專題514平行線的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）-2023-2024學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（人教版）

專題5.14平行線的性質(zhì)（知識(shí)梳理與考點(diǎn)分類講解）【知識(shí)點(diǎn)一】兩直線平行的判定方法1判定方法1：同位角相等，兩直線平行.如圖1，幾何語言：∵∠3＝∠2∴AB∥CD（同位角相等，兩直線平行）圖1【知識(shí)點(diǎn)二】兩直線平行的判定方法2判定方法2：內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行.如圖2，幾何語言：∵∠1＝∠2∴AB∥CD（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）圖2【知識(shí)點(diǎn)三】兩直線平行的判定方法3判定方法3：同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.如圖3，幾何語言：∵∠4＋∠2＝180°∴AB∥CD（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）圖3特別提醒：平行線的判定是由角相等或互補(bǔ)，得出平行，即由數(shù)推形.【考點(diǎn)目錄】【平行線性質(zhì)求角的等量關(guān)系】【考點(diǎn)1】同位角相等兩直線平行；【考點(diǎn)2】內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行；【考點(diǎn)3】同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行；【平行線性質(zhì)探究角的關(guān)系】【考點(diǎn)4】平行線判探究角的關(guān)系或求角度；【平行線性質(zhì)性質(zhì)與判定綜合】【考點(diǎn)5】平行線判定與性質(zhì)求角度；【考點(diǎn)6】平行線判定與性質(zhì)證明;【平行線間的距離】【考點(diǎn)7】平行線間的距離（應(yīng)用）.【平行線性質(zhì)求角的等量關(guān)系】【考點(diǎn)1】同位角相等兩直線平行【例1】（2021下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，，，，求的度數(shù)．（1）請(qǐng)完成下列書寫過程．（已知）又（已知）（2）若在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作射線，，則．【答案】（1）∠1，兩直線平行，同位角相等，∠D，40°，兩直線平行，同位角相等；（2）40°或140°【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)填寫空格即可；（2）根據(jù)題意，可使得作出的與相等或互補(bǔ)即可．解：（1）（已知），（兩直線平行，同位角相等），又（已知），（兩直線平行，同位角相等）．故答案為：∠1，兩直線平行，同位角相等，∠D，40°，兩直線平行，同位角相等；（2）若在平面內(nèi)取一點(diǎn)，作射線，，則40°或140°．故答案為：40°或140°．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，理解平行線的性質(zhì)，熟悉證明類問題的書寫形式是解題關(guān)鍵．【變式1】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）如圖，直線，分別與直線l交于點(diǎn)A，B，把一塊含角的三角尺按如圖所示的位置擺放，若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】依據(jù)，即可得到，再根據(jù)，即可得出答案．解：如圖，

，，又，，故選：B．【點(diǎn)撥】此題主要考查了平行線的性質(zhì)，解本題的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等．【變式2】（2022·甘肅嘉峪關(guān)·校考一模）如圖，將一把直尺和一塊含角的三角板按如圖所示的位置放置，如果，那么的度數(shù)為．【答案】/14度【分析】由題意可確定，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得，然后根據(jù)角的關(guān)系即可解答．解：由題意可知，，由含角的三角板的特點(diǎn)可知：，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，含角的三角板中的角度計(jì)算，掌握平行線性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【考點(diǎn)2】內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行【例2】（2013下·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知∠B＝∠C，AD//BC．求證：AD是∠CAE的平分線．【答案】證明見分析【分析】由平行的性質(zhì)可得∠2＝∠B，∠1＝∠C，再結(jié)合∠B＝∠C，即可得∠2＝∠1，從而得證．解：∵ADBC，∴∠1＝∠C，∠2＝∠B，∵∠B＝∠C，∴∠1＝∠2，∴AD是∠CAE的平分線．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【變式1】（2023下·全國·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，將一張長方形紙條沿某條直線折疊，若，則＝（）A． B． C． D．【答案】A【分析】先標(biāo)注圖形，根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得，最后根據(jù)“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”得出答案.解：如圖，∵，∴.由折疊可得，.∵，∴.故選：A．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等，靈活選擇平行線的性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023·遼寧阜新·統(tǒng)考中考真題）將一個(gè)三角尺按如圖所示的位置擺放，直線，若，則的度數(shù)是．

【答案】/50度【分析】根據(jù)三角形的外角定理求出的度數(shù)，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，即可解答．解：∵，，∴，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了三角形的外角定理，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角之和；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等．【考點(diǎn)3】同旁內(nèi)角互補(bǔ)兩直線平行【例3】（2023下·山東煙臺(tái)·六年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1是一張長方形紙片，將該紙片沿折疊得到圖2．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，則的度數(shù)為_______（直接寫出結(jié)果）．【答案】（1）；（2）【分析】（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，求出的度數(shù)，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案；（2）先根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，求出的度數(shù)，最后根據(jù)進(jìn)行計(jì)算即可得到答案．（1）解：如圖1，

，，，如圖2，

，，，，；（2）解：如圖1，

，，，如圖2，

，，，，，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2012下·廣東茂名·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，=（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過C點(diǎn)作直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，然后再計(jì)算即可.解：

如圖，過C點(diǎn)作直線，，

，，，，即.故選：B【點(diǎn)撥】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.【變式2】（2023下·遼寧大連·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將一塊含的直角三角尺按如圖所示的方式放置，其中點(diǎn)，分別在直線，上，若，，則°．

【答案】40【分析】由題意可得，，則有，由平行線的性質(zhì)可求得，即可求．解：如圖，

由題意得：，，，，∵，，．故答案為：40．【點(diǎn)撥】本題主要考查平行線的性質(zhì)，解答的關(guān)鍵是熟記平行線的性質(zhì)：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．【平行線性質(zhì)探究角的關(guān)系】【考點(diǎn)4】平行線判探究角的關(guān)系或求角度【例4】（2017下·北京東城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）已知：直線，點(diǎn)M、N分別在直線、直線上，點(diǎn)E為平面內(nèi)一點(diǎn)，

（1）如圖1，請(qǐng)寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；（2）如圖2，利用（1）的結(jié)論解決問題，若，平分，平分，，求的度數(shù)；（3）如圖3，點(diǎn)G為上一點(diǎn)，，，交于點(diǎn)H，，，之間的數(shù)量關(guān)系（用含m的式子表示）是．【答案】（1），證明見分析；（2）；（3）．【分析】（1）過點(diǎn)E作，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行證明即可；（2）利用平分，平分，可得，再根據(jù)，進(jìn)行等量代換進(jìn)行計(jì)算即可；（3）由已知條件可得，，再根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行各角的等量轉(zhuǎn)換即可．解：（1），證明如下：如圖1所示，過點(diǎn)E作，

∵，∴，∴，∵，∴．（2）∵平分，平分，∴．

∵，，∴．∵，∴，∴．（3）．證明如下：∵，，∴，．∵，∴，∵，∴，

∵，∴，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定和性質(zhì)，角的平分線，熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022下·貴州黔南·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，如果，那么角α，β，γ之間的關(guān)系式為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】過點(diǎn)E作，再根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，求解即可．解：過點(diǎn)E作，

∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并作出合適的輔助線是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2023下·廣東江門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知，點(diǎn)，分別在直線、上，，，則與的數(shù)量關(guān)系．【答案】【分析】過點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)與已知條件得出，，根據(jù)，即可得出結(jié)論．解：如圖，過點(diǎn)作，則，，，，,即∴；即；故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【平行線性質(zhì)性質(zhì)與判定綜合】【考點(diǎn)5】平行線判定與性質(zhì)求角度【例5】（2023上·廣東潮州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，有兩艘油輪在海面上，油輪在油輪的正東方向，并且在、兩處分別測得小島在北偏東和北偏西的方向，那么在處測得、的張角的度數(shù)為多少？【答案】【分析】本題考查了方位角的計(jì)算，平行線的性質(zhì)與判定；過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．解：如圖，過點(diǎn)P作于點(diǎn)C，，，，，，，，，．【變式1】（2023下·甘肅白銀·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為等邊三角形，．若，則（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】過點(diǎn)B作，可得，用平行線性質(zhì)求解即可．解：過點(diǎn)B作，如圖，

∵，∴，∴，∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線是關(guān)鍵．【變式2】（2020上·貴州六盤水·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，，，，則的度數(shù)為．【答案】/度【分析】過C作，結(jié)合可得，，結(jié)合，即可得到答案；解：過C作，∵，，∴，∴，，∵，，∴，，∴，故答案為：；【點(diǎn)撥】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，根據(jù)平行線性質(zhì)得到角度關(guān)系．【考點(diǎn)6】平行線判定與性質(zhì)證明【例6】（2023下·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）成下面推理過程，并在括號(hào)內(nèi)填上依據(jù)．已知：如圖，，，．求證：．證明：，（已知），．________（________________________）．（________________）．又（已知），________（________________________）．（________________________）．又，（________________）．【答案】；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，同位角相等；；同位角相等，兩直線平行；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；等量代換【解析】略【變式1】（2018上·全國·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，如果，，則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（

）（1）；（2）；（3）平分（4）（5）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】由平行線的性質(zhì)得出內(nèi)錯(cuò)角相等，同位角相等，得出（2）正確；再由已知條件證出，得出，得（1）正確；由平行線的性質(zhì)得出（5）正確，即可得出結(jié)果．解：，，，故（2）正確；，，，故（1）正確；，故（5）正確；，而與不一定互余，與不一定互余，故（4）錯(cuò)誤；，而與不一定相等，與不一定相等，故（3）錯(cuò)誤；正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線的判定與性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證是解決問題的關(guān)鍵．【變式2】（2021下·江蘇鹽城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）一副三角板按如圖所示（共頂點(diǎn)）疊放在一起，若固定三角板（其中點(diǎn)位置始終不變），當(dāng)時(shí)，．

【答案】或【分析】分情況討論：①；②，利用平行線的性質(zhì)即可解答．解：由題意得，①如圖，

當(dāng)時(shí)，可得；②如圖，

當(dāng)時(shí)，可得，則．故答案為：或．【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的判定，分情況討論：①；②是解題的關(guān)鍵．【平行線間的距離】【考點(diǎn)7】平行線間的距離（應(yīng)用）【例7】（2022下·貴州遵義·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，直線，與，分別交于點(diǎn)，，且，交直線于點(diǎn)．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，，求直線與的距離．【答案】（1）；（2）【分析】（1）由直線，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，再由，根據(jù)垂直的定義即可得到結(jié)果；（2）過作于，根據(jù)，即可求解．解：（1）∵∴又∵∴（2）如圖，過作于，則的長即為直線與的距離∵，，是直角三角形∵∴∴直線與的距離【點(diǎn)撥】本題考查了平行線的性質(zhì)及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握：從一條平行線上的任意一點(diǎn)到另一條直線作垂線，垂線段的長度叫兩條平行線之間的距離．【變式1】（2021下·安徽合肥·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，且相鄰兩條直線間的距離都是2，A，B，C分別為，，上的動(dòng)點(diǎn)，連接AB、AC、BC，AC與交于點(diǎn)D，，則BD的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】求BD的最小值可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)B到直線AC的距離，當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，根據(jù)題意求解即可．解：由題意可知當(dāng)BD⊥AC時(shí)，BD有最小值，此時(shí)，AD=CD，∠ABC=90°，∴BD=AD=BD=AC=2，∴BD的最小值為2．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查平行線的性質(zhì)，需結(jié)合圖形，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出相關(guān)角的關(guān)系從而進(jìn)行求解．【變式2】（2019下