浙江省麗水市2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期6月期末教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控?cái)?shù)學(xué)試題

麗水市2023學(xué)年第二學(xué)期普通高中教學(xué)質(zhì)量監(jiān)控高一數(shù)學(xué)試題卷2024.61.本試題卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.考生答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用黑色字跡的簽字筆或鋼筆填寫(xiě)在答題紙上.3.選擇題的答案須用2B鉛筆將答題紙上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如要改動(dòng)，須將原填涂處用橡皮擦凈.4.非選擇題的答案須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆寫(xiě)在答題紙上相應(yīng)區(qū)域內(nèi)，作圖時(shí)可先使用2B鉛筆，確定后須用黑色字跡的簽字筆或鋼筆描黑，答案寫(xiě)在本試題卷上無(wú)效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿(mǎn)足（為虛數(shù)單位），則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算直接化簡(jiǎn)即可.【詳解】，故選：C2.已知向量，，若與垂直，則實(shí)數(shù)（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由，則求解．【詳解】解：因?yàn)榕c垂直，所以，則，得，故選：A3.若數(shù)據(jù)的方差為，則數(shù)據(jù)的方差為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)方差的性質(zhì)計(jì)算可得.【詳解】根據(jù)數(shù)據(jù)的方差，則數(shù)據(jù)的方差為.故選：D.4.擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，則與的關(guān)系為（）．A.互斥 B.互為對(duì)立C.相互獨(dú)立 D.相等【答案】C【解析】【分析】根據(jù)互斥、對(duì)立、獨(dú)立事件的定義判斷即可.【詳解】解：擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)“第一枚出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，“第二枚出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件與能同時(shí)發(fā)生，故事件與既不是互斥事件，也不是對(duì)立事件，故選項(xiàng)A，B錯(cuò)誤；，，，，因?yàn)椋耘c獨(dú)立，故選項(xiàng)C正確；事件與不相等，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：C.5.已知m，n是空間中兩條不同的直線(xiàn)，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（）A.若，，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間中線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的位置關(guān)系逐一判斷即可.【詳解】若，，，則可能平行，可能相交，故A錯(cuò)誤；若，，則或或或與相交（不垂直），故B錯(cuò)誤；若，則或，故C錯(cuò)誤，因?yàn)?，，所以，又，所以，故D正確.故選：D6.如圖，在三棱錐中，，、分別是、中點(diǎn)，且滿(mǎn)足，則異面直線(xiàn)與所成的角等于A(yíng). B. C.或者 D.【答案】A【解析】【分析】通過(guò)做平行線(xiàn)將異面直線(xiàn)所成角化為或其補(bǔ)角，根據(jù)三角形中的余弦定理得到結(jié)果.詳解】取AC的中點(diǎn)G,連接EG,GF,可得，此時(shí)，為異面直線(xiàn)與所成的角或其補(bǔ)角，根據(jù)可得到分別為三角形的中位線(xiàn)，在三角形中，根據(jù)余弦定理得到因?yàn)楫惷嬷本€(xiàn)所成的角為直角或銳角，故得到異面直線(xiàn)與所成的角等于.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了異面直線(xiàn)所成角的求法，異面直線(xiàn)所成的角常用方法有：將異面直線(xiàn)平移到同一平面中去，達(dá)到立體幾何平面化的目的；或者建立坐標(biāo)系，通過(guò)求直線(xiàn)的方向向量得到直線(xiàn)夾角或其補(bǔ)角.7.如圖，某山山頂與山底的垂直部分為（記山頂為點(diǎn)，山底為點(diǎn)），首先測(cè)量人員位于點(diǎn)，測(cè)得點(diǎn)位于正北方向，測(cè)得點(diǎn)的仰角為，然后測(cè)量人員沿北偏東方向行走了米到達(dá)點(diǎn)，此時(shí)測(cè)得，則此山的高度為（）A.米 B.米C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】在中，由正弦定理求出，在中由三角函數(shù)求出即可．【詳解】如圖，，則，，在中，由正弦定理知道，即，解得．在中，，則，即，解得．故選：B.8.已知函數(shù)，若的圖象的任意一條對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間，則的取值范圍是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知得，，且，解之討論，可得選項(xiàng).【詳解】因?yàn)榈膱D像的任何一條對(duì)稱(chēng)軸與軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)均不屬于區(qū)間，所以，所以，又，且，解得，又因，所以，解得，當(dāng)時(shí)，符合題意，當(dāng)時(shí)，，符合題意，所以.故選：D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，，是任意的非零向量，下列命題中正確的是（）A.若，則 B.C.若，則 D.若，，則【答案】BCD【解析】【分析】由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)及向量共線(xiàn)定義分別檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【詳解】對(duì)于A(yíng),當(dāng)時(shí)，則向量長(zhǎng)度相等，但方向不一定相同，不能得到，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，由向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可知，故B正確；對(duì)于C,若，兩邊平方得，，即，C正確；對(duì)于D,，，則非零向量方向相同或相反，非零向量方向相同或相反，即的方向相同或相反，故，D正確．故選：BCD．10.已知事件發(fā)生概率分別為，，則（）A.一定有 B.C.若與互斥，則 D.若與相互獨(dú)立，則【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A(yíng)，舉例判斷，對(duì)于B，利用和事件與交事件的概率公式結(jié)合已知分析判斷，對(duì)于C，根據(jù)互斥事件的定義結(jié)合對(duì)立事件的概率公式分析判斷，對(duì)于D，根據(jù)獨(dú)立事件與和事件的概率公式分析判斷.【詳解】對(duì)于A(yíng)，盒子中有大小相同的12個(gè)球，其中紅球有3個(gè)，白球有4個(gè)，黑球有5個(gè)，從盒子中任意摸出一個(gè)球，記事件為摸到紅球，事件為摸到白球，則滿(mǎn)足，，但不成立，所以A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，因，且，，，所以，所以，所以，即，所以，所以B正確，對(duì)于C，因?yàn)榕c互斥，所以，所以，所以C錯(cuò)誤，對(duì)于D，因?yàn)榕c相互獨(dú)立，，，所以，所以，所以D正確，故選：BD11.在棱長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，對(duì)任意，平面恒成立B.當(dāng)時(shí)，的最小值為C.當(dāng)時(shí)，與平面所成的最大角的正切值為D.當(dāng)時(shí)，四棱錐的外接球的表面積是【答案】ACD【解析】【分析】當(dāng)，得到點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，結(jié)合平面平面，可判定A正確；當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，根據(jù)為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作，可判定B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，得到點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，連接，證得平面，得到是直線(xiàn)與平面所成的角，求得到的最短距離，在直角中，可判定C正確；當(dāng)時(shí)，得到在線(xiàn)段的中點(diǎn)，結(jié)合球的截面性質(zhì)，求得外接球的半徑，可判定D正確.【詳解】對(duì)于A(yíng)中，當(dāng)，時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，在正方體中，可得平面平面，因?yàn)槠矫?，所以平面，所以A正確；對(duì)于B中，當(dāng)時(shí)，可得，即點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，連接，則為邊長(zhǎng)為的等邊三角形，過(guò)點(diǎn)作，可得，即的最小值為，所以B錯(cuò)誤；對(duì)于C中，當(dāng)時(shí)，可得，即點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，如圖所示，連接，在正方體，可得，因?yàn)?，且平面，所以平面，所以為直線(xiàn)與平面所成的角，設(shè)平面，在直角中，可得，取的中點(diǎn)，連接，則，且，即點(diǎn)到的最短距離為，在直角中，可得，所以與平面所成的最大角的正切值為，所以C正確.對(duì)于D中，當(dāng)時(shí)，可得，可得點(diǎn)在線(xiàn)段的中點(diǎn)，即點(diǎn)為正方體的中心，如圖所示，設(shè)四棱錐的外接球的球心為，且半徑為，，連接，因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1，可得，在直角中，可得，解得，所以四棱錐的表面積為，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知復(fù)數(shù)，（為虛數(shù)單位），若為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)_________．【答案】【解析】【分析】求出，根據(jù)純虛數(shù)概念求解即可．【詳解】，若為純虛數(shù)，則，解得．故答案為：．13.已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的體積為_(kāi)_____．【答案】##【解析】【分析】先計(jì)算圓錐的底面周長(zhǎng)，即為側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)，進(jìn)而求得側(cè)面展開(kāi)圖的半徑，即為圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)，再求得圓錐的高，從而求得體積即可【詳解】∵圓錐的底面半徑為1，∴側(cè)面展開(kāi)圖的弧長(zhǎng)為，又∵側(cè)面展開(kāi)圖是半圓，∴側(cè)面展開(kāi)圖的半徑為2，即圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為2，故圓錐的高為，故體積故答案為：14.在中，為邊上的高，，，為邊上一點(diǎn)，且，則_________．【答案】【解析】【分析】過(guò)分別作，的平行線(xiàn)交于，交于，由向量加法的平行四邊形法則得，結(jié)合平面向量基本定理得，分別是，的中點(diǎn)，然后由得到，兩邊平方即可求解．【詳解】如圖，過(guò)分別作，的平行線(xiàn)交于，交于，則，又，所以，，因?yàn)?，所以，所以四邊形是菱形，且，和都是等邊三角形，所以，，，，，因?yàn)?，所以，兩邊平方得：，所?故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.某中學(xué)為了調(diào)查高一年級(jí)學(xué)生勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)情況，對(duì)名學(xué)生某周的勞動(dòng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)如下：周勞動(dòng)時(shí)間（小時(shí)）人數(shù)208014020060（1）根據(jù)提供的數(shù)據(jù)，直接在答題卡中補(bǔ)充完整周勞動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（用陰影填涂，不需要書(shū)寫(xiě)具體步驟）；（2）求周勞動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）；（3）根據(jù)圖表，估計(jì)周勞動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)分位數(shù).【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻數(shù)分布表計(jì)算出周勞動(dòng)時(shí)間在和小時(shí)的頻率，從而可補(bǔ)全頻率分布直方圖；（2）根據(jù)平均的定義結(jié)合頻率分布直方圖求解即可；（3）先判斷分位數(shù)所在的區(qū)間，然后列方程求解即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可知，周勞動(dòng)時(shí)間在小時(shí)的頻率為，周勞動(dòng)時(shí)間在小時(shí)的頻率為，所以補(bǔ)全的頻率分布直方圖如下圖【小問(wèn)2詳解】周勞動(dòng)時(shí)間平均數(shù)為：；【小問(wèn)3詳解】因?yàn)榍?組的頻率和為，前4組的頻率和為，所以數(shù)據(jù)分位數(shù)在內(nèi)，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的分位數(shù)為，則，得，周勞動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)分位數(shù)為.16.如圖，四棱錐中，底面為矩形，底面，為的中點(diǎn)．（1）證明：平面；（2）設(shè)，，三棱錐的體積為，求到平面的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線(xiàn)面平行的判定推理即得.（2）由已知結(jié)合錐體的體積公式求出，再利用線(xiàn)面垂直的判定性質(zhì)確定點(diǎn)到平面的垂線(xiàn)段并求出其長(zhǎng)度.【小問(wèn)1詳解】設(shè)與交于點(diǎn)，由底面為矩形，得為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，則，又平面，平面，所以平面.【小問(wèn)2詳解】由底面，底面為矩形，得，解得，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，底面，則，而，平面，于是平面，又平面，則，而平面，因此平面，即為點(diǎn)到平面的距離，在中，，所以.17.已知函數(shù).（1）求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間；（2）將函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，橫坐標(biāo)也縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式和輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)周期公式和整體替換的方法解出周期和單調(diào)減區(qū)間；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換得到，根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得出實(shí)數(shù)的取值范圍；【小問(wèn)1詳解】由題得，則最小正周期；令，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為：；【小問(wèn)2詳解】函數(shù)的圖象上每個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來(lái)的，橫坐標(biāo)也縮短到原來(lái)的，得到函數(shù)，所以，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象與的圖象在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，由，得，則，由圖可得.18.如圖，已知四邊形為菱形，四邊形為平行四邊形，且，.（1）證明：直線(xiàn)平面；（2）設(shè)平面平面，且二面角的平面角為，，設(shè)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】(1)利用菱形和全等三角形證明出從而證明線(xiàn)面垂直.(2)先證明出，，得到為二面角的平面角，在直角三角形中求得，根據(jù)為線(xiàn)段的中點(diǎn)，求到平面的距離，從而求解出與平面所成角的正弦值.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，連接，四邊形為菱形，則，又，易得，所以，則，又，平面，所以直線(xiàn)平面；【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，由（1）易證，，，則為二面角的平面角，在直角中，，又，可得，設(shè)，則，直角中，，可得，為線(xiàn)段的中點(diǎn)，則到平面的距離，又，設(shè)直線(xiàn)與平面所成角為，，直線(xiàn)與平面所成角的正弦值為.19.克羅狄斯·托勒密（Ptolemy）是古希臘天文學(xué)家、地理學(xué)家、數(shù)學(xué)家，他在所著的《天文集》中講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào).如圖，半圓的直徑為2cm，為直徑延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)，2cm，為半圓上任意一點(diǎn)，且三角形為正三角形.（1）當(dāng)時(shí)，求四邊形的周長(zhǎng)；（2）當(dāng)在什么位置時(shí)，四邊形的面積最大，并求出面積的最大值；（3）若與相交于點(diǎn)，則當(dāng)線(xiàn)段的長(zhǎng)取最大值時(shí)，求的值.【答案】（1）cm（2）位置見(jiàn)解析，（3）【解析】【分析】（1）結(jié)合已知條件，只需用余弦定