2025屆河南省焦作市高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1河南省焦作市2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.4 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由題設(shè)有，故，故，故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.-2,3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)樗?所以,因?yàn)?，所?所以.故選：C.3.半徑為4的實(shí)心球與半徑為2的實(shí)心球體積之差的絕對(duì)值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知實(shí)心球體積為，實(shí)心球體積為，所以實(shí)心球與實(shí)心球體積之差的絕對(duì)值為.故選：A.4.已知向量，，其中，若，則（）A.40 B.48 C.51 D.62〖答案〗C〖解析〗因?yàn)?，，且，所以，解得或，又，所以，此時(shí)，，所以，所以.故選：C.5.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等差數(shù)列，且，，則（）A.5 B. C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，，由余弦定理可得，，即，解得.故選：B.6.已知點(diǎn)在拋物線上，則C焦點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵趻佄锞€上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求距離為，故選：D.7.已知a，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)椋?，而，所以，故選：D.8.已知當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又，所以的值域?yàn)?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則整數(shù)的可能取值有（）A.0 B. C.1 D.3〖答案〗AC〖解析〗圓即為：，故圓心，半徑為，因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故，故，結(jié)合選項(xiàng)可知AC符合題意.故選：AC.10.已知對(duì)數(shù)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的定義域?yàn)?B.有解C.不存在極值點(diǎn) D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知的定義域?yàn)椋蔄錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則，即，解得（舍去）或，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，設(shè)函數(shù)，則為增函數(shù)，令，解得，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，且在0,1上gx<0，所以由圖象性質(zhì)可知的圖象為的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，且兩者無(wú)交點(diǎn)，則f'x無(wú)零點(diǎn)，即不存在極值點(diǎn)，故C對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，故即，故D正確.故選：BCD.11.北京時(shí)間2024年8月12日凌晨，第33屆法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)閉幕式正式舉行，中國(guó)體育代表團(tuán)以出色的表現(xiàn)再次證明了自己的實(shí)力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅牌的最佳境外參賽成績(jī)，也向世界展示了中國(guó)體育的蓬勃發(fā)展和運(yùn)動(dòng)員們頑強(qiáng)拼搏的精神.某校社團(tuán)為發(fā)揚(yáng)奧運(yùn)體育精神舉辦了競(jìng)技比賽，此比賽共有5名同學(xué)參加，賽后經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績(jī)的平均數(shù)為8，方差為4，比賽成績(jī)，且，則該5名同學(xué)中比賽成績(jī)的最高分可能為（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗設(shè)該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績(jī)分別為，，，，，由題得，則，且，則，不妨設(shè)最大，對(duì)于A選項(xiàng)，若，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，則滿足題意，例如5位同學(xué)成績(jī)可為7，7，7，7，12，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則滿足題意，例如5位同學(xué)的成績(jī)可為5，7，8，9，11，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則且，則，，則可得，該方程組無(wú)正整數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由題得，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.13.被10除的余數(shù)為_(kāi)_____.〖答案〗1〖解析〗由題，因?yàn)榭梢员?0整除，所以被10除的余數(shù)為1.14.在中，若，，三點(diǎn)分別在邊，，上（均不在端點(diǎn)上），則，，的外接圓交于一點(diǎn)O，稱為密克點(diǎn).在梯形ABCD中，，，M為CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上（不包含端點(diǎn)），與的外接圓交于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，則由題可知為正三角形，由題設(shè)結(jié)論，，的外接圓有唯一公共點(diǎn)，該公共點(diǎn)即為題中的點(diǎn)Q，故點(diǎn)Q在的外接圓上，如上圖，又由題，,所以，故，所以是直角三角形，故其外接圓半徑，在中，由余弦定理，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知橢圓C：的焦距為，離心率為.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且面積為，求t的值.解：（1）由題意得，，，又，則，則，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意設(shè)，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故.設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，又，則，故，結(jié)合，解得.16.交通強(qiáng)國(guó)，鐵路先行，每年我國(guó)鐵路部門(mén)都會(huì)根據(jù)運(yùn)輸需求進(jìn)行鐵路調(diào)圖，一鐵路線l上有自東向西依次編號(hào)為1，2，…，21的21個(gè)車(chē)站.（1）為調(diào)查乘客對(duì)調(diào)圖的滿意度，在編號(hào)為10和11兩個(gè)站點(diǎn)多次乘坐列車(chē)P的旅客中，隨機(jī)抽取100名旅客，得出數(shù)據(jù)（不完整）如下表所示：車(chē)站編號(hào)滿意不滿意合計(jì)102840113合計(jì)85完善表格數(shù)據(jù)并計(jì)算分析：依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，在這兩個(gè)車(chē)站中，能否認(rèn)為旅客滿意程度與車(chē)站編號(hào)有關(guān)聯(lián)？（2）根據(jù)以往調(diào)圖經(jīng)驗(yàn)，列車(chē)P在編號(hào)為8至14的終到站每次調(diào)圖時(shí)有的概率改為當(dāng)前終到站的西側(cè)一站，有的概率改為當(dāng)前終到站的東側(cè)一站，每次調(diào)圖之間相互獨(dú)立.已知原定終到站編號(hào)為11的列車(chē)P經(jīng)歷了3次調(diào)圖，第3次調(diào)圖后的終到站編號(hào)記為X，求X的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下：車(chē)站編號(hào)滿意不滿意合計(jì)102812401157360合計(jì)8515100零假設(shè)為：旅客滿意程度與車(chē)站編號(hào)無(wú)關(guān)，則，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為旅客滿意程度與車(chē)站編號(hào)有關(guān)聯(lián).（2）由題X的可能取值為，則；；；，所以X的分布列為X8101214P所以.17.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，且，.（1）僅用無(wú)刻度直尺作出四棱錐的高，寫(xiě)出作圖過(guò)程并證明；（2）若平面平面，平面平面，證明：四邊形是菱形.（1）解：連接交于點(diǎn)H，連接，則是四棱錐的高.由于該四棱錐底面為平行四邊形，故點(diǎn)H為與的中點(diǎn)，又，，故有，，又，，平面，故平面，即為四棱錐的高.（2）（方法一）證明：以H為原點(diǎn)，以、的方向分別為x軸、z軸的正方向，以垂直于的直線為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)，，，，，則，，，設(shè)平面、平面的法向量分別為n1=x1,則，，故，，即，，令，解得，，所以，，因?yàn)槠矫嫫矫?，所以，①同理可得平面、平面的一個(gè)法向量分別為，，故，即，②聯(lián)立①②解得，因此，，故，而四邊形ABCD是平行四邊形，故四邊形ABCD是菱形.（方法二）證明：過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)H作交于點(diǎn)M，交于點(diǎn)N，連接，因?yàn)槠矫?，、平面，所以，，因?yàn)?，、平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)?，平面，平面，故平面，設(shè)平面平面，又平面，所以，所以，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；因?yàn)?，、平面，所以平面，又平面，所以，因?yàn)槠矫?，平面，故平面，平面平面，又平面，所以，所以，又平面平面，平面，所以平面，又平面，所以；因?yàn)镠為平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)，所以，，所以，所以，又，所以，所以平行四邊形是菱形.18.已知.（1）證明：是奇函數(shù)；（2）若，證明在上有一個(gè)零點(diǎn)，且.證明：（1）的定義域?yàn)椋?由奇函數(shù)的定義知是奇函數(shù).（2）由對(duì)稱性，不妨取，則，而.下證，設(shè)，，，，則（當(dāng)且僅當(dāng)，，即時(shí)取等號(hào)）.的定義域?yàn)椋?由對(duì)稱性，不妨取，則，故在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.由零點(diǎn)存在定理知在上有一個(gè)零點(diǎn)，故.19.對(duì)于一個(gè)正項(xiàng)數(shù)列，若存在一正實(shí)數(shù)，使得且，有，我們就稱是-有限數(shù)列.（1）若數(shù)列滿足，，，證明：數(shù)列為1-有限數(shù)列；（2）若數(shù)列是-有限數(shù)列，，使得且，，證明：.證明：（1）因?yàn)榍覟檎?xiàng)數(shù)列，故，而，，故當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，故，由累加法可得，故，故?shù)列為1-有限數(shù)列；（2）因?yàn)榍遥?，?河南省焦作市2025屆高三上學(xué)期開(kāi)學(xué)考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知，i為虛數(shù)單位，為z的共軛復(fù)數(shù)，則（）A. B.4 C.3 D.〖答案〗A〖解析〗由題設(shè)有，故，故，故選：A.2.已知集合，，則（）A. B.-2,3 C. D.〖答案〗C〖解析〗因?yàn)樗?所以,因?yàn)?，所?所以.故選：C.3.半徑為4的實(shí)心球與半徑為2的實(shí)心球體積之差的絕對(duì)值為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由題意可知實(shí)心球體積為，實(shí)心球體積為，所以實(shí)心球與實(shí)心球體積之差的絕對(duì)值為.故選：A.4.已知向量，，其中，若，則（）A.40 B.48 C.51 D.62〖答案〗C〖解析〗因?yàn)椋?，且，所以，解得或，又，所以，此時(shí)，，所以，所以.故選：C.5.已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊a，b，c成等差數(shù)列，且，，則（）A.5 B. C.4 D.3〖答案〗B〖解析〗由題意可知：，，由余弦定理可得，，即，解得.故選：B.6.已知點(diǎn)在拋物線上，則C焦點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)樵趻佄锞€上，故，整理得到：即，解得或（舍），故焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故所求距離為，故選：D.7.已知a，且，，，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，故，而，所以，故選：D.8.已知當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又，所以的值域?yàn)?，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，所以，又當(dāng)時(shí)，恒成立，所以，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線與圓有兩個(gè)交點(diǎn)，則整數(shù)的可能取值有（）A.0 B. C.1 D.3〖答案〗AC〖解析〗圓即為：，故圓心，半徑為，因?yàn)橹本€與圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，故，故，結(jié)合選項(xiàng)可知AC符合題意.故選：AC.10.已知對(duì)數(shù)函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的有（）A.的定義域?yàn)?B.有解C.不存在極值點(diǎn) D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)于A選項(xiàng)，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義知的定義域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，令，則，即，解得（舍去）或，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，，則，設(shè)函數(shù)，則為增函數(shù)，令，解得，則時(shí)，，單調(diào)遞減，時(shí)，，單調(diào)遞增，且在0,1上gx<0，所以由圖象性質(zhì)可知的圖象為的圖象向左平移一個(gè)單位長(zhǎng)度得到，且兩者無(wú)交點(diǎn)，則f'x無(wú)零點(diǎn)，即不存在極值點(diǎn)，故C對(duì)于D選項(xiàng)，因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，故即，故D正確.故選：BCD.11.北京時(shí)間2024年8月12日凌晨，第33屆法國(guó)巴黎奧運(yùn)會(huì)閉幕式正式舉行，中國(guó)體育代表團(tuán)以出色的表現(xiàn)再次證明了自己的實(shí)力，最終取得了40枚金牌、27枚銀牌和24枚銅牌的最佳境外參賽成績(jī)，也向世界展示了中國(guó)體育的蓬勃發(fā)展和運(yùn)動(dòng)員們頑強(qiáng)拼搏的精神.某校社團(tuán)為發(fā)揚(yáng)奧運(yùn)體育精神舉辦了競(jìng)技比賽，此比賽共有5名同學(xué)參加，賽后經(jīng)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)得到該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績(jī)的平均數(shù)為8，方差為4，比賽成績(jī)，且，則該5名同學(xué)中比賽成績(jī)的最高分可能為（）A.13 B.12 C.11 D.10〖答案〗BC〖解析〗設(shè)該5名同學(xué)在此次比賽中所得成績(jī)分別為，，，，，由題得，則，且，則，不妨設(shè)最大，對(duì)于A選項(xiàng)，若，則不成立，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)，若，則，則滿足題意，例如5位同學(xué)成績(jī)可為7，7，7，7，12，故B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，若，則，則滿足題意，例如5位同學(xué)的成績(jī)可為5，7，8，9，11，故C正確；對(duì)于D選項(xiàng)，若，則且，則，，則可得，該方程組無(wú)正整數(shù)解，故D錯(cuò)誤.故選：BC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.曲線在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗由題得，所以曲線在點(diǎn)處的切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.13.被10除的余數(shù)為_(kāi)_____.〖答案〗1〖解析〗由題，因?yàn)榭梢员?0整除，所以被10除的余數(shù)為1.14.在中，若，，三點(diǎn)分別在邊，，上（均不在端點(diǎn)上），則，，的外接圓交于一點(diǎn)O，稱為密克點(diǎn).在梯形ABCD中，，，M為CD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P在BC邊上（不包含端點(diǎn)），與的外接圓交于點(diǎn)Q（異于點(diǎn)P），則的最小值為_(kāi)_____.〖答案〗〖解析〗延長(zhǎng)，交于點(diǎn)E，則由題可知為正三角形，由題設(shè)結(jié)論，，的外接圓有唯一公共點(diǎn)，該公共點(diǎn)即為題中的點(diǎn)Q，故點(diǎn)Q在的外接圓上，如上圖，又由題，,所以，故，所以是直角三角形，故其外接圓半徑，在中，由余弦定理，所以的最小值為.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.15.已知橢圓C：的焦距為，離心率為.（1）求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若，直線l：交橢圓C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，且面積為，求t的值.解：（1）由題意得，，，又，則，則，所以C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由題意設(shè)，，如圖所示：聯(lián)立，整理得，，則，，故.設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為，又，則，故，結(jié)合，解得.16.交通強(qiáng)國(guó)，鐵路先行，每年我國(guó)鐵路部門(mén)都會(huì)根據(jù)運(yùn)輸需求進(jìn)行鐵路調(diào)圖，一鐵路線l上有自東向西依次編號(hào)為1，2，…，21的21個(gè)車(chē)站.（1）為調(diào)查乘客對(duì)調(diào)圖的滿意度，在編號(hào)為10和11兩個(gè)站點(diǎn)多次乘坐列車(chē)P的旅客中，隨機(jī)抽取100名旅客，得出數(shù)據(jù)（不完整）如下表所示：車(chē)站編號(hào)滿意不滿意合計(jì)102840113合計(jì)85完善表格數(shù)據(jù)并計(jì)算分析：依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，在這兩個(gè)車(chē)站中，能否認(rèn)為旅客滿意程度與車(chē)站編號(hào)有關(guān)聯(lián)？（2）根據(jù)以往調(diào)圖經(jīng)驗(yàn)，列車(chē)P在編號(hào)為8至14的終到站每次調(diào)圖時(shí)有的概率改為當(dāng)前終到站的西側(cè)一站，有的概率改為當(dāng)前終到站的東側(cè)一站，每次調(diào)圖之間相互獨(dú)立.已知原定終到站編號(hào)為11的列車(chē)P經(jīng)歷了3次調(diào)圖，第3次調(diào)圖后的終到站編號(hào)記為X，求X的分布列及均值.附：，其中.0.10.010.0012.7066.63510.828解：（1）補(bǔ)充列聯(lián)表如下：車(chē)站編號(hào)滿意不滿意合計(jì)102812401157360合計(jì)8515100零假設(shè)為：旅客滿意程度與車(chē)站編號(hào)無(wú)關(guān)，則，所以根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為旅客滿意程度與車(chē)站編號(hào)有關(guān)聯(lián).（2）由題X的可能取值為，則；；；，所以X的分布列為X8101214P所以.17.如圖，四棱錐的底面為平行四邊形，且，.（1）僅用無(wú)刻度直尺作出四棱錐的高，寫(xiě)出作圖過(guò)程并證明；（2）若平面平面，平面平面，證明：四邊形是菱形.（1）解：連接交于點(diǎn)H，連接，則是四棱錐的高.由于該四棱錐底面為平行四邊形，故點(diǎn)H為與的中點(diǎn)，又，，故有，，又，，平面，故平