第一章 有理數(shù)知識歸納與題型突破（21類題型清單）（2024年秋 滬科版）

第一章有理數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、正數(shù)和負數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù).負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“—”的數(shù)叫做負數(shù).注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù).（不是帶“—”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù).）（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量.二、有理數(shù)1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質分類：2.數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應的數(shù)總比左邊的點所對應的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．詮釋：(1)一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．(2)求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可．(3)多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結果為負．4．絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．數(shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離．三、有理數(shù)的運算1、法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．詮釋：“奇負偶正”口訣的應用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結合律:①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac四、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而??；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．五、科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學記數(shù)法．例如：200000=．0303題型歸納題型一正數(shù)和負數(shù)例1.（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）下列語句中正確的有(

)個．①不帶“?”號的數(shù)都是正數(shù)；②如果a是正數(shù)，那么?a一定是負數(shù)；③不存在既不是正數(shù)，也不是負數(shù)的數(shù)；④0°C表示沒有溫度．A．1 B．2 C．3 D．4鞏固訓練1．（2024·四川涼山·中考真題）下列各數(shù)中：5，?57，?3，0，?25.8，+2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．（2024·江蘇常州·一模）下列實數(shù)中，負數(shù)是（

）A．π B．?1.5 C． D．20243．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）已知下列各數(shù)：?23，?212，3.14，0，0.2，?216，6，12題型二具有相反意義的量例2．（2024·湖北武漢·中考真題）中國是世界上最早使用負數(shù)的國家．負數(shù)廣泛應用到生產和生活中，例如，若零上3℃記作+3℃，則零下2℃記作℃．鞏固訓練1．（23-24七年級上·山東青島·期末）中國歷史上劉徽首先給出了正負數(shù)的定義，“今兩算得失相反，要令正負以名之”．意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負數(shù)來區(qū)分它們．如果收入5000元記作+5000元，那么支出2000元記作元．2．（2024七年級上·江蘇·專題練習）在下列選項中，具有相反意義的量是（

）A．上升了6米和后退了7米 B．賣出10斤米和盈利10元C．收入20元與支出30元 D．向東行30米和向北行30米3．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）下面四個選項中，不具有相反意義的量的是（）A．借貸5萬元與還貸6萬元B．高出海平面8888米與低于海平面188米C．虧損2萬元與盈利8萬元D．增產10噸糧食與減產?10噸糧食題型三正數(shù)和負數(shù)的分界數(shù)例3.（24-25七年級上·全國·隨堂練習）下列對“0”的說法正確的個數(shù)是（）①0是正數(shù)與負數(shù)的分界；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義，如0℃；④0是正數(shù)；⑤0是自然數(shù)．A．2 B．3 C．4 D．5鞏固訓練1．（23-24七年級上·四川巴中·階段練習）下列關于“0”的說法正確的有（

）①0是正數(shù)和負數(shù)的分界點；②0是正數(shù)；③0是自然數(shù)；④不存在既不是正數(shù)也不是負數(shù)的數(shù)；⑤0既是整數(shù)也是偶數(shù)；⑥0不是負數(shù)．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個2．（23-24六年級下·黑龍江綏化·期末）既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是正數(shù)與負數(shù)的分界線．3．（2022七年級上·全國·專題練習）0既不是，也不是．0是和的分界點．題型四有理數(shù)及其相關概念例4.（2024·重慶·一模）以下各數(shù)是有理數(shù)的是（

）A．?33 B．π C． D．鞏固訓練1．（23-24七年級上·湖北襄陽·期中）下列說法中，錯誤的是（

）A．?3是負有理數(shù) B．0不是整數(shù) C．是正有理數(shù) D．?0.15是負分數(shù)2．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）下列說法中，正確的是（

）A．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) B．有理數(shù)a一定是正數(shù)C．有理數(shù)分為正數(shù)和負數(shù) D．自然數(shù)就是正整數(shù)3．（23-24七年級上·河北邢臺·階段練習）對于甲、乙、丙的說法，下列判斷正確的是（

）甲：有理數(shù)不是正有理數(shù)就是負有理數(shù)；乙：有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)；丙：一個分數(shù)不是正的就是負的．A．甲對乙錯 B．甲錯丙對 C．乙錯丙對 D．乙對丙錯題型五有理數(shù)的分類例5.（23-24七年級下·福建福州·期末）把下列各數(shù)填在相應的大括號里：5，14，?3，，0，2010，?35，6.2，．正數(shù)：{

?}；負數(shù)：{

?}；非負整數(shù)：{

?}；整數(shù)：{

?}；分數(shù)：{

?}；負分數(shù)：{

?}．鞏固訓練1．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）把下列各數(shù)填入相應的集合內．?10，8，，334，?10%，3101，2，0，3.14，?67，37，，，正數(shù)集合{…}；負數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分數(shù)集合{…}．2．（22-23七年級上·河南鄭州·階段練習）將下列各數(shù)填入相應的大括號內．5，?2，?0.3，?23，0，π，5.7，112，正數(shù)集合：{______…}；負數(shù)集合：{______…}；整數(shù)集合：{______…}；分數(shù)集合：{______…}．3．（22-23七年級上·甘肅平涼·階段練習）判斷下列各數(shù)，并把它們填寫在相應的數(shù)集中．?10，?6.5，212，0，6.5，?12，6，?6.2%，0.(1)整數(shù)集合：｛

…｝(2)分數(shù)集合：｛

…｝(3)非負數(shù)集合：｛

…｝(4)非正數(shù)集合：｛

…｝(5)正有理數(shù)集：｛

…｝題型六數(shù)軸的三要素例6．（23-24六年級下·上海黃浦·期中）下列說法錯誤的是（

）A．數(shù)軸的三要素是原點、正方向和單位長度B．一個有理數(shù)的絕對值一定不是負數(shù)C．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值一定相等D．一個數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)鞏固訓練1．（23-24七年級上·四川瀘州·階段練習）下列圖形是數(shù)軸的是（

）A． B． C． D．2．（23-24七年級上·山東棗莊·期中）如圖各圖中，表示的數(shù)軸正確的是（

）A．B．C．D．3．（23-24七年級上·全國·課堂例題）我們把規(guī)定了、、的直線叫做數(shù)軸，這條直線上的任意一個點表示一個數(shù)，原點左邊的點表示的數(shù)都是數(shù)，原點右邊的點表示的數(shù)都是數(shù)．在實際問題中，1個單位長度可表示一定的數(shù)量，如1米，1千米，400千克等．題型七用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)例7.（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，數(shù)軸上點M表示的數(shù)是（

）A．?2 B．0 C．1 D．2鞏固訓練1．（2024·江蘇蘇州·中考真題）用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（

）A．?3 B．1 C．2 D．32．（2024·江蘇揚州·二模）如圖，數(shù)軸上A、B兩點在原點兩側，且OA=OB，若AB=4，那么點A表示的數(shù)是（）A．4 B．?4 C．2 D．?23．（2024·吉林白城·一模）如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)的絕對值可能是（

）A．?72 B．?52 C．題型八數(shù)軸上兩點之間的距離例8.（24-25七年級上·全國·隨堂練習）在數(shù)軸上表示數(shù)?1和2021的兩點分別為點A和點B，則A、B兩點之間的距離為（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022鞏固訓練1．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）數(shù)軸上，若A，B表示互為相反數(shù)的兩個點，A在B的左邊，并且這兩點的距離為6，則點A所表示的數(shù)是（

）A．?3 B．3 C．6 D．?62．（23-24九年級下·河北廊坊·階段練習）數(shù)軸上表示數(shù)?5的點和原點的距離表示為（

）A．?5 B．?5 C．?15 3．（23-24七年級上·海南?？凇て谀?shù)軸上表示數(shù)?12和表示數(shù)?4的兩點之間的距離是（

）A．-8 B．8 C．?16 D．16題型九數(shù)軸上點的運動例9.（2024·四川廣元·中考真題）將在數(shù)軸上對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數(shù)是（

）A． B．1 C．?3 D．3鞏固訓練1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）如圖所示，把數(shù)軸上的點A先向左移動3個單位，再向右移動7個單位得到點B，若A與B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點A表示的數(shù)是（

）A．0.5 B． C．?2 D．?32．（23-24七年級上·河南信陽·期中）如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點A與數(shù)軸上表示的點重合，將該圓沿數(shù)軸滾動1周，點A到達點B的位置，則點B表示的數(shù)是（

）.A．π?1 B．?π?1 C．?π+1或?π?1 D．π?1或?π?13．（24-25七年級上·江蘇·假期作業(yè)）閱讀與思考如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看出，終點表示的數(shù)是?2．參照圖中所給的信息，完成填空：已知A，B都是數(shù)軸上的點．

（1）若點A表示數(shù)?3．將點A向右移動5個單位長度至點A1．則點A1表示的數(shù)是（2）若點A表示數(shù)2，將點A先向左移動7個單位長度，再向右移動92個單位長度至點，則點表示的數(shù)是；（3）若將點B先向左移動3個單位長度，再向右移動6個單位長度，終點表示的數(shù)恰好是0，則點B所表示的數(shù)是．題型十相反數(shù)的定義與性質例10.（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）??56鞏固訓練1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）若a與?12互為相反數(shù)，則a的值為2．（23-24六年級下·吉林長春·期末）若2m+1與?2互為相反數(shù)，則m的值為．3．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）若3x?2與y?32互為相反數(shù)，則xy=題型十一多重符號的化簡例11.（2024·江蘇泰州·二模）下列計算正確的是（

）A．??2=?2 B． C． D．+鞏固訓練1．（23-24七年級下·山東濰坊·階段練習）下列各組數(shù)中，不相等的是（）A．+?6與?+6 B．?C．??4.5與?+4．5 D．?2．（2023·廣東東莞·一模）?+2的化簡結果（

A．2 B．0 C．?12 題型十二絕對值的定義與性質例12.（23-24七年級上·山西忻州·期末）數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡?a+A．?a+b?c B． C．a+b?c D．鞏固訓練1．（23-24九年級下·上?！るA段練習）如果實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，那么下列等式中正確的是（）A．a=a B．C．a+b=a+b D．2．（2023·重慶渝北·一模）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b?c=a?b?c，且b≠0，則下列說法中，正確的個數(shù)是（

①a>c；②b<0；③化簡a?b?c+22A．0 B．1 C．2 D．33．（2024七年級上·江蘇·專題練習）若a、b、c均為整數(shù)，且|a?b|+|c?a|=1，則|a?c|+|c?b|+|b?a|的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4題型十三絕對值的應用例13.（2024七年級·全國·競賽）已知9≤a≤10，3≤b≤4，代數(shù)式x?a+x?b的最小值為鞏固訓練1．（22-23七年級上·四川眉山·期中）在數(shù)軸上表示出下列各數(shù)，并用“<”連接．?4.5，312，??2，?(?5)2．（23-24七年級上·遼寧盤錦·階段練習）數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作a，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離記作a?b，如數(shù)軸上表示數(shù)5的點與表示數(shù)7的點的距離為5?7根據以上材料回答下列問題：(1)若x?2=3，則x=______，x?4=x+2(2)若x?3+x+2=5(3)若x?3+x+2=93．（23-24七年級上·山東臨沂·期中）【閱讀】5?2表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離；6+3可以看作6??3，表示6與?3的差的絕對值，也可理解為6與?3【探索】(1)若，則x=；(2)利用數(shù)軸，若x?2+x+3=5(3)由以上探索，對于有理數(shù)x，使x?2+x+3=94．（23-24七年級上·新疆烏魯木齊·期中）數(shù)軸上兩點之間的距離等于相應兩數(shù)差的絕對值，如2與3的距離可表示為2?3=1，2與?3的距離可表示為(1)數(shù)軸上表示3和8的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示?3和?9的兩點之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和?2的兩點A和B之間的距離是；如果AB||，則x為；(3)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，化簡a+c?(4)當代數(shù)式取最小值時，x的值為．題型十四有理數(shù)的大小比較例14.（23-24七年級上·北京·期末）比較下列各組數(shù)的大?。?1)?25與(2)?179與(3)??3.5與?(4)??6.5與?鞏固訓練1．（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）比較大小：把下列數(shù)??1，?892．（22-23七年級上·浙江杭州·階段練習）比較下列各數(shù)的大小，寫出比較過程．(1)89和11(2)?35和(3)??2.25和?2.53．（21-22七年級上·全國·課后作業(yè)）（1）在數(shù)軸上表示出：0,?1.4,?3,1（2）將（1）中各數(shù)用“<”連接起來；（3）將（1）中各數(shù)的相反數(shù)用“<”連接起來；（4）將（1）中各數(shù)的絕對值用“<”連接起來．題型十五有理數(shù)的加減法運算例15.（24-25七年級上·全國·隨堂練習）利用有理數(shù)的加法運算律計算，使運算簡便．(1)?248+433+(2)?0.8+1.2+鞏固訓練1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：(1)137+?1(2)?1.25+2.25+7.75+2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）閱讀下面的解題方法．計算：．解：原式===0+=?上述解題方法叫做拆項法，按此方法計算：?202153．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）拆項法．計算：?20227題型十六有理數(shù)的乘、除法法則的運用例16.（23-24七年級上·江蘇淮安·開學考試）用簡便方法計算下面各題．(1)4(2)2019×鞏固訓練1．（23-24七年級上·四川成都·開學考試）計算：1×100+2×99+3×98+4×97+5×96+···+100×1．2．（23-24七年級上·西藏林芝·開學考試）脫式計算，能簡算的要簡算．(1)0.9×5(2)；(3)；(4)．3．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）閱讀材料，回答問題．計算：．解：方法一：原式=?方法二：原式的倒數(shù)為：1故原式=1用適當?shù)姆椒ㄓ嬎悖?1題型十七倒數(shù)的性質例17.（2024·內蒙古包頭·中考真題）若m,n互為倒數(shù)，且滿足，則n的值為（

）A．14 B．12 C．2鞏固訓練1．（2024年江蘇省無錫市中考真題試題）4的倒數(shù)是（

）A．14 B．?4 C．2 D．2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）??2025A．12025 B．2025 C． D．?3．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）求下列各數(shù)的倒數(shù)．(1)?3(2)22(3)?1.25；(4)5題型十八有理數(shù)的乘方運算例18.（2024·安徽滁州·三模）?12024等于（A． B．1 C．?2024 D．2024鞏固訓練1．（24-25七年級上·全國·課堂例題）計算：??22=，，?2．（23-24七年級上·安徽淮北·階段練習）閱讀下列各式：(a?b)2=a2?b(1)猜想：(a?b)(2)計算：?0.12520223．（22-23七年級上·福建三明·期中）（1）計算下面兩組算式：①3×52與；

②?2×32與（2）根據以上計算結果想開去：ab3（3）猜想與驗證：當n為正整數(shù)時，abn（4）利用上述結論，求?42022題型十九有理數(shù)的混合運算的應用例19.（23-24七年級上·吉林·階段練習）計算：(1)?31(2)?5(3)1?1(4)用簡便方法計算：?1915(5)計算：?1×鞏固訓練1．（23-24七年級上·云南昆明·開學考試）442．（23-24七年級上·四川成都·開學考試）脫式計算，能簡算的要簡算．(1)；(2)2419(3)1?1(4)1999×1999?2000×1998；(5)15×83．（23-24七年級上·湖北宜昌·期中）計算：(1)?(2)?1題型二十科學計數(shù)法的應用例20.（2024年山東省濰坊市中考真題試題）2024年3月份，低空經濟首次被寫入《政府工作投告》．截止2023年底，全國注冊通航企業(yè)690家、無人機126.7萬架，運營無人機的企業(yè)達1.9萬家．將126.7萬用科學記數(shù)法表示為（

）A． B． C．1.267×107 D．鞏固訓練1．（2024·甘肅金昌·模擬預測）糧食安全是“國之大者”．習總書記強調，“要始終把保障國家糧食安全擺在首位，加快實現(xiàn)農業(yè)農村現(xiàn)代化，提高糧食綜合生產能力，確保平時產得出、供得足，極端情況下頂?shù)蒙稀⒖康米。眹医y(tǒng)計局數(shù)據顯示，2023年我國糧食總產量1.39萬億斤，將1.39萬億用科學記數(shù)法表示為（

）A．1.39×1010 B．1.39×1011 C．2．（23-24九年級上·山東青島·開學考試）據交通運輸部發(fā)布消息，某年春節(jié)期間，全國共發(fā)送旅客29.06億人次，將29.06億這個數(shù)據用科學記數(shù)法可以表示為（）A．29.06×108 B．2.906×108 C．3．（2024·山東濟南·模擬預測）章丘大蔥，是山東省濟南市章丘區(qū)特產，全國農產品地理標志．2023年11月10日，中國?章丘大蔥文化旅游節(jié)上，一顆長度為2.586米大蔥，再次創(chuàng)造了新的世界吉尼斯大蔥高度記錄．章丘大蔥成為了章丘農業(yè)文明的重要標志，品牌價值已達52.91億元，成為拉動區(qū)域經濟發(fā)展、帶動農民增收致富的支柱產業(yè)．將52.91億元用科學記數(shù)法表示為（

）A．52.9×108元 B．5.29×108元 C．0.529×10題型二十一近似數(shù)的應用例21.（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）用四舍五入法得到的近似數(shù)0.270，其準確數(shù)a的范圍是（）A．0.265≤a<0.275 B．0.2695≤a<0.2705C．0.25≤a<0.28 D．0.2695≤a≤0.2705鞏固訓練1．（22-23六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）用四舍五入法按要求對0.05019分別取近似值，其中錯誤的是（）A．0.1（精確到十分位） B．0.05（精確到百分位）C．0.05（精確到0.001） D．0.0502（精確到0.0001）2．（24-25七年級上·陜西西安·開學考試）下列各數(shù)精確到0.01的是（

）A．0.6925≈0.693 B．8.029≈8.0 C．4.1974≈4.20 D．2.536≈2.533．（2024·山東泰安·二模）下列說法正確的有（）①近似數(shù)7.4與7.40是一樣的②近似數(shù)8.0精確到十分位，有效數(shù)字是8、0③近似數(shù)9.60精確到百分位，有效數(shù)字是9、6、0④由四舍五入法得到的近似數(shù)5.40×10A．4個 B．3個 C．2個 D．1個

第一章有理數(shù)知識歸納與題型突破（題型清單）01思維導圖01思維導圖0202知識速記一、正數(shù)和負數(shù)（1）概念正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù).負數(shù)：在正數(shù)前面加上負號“—”的數(shù)叫做負數(shù).注：0既不是正數(shù)也不是負數(shù)，是正數(shù)和負數(shù)的分界線，是整數(shù)，自然數(shù)，有理數(shù).（不是帶“—”號的數(shù)都是負數(shù)，而是在正數(shù)前加“—”的數(shù).）（2）意義：在同一個問題上，用正數(shù)和負數(shù)表示具有相反意義的量.二、有理數(shù)1．有理數(shù)的分類：（1）按定義分類：（2）按性質分類：2.數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向和單位長度的直線．詮釋：（1）一切有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示出來，數(shù)軸上的點不都表示的是有理數(shù)，如．（2）在數(shù)軸上，右邊的點所對應的數(shù)總比左邊的點所對應的數(shù)大．3．相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)互稱為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0．詮釋：(1)一對相反數(shù)在數(shù)軸上對應的點位于原點兩側，并且到原點的距離相等，這兩點是關于原點對稱的．(2)求任意一個數(shù)的相反數(shù)，只要在這個數(shù)的前面添上“”號即可．(3)多重符號的化簡：數(shù)字前面“”號的個數(shù)若有偶數(shù)個時，化簡結果為正，若有奇數(shù)個時，化簡結果為負．4．絕對值：（1)代數(shù)意義：一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0．數(shù)a的絕對值記作．（2)幾何意義：一個數(shù)a的絕對值就是數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離．三、有理數(shù)的運算1、法則：（1）加法法則：①同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加．②絕對值不相等的異號兩數(shù)相加，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值．③一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)．（2）減法法則：減去一個數(shù)，等于加這個數(shù)的相反數(shù)．即a-b=a+(-b)．（3）乘法法則：①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．②任何數(shù)同0相乘，都得0．（4）除法法則：除以一個不等于0的數(shù)，等于乘這個數(shù)的倒數(shù)．即a÷b=a·(b≠0)．（5）乘方運算的符號法則：①負數(shù)的奇次冪是負數(shù)，負數(shù)的偶次冪是正數(shù)；②正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何非零次冪都是0．(6)有理數(shù)的混合運算順序：①先乘方，再乘除，最后加減；②同級運算，從左到右進行；③如有括號，先做括號內的運算，按小括號、中括號、大括號依次進行．詮釋：“奇負偶正”口訣的應用：（1）多重負號的化簡，這里奇偶指的是“－”號的個數(shù)，例如：－[－（－3）]=－3，－[+（－3）]=3．（2）有理數(shù)乘法，當多個非零因數(shù)相乘時，這里奇偶指的是負因數(shù)的個數(shù)，正負指結果中積的符號，例如：（－3）×（－2）×（－6）=－36，而（－3）×（－2）×6=36．（3）有理數(shù)乘方，這里奇偶指的是指數(shù)，當?shù)讛?shù)為負數(shù)時，指數(shù)為奇數(shù)，則冪為負；指數(shù)為偶數(shù)，則冪為正，例如：，．2．運算律：（1）交換律:①加法交換律:a+b=b+a；②乘法交換律:ab=ba；（2）結合律:①加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)；②乘法結合律：（ab）c=a(bc)（3）分配律：a(b+c)=ab+ac四、有理數(shù)的大小比較比較大小常用的方法有：（1）數(shù)軸比較法；（2）法則比較法：正數(shù)大于0，0大于負數(shù)，正數(shù)大于負數(shù)；兩個負數(shù)，絕對值大的反而小；(3)作差比較法．（4）作商比較法；（5)倒數(shù)比較法．五、科學記數(shù)法把一個大于10的數(shù)表示成的形式（其中，是正整數(shù)），此種記法叫做科學記數(shù)法．例如：200000=．0303題型歸納題型一正數(shù)和負數(shù)例1.（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）下列語句中正確的有(

)個．①不帶“?”號的數(shù)都是正數(shù)；②如果a是正數(shù)，那么?a一定是負數(shù)；③不存在既不是正數(shù)，也不是負數(shù)的數(shù)；④0°C表示沒有溫度．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】本題主要考查正數(shù)與負數(shù)．根據正數(shù)與負數(shù)的性質及意義可求解．【詳解】解：①0不帶“?”號但不是正數(shù)，故原說法錯誤；②如果a是正數(shù)，那么?a一定是負數(shù)，故正確；③0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)的數(shù)，故原說法錯誤；④0°C表示溫度為0度，故原說法錯誤．故正確的有1個．故選：A．鞏固訓練1．（2024·四川涼山·中考真題）下列各數(shù)中：5，?57，?3，0，?25.8，+2A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】本題考查了對正數(shù)和負數(shù)定義的理解，難度不大，注意0既不是正數(shù)也不是負數(shù)．根據正數(shù)和負數(shù)的定義判斷即可，注意：0既不是負數(shù)也不是正數(shù)．【詳解】解：5>0，是正數(shù)；?5，是負數(shù)；0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)；，是負數(shù)；+2>0，是正數(shù)；∴負數(shù)有?57，?3，故選：C．2．（2024·江蘇常州·一模）下列實數(shù)中，負數(shù)是（

）A．π B．?1.5 C． D．2024【答案】B【分析】本題主要考查實數(shù)的基本概念，熟練掌握實數(shù)的基本概念是解題的關鍵．根據負數(shù)的概念得出結論即可．【詳解】解：A、π是正數(shù)，故本選項不符合題意；B、?1.5是負數(shù)，故本選項符合題意；C、是正數(shù)，故本選項不符合題意；D、2024是正數(shù)，故本選項不符合題意．故選：B．3．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）已知下列各數(shù)：?23，?212，3.14，0，0.2，?216，6，12【答案】3.14，0.2，6，12?23，【分析】本題主要考查正數(shù)與負數(shù)，屬于基礎題．根據正數(shù)與負數(shù)的特征可判定求解．【詳解】解：在?23，?212，3.14，0，0.2，正數(shù)3.14，0.2，6，12；負數(shù)有?23，?2故答案為：3.14，0.2，6，12；?23，題型二具有相反意義的量例2．（2024·湖北武漢·中考真題）中國是世界上最早使用負數(shù)的國家．負數(shù)廣泛應用到生產和生活中，例如，若零上3℃記作+3℃，則零下2℃記作℃．【答案】?2【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)的意義，在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負表示．【詳解】解：零上3℃記作+3℃，則零下2℃記作?2℃．，故答案為：?2．鞏固訓練1．（23-24七年級上·山東青島·期末）中國歷史上劉徽首先給出了正負數(shù)的定義，“今兩算得失相反，要令正負以名之”．意思是說，在計算過程中遇到具有相反意義的量，要用正數(shù)和負數(shù)來區(qū)分它們．如果收入5000元記作+5000元，那么支出2000元記作元．【答案】?2000【分析】本題考查了相反意義的量，根據題意收入記作正，則支出記作負，即可得出答案．【詳解】解：收入5000元記作+5000元，那么支出2000元記作?2000，故答案為：?2000．2．（2024七年級上·江蘇·專題練習）在下列選項中，具有相反意義的量是（

）A．上升了6米和后退了7米 B．賣出10斤米和盈利10元C．收入20元與支出30元 D．向東行30米和向北行30米【答案】C【分析】本題考查了對正負數(shù)概念的理解，關鍵明確正負數(shù)是表示一對意義相反的量．根據相反意義的量的概念，逐項判斷分析即可解題．【詳解】解：A.不是一對具有相反意義的量，不符合題意；B.不是一對具有相反意義的量，不符合題意；C.是一對具有相反意義的量，符合題意；D.不是一對具有相反意義的量，不符合題意．故本題選：C．3．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）下面四個選項中，不具有相反意義的量的是（）A．借貸5萬元與還貸6萬元B．高出海平面8888米與低于海平面188米C．虧損2萬元與盈利8萬元D．增產10噸糧食與減產?10噸糧食【答案】D【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，確定相反意義的量是解題關鍵．根據正負數(shù)表示相反意義的量，可得答案．【詳解】解：A、借貸5萬元與還貸6萬元是具有相反意義的量，故A不符合題意；B、高出海平面8888米與低于海平面188米，具有相反意義的量，故B不符合題意；C、虧損2萬元與盈利8萬元，具有相反意義的量，故C不符合題意；D、增產10噸糧食與減產?10噸糧食，因為減產?10噸糧食相當于增產10噸糧食，所以是不具有相反意義的量，故D符合題意；故選：D．題型三正數(shù)和負數(shù)的分界數(shù)例3.（24-25七年級上·全國·隨堂練習）下列對“0”的說法正確的個數(shù)是（）①0是正數(shù)與負數(shù)的分界；②0只表示“什么也沒有”；③0可以表示特定的意義，如0℃；④0是正數(shù)；⑤0是自然數(shù)．A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】本題考查了正數(shù)和負數(shù)，根據0的意義，逐一判斷即可解答．【詳解】解：①因為正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，所以0是正、負數(shù)的分界點，故①正確；②0除了表示“什么也沒有”，還可以表示其他意義，如0℃等，故②錯誤，③可以表示特定的意義，如0℃，故④正確；④0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，故④錯誤；⑤0是自然數(shù)，故⑤正確；綜上所述，正確的有①③⑤，共3個，故選：B．鞏固訓練1．（23-24七年級上·四川巴中·階段練習）下列關于“0”的說法正確的有（

）①0是正數(shù)和負數(shù)的分界點；②0是正數(shù)；③0是自然數(shù)；④不存在既不是正數(shù)也不是負數(shù)的數(shù)；⑤0既是整數(shù)也是偶數(shù)；⑥0不是負數(shù)．A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【答案】C【分析】此題考查0的意義，正確理解0的意義是解題的關鍵．【詳解】0是正數(shù)和負數(shù)的分界點，故①正確；0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，故②錯誤，⑥正確；0是自然數(shù)，故③正確；存在既不是正數(shù)也不是負數(shù)的數(shù)，即0，故④錯誤；0既是整數(shù)也是偶數(shù)，故⑤正確；故選：C．2．（23-24六年級下·黑龍江綏化·期末）既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是正數(shù)與負數(shù)的分界線．【答案】0【分析】本題主要考查有理數(shù)的分類，屬于基礎知識．根據有理數(shù)的分類可求解．【詳解】解：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)．故答案為：0．3．（2022七年級上·全國·專題練習）0既不是，也不是．0是和的分界點．【答案】正數(shù)/負數(shù)負數(shù)/正數(shù)正數(shù)/負數(shù)負數(shù)/正數(shù)【分析】根據0的意義求解即可．【詳解】解：0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，0是正數(shù)和負數(shù)的分界點，故答案為：正數(shù)；負數(shù)；正數(shù)；負數(shù)．【點睛】本題主要考查了0的意義，熟知0的意義是解題的關鍵．題型四有理數(shù)及其相關概念例4.（2024·重慶·一模）以下各數(shù)是有理數(shù)的是（

）A．?33 B．π C． D．【答案】D【分析】本題考查了有理數(shù)，根據有理數(shù)的定義逐一判斷即可求解，熟記：“整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)”是解題的關鍵．【詳解】解：?33、π、是有理數(shù)，則D符合題意，故選D．鞏固訓練1．（23-24七年級上·湖北襄陽·期中）下列說法中，錯誤的是（

）A．?3是負有理數(shù) B．0不是整數(shù) C．是正有理數(shù) D．?0.15是負分數(shù)【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的分類是解題的關鍵．根據有理數(shù)的分類，逐一判斷即可解答．【詳解】解：A、?3是負有理數(shù)，故A不符合題意；B、0是整數(shù)，故B符合題意；C、是正有理數(shù)，故C不符合題意；D、?0.15是負分數(shù)，故D不符合題意；故選：B．2．（23-24七年級上·廣東廣州·期中）下列說法中，正確的是（

）A．整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù) B．有理數(shù)a一定是正數(shù)C．有理數(shù)分為正數(shù)和負數(shù) D．自然數(shù)就是正整數(shù)【答案】A【分析】本題考查的是有理數(shù)的概念與分類，自然數(shù)的含義，根據定義逐一分析即可判斷．【詳解】解：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱有理數(shù)，故A符合題意；有理數(shù)a可以是正數(shù)，0，負數(shù)，故B不符合題意；有理數(shù)分為正數(shù)和負數(shù)與0，故C不符合題意；自然數(shù)就是非負整數(shù)，故D不符合題意；故選A3．（23-24七年級上·河北邢臺·階段練習）對于甲、乙、丙的說法，下列判斷正確的是（

）甲：有理數(shù)不是正有理數(shù)就是負有理數(shù)；乙：有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)；丙：一個分數(shù)不是正的就是負的．A．甲對乙錯 B．甲錯丙對 C．乙錯丙對 D．乙對丙錯【答案】B【分析】本題考查了有理數(shù)概念與分類，根據有理數(shù)的分類可得答案．【詳解】解：甲：有理數(shù)不是正有理數(shù)就是負有理數(shù)，還有0，故甲錯誤；乙：有理數(shù)不是整數(shù)就是分數(shù)，故乙正確；丙：一個分數(shù)不是正的就是負的，故丙正確．故選：B．題型五有理數(shù)的分類例5.（23-24七年級下·福建福州·期末）把下列各數(shù)填在相應的大括號里：5，14，?3，，0，2010，?35，6.2，．正數(shù)：{

?}；負數(shù)：{

?}；非負整數(shù)：{

?}；整數(shù)：{

?}；分數(shù)：{

?}；負分數(shù)：{

?}．【答案】5，14，2010，6.2；?3，，?35，；5，0，2010；5，?3，0，2010，?35，；14，，6.2；．【分析】本題考查了正數(shù)、負數(shù)、非負整數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、負分數(shù)的定義，根據定義直接求解即可，解題的關鍵是正確理解正數(shù)、負數(shù)、非負整數(shù)、整數(shù)、分數(shù)、負分數(shù)的定義．【詳解】正數(shù)：{5，14，2010，6.2?負數(shù)：{?3，，?35，?}；非負整數(shù)：{5，0，2010?}；整數(shù)：{5，?3，0，2010，?35，?}；分數(shù)：{14，，6.2?}；負分數(shù)：{?}；故答案為：5，14，2010，6.2；?3，，?35，；5，0，2010；5，?3，0，2010，?35，；14，，6.2；．鞏固訓練1．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）把下列各數(shù)填入相應的集合內．?10，8，，334，?10%，3101，2，0，3.14，?67，37，，，正數(shù)集合{…}；負數(shù)集合{…}；整數(shù)集合{…}；分數(shù)集合{…}．【答案】見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的分類：有理數(shù)分為整數(shù)和分數(shù)；有理數(shù)分為正有理數(shù)、0、負有理數(shù)；整數(shù)分為正整數(shù)、0、負整數(shù)．根據有理數(shù)的分類在所給的數(shù)中分別找出正數(shù)、負數(shù)、整數(shù)、分數(shù)．【詳解】正數(shù)集合{8，334，3101，2，3.14，37，負數(shù)集合{?10，，?10%，?67，…}；整數(shù)集合{?10，8，2，0，?67，…}；分數(shù)集合{，334，?10%，3101，3.14，372．（22-23七年級上·河南鄭州·階段練習）將下列各數(shù)填入相應的大括號內．5，?2，?0.3，?23，0，π，5.7，112，正數(shù)集合：{______…}；負數(shù)集合：{______…}；整數(shù)集合：{______…}；分數(shù)集合：{______…}．【答案】5，π，5.7，112，102；?2，?0.3，?23，?17；5，?2，0，102，?17；?0.3，?2【分析】本題考查有理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)的定義是解題關鍵．根據有理數(shù)的定義進行分類即可．【詳解】解：正數(shù)集合有：5，π，5.7，112，負數(shù)集合有：?2，?0.3，?23，整數(shù)集合有：5，?2，0，，?17；分數(shù)集合有：?0.3，?23，5.7，3．（22-23七年級上·甘肅平涼·階段練習）判斷下列各數(shù)，并把它們填寫在相應的數(shù)集中．?10，?6.5，212，0，6.5，?12，6，?6.2%，0.(1)整數(shù)集合：｛

…｝(2)分數(shù)集合：｛

…｝(3)非負數(shù)集合：｛

…｝(4)非正數(shù)集合：｛

…｝(5)正有理數(shù)集：｛

…｝【答案】(1)?10，0，6，(2)?6.5，212，6.5，?12，?6.2%(3)212，0，6.5，6，0.6?(4)?10，?6.5，0，?12(5)212，6.5，6，0.【分析】本題主要考查了有理數(shù)的分類，解題時注意：整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；整數(shù)包括正整數(shù)、0、負整數(shù)；分數(shù)包括正分數(shù)、負分數(shù)．根據整數(shù)、分數(shù)、非負數(shù)、正有理數(shù)以及負數(shù)的定義進行判斷即可．【詳解】（1）解：整數(shù)集合：｛?10，0，6，…｝故答案為：?10，0，6；（2）解：分數(shù)集合：｛?6.5，212，6.5，?12，?6.2%，故答案為：?6.5，212，6.5，?12，?6.2%，（3）解：非負數(shù)集合：｛212，0，6.5，6，0.6?，故答案為：212，0，6.5，6，0.6?，（4）解：非正數(shù)集合：｛?10，?6.5，0，?12，故答案為：?10，?6.5，0，?12，（5）解：正有理數(shù)集：｛212，6.5，6，0.6故答案為：212，6.5，6，0.6題型六數(shù)軸的三要素例6．（23-24六年級下·上海黃浦·期中）下列說法錯誤的是（

）A．數(shù)軸的三要素是原點、正方向和單位長度B．一個有理數(shù)的絕對值一定不是負數(shù)C．互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值一定相等D．一個數(shù)的相反數(shù)一定是負數(shù)【答案】D【分析】此題考查了絕對值的性質，相反數(shù)的定義，數(shù)軸的定義．根據相反數(shù)的定義，絕對值的性質，對各選項分析判斷后利用排除法求解即可．【詳解】解：A、數(shù)軸的三要素是原點、正方向和單位長度，故本選項正確，不符合題意；B、一個有理數(shù)的絕對值是正數(shù)或零，一定不是負數(shù)，故本選項正確，不符合題意；C、互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，故本選項正確，不符合題意；D、一個負數(shù)的相反數(shù)正數(shù)，故本選項錯誤，符合題意．故選：D．鞏固訓練1．（23-24七年級上·四川瀘州·階段練習）下列圖形是數(shù)軸的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查的是數(shù)軸的定義，數(shù)軸是規(guī)定了原點，正方向和單位長度的直線；根據上述定義，逐一判斷各選項，即可得到結論．【詳解】解：A．沒有規(guī)定正方向，不是數(shù)軸，故本選項不符合題意；B．有了原點，正方向和單位長度，是數(shù)軸，故本選項符合題意；C．沒有負半軸，且不是直線，故不是數(shù)軸，故本選項不符合題意；D．單位長度不均勻，不是數(shù)軸，故本選項不符合題意；故選：B．2．（23-24七年級上·山東棗莊·期中）如圖各圖中，表示的數(shù)軸正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題考查了數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸．根據數(shù)軸的三要素，即可解答．【詳解】解：如上圖各圖中，表示的數(shù)軸正確的是故選：C．3．（23-24七年級上·全國·課堂例題）我們把規(guī)定了、、的直線叫做數(shù)軸，這條直線上的任意一個點表示一個數(shù)，原點左邊的點表示的數(shù)都是數(shù)，原點右邊的點表示的數(shù)都是數(shù)．在實際問題中，1個單位長度可表示一定的數(shù)量，如1米，1千米，400千克等．【答案】原點正方向單位長度負正【分析】根據數(shù)軸的定義即可求解．【詳解】我們把規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸，這條直線上的任意一個點表示一個數(shù)，原點左邊的點表示的數(shù)都是負數(shù)，原點右邊的點表示的數(shù)都是正數(shù)．故答案為：原點，正方向，單位長度，負，正．【點睛】本題考查了數(shù)軸的定義，能熟記數(shù)軸的定義是解此題的關鍵．題型七用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)例7.（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，數(shù)軸上點M表示的數(shù)是（

）A．?2 B．0 C．1 D．2【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸的知識，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．根據數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，看點M所在位置即可．【詳解】∵數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應，∴數(shù)軸上點M表示的數(shù)是?2，故選A．鞏固訓練1．（2024·江蘇蘇州·中考真題）用數(shù)軸上的點表示下列各數(shù)，其中與原點距離最近的是（

）A．?3 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查了絕對值的定義，一個數(shù)的絕對值就是表示這個數(shù)的點到原點的距離．到原點距離最近的點，即絕對值最小的點，首先求出各個數(shù)的絕對值，即可作出判斷．【詳解】解：∵?3=3，1=1，2=2，3∴與原點距離最近的是1，故選：B．2．（2024·江蘇揚州·二模）如圖，數(shù)軸上A、B兩點在原點兩側，且OA=OB，若AB=4，那么點A表示的數(shù)是（）A．4 B．?4 C．2 D．?2【答案】D【分析】本題考查數(shù)軸上點表示有理數(shù)，數(shù)軸上兩點的距離．根據數(shù)軸可得OA=OB=2，進而即可求解．【詳解】解：∵AB=4，OA=OB，∴OA=OB=2，∴點A表示的數(shù)為?2．故選：D．3．（2024·吉林白城·一模）如圖，數(shù)軸上被墨水遮蓋的數(shù)的絕對值可能是（

）A．?72 B．?52 C．【答案】C【分析】本題主要考查了有理數(shù)與數(shù)軸，求一個數(shù)的絕對值．根據數(shù)軸確定該數(shù)的絕對值在3到4之間即可判斷．【詳解】解：由題意得，遮住的數(shù)在?4到?3之間，∴遮住的數(shù)的絕對值在3到4之間，∴四個選項中只有C選項符合題意，故選：C．題型八數(shù)軸上兩點之間的距離例8.（24-25七年級上·全國·隨堂練習）在數(shù)軸上表示數(shù)?1和2021的兩點分別為點A和點B，則A、B兩點之間的距離為（

）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【答案】D【分析】本題考查數(shù)軸上兩點間距離；會求數(shù)軸上兩點間的距離是解題的關鍵．由數(shù)軸上表示數(shù)?1和2021的點到原點的距離分別為1個單位長度和2021個單位長度，且這兩個點位于原點的兩側，故這兩個點之間的距離為2022．【詳解】解：點A在原點的左側，到原點的距離是1個單位長度，點B在原點的右側，到原點的距離是2021個單位長度，B兩點之間的距離為1+2021=2022，故選：D．鞏固訓練1．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·階段練習）數(shù)軸上，若A，B表示互為相反數(shù)的兩個點，A在B的左邊，并且這兩點的距離為6，則點A所表示的數(shù)是（

）A．?3 B．3 C．6 D．?6【答案】A【分析】本題考查了數(shù)軸上的點及互為相反數(shù)、兩點之間的距離的概念，由相反數(shù)的含義及兩點之間距離的表示方法，點A與點B到原點的距離相等即可，熟練掌握知識點的應用是解題的關鍵．【詳解】解：∵A，B表示互為相反數(shù)的兩個點，兩點的距離為6，∴點A和點B到原點的距離為3，∵A在B的左邊，∴點A表示的數(shù)為?3，故選：A．2．（23-24九年級下·河北廊坊·階段練習）數(shù)軸上表示數(shù)?5的點和原點的距離表示為（

）A．?5 B．?5 C．?15 【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸的性質，絕對值的意義，理解數(shù)軸上兩點間的距離的表示是解題的關鍵．【詳解】解：數(shù)軸上表示數(shù)?5的點到原點的距離表示為?5的絕對值，即?5，故選：B．3．（23-24七年級上·海南?？凇て谀?shù)軸上表示數(shù)?12和表示數(shù)?4的兩點之間的距離是（

）A．-8 B．8 C．?16 D．16【答案】B【分析】本題考查的是數(shù)軸上兩點距離，根據數(shù)軸上兩點間的距離公式求解即可．【詳解】解：∵數(shù)軸上兩點分別用?12，?4表示，∴在數(shù)軸上表示數(shù)?12和表示數(shù)?4的兩點之間的距離?4??12故選：B．題型九數(shù)軸上點的運動例9.（2024·四川廣元·中考真題）將在數(shù)軸上對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數(shù)是（

）A． B．1 C．?3 D．3【答案】B【分析】本題考查了數(shù)軸上的動點問題，正確理解有理數(shù)所表示的點左右移動后得到的點所表示的數(shù)是解題的關鍵．將在數(shù)軸上對應的點向右平移2個單位，在數(shù)軸上找到這個點，即得這個點所表示的數(shù)．【詳解】根據題意：數(shù)軸上所對應的點向右平移2個單位，則此時該點對應的數(shù)是1．故選B．鞏固訓練1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）如圖所示，把數(shù)軸上的點A先向左移動3個單位，再向右移動7個單位得到點B，若A與B表示的數(shù)互為相反數(shù)，則點A表示的數(shù)是（

）A．0.5 B． C．?2 D．?3【答案】C【分析】本題考查了相反數(shù)的應用，注意：a的相反數(shù)是?a．設A表示的數(shù)是a，根據題意得出方程a?3+7=?a，求出即可．【詳解】解：設A表示的數(shù)是a，根據題意得：a?3+7=?a，解得：a=?2，即A點對應的數(shù)是?2．故選：C．2．（23-24七年級上·河南信陽·期中）如圖，圓的直徑為1個單位長度，該圓上的點A與數(shù)軸上表示的點重合，將該圓沿數(shù)軸滾動1周，點A到達點B的位置，則點B表示的數(shù)是（

）.A．π?1 B．?π?1 C．?π+1或?π?1 D．π?1或?π?1【答案】D【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點之間的距離，先求出圓的周長為π，點A沿數(shù)軸滾動1周滾動的路程為圓的周長，分向左和向右兩種情況討論即可解答，理解點A沿數(shù)軸滾動1周滾動的路程為圓的周長是解題的關鍵．【詳解】解：∵圓的直徑為1個單位長度，∴這個圓的周長為π，∵該圓上的點A與數(shù)軸上表示的點重合，將該圓沿數(shù)軸滾動1周，點A到達點B的位置，∴當圓沿數(shù)軸向左滾動一周時，點B所表示的數(shù)是?π?1；當圓沿數(shù)軸向右滾動一周時，點B所表示的數(shù)是，即π?1，故選：D．3．（24-25七年級上·江蘇·假期作業(yè)）閱讀與思考如圖，一個點從數(shù)軸上的原點開始，先向右移動3個單位長度，再向左移動5個單位長度，可以看出，終點表示的數(shù)是?2．參照圖中所給的信息，完成填空：已知A，B都是數(shù)軸上的點．

（1）若點A表示數(shù)?3．將點A向右移動5個單位長度至點A1．則點A1表示的數(shù)是（2）若點A表示數(shù)2，將點A先向左移動7個單位長度，再向右移動92個單位長度至點，則點表示的數(shù)是；（3）若將點B先向左移動3個單位長度，再向右移動6個單位長度，終點表示的數(shù)恰好是0，則點B所表示的數(shù)是．【答案】2?12/?0.5【分析】本題主要考查了數(shù)軸上動點平移問題，解題關鍵是掌握數(shù)軸上點往右移幾就加幾，往左移幾就減幾，概括為“右加左減”．（1）根據數(shù)軸上的點向右平移加，向左平移減，可得點A1（2）根據數(shù)軸上的點向右平移加，向左平移減，可得點表示的數(shù)；（3）根據數(shù)軸上的點向右平移加，向左平移減，可得B點表示的數(shù)．【詳解】（1）解：由題意得：?3+5=2，∴點A1（2）解：由題意得：2?7+9∴點表示的數(shù)是?12（3）解：由題意得：0先向右移動3個單位長度，再向左移動6個單位長度得到點B∴0+3?6=?3，∴點B所表示的數(shù)是?3．故答案為：2，?12；題型十相反數(shù)的定義與性質例10.（23-24六年級下·全國·假期作業(yè)）??56【答案】?【分析】本題考查了相反數(shù)的定義，求一個數(shù)的相反數(shù)，熟知只有符號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)，0的相反數(shù)是0是解題的關鍵．先化簡數(shù)字，根據相反數(shù)的定義求解即可．【詳解】解：∵??56的相反數(shù)是?5∴??56鞏固訓練1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·二模）若a與?12互為相反數(shù)，則a的值為【答案】12【分析】本題考查相反數(shù)，熟練掌握其定義是解題的關鍵．符號不同，并且絕對值相等的兩個數(shù)互為相反數(shù)，據此即可求得答案．【詳解】解：若a與?12互為相反數(shù)，則a的值為故答案為：122．（23-24六年級下·吉林長春·期末）若2m+1與?2互為相反數(shù)，則m的值為．【答案】1【分析】本題主要考查相反數(shù)，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關鍵．根據題意得到2m+1=2即可得到答案．【詳解】解：2m+1與?2互為相反數(shù)，∴2m+1?2=0，解得m=1故答案為：123．（23-24六年級下·黑龍江哈爾濱·期中）若3x?2與y?32互為相反數(shù)，則xy=【答案】2【分析】本題考查了絕對值和平方的非負性，相反數(shù)的定義，解題的關鍵是熟練掌握非負數(shù)和平方的非負性，以及只有符合不同的數(shù)互為相反數(shù)．先根據絕對值和平方的非負性，求出x和y的值，再代入計算即可．【詳解】解：∵3x?2≥0，y?32≥0，3x?2∴3x?2=0，y?3∴3x?2=0,y?3=0，解得：x=2∴xy=2故答案為：2．題型十一多重符號的化簡例11.（2024·江蘇泰州·二模）下列計算正確的是（

）A．??2=?2 B． C． D．+【答案】C【分析】本題考查了相反數(shù)中化簡多重符號，逐項計算，即可解答，熟知相反數(shù)的概念是解題的關鍵．【詳解】解：A、??2B、+?2C、，故C正確；D、++2故選：C．鞏固訓練1．（23-24七年級下·山東濰坊·階段練習）下列各組數(shù)中，不相等的是（）A．+?6與?+6 B．?C．??4.5與?+4．5 D．?【答案】B【分析】本題考查化簡多重符號，化簡絕對值，根據多重符號的化簡法則和絕對值的意義，逐一進行判斷即可．【詳解】解：A、+?6=?6，B、??4=4，C、??4.5=4.5，D、??8=?8，故選B．2．（2023·廣東東莞·一模）?+2的化簡結果（

A．2 B．0 C．?12 【答案】D【分析】本題考查相反數(shù)的概念．根據相反數(shù)的概念“只有符號不同的兩個數(shù)叫做相反數(shù)”求解即可．【詳解】解：，故選：D．題型十二絕對值的定義與性質例12.（23-24七年級上·山西忻州·期末）數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應點的位置如圖所示，化簡?a+A．?a+b?c B． C．a+b?c D．【答案】B【分析】此題考查了運用數(shù)軸上的點表示實數(shù)和絕對值化簡的應用能力，關鍵是能準確理解并運用以上知識進行變形、求解．運用數(shù)軸上的點表示實數(shù)和絕對值的性質進行化簡、計算．先確定a,b,c的符合以及大小，然后再取絕對值即可．【詳解】解：由題意得，a<0<b<c，，b?c<0，∴?a故選：B．鞏固訓練1．（23-24九年級下·上?！るA段練習）如果實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點如圖所示，那么下列等式中正確的是（）A．a=a B．C．a+b=a+b D．【答案】B【分析】此題考查實數(shù)與數(shù)軸，解決此題的關鍵是掌握數(shù)軸的特征，再結合加減運算，絕對值的概念判斷即可，先根據數(shù)軸判斷出a、b的正負情況，然后根據有理數(shù)的加、減運算法則及絕對值的意義對各選項分析判斷求解．【詳解】解：根據題意得：b<a<0，∴bA、a=?a≠aB、b=?bC、a+b=?D、a?b=a?b故選：B．2．（2023·重慶渝北·一模）已知實數(shù)a，b，c滿足a+b?c=a?b?c，且b≠0，則下列說法中，正確的個數(shù)是（

①a>c；②b<0；③化簡a?b?c+22A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】本題考查了絕對值的化簡，解題的關鍵是熟知正數(shù)與0的絕對值是其本身，負數(shù)的絕對值是其相反數(shù)．根據絕對值的意義分類討論，逐項判斷正確與否即可．【詳解】解：∵a+b?c=a?b?c當a+b?c≥0時，a+b?c=a?b?c，得b=0，不符合題意；當a+b?c<0時，a+b?c=?a?b?c，得a=c，故①將a=c代入a+b?c=a?b?c得，b因b≠0得，b<0，故②正確；∵a=c，b<0，∴|a?b?c+2=?b+22+b?32故正確的選項有②，正確的個數(shù)是1．故選：B．3．（2024七年級上·江蘇·專題練習）若a、b、c均為整數(shù)，且|a?b|+|c?a|=1，則|a?c|+|c?b|+|b?a|的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】先根據a、b、c均為整數(shù)，且|a?b|+|c?a|=1，可得a?b=1，或|a?b|=0，，然后分兩種情況分別求出|a?c|+|c?b|+|b?a|的值即可．此題主要考查了絕對值的意義，分類討論是解答此題的關鍵．【詳解】解：，b，c均為整數(shù)，且|a?b|+|c?a|=1，∴a?b=1，或|a?b|=0，，①當a?b=1，時，c=a，a=b±1，a?c+c?b②當|a?b|=0，時，a=b，a?c+c?b綜上，|a?c|+|c?b|+|b?a|的值為2．故選：B．題型十三絕對值的應用例13.（2024七年級·全國·競賽）已知9≤a≤10，3≤b≤4，代數(shù)式x?a+x?b的最小值為【答案】5【分析】本題考查絕對值的幾何意義，理解x?a+x?b的幾何意義是數(shù)軸上一點到點a和點根據x?a+x?b的幾何意義是數(shù)軸上一點到點a和點b的距離之和，結合9≤a≤10，【詳解】解：x?a+x?b的幾何意義是數(shù)軸上一點到點a和點∵9≤a≤10，3≤b≤4，∴當4≤x≤9時，x?a+x?b的最小是故答案為：5．鞏固訓練1．（22-23七年級上·四川眉山·期中）在數(shù)軸上表示出下列各數(shù)，并用“<”連接．?4.5，312，??2，?(?5)【答案】在數(shù)軸上表示見解析，?4.5<?|?2|<1【分析】本題考查的是有理數(shù)的大小比較，熟知數(shù)軸上右邊的數(shù)總比左邊的大是解題的關鍵．先去括號，去絕對值符合，再把各數(shù)在數(shù)軸上表示出來，從左到右用“<“號把它們連起來即可．【詳解】解：?|?2|=?2，?(?5)=5，如圖，

故?4.5?2．（23-24七年級上·遼寧盤錦·階段練習）數(shù)軸上表示數(shù)a的點與原點的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作a，數(shù)軸上表示數(shù)a的點與表示數(shù)b的點的距離記作a?b，如數(shù)軸上表示數(shù)5的點與表示數(shù)7的點的距離為5?7根據以上材料回答下列問題：(1)若x?2=3，則x=______，x?4=x+2(2)若x?3+x+2=5(3)若x?3+x+2=9【答案】(1)5或，1(2)?2，3(3)x=?4或5【分析】考查數(shù)軸表示數(shù)的意義，理解絕對值的意義和兩點距離的計算方法是正確解答的關鍵．（1）根據表示數(shù)軸上表示x的點到2的距離為3，x?4=x+2表示數(shù)軸上表示x的點到表示4和（2）表示的意義是數(shù)軸上表示x的點到表示3和?2兩點的距離之和為5，得到x的取值范圍，進而得到最大值和最小值；（3）根據所提供的絕對值意義，即可解答．【詳解】（1）解：x?2=3表示數(shù)軸上表示x∴x?2=3或x?2=?3，解得x=5或，x?4=x+2表示數(shù)軸上表示x的點到表示4和?2的距離相等，因此到4和?2距離相等的點表示的數(shù)為故答案為：5或，1；（2）解：，表示的意義是數(shù)軸上表示x的點到表示3和?2兩點的距離之和為5，可得?2≤x≤3，因此x的最大值為3，最小值為?2；故答案為：?2，3；（3）解：當x≤?2時，x?3+x+2=9；當?2<x≤3時，去絕對值為：3?x+x+2=9（不成立）；當x>3時，去絕對值為：x?3+x+2=9，∴x=5，綜上，x=?4或5．3．（23-24七年級上·山東臨沂·期中）【閱讀】5?2表示5與2差的絕對值，也可理解為5與2兩數(shù)在數(shù)軸上所對應的兩點之間的距離；6+3可以看作6??3，表示6與?3的差的絕對值，也可理解為6與?3【探索】(1)若，則x=；(2)利用數(shù)軸，若x?2+x+3=5(3)由以上探索，對于有理數(shù)x，使x?2+x+3=9【答案】(1)8或?6(2)?3，?2，，0，1，2(3)?5或4【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，絕對值的化簡，熟練掌握數(shù)軸上的兩點間的距離，絕對值，分類思想，化簡絕對值是解題的關鍵．（1）根據題意，x?1=7或x?1=?7，計算即可．（2）根據題意，x?2+x+3=5（3）分?3≤x≤2，x＞2，x＜?3三種情況，解方程即可．【詳解】（1）解：根據題意，得x?1=7或x?1=?7，解得x=8或x=?6，故答案為：8或?6．（2）解：當?3≤x≤2時，x?2+此時，符合題意的整數(shù)有?3，?2，，0，1，2；當x＞2時，x?2+此時，不符合題意；當x＜?3時，x?2+此時，不符合題意；故滿足題意的x的整數(shù)解為?3，?2，，0，1，2．（3）解：當?3≤x≤2時，x?2+此時，不符合題意當x＞2時，x?2+∵x?2+∴2x+1=9解得x=4，符合題意；當x＜?3時，x?2+∵x?2+∴?2x?1=9解得x=?5，符合題意；故x的值為?5或4．4．（23-24七年級上·新疆烏魯木齊·期中）數(shù)軸上兩點之間的距離等于相應兩數(shù)差的絕對值，如2與3的距離可表示為2?3=1，2與?3的距離可表示為(1)數(shù)軸上表示3和8的兩點之間的距離是；數(shù)軸上表示?3和?9的兩點之間的距離是；(2)數(shù)軸上表示x和?2的兩點A和B之間的距離是；如果AB||，則x為；(3)數(shù)a、b、c在數(shù)軸上對應的位置如圖所示，化簡a+c?(4)當代數(shù)式取最小值時，x的值為．【答案】(1)5，6(2)x+2，2或?6(3)0(4)2【分析】本題考查數(shù)軸與絕對值幾何意義與應用．（1）根據題目所舉例子進行計算即可；（2）仿照題干所舉例子進行解答即可；（3）根據數(shù)軸可知a+c<0，c+b<0，a?b>0，然后根據絕對值的性質進行解答即可；（4）根據絕對值的性質進行解答即可．【詳解】（1）解：8?3=5，?3??9故答案為：5，6；（2）解：數(shù)軸上表示x和?4的兩點A和B之間的距離是x??2x+2=4，則x+2=4或x+2=?4即或?6．故答案為：x+2，2或?6；（3）解：由數(shù)軸可知，a+c<0，c+b<0，a?b>0，則|a+c=?=?a?c+c+b+a?b=0；（4）解：代數(shù)式x+1+x?2+x?3的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)顯然只有當時，距離之和才是最小，則x+1+x?2+故答案為：2．題型十四有理數(shù)的大小比較例14.（23-24七年級上·北京·期末）比較下列各組數(shù)的大?。?1)?25與(2)?179與(3)??3.5與?(4)??6.5與?【答案】(1)?(2)?1(3)?(4)?【分析】本題考查了有理數(shù)大小比較，多重符號化簡，絕對值運用，小數(shù)分數(shù)的互化，根據正數(shù)大于0，負數(shù)小于0，正數(shù)大于負數(shù)；兩個正數(shù)中絕對值大的數(shù)大；兩個負數(shù)中絕對值大的反而小，解答本題即可．（1）將分數(shù)化為小數(shù)，根據兩個負數(shù)中絕對值大的反而小解答即可；（2）將帶分數(shù)化為假分數(shù)，根據兩個負數(shù)中絕對值大的反而小解答即可；（3）化簡多重符號，將分數(shù)化為小數(shù)，根據兩個負數(shù)中絕對值大的反而小解答即可；（4）化簡絕對值，多重符號，根據正數(shù)大于負數(shù)進行解答即可．【詳解】（1）解：∵?25∵0.5>0.4，∴?2（2）∵?179∵64∴?17（3）??3.5=?3.5，∵3.5>3.25，∴?3.5（4）??6.5=?6.5，∵6.5>?6.5，∴??6.5鞏固訓練1．（23-24七年級上·全國·課后作業(yè)）比較大?。喊严铝袛?shù)??1，?89【答案】?【分析】求出每個式子的值，再根據有理數(shù)大小比較法則，先通分再比較即可．【詳解】解：??1=1，??910所以??1【點睛】題考查了有理數(shù)的大小比較法則的應用，注意：有理數(shù)的大小比較法則是：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)，兩個負數(shù)比較大小，其絕對值大的反而小．2．（22-23七年級上·浙江杭州·階段練習）比較下列各數(shù)的大小，寫出比較過程．(1)89和11(2)?35和(3)??2.25和?2.5【答案】(1)4(2)?(3)?【分析】（1）根據兩個正數(shù)比較大小，那個數(shù)大它就大即可得出答案；（2）根據兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小，即可得出答案；（3）先去掉絕對值，再根據兩個負數(shù)比較大小的法則即可得出答案．【詳解】（1）解：∵89=根據同分母分數(shù)大小比較法則可知，∴8（2）解：∵35=根據同分母分數(shù)大小比較法則可知3355∴?3（3）解：∵??2.25∵2.25<2.5，∴??2.25【點睛】本題考查有理數(shù)的大小比較，掌握正數(shù)＞0＞負數(shù)，負數(shù)大小比較就是看負號后面的數(shù)字，數(shù)字越大的反而越小，跟正數(shù)恰好相反是解題的關鍵．3．（21-22七年級上·全國·課后作業(yè)）（1）在數(shù)軸上表示出：0,?1.4,?3,1（2）將（1）中各數(shù)用“<”連接起來；（3）將（1）中各數(shù)的相反數(shù)用“<”連接起來；（4）將（1）中各數(shù)的絕對值用“<”連接起來．【答案】（1）見解析；（2）?3<?1.4<0<15；（3）?【分析】（1）根據題意，將已知數(shù)據表示在數(shù)軸上即可；（2）根據（1）中數(shù)軸上的點的位置，根據右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大，用“<”連接起來即可；（3）先求得（1）中各數(shù)的相反數(shù)，進而用“<”連接起來；（4）先求得（1）中各數(shù)的絕對值，進而用“<”連接起來．【詳解】（1）如圖，（2）?3<?1.4<0<（3）0,?1.4,?3,15∴?（4）0,?1.4,?3,15∴0<【點睛】本題考查了用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)，求相反數(shù)，絕對值，根據數(shù)軸比較大小，數(shù)形結合是解題的關鍵．題型十五有理數(shù)的加減法運算例15.（24-25七年級上·全國·隨堂練習）利用有理數(shù)的加法運算律計算，使運算簡便．(1)?248+433+(2)?0.8+1.2+【答案】(1)?1000(2)1.9【分析】考查了有理數(shù)加法，解題關鍵是綜合應用加法交換律和結合律，簡化計算．（1）把互為相反數(shù)的數(shù)和相加為整數(shù)的分別結合相加，便可得出結果；（2）把互為相反數(shù)的數(shù)結合相加，同號的結合相加，便可求得結果．【詳解】（1）?248==?1000；（2）?0.8==0+4.7+=1.9．鞏固訓練1．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）計算：(1)137+?1(2)?1.25+2.25+7.75+【答案】(1)0(2)0【分析】本題考查有理數(shù)加法，加法運算律，關鍵是熟記有理數(shù)加法運算法則與運算律．（1）根據有理數(shù)加法法則與運算律進行計算便可．（2）根據有理數(shù)加法法則與運算律進行計算便可．【詳解】（1）解：137+＝1=4+=0；（2）?1.25===0．2．（24-25七年級上·全國·隨堂練習）閱讀下面的解題方法．計算：．解：原式===0+=?上述解題方法叫做拆項法，按此方法計算：?20215【答案】11【分析】本題考查了有理數(shù)的加法，拆項法是解題關鍵．根據拆項法，可把整數(shù)結合在一起，分數(shù)結合在一起，再根據有理數(shù)的加法，可得答案．【詳解】解：原式===11+0=113．（24-25七年級上·全國·假期作業(yè)）拆項法．計算：?20227【答案】?1【分析】此題考查了有理數(shù)的加法計算，先將帶分數(shù)拆分，利用加法交換律和結合律進行計算即可，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．【詳解】解：?2022===0+=?11題型十六有理數(shù)的乘、除法法則的運用例16.（23-24七年級上·江蘇淮安·開學考試）用簡便方法計算下面各題．(1)4(2)2019×【答案】(1)8(2)2018【分析】本題主要考查分數(shù)的混合運算，簡便計算，運算律的運用，掌握運算法則是解題的關鍵．（1）根據乘法分配律的逆運算即可求解；（2）將20192020拆成1?【詳解】（1）解：4===8；（2）解：2019×=2019×=2019×1?2019×=2019?=20181鞏固訓練1．（23-24七年級上·四川成都·開學考試）計算：1×100+2×99+3×98+4×97+5×96+···+100×1．【答案】171700【分析】本題考查了有理數(shù)的