，三角形的內(nèi)心在BD上，設點M為三角形的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，求出r的值，在△BEM中，利用勾股定理求出BM的值，即可得到點M的坐標．解：根據(jù)A、B、C三點的坐標建立如圖所示的坐標系，根據(jù)題意可得：AB=，AC=，BC=，∵，∴∠BAC=90°，設BC的關系式為：y=kx+b，代入B，C，可得，解得：，∴BC：，當y=0時，x=3，即G（3,0），∴點A與點G關于BD對稱，射線BD是∠ABC的平分線，設點M為三角形的內(nèi)心，內(nèi)切圓的半徑為r，在BD上找一點M，過點M作ME⊥AB，過點M作MF⊥AC，且ME=MF=r，∵∠BAC=90°，∴四邊形MEAF為正方形，S△ABC=，解得：，即AE=EM=，∴BE=，∴BM=，∵B（3，3），∴M（2，3），

故答案為：（2，3）．【點撥】本題考查三角形內(nèi)心、平面直角坐標系、一次函數(shù)的解析式、勾股定理和正方形的判定與性質等相關知識點，把握內(nèi)心是三角形內(nèi)接圓的圓心這個概念，靈活運用各種知識求解即可．17．8【分析】設兩個正六邊形的中心為O，連接OP,OB,過點O作OG⊥PM于點G，OH⊥AB于點H，如圖所示：很容易證出三角形PMN是一個等邊三角形，邊長PM的長，，而且面積等于小正六邊形的面積的，故三角形PMN的面積很容易被求出，根據(jù)正六邊形的性質及等腰三角形的三線和一可以得出PG的長，進而得出OG的長，,在Rt△OPG中，根據(jù)勾股定理得OP的長，設OB為x，，根據(jù)正六邊形的性質及等腰三角形的三線和一可以得出BH，OH的長，進而得出PH的長，在Rt△PHO中，根據(jù)勾股定理得關于x的方程，求解得出x的值，從而得出答案．解：解:設兩個正六邊形的中心為O，連接OP,OB,過點O作OG⊥PM于點G，OH⊥AB于點H，如圖所示：很容易證出三角形PMN是一個等邊三角形，邊長PM=,而且面積等于小正六邊形的面積的，故三角形PMN的面積為cm2，∵OG⊥PM，且O是正六邊形的中心，∴PG=PM=∴OG=在Rt△OPG中，根據(jù)勾股定理得：OP2=OG2+PG2,即=OP2∴OP=7cm，設OB為x，∵OH⊥AB，且O是正六邊形的中心，∴BH=X,OH=，∴PH=5x，在Rt△PHO中，根據(jù)勾股定理得OP2=PH2+OH2,即解得：x1=8,x2=3（舍）故該圓的半徑為8cm．故答案為8．【點撥】本題以相機快門為背景，從中抽象出數(shù)學模型，綜合考查了多邊形、圓、三角形及解三角形等相關知識，突出考查數(shù)學的應用意識和解決問題的能力．試題通過將快門的光圈變化這個動態(tài)的實際問題化為靜態(tài)的數(shù)學問題，讓每個學生都能參與到實際問題數(shù)學化的過程中，鼓勵學生用數(shù)學的眼光觀察世界；在運用數(shù)學知識解決問題的過程中，關注思想方法，側重對問題的分析，將復雜的圖形轉化為三角形或四邊形解決，引導學生用數(shù)學的語言表達世界，用數(shù)學的思維解決問題．18．【分析】取的中點、的中點、的中點，連接、、、、、，可得四邊形CEOF是正方形，由OP=OC得OM⊥PC，則可得點M的運動路徑，從而求得路徑的長．解：取的中點、的中點、的中點，連接、、、、、，如圖，

則，且，，，∴四邊形CEOF為平行四邊形，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴四邊形為正方形，∴CE=CF=，EF=OC，由勾股定理得：，∵在等腰中，，∴，∴，，∵為的中點，∴，∴，

∴點在以為直徑的圓上，當點點在點時，點在點；點點在點時，點在點，∴點的路徑為以為直徑的半圓，∴點運動的路徑長．故答案是：．【點撥】本題考查了勾股定理、直角三角形斜邊上中線的性質、三角形中位線定理、等腰三角形的性質及正方形的判定，確定點M的運動路徑是關鍵與難點．19．（1）見分析，；（2）【分析】（1）根據(jù)已知得出，則，即可證明平分，進而根據(jù)平分，得出，推出，得出是直徑，進而可得；（2）根據(jù)（1）的結論結合已知條件得出，，是等邊三角形，進而得出，由是直徑，根據(jù)含度角的直角三角形的性質可得，在中，根據(jù)含度角的直角三角形的性質求得的長，進而即可求解．（1）解：∵∴，∴，即平分．∵平分，∴，∴，∴，即，∴是直徑，∴；（2）解：∵，，∴，則．∵，∴．∵，∴，∴是等邊三角形，則．∵平分，∴．∵是直徑，∴，則．∵四邊形是圓內(nèi)接四邊形，∴，則，∴，∴，∴．∵，∴，∴．∵是直徑，∴此圓半徑的長為．【點撥】本題考查了弧與圓周角的關系，等弧所對的圓周角相等，直徑所對的圓周角是直角，含度角的直角三角形的性質，等邊三角形的性質與判定，圓內(nèi)接四邊形對角互補，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．20．（1）證明見分析；（2）；（3）【分析】（1）由D是的中點得，由垂徑定理得，得到，根據(jù)同圓中，等弧對等弦即可證明；（2）連接，證明，設的半徑為r，利用相似三角形的性質得，，由勾股定理求得，得到，即可得到；（3）過點B作交于點G，證明是等腰直角三角形，解直角三角形得到，由得到，解得，即可求解．（1）解：∵D是的中點，∴，∵且為的直徑，∴，∴，∴；（2）解：連接，

∵，∴，∵為的直徑，∴，∵，∴，∴，∴，設的半徑為r，則，解得，經(jīng)檢驗，是方程的根，∴，∴，∴，∵，∴；（3）解：如圖，過點B作交于點G，

∴∵，是的平分線，∴∴∴，∵∴，∴，∴．【點撥】本題考查了相似三角形的判定與性質，垂徑定理，圓周角定理及推論，解直角三角形等知識，熟練掌握以上知識并靈活運用是解題的關鍵．21．（1）1；（2）見分析；（3），證明見分析【分析】（1）由垂徑定理可得，結合可得，根據(jù)圓周角定理可得，進而可得，通過證明可得；（2）證明，根據(jù)對應邊成比例可得，再根據(jù)，，可證；（3）設，，可證，，通過證明，進而可得，即，則．（1）解：直徑垂直弦，，，，，，由圓周角定理得，，在和中，，，；（2）證明：是的直徑，，在和中，，，，，由（1）知，，又，；（3）解：，證明如下：如圖，連接，

，，直徑垂直弦，，，又，，，設，，則，

，，又，，，，，，，，，在和中，，

，即，，．【點撥】本題考查垂徑定理，圓周角定理，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，等腰三角形的性質等，難度較大，解題的關鍵是綜合應用上述知識點，特別是第3問，需要大膽猜想，再逐步論證．22．（1）詳見分析；（2）是，；（3）【分析】（1）根據(jù)等弧對等角的性質證明即可；（2）延長DA到E,讓AE=DB,證明△EAC≌△DBC,即可表示出S的面積；（3）作點D關于直線BC、AC的對稱點D1、D2，當D1、M、N、D共線時△DMN取最小值，可得t=D1D2，有對稱性推出在等腰△D1CD2中,t=，D與O、C共線時t取最大值即可算出．解：（1）∵△ABC為等邊三角形,BC=AC，∴,都為圓，∴∠AOC=∠BOC=120°，∴∠ADC=∠BDC=60°，∴DC是∠ADB的角平分線．（2）是．