2023-2024學年北京順義區(qū)一中高三（上）期中數(shù)學試題和答案

高中PAGE1試題2023北京順義一中高三（上）期中數(shù)學一、單選題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．已知集合M＝{x|x+2≥0}，N＝{x|x﹣1＜0}．則M∩N＝（）A．{x|﹣2≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤1} C．{x|x≥﹣2} D．{x|x＜1}2．在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是，則z的共軛復數(shù)＝（）A． B．1﹣i C． D．3．已知圓C的圓心坐標為（﹣3，2），且點（﹣1，1）在圓C上，則圓C的方程為（）A．x2+y2+6x﹣4y+8＝0 B．x2+y2+6x﹣4y﹣8＝0 C．x2+y2+6x+4y＝0 D．x2+y2+6x﹣4y＝04．已知平面向量＝（﹣1，2），，＝（t，t），若（），則t＝（）A． B． C． D．5．記Sn為數(shù)列{an}的前n項和，設甲：{an}為等差數(shù)列；乙：{}為等差數(shù)列，則（）A．甲是乙的充分條件但不是必要條件 B．甲是乙的必要條件但不是充分條件 C．甲是乙的充要條件 D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件6．金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐．某金字塔的側(cè)面積之和等于底面積的2倍，則該金字塔側(cè)面三角形與底面正方形所成角的正切值為（）A．1 B． C． D．7．過點（0，﹣2）與圓x2+y2﹣4x﹣1＝0相切的兩條直線的夾角為α，則sinα＝（）A．1 B． C． D．8．已知函數(shù)，則（）A．f（x）在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線對稱 B．f（x）在單調(diào)遞增，且圖象關(guān)于直線對稱 C．f（x）在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線對稱 D．f（x）在單調(diào)遞減，且圖象關(guān)于直線對稱9．若函數(shù)既有極大值也有極小值，則錯誤的是（）A．bc＞0 B．a(chǎn)b＞0 C．b2+8ac＞0 D．a(chǎn)c＜010．如圖，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，點P是該正方體對角線BD1上的動點，給出下列四個結(jié)論：①AC⊥B1P；②△APC面積的最小值是；③只存在唯一的點P，使BD1⊥平面APC；④當時，平面ACP∥平面A1C1D．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個二、填空題（本大題共5小題，共25分）11．（5分）已知函數(shù)f（x）＝3x+log3x，則＝．12．（5分）已知直線l1：x+2y﹣1＝0，l2：2x+ay﹣1＝0，若l1∥l2，則a的值是．13．（5分）已知命題p：若α，β為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ．能說明命題p為假命題的一組β的值可以是α＝，β＝．14．（5分）數(shù)列{an}共9項，該數(shù)列的前3項成等比數(shù)列，后7項成等差數(shù)列，且a1＝1，a5＝10，a9＝22，則a7＝，數(shù)列{an}的所有項的和為．15．（5分）已知曲線C的方程為：x2+y2＝2|x|+2|y|（x，y∈R）有下列四種描述（1）曲線C關(guān)于y＝x對稱；（2）曲線C的面積大于16；（3）曲線C與圓x2+y2＝5有四個公共點；（4）若A，B為曲線C與x軸的交點，P為曲線C上的點，則△ABP的面積最大為；則其中所有正確結(jié)論的序號題．三、解答題（本大題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．（13分）已知△ABC滿足_____，且b＝，B＝，從條件①、條件②、條件③中選擇一個作為已知填在橫線上，并求解下列問題：（Ⅰ）sinC；（Ⅱ）求△ABC的面積．條件①tanA＝3，條件②b2+c2﹣a2＝2c，條件③3b＝c．17．（14分）為了提高中小學生的身體素質(zhì)，某地區(qū)開展了中小學生跳繩比賽系列活動．活動結(jié)束后，利用簡單隨機抽樣的方法，抽取了部分學生的成績，按照不同年齡段分組記錄如表：組別男生女生合格不合格合格不合格第一組90108020第二組88127228第三組60405842第四組80206238第五組82187822合計400100350150假設每個中小學生跳繩成績是否合格相互獨立．（Ⅰ）從樣本中的中小學生隨機抽取1人，求該同學跳繩成績合格的概率；（Ⅱ）從該地區(qū)眾多小學的男生、女生中各隨機抽取1人，記這2人中恰有X人跳繩成績合格，求X的分布列與數(shù)學期望；（Ⅲ）假設該地區(qū)中小學生跳繩成績合格的概率與表格中該地區(qū)中小學生跳繩成績合格的頻率相等，用“ξk＝1”表示第k組同學跳繩成績合格，“ξk＝0”表示第k組同學跳繩成績不合格（k＝1，2，3，4，5），試確定方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5中哪個最大？哪個最?。浚ㄖ恍鑼懗鼋Y(jié)論）18．（13分）已知圓C：（x+2）2+y2＝1，直線x﹣y+m＝0與圓C交于E，F(xiàn)兩點．（1）若，求實數(shù)m的值；（2）求的取值范圍（O為坐標原點）．19．（15分）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是邊長為2的菱形，∠ADC＝60°，△PAD為正三角形，O為AD的中點，且平面PAD⊥平面ABCD，M是線段PC上的點．（1）求證：OM⊥BC；（2）當點M為線段PC的中點時，求點M到平面PAB的距離；（3）是否存在點M，使得直線AM與平面PAB的夾角的正弦值為．若存在，求出此時的值；若不存在，請說明理由．20．（15分）已知函數(shù)f（x）＝alnx+﹣（a+1）x+1．（Ⅰ）當a＝0時，求曲線y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x＝1處取得極小值，求實數(shù)a的取值范圍．21．（15分）已知數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）．如果對任意的i，j（1≤i≤j≤n且i，j，n∈N*），aiaj與兩數(shù)中至少有一個屬于A，則稱數(shù)集A具有性質(zhì)P．（Ⅰ）分別判斷數(shù)集{2，3，6}，{1，3，4，12}是否具有性質(zhì)P，并說明理由；（Ⅱ）設數(shù)集A＝{a1，a2，a3，…，an}（1≤a1＜a2＜a3＜…＜an，n≥2，n∈N*）具有性質(zhì)P．①若ak∈N*（k＝1，2，3，…），證明：對任意1≤i≤n（i，n∈N*）都有ai是an的因數(shù)；②證明：ann＝a12?a22?a32?…?an2．

參考答案一、單選題（本大題共10小題，共40分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1．【答案】A【分析】求出集合M、N的范圍，再根據(jù)交集的定義可得．【解答】解：由題意，M＝{x|x≥﹣2}，N＝{x|x＜1}，∴M∩N＝{x|﹣2≤x＜1}．故選：A．2．【答案】B【分析】結(jié)合復數(shù)的幾何意義，以及共軛復數(shù)的定義，即可求解．【解答】解：復數(shù)z對應的點的坐標是，則z＝1+i，故．故選：B．3．【答案】A【分析】求出圓的半徑，即可求出圓的標準方程，再化簡整理，即可求解．【解答】解：由題意可知，圓的半徑為，故圓C的方程為（x+3）2+（y﹣2）2＝5，即x2+y2+6x﹣4y+8＝0．故選：A．4．【答案】B【分析】由向量平行的坐標表示，列方程求解即可．【解答】解：由＝（﹣1，2），，＝（t，t），可得，又（），則有3（t+2）+2（t﹣1）＝0，解得t＝．故選：B．5．【答案】C【分析】首先明確充要條件的判定方法，再從等差數(shù)列的定義入手，進行正反兩方面的論證．【解答】解：若{an}是等差數(shù)列，設數(shù)列{an}的首項為a1，公差為d，則Sn＝na1+d，即＝a1+d＝n+a1﹣，故{}為等差數(shù)列，即甲是乙的充分條件．反之，若{}為等差數(shù)列，則可設﹣＝D，則＝S1+（n﹣1）D，即Sn＝nS1+n（n﹣1）D，當n≥2時，有Sn﹣1＝（n﹣1）S1+（n﹣1）（n﹣2）D，上兩式相減得：an＝Sn﹣Sn﹣1＝S1+2（n﹣1）D，當n＝1時，上式成立，所以an＝a1+2（n﹣1）D，則an+1﹣an＝a1+2nD﹣[a1+2（n﹣1）D]＝2D（常數(shù)），所以數(shù)列{an}為等差數(shù)列．即甲是乙的必要條件．綜上所述，甲是乙的充要條件．故本題選：C．6．【答案】C【分析】根據(jù)題意，該金字塔對應的正四棱錐為S﹣ABCD，再設該正四棱錐的底面邊長為a，高為h，用a，h表示出一個側(cè)面的面積與射影面的面積，作出側(cè)面與底面所成銳二面角的平面角，進而求出其正切值即可得答案．【解答】解：根據(jù)題意，假設該金字塔對應的正四棱錐為S﹣ABCD，且該正四棱錐的底面邊長為a，高為VE＝h，斜高為VE＝h′，如圖，∠VEO為側(cè)面與底面所成銳二面角的平面角，正四棱錐為S﹣ABCD的底面積S＝a2，側(cè)面積S′＝4S△VBC＝4×（×a×h′）＝2ah′，若正四棱錐的側(cè)面積等于底面積的2倍，則有＝＝2，變形可得a＝h′，又由側(cè)面與底面所成的角為∠VEO，在Rt△VOE中，OV＝h′＝a，OE＝，則有h＝OV＝＝，故側(cè)面三角形與底面正方形所成角的正切值tan∠VEO＝＝．故選：C．7．【答案】B【分析】圓的方程化為（x﹣2）2+y2＝5，求出圓心和半徑，利用直角三角形求出sin，再計算cos和sinα的值．【解答】解：圓x2+y2﹣4x﹣1＝0可化為（x﹣2）2+y2＝5，則圓心C（2，0），半徑為r＝；設P（0，﹣2），切線為PA、PB，則PC＝＝2，△PAC中，sin＝，所以cos＝＝，所以sinα＝2sincos＝2××＝．故選：B．8．【答案】B【分析】化簡f（x）的解析式，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性、對稱性確定正確答案．【解答】解：，由于，所以f（x）在單調(diào)遞增，，所以f（x）不關(guān)于直線對稱.，所以f（x）關(guān)于直線對稱．故選：B．9．【答案】A【分析】求出函數(shù)f（x）的導數(shù)f′（x），由已知，可得函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上有兩個變號零點，轉(zhuǎn)化為一元二次方程有兩個不等的正根判斷作答即可．【解答】解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），由，得，因為函數(shù)f（x）既有極大值也有極小值，所以函數(shù)f′（x）在（0，+∞）上有兩個變號零點，而a≠0，所以方程ax2﹣bx﹣2c＝0有兩個不等的正根x1，x2，所以，所以b2+8ac＞0，ab＞0，ac＜0，所以a2bc＜0，即bc＜0．故BCD正確，A錯誤．故選：A．10．【答案】C【分析】通過證明AC⊥平面BDD1B1來判定①；分析△APC的面積取得最小值的條件，求解即可判定②；通過分析BD1⊥平面APC的條件，得到點P滿足的條件，從而判定③；通過證明BD1⊥平面A1C1D，BD1⊥平面ACP，可得平面ACP∥平面A1C1D，從而判定④．【解答】解：①：在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，易知AC⊥D1DBB1，P在BD1上，而BD1?面D1DBB1，∴AC⊥B1P，故①正確；②：△APC的最小面積，即AC的中點O到D1B的距離為△APC的高時取得，由，可得OP＝＝，故△APC面積的最小值是，故②錯誤；③：在正方體中，已知AC⊥BD1，故當AP⊥BD1時，有BD1⊥平面APC，在平面ABD1中，過點A只能作出一條直線垂直于BD1，故點P是唯一的，故③正確；④：當時，此時OP⊥D1B，AC⊥面D1DBB1，∴AC⊥D1B，又AC∩OP＝O，∴D1B⊥平面ACP，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，顯然有D1B⊥平面A1C1D，即兩面同時垂直于一條直線，∴平面ACP∥平面A1C1D，故④正確；綜上，①③④正確．故選：C．二、填空題（本大題共5小題，共25分）11．【答案】﹣1．【分析】代入即可得出函數(shù)的值．【解答】解：∵函數(shù)f（x）＝3x+log3x，∴＝+＝﹣1，故答案為：﹣1．12．【答案】4．【分析】由兩直線平行可得A1B2＝A2B1，代入相關(guān)數(shù)據(jù)計算即可．【解答】解：因為l1∥l2，所以a＝2×2＝4，經(jīng)驗證，符合題意．故答案為：4．13．【答案】（答案不唯一），（答案不唯一）．【分析】根據(jù)題意，舉反例，即可得解．【解答】解：取α＝+2π，β＝，則α＞β，但sinα＝sinβ，不滿足sinα＞sinβ，∴命題p為假命題，∴能說明命題p為假命題的一組α，β的值可以是α＝，β＝．故答案為：（答案不唯一），（答案不唯一）．14．【答案】16，90或94．【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，即可求解．【解答】解：設后7項的公差為d，前3項的公比為q，a5＝10，a9＝22，則2a7＝a5+a9＝32，解得a7＝16，d＝，a3＝a5﹣2d＝10﹣6＝4，則＝4，解得a2＝±2，a6＝a5+d＝13，當a2＝2時，a1+a2+a3+???+a9＝a1+a2+7a6＝1+2+7×13＝94，當a2＝﹣2時，a1+a2+a3+???+a9＝a1+a2+7a6＝1﹣2+7×13＝90，故答案為：16，90或94．15．【答案】（1）（2）（4）．【分析】根據(jù)方程的對稱性，畫出圖象，數(shù)形結(jié)合，逐項判斷即可．【解答】解：設（x，y）是曲線C上任意一點，由于曲線C的方程為x2+y2＝2|x|+2|y|，所以當x≥0，y≥0時，曲線的方程為x2+y2＝2x+2y，即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，方程x2+y2＝2|x|+2|y|中，x換成﹣x，y換成﹣y，方程不變，則其曲線關(guān)于x軸，y軸，原點對稱，曲線C的圖形如圖（由圖中實線部分及原點組成），故（1）正確．由圖可知，曲線C所圍成的圖形是由一個邊長為的正方形和四個全等的半圓組合而成的，其中半圓的半徑為，故曲線C所圍成的圖形的面積為＞16，故（2）正確；連接原點與（1，1）點，并延長與曲線交于M點，則OM＝2＞，則以（0，0）為圓心，半徑為的圓x2+y2＝5與曲線有8個交點，（3）錯誤；第一象限內(nèi)，（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2，取正的，y＝1+，當x＝1時，ymax＝1+，則△ABP的面積最大為×4×（1+）＝，（4）正確．故正確結(jié)論的序號：（1）（2）（4）．三、解答題（本大題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16．【答案】若選①，（I）；（II）6；若選②，（Ⅰ）；（II）6；若選③，（Ⅰ）；（II）3或6．【分析】若選①，（I）由已知結(jié)合同角基本關(guān)系先求出cosA，sinA，進而可求sinC，然后結(jié)合余弦定理可求cosA，sinA，結(jié)合誘導公式及和角正弦可求sinC；（II）由（I）利用正弦定理可求a，結(jié)合三角形面積公式可求．若選②，（I）由已知利用余弦定理可求cosA，進而可求sinA，結(jié)合誘導公式及和角正弦可求sinC；（II）由（I）利用正弦定理可求a，結(jié)合三角形面積公式可求．若選③，（I）由題意結(jié)合正弦定理可求sinC；（II）由（I）知cosC的值，利用兩角和的正弦公式可求sinA的值，進而利用三角形的面積公式即可求解．【解答】解：若選①，（I）因為tanA＝＝3，A為銳角，，又sin2A+cos2A＝1，所以cosA＝，sinA＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝×+×＝；（II）由正弦定理可得a＝＝＝3，所以△ABC的面積為S＝absinC＝×3××＝6；若選②，（Ⅰ）因為b2+c2﹣a2＝2c，由余弦定理得，cosA＝＝＝，故A為銳角，sinA＝，所以sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+sinBcosA＝×+×＝；（II）由正弦定理可得a＝＝＝3，所以△ABC的面積為S＝absinC＝×3××＝6；若選③，（Ⅰ）因為b＝＝，所以c＝3，b＝，，由正弦定理，可得sinC＝＝＝；（II）由（I）知cosC＝±＝±，因為c＞b，所以C＞B，故C有兩解，又sinA＝sin（B+C）＝sinBcosC+sinCcosB＝×（±），即sinA＝或sinA＝，當sinA＝時，S△ABC＝bcsinA＝×3×＝3；當sinA＝時，S△ABC＝bcsinA＝×3×＝6．17．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）X的分布列見解析；E（X）＝；（Ⅲ）Dξ1最小，Dξ3最大．【分析】（Ⅰ）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求出男女生跳繩合格的人數(shù)以及總的人數(shù)，利用古典概型的概率公式求解即可；（Ⅱ）根據(jù)相互獨立事件的概率求出分布列，由數(shù)學期望的計算公式求解即可；（Ⅲ）根據(jù)表格中所給的數(shù)據(jù)，由方差的意義即可得到答案．【解答】解：（Ⅰ）設事件A為“從樣本中的中小學生隨機抽取1人，該同學跳繩成績合格”，樣本中男生跳繩成績合格的有：90+88+60+80+82＝400人，樣本中女生跳繩成績合格的有：80+72+58+62+78＝350人，樣本中男、女跳繩成績合格的共有：400+350＝750人，樣本中的男生總?cè)藬?shù)為：400+100＝500人，樣本中男、女生總?cè)藬?shù)為：500+500＝1000，所以P（A）＝＝；（Ⅱ）設事件B為“從該地區(qū)眾多中小學的男生中隨機抽取1人，該生跳繩成績合格”，則P（B）＝＝，設事件C為“從該地區(qū)眾多中小學的女生中隨機抽取1人，該生跳繩成績合格”，P（C）＝，由題意可知，X的可能取值為0，1，2，則P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列為：X012P所以X的數(shù)學期望E（X）＝0×+1×+2×＝；（Ⅲ）Dξ1最小，Dξ3最大．18．【答案】（1）或；（2）．【分析】（1）聯(lián)立，消y得：2x2+2（m+2）x+3+m2＝0，然后結(jié)合弦長公式求解；（2）結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算求解．【解答】解：（1）已知圓C：（x+2）2+y2＝1，直線x﹣y+m＝0與圓C交于E，F(xiàn)兩點，聯(lián)立，消y得：2x2+2（m+2）x+3+m2＝0，由題意可得Δ＝4（m+2）2﹣8（3+m2）＞0，即，設E（x1，y1），F(xiàn)（x2，y2），則x1+x2＝﹣m﹣2，，又，則，即，即或；（2）由（1）可得：＝x1x2+y1y2＝＝m2﹣2m+3＝（m﹣1）2+2，又，則．19．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）存在，且．【分析】（1）連接OC，AC，證明AD⊥平面POC，利用線面垂直的性質(zhì)可得出AD⊥PC，再結(jié)合AD∥BC，可證明OM⊥BC；（2）推導出PO⊥平面ABCD，以點O為坐標原點，OC，OD，OP所在直線為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，利用空間向量法能求出點M到平面PAB的距離．（3）設＝＝（，0，﹣），（0≤λ≤1），則＝＝（），由直線AM與平面PAB的夾角的正弦值為，利用向量法能求出結(jié)果．【解答】解：（1）證明：連接OC，AC，∵四邊形ABCD是菱形，∴AD＝CD，∵∠ADC＝60°，∴△ACD為等邊三角形，∵O為AD的中點，∴OC⊥AD，∵△PAD是等邊三角形，O為AD的中點，∴PO⊥AD，∵PO∩OC＝O，∴AD⊥平面POC，∵PC?平面POC，∴AD⊥PC，∵BC∥AD，∴BC⊥PC．（2）∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊥AD，PO?平面PAD，∴PO⊥平面ABCD，∵OC⊥AD，以點O為坐標原點，OC，OD，OP所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則A（0，﹣1，0），B（，﹣2，0），C（，0，0），P（0，0，），M（，0，），設平面PAB的法向量＝（x，y，z），＝（，﹣1，0），＝（0，1，），＝（，1，），由，取x＝1，得＝（1，，﹣1），∴點M到平面PAB的距離d＝＝＝．（3）設＝＝λ（，0，﹣）＝（，0，﹣），（0≤λ≤1），＝＝（0，1，）+（）＝（），∵直線AM與平面PAB的夾角的正弦值為，∴|cos＜＞|＝＝＝，整理得9λ2+3λ﹣2＝0，由0≤λ≤1，解得，∴存在點M，使得直線AM與平面PAB的夾角的正弦值為，＝．20．【答案】（Ⅰ）切線方程為y＝x﹣1；（Ⅱ）a＜1．【分析】（Ⅰ）代入a的值，求出函數(shù)的導數(shù)，計算f（2），f′（2），求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導數(shù)，通過討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極小值，確定a的范圍即可．【解答】解：（I）當a＝0時，，（1分）所以f′（x）＝x﹣1，（3分）所以k＝f′（2）＝1，因為．（5分）所以切線方程為y＝x﹣1．（6分）（Ⅱ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．因為（7分）所以．（9分）令f′（x）＝0，即x2﹣（a+1）x+a＝0，解得x＝1或x＝a．（10分）（1）當a≤0時，當x變化時，f′（x），f（x）的變化狀態(tài)如下表：x（0，1）1（1，+∞）f′（x）﹣0+f（x）↘極小值↗所以當x＝1時，f（x）取得極小值．所以a≤0成立．（11分）（2）當0＜a＜1時，當x變化時，f′（x），f（x）的變化狀態(tài)如下表：x（0，a）a（a，1）1（1，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗所以當x＝1時，f（x）取得極小值．所以0＜a＜1成立．（12分）（3）當a＝1時，f′（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，所以函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，沒有極小值，不成立．（13分）（4）當a＞1時，當x變化時，f′（x），f（x）的變化狀態(tài)如下表：x（0，1）1（1，a）a（a，+∞）f′（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗所以當x＝1時，f（x）取得極大值．所以a＞1不成立．（14分）綜上所述，a＜1．（15分）21．【答案】（Ⅰ）數(shù)集{2，3，6}不具有性質(zhì)P，數(shù)集{1，3，4，12}具有性質(zhì)P．理由見解答．（Ⅱ）①證明過程見解答．②證