11材料力學組合變形

第11章組合變形組合變形1組合變形目錄9.1拉伸（壓縮）與彎曲的組合9.2扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合9.3兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲2一、組合變形

在復雜外載作用下，構(gòu)件的變形會包含幾種簡單變形，當幾種變形所對應的應力屬同一量級時，不能忽略之，這類構(gòu)件的變形稱為組合變形。組合變形MPRzxyPP引言3組合變形Phg4組合變形水壩qPhg5二、組合變形的研究方法——疊加原理①外力分析：外力向形心(或彎心)簡化并沿形心主慣性軸分解②內(nèi)力分析：求每個外力分量對應的內(nèi)力方程和內(nèi)力圖，確定危險面。③應力分析：畫危險面應力分布圖，疊加，建立危險點的強度條件。組合變形6組合變形§9.1拉伸（或壓縮）與彎曲的組合一、桿件同時受橫向力和軸向力的作用而產(chǎn)生的變形PR以圖(a)中的起重機橫梁AB為例，其受力簡圖如圖(b)所示。軸向力FAx和FBx引起壓縮，橫向力FAy、W、FBy引起彎曲，所以AB桿即產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。若AB桿的抗彎剛度較大，彎曲變形很小，則可略去軸向力因彎曲變形而產(chǎn)生的彎矩。這樣，軸向力就只引起壓縮變形，不引起彎曲變形，疊加原理就可以應用了。7組合變形8組合變形

[例1]

最大吊重G＝8kN的起重機如圖(a)所示(單位：mm)。若AB桿為工字鋼，材料為Q235鋼，＝100MPa，試選擇工字鋼型號。

解

AB桿的受力簡圖如圖(b)所示，設CD桿的拉力為F，由平衡方程得解得

42kN

9組合變形把F分解為沿AB桿軸線的分量Fx和垂直于AB桿軸線的分量Fy，可見AB桿在AC段內(nèi)產(chǎn)生壓縮與彎曲的組合變形。且有作出AB桿的彎矩圖和AC段的軸力圖，如圖(c)所示。從圖中可以看出，C點截面左側(cè)，其彎矩值為最大，而軸力與其它截面相同，故為危險截面。開始試算時，可以先不考慮軸力Fx的影響，只根據(jù)彎曲強度條件選取工字鋼。這時截面系數(shù)為

W≥

10查型鋼表C，選取16號工字鋼，其W＝141cm3，A＝26.1cm2。選定工字鋼后，同時考慮軸力Fx及彎矩M，再進行強度校核。在危險截面C的下邊緣各點上發(fā)生最大壓應力，且為

結(jié)果表明，最大壓應力與許用應力接近相等，故無需重新選取截面的型號。

組合變形11組合變形PxyzPMyxyzPMyMz二、偏心拉伸(壓縮)

如果外力的作用線平行于桿件的軸線，但不通過桿件橫截面的形心，則將引起偏心拉伸(壓縮)。

1、分解：

122、應力分析：組合變形PMyMzPMZMyxyzz

y134、危險點（距中性軸最遠的點）3、中性軸方程對于偏心拉壓問題中性軸組合變形P（zP，

yP）yzyz14解：兩柱橫截面上的最大正應力均為壓應力

[例2]圖示不等截面與等截面柱，受力P=350kN，試分別求出兩柱內(nèi)的絕對值最大正應力。圖（1）圖（2）組合變形MPPd..P300200200P20020015

[例3]

圖示鋼板受力P=100kN，試求最大正應力；若將缺口移至板寬的中央，且使最大正應力保持不變，則挖空寬度為多少？解：內(nèi)力分析如圖坐標如圖，挖孔處的形心組合變形PPPPMN2010020yzyC1016PPMN應力分析如圖孔移至板中間時組合變形2010020yzyC＋17

[例4]

如圖所示小型壓力機的鑄鐵框架如圖

(a)所示。已知材料的許用拉應力＝30MPa，許用壓應力＝160MPa。試按立柱的強度確定壓力機的最大許可壓力FP。立柱的截面尺寸如圖

(b)所示(尺寸單位：mm)。

組合變形a)b)18組合變形解首先，根據(jù)截面尺寸計算橫截面面積，確定截面形心位置，求出截面對形心主慣性軸y的主慣性矩Iy。計算結(jié)果為其次，分析立柱的內(nèi)力和應力。像立柱這樣的受力情況有時稱為偏心拉伸。根據(jù)任意截面m-m以上部分的平衡(圖c))，容易求得截面m-m上的軸力FN和彎矩My分別為橫截面上與軸力FN對應的應力是均布的拉應力，且19組合變形與彎矩My對應的正應力按線性分布，最大拉應力和最大壓應力分別是從圖c)可以看出，疊加以上兩種應力后，在截面內(nèi)側(cè)邊緣上發(fā)生最大拉應力，且在截面的外側(cè)邊緣上發(fā)生最大壓應力，且最后，由抗拉強度條件得

≤45.1kN。由抗壓強度條件得≤為使立柱同時滿足抗拉和抗壓強度條件，壓力FP不應超過。20

[例5]方形截面桿的橫截面面積在mn

處減少一半，試求由軸向載荷

P

引起的mn

截面上的最大拉應力。

解：

組合變形21組合變形

§9.2

扭轉(zhuǎn)與彎曲的組合彎曲與扭轉(zhuǎn)的組合變形在機械工程中是常見的。下面以操縱手柄為例來說明這類組合變形時應力及其強度的計算方法。圖

a)所示為一鋼制手柄，AB段是直徑為d的等直圓桿，A端的約束可視為固定端，BC段長度為a。現(xiàn)在來討論在C端鉛垂力FP作用下，AB桿的受力情況。將FP力向AB桿B端的形心簡化，即可將外力分為橫向力FP及作用在桿端平面內(nèi)的力矩Mx＝FPa，其受力情況如圖

b)所示。它們分別使AB桿發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲變形。

22組合變形23組合變形用截面法可計算出AB桿橫截面上的彎矩M和扭矩MT，其M圖和MT圖分別如圖c)和d)所示。因為A截面上內(nèi)力最大，該截面為危險截面，其內(nèi)力值分別為彎矩M＝FPl，扭矩MT＝FPa。在危險截面A上，與彎矩M相對應的彎曲正應力，在y軸方向的直徑上下兩端點1和2處最大(圖e))；與扭矩MT相對應的扭轉(zhuǎn)切應力在橫截面的周邊各點處最大(圖f))。所以在1和2兩點處的應力和，都為最大值，稱其為危險截面上的危險點?，F(xiàn)取其中的1點來研究，如圖g)所示(圖h)為其平面圖)。作用在1點上的正應力和切應力，分別按彎曲正應力公式和扭轉(zhuǎn)切應力公式來計算。其值為24組合變形很明顯，1點處于二向應力狀態(tài)，需要采用適當?shù)膹姸壤碚搧磉M行強度計算。首先，計算1點的主應力。利用公式可得

然后，選用強度理論建立強度條件。因手柄用鋼材制成，應選用第三或第四強度理論。若采用第三強度理論，可得其強度條件為

≤

25組合變形若采用第四強度理論，可將上述三個主應力代入公式，其強度條件成≤若將式代入上兩式，并注意到對圓截面桿有WP＝2W，則以上兩式改寫成≤

≤式中的M和MT分別為圓截面桿危險截面上的彎矩和扭矩。下面舉例說明怎樣利用這些理論對圓截面鋼軸進行強度計算26組合變形

[例6]

電動機帶動一圓軸AB，在軸中點處裝有一重G＝5kN、直徑D＝1.2m的膠帶輪(圖a))，膠帶緊邊的拉力F1＝6kN，松邊的拉力F2＝3kN。若軸的許用應力＝50MPa，試按第三強度理論求軸的直徑d。解把作用于輪子上的膠帶拉力F1、F2向軸線簡化，如圖b)所示。由受力簡圖可見，軸受鉛垂方向的力為

F＝G+F1+F2＝(5+6+3)kN＝14kN

該力使軸發(fā)生彎曲變形。同時軸又受由膠帶的拉力產(chǎn)生的力偶矩為

kN·m

該力偶矩使軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。所以軸發(fā)生扭轉(zhuǎn)和彎曲的組合變形。

27組合變形28組合變形根據(jù)橫向力作出的彎矩圖如圖c)所示。最大彎矩在軸的中點截面上，其值為

kN·m

根據(jù)扭轉(zhuǎn)外力偶矩M，作出的扭矩圖如圖d)所示。扭矩為

kN·m

由此可見，軸中間截面右側(cè)為危險截面。按第三強度理論的強度條件，有≤代入相應數(shù)據(jù)得≤故得

≥

m＝98mm。

29解：拉扭組合,危險點應力狀態(tài)如圖

[例7]

直徑為d=0.1m的圓桿受力如圖,T=7kNm,P=50kN,[

]=100MPa，試按第三強度理論校核此桿的強度。故，安全。組合變形AAPPTT30§9.3兩相互垂直平面內(nèi)的彎曲一、斜彎曲：桿件產(chǎn)生彎曲變形，但彎曲后，撓曲線與外力（橫向力）不共面。二、斜彎曲的研究方法：1.分解：將外載沿橫截面的兩個形心主軸分解，于是得到兩個正交的平面彎曲。組合變形PzPyyzPjxyzPPyPz312.疊加：對兩個平面彎曲進行研究；然后將計算結(jié)果疊加起來。組合變形xyzPyPzPPzPyyzPj32解：1.將外載沿橫截面的形心主軸分解2.研究兩個平面彎曲①內(nèi)力：組合變形PzPyyzPj33②應力：My引起的應力：Mz引起的應力：合應力：組合變形LPzPyyzPjxyzPyPzPLmmx34④最大正應力：⑤變形計算：③中性軸方程：可見：只有當Iy=Iz時，中性軸與外力才垂直。在中性軸兩側(cè)，距中性軸最遠的點為拉壓最大正應力點。當

=

時，即為平面彎曲。組合變形D1D2a中性軸PzPyyzPjD1D2affzfyb35

[例8]結(jié)構(gòu)如圖，P過形心且與z軸成

角，求此梁的最大應力與撓度。當Iy=Iz時，即發(fā)生平面彎曲。解：危險點分析如圖組合變形最大正應力變形計算中性軸ffzfybyzLxPyPzPhbPzPyyzPjD2D1a36

[例9]矩形截面木檁條如圖，跨長L=3m，受集度為q=800N/m的均布力作用，[

]=12MPa，許可撓度為：[f/L]=1/200，E=9GPa，試選擇截面尺寸，并校核剛度。解：外力分析，