第16講三角形的概念及性質(zhì)（講義）

第16講三角形的概念及性質(zhì)目錄TOC\o"13"\n\h\z\u一、考情分析二、知識(shí)建構(gòu)考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念題型01三角形的分類題型02三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究問題題型03三角形的穩(wěn)定性考點(diǎn)二三角形的重要線段題型01畫三角形的高、中線、角平分線題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤題型03等面積法求三角形的高題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算題型06根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度題型07根據(jù)三角形的中線求面積題型08判斷重心位置題型09與重心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算考點(diǎn)三三角形的性質(zhì)題型01應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長(zhǎng)或取值范圍題型02應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子題型03應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題題型04三角形內(nèi)角和定理的證明題型05應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用題型08三角形折疊中的角度問題題型09應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理解決三角板問題題型10應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理探究角的數(shù)量關(guān)系題型11三角形內(nèi)角和定理與新定義問題綜合題型12應(yīng)用三角形外角的性質(zhì)求角度題型13三角形的外角性質(zhì)與角平分線的綜合題型14三角形的外角性質(zhì)與平行線的綜合題型15應(yīng)用三角形的外角性質(zhì)解決折疊問題題型16三角形內(nèi)角和定理與外角和定理綜合考點(diǎn)要求新課標(biāo)要求命題預(yù)測(cè)三角形的相關(guān)概念理解三角形及其內(nèi)角、外角、中線、高線、角平分線等概念，了解三角形的穩(wěn)定性.在初中幾何數(shù)學(xué)中，三角形的基礎(chǔ)知識(shí)是解決后續(xù)很多幾何問題的基礎(chǔ).所以，在中考中，與其它幾何圖形結(jié)合考察的幾率比較大，特別是全等三角形的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用.考生在復(fù)習(xí)該考點(diǎn)時(shí)，不僅要熟悉掌握其本身的性質(zhì)和應(yīng)用，還要注重轉(zhuǎn)化思想在題目中的應(yīng)用，同步聯(lián)想，其他幾何圖形在什么情況下會(huì)轉(zhuǎn)化成該考點(diǎn)的知識(shí)考察.三角形的重要線段三角形的性質(zhì)探索并證明三角形的內(nèi)角和定理.掌握它的推論:三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊.考點(diǎn)一三角形的相關(guān)概念三角形的概念：由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所構(gòu)成的圖形叫做三角形.三角形的表示：用符號(hào)“Δ”表示，頂點(diǎn)是A、B、C的三角形記作“ΔABC”，讀作“三角形ABC”.三角形的分類：1）三角形按邊分類：三角形三邊都不相等的三角形2）三角形按角分類：三角形直角三角形三角形的穩(wěn)定性:三角形三條邊的長(zhǎng)度確定之后，三角形的形狀就唯一確定了.1.1.三角形的表示方法中“Δ”代表“三角形”,后邊的字母為三角形的三個(gè)頂點(diǎn),字母的順序可以自由安排.即?ABC,?ACB等均為同一個(gè)三角形.2.等腰三角形中至少有兩邊相等,而等邊三角形中三邊都相等,所以等邊三角形是特殊的等腰三角形.3.四邊形及多邊形不具有穩(wěn)定性，要使多邊形具有穩(wěn)定性，方法是將多邊形分成多個(gè)三角形，這樣多邊形就具有穩(wěn)定性了.題型01三角形的分類【例1】（2022·河北石家莊·石家莊市第四十一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，一只手蓋住了一個(gè)三角形的部分圖形，則這個(gè)三角形不可能是（

）A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形【答案】D【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類判斷即可.【詳解】解：A、當(dāng)另外兩角為50°和100°時(shí)，該三角形為鈍角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；B、當(dāng)另外兩角為90°和60°時(shí)，該三角形為直角三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；C、當(dāng)另外兩角為30°和120°時(shí)，該三角形為等腰三角形，故此選項(xiàng)不符合題意；D、等邊三角形的每一個(gè)內(nèi)角均為60°，由圖可知該三角形有一個(gè)內(nèi)角為30°，故不可能為等邊三角形，符合題意.故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類，會(huì)應(yīng)用三角形的內(nèi)角和定理和三角形的分類求解是解答的關(guān)鍵.【變式11】（2020·河北保定·統(tǒng)考一模）如圖，一個(gè)三角形只剩下一個(gè)角，這個(gè)三角形為()A．銳角三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．以上都有可能【答案】B【分析】三角形按角分類，可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形．有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形；有一個(gè)角是鈍角的三角形是鈍角三角形；三個(gè)角都是銳角的三角形是銳角三角形．【詳解】從題中可知，只能看到一個(gè)角是鈍角．所以這個(gè)三角形為鈍角三角形．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的分類的靈活應(yīng)用．【變式12】（2020·吉林長(zhǎng)春·統(tǒng)考中考真題）圖①、圖②、圖③均是3×3的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，線段AB的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，只用無刻度的直尺，在給定的網(wǎng)格中，按下列要求以AB為邊畫△ABC要求：（1）在圖①中畫一個(gè)鈍角三角形，在圖②中畫一個(gè)直角三角形，在圖③中畫一個(gè)銳角三角形；（2）三個(gè)圖中所畫的三角形的面積均不相等；（3）點(diǎn)C在格點(diǎn)上．【答案】見詳解（答案不唯一）【分析】因?yàn)辄c(diǎn)C在格點(diǎn)上，故可將直尺的一角與線段AB點(diǎn)A重合，直尺邊長(zhǎng)所在直線經(jīng)過3×3正方形網(wǎng)格左上角第一個(gè)格點(diǎn)，繼而以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)直尺，當(dāng)直尺邊長(zhǎng)所在直線與正方形格點(diǎn)相交時(shí)，確定點(diǎn)C的可能位置，順次連接A、B、C三點(diǎn)，按照題目要求排除不符合條件的C點(diǎn)，作圖完畢后可根據(jù)三角形面積公式判斷其面積是否相等．【詳解】經(jīng)計(jì)算可得下圖中：圖①面積為12；圖②面積為1；圖③面積為32，面積不等符合題目要求（2），且符合題目要求（1）以及要求（故本題答案如下：【點(diǎn)睛】本題考查三角形的分類及其作圖，難度較低，按照題目要求作圖即可．【變式13】（2021·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在8×4的正方形網(wǎng)格中，按△ABC的形狀要求，分別找出格點(diǎn)C，且使BC【答案】見解析；S=10；S=25【分析】根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，勾股定理，角的分類去求解即可【詳解】解：鈍角三角形時(shí)，如圖，∵BC⊥BD，BC=5，∴△ABC是鈍角三角形，根據(jù)平行線間的距離處處相等，得BC邊上高為BD=4,∴S=直角三角形時(shí)，如圖，取格點(diǎn)F使得BF=4，F(xiàn)C=3，根據(jù)勾股定理，得BC=32+∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°，∴△AEB≌△BFC，∴∠EAB=∠FBC，∵∠EAB+∠EBA=90°，∴∠FBC+∠EBA=90°，∴∠ABC=90°，∴△ABC是直角三角形，根據(jù)勾股定理，得AB=32+∴S=12銳角三角形時(shí)，如圖，取格點(diǎn)M使得BM=3，CM=4，根據(jù)勾股定理，得BC=32+根據(jù)直角三角形時(shí)的作圖，知道∠ABN=90°，∴∠ABC＜∠ABN，∴∠ABC＜90°∵AB=BC，∴△ABC是等腰三角形，∴∠A=∠C＜90°，∴△ABC是銳角三角形，∴S=1【點(diǎn)睛】本題考查了網(wǎng)格上的作圖，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的性質(zhì)和判定，平行線間的距離處處相等，根據(jù)題意，運(yùn)用所學(xué)構(gòu)造符合題意的格點(diǎn)線段是解題的關(guān)鍵．題型02三角形個(gè)數(shù)的規(guī)律探究問題【例2】（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）若一個(gè)三角形的任意兩條邊都不相等，則稱之為“不規(guī)則三角形”．頂點(diǎn)在一個(gè)正方體頂點(diǎn)上的所有三角形中，這樣的“不規(guī)則三角形”的個(gè)數(shù)為（

）A．8 B．18 C．24 D．36【答案】C【分析】根據(jù)立方體的八個(gè)頂點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度僅有三種可能，分別得出所求的不規(guī)則三角形的個(gè)數(shù)．【詳解】解：如圖示：設(shè)立方體的邊長(zhǎng)為a，則在立方體的八個(gè)頂點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度僅有三種可能：邊長(zhǎng)為a，面對(duì)角線為2a，體對(duì)角線為3a．立方體有四條體對(duì)角線，先考慮其中的一條如AC1，第三個(gè)頂點(diǎn)可以是B、C、D、A1、有6個(gè)不規(guī)則三角形．因此所求的不規(guī)則三角形的個(gè)數(shù)是6×4=24．故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的性質(zhì)以及立體圖形的性質(zhì)，得出立方體的八個(gè)頂點(diǎn)之間線段長(zhǎng)度僅有三種可能是解決問題的關(guān)鍵．【變式21】（2020·江西南昌·模擬預(yù)測(cè)）由18根完全相同的火柴棒擺成的圖形如圖所示，如果去掉其中的3根，那么就可以剩下7個(gè)三角形．以下去掉3根的方法正確的是（

）A．DE,GH,MI B．GF,EF【答案】C【分析】按照選項(xiàng)依次分析即可求解．【詳解】解：A．去掉DE,圖中共有6個(gè)三角形，該項(xiàng)不符合題意；B．去掉GF,圖中共有4個(gè)三角形，該項(xiàng)不符合題意；C．去掉GD,圖中共有7個(gè)三角形，該項(xiàng)符合題意；D．去掉AD,圖中共有9個(gè)三角形，該項(xiàng)不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形計(jì)數(shù)，掌握三角形的定義是解題的關(guān)鍵．.【變式22】閱讀下列材料并填空．平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥2）且任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過這些點(diǎn)作直線，一共能作出多少條不同的直線？（1）分析：當(dāng)僅有兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成1條直線；當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成3條直線；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成6條直線；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可連成10條直線……（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)和可連成直線的條數(shù)Sn發(fā)現(xiàn)：如下表點(diǎn)的個(gè)數(shù)可作出直線條數(shù)21=S33=S46=S510=S…………nS(3)推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，兩點(diǎn)確定一條直線．取第一個(gè)點(diǎn)A有n種取法，取第二個(gè)點(diǎn)B有（n－1）種取法，所以一共可連成n(n1)條直線，但AB與BA是同一條直線，故應(yīng)除以2；即S（4）結(jié)論：S試探究以下幾個(gè)問題：平面上有n個(gè)點(diǎn)（n≥3），任意三個(gè)點(diǎn)不在同一條直線上，過任意三個(gè)點(diǎn)作三角形，一共能作出多少不同的三角形？（1）分析：當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出個(gè)三角形；當(dāng)僅有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出個(gè)三角形；當(dāng)僅有5個(gè)點(diǎn)時(shí)，可作出個(gè)三角形；……（2）歸納：考察點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和可作出的三角形的個(gè)數(shù)Sn，發(fā)現(xiàn)：（填下表）點(diǎn)的個(gè)數(shù)可連成三角形個(gè)數(shù)345……n(3)推理：

（4）結(jié)論：【答案】（1）1，4，10（2）點(diǎn)的個(gè)數(shù)可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)31=S44=S510=SnS（3）見解析（4）結(jié)論：Sn=n(n-1)(n-2)【分析】（1）根據(jù)給的點(diǎn)數(shù)一一查出三角形即可；（2）根據(jù)引例學(xué)習(xí)，仿照引例解法，先定點(diǎn)，再定形的方法，3個(gè)點(diǎn)先取第一個(gè)點(diǎn)，三點(diǎn)任意一個(gè)有3種，第二個(gè)點(diǎn)從剩下的兩點(diǎn)任取一個(gè)有2種，第三個(gè)點(diǎn)只有1種，三角形有3×2×1個(gè)，會(huì)出現(xiàn)重復(fù)現(xiàn)象△ABC，△ACB，△BAC，△BCA，△CAB，△CBA，都是同一種三角形，由此得出S3=3×2×16=1，根據(jù)此法可得出4、5（3）平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有（n1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)（n2）種取法，所以一共可以作n（n1）（n2）個(gè)三角形，但同一個(gè)三角形重復(fù)6次，再除以6即可；（4）根據(jù)（3）即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）當(dāng)僅有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，三點(diǎn)分別為A、B、C、可作1個(gè)三角形△ABC；當(dāng)有4個(gè)點(diǎn)時(shí)，四點(diǎn)分別為A、B、C、D可作4個(gè)三角形△ABC，△ABD，△ACD，△BCD；當(dāng)有5個(gè)點(diǎn)時(shí)五點(diǎn)分別為A、B、C、D、E，可作10個(gè)三角形△ABC，△ABD，△ABE，△ACD，△ACE，△ADE，△BCD，△BCE；△BDE，△CDE．故答案為1,4,10．（2）填表如下：點(diǎn)的個(gè)數(shù)可構(gòu)成三角形個(gè)數(shù)31=S44=S510=SnS（3）推理：平面上有n個(gè)點(diǎn)，過不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)可以確定一個(gè)三角形，取第一個(gè)點(diǎn)有n種方法，取第二個(gè)點(diǎn)有（n1）種取法，取第三個(gè)點(diǎn)（n2）種取法，所以一共可以作n（n1）（n2）個(gè)三角形，但同一個(gè)三角形重復(fù)6次，故應(yīng)除以6，即Sn=n(n-1)(n-2)（4）結(jié)論：Sn=n(n-1)(n-2)【點(diǎn)睛】本題考查圖形規(guī)律探索，閱讀理解，仔細(xì)閱讀，抓住點(diǎn)與線的規(guī)律，拓展點(diǎn)與三角形的規(guī)律，是學(xué)習(xí)的質(zhì)的飛躍，本題難度不大，是培養(yǎng)邏輯思維的好題．【變式23】（2022·吉林長(zhǎng)春·?？寄M預(yù)測(cè)）一個(gè)圓周上有12個(gè)點(diǎn)：A1，A2，A3，…，A【答案】55【分析】利用遞推的方法，根據(jù)三角形的定義，結(jié)合圖表依次推出圓上有3個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)和12個(gè)點(diǎn)連成三角形的種數(shù)，進(jìn)而得出結(jié)論．【詳解】解：（1）如果圓上只有3個(gè)點(diǎn)，那么只有一種連法；（2）如果圓上有6個(gè)點(diǎn)，除A1所在三角形的三頂點(diǎn)外，剩下的三個(gè)點(diǎn)一定只能在A1在三角形的一條邊所對(duì)應(yīng)的圓弧上，表1給出這時(shí)有可能的連法有（3）如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮A1所在的三角形．此時(shí)，其余的6①A1所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上；②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上；在表2中用“+”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的??；如果是情形①，則由（2），這六個(gè)點(diǎn)有三種連法；如果是情形②，則由①，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法；共有12種連法．（4）最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)．同樣考慮A1所在三角形，剩下9①9個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上；②有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上；③每三個(gè)點(diǎn)在A1所在三角形的一條邊對(duì)應(yīng)的弧上．得到表3共有12×3+3×6+1=55種．所以共有55種不同的連法．【點(diǎn)睛】本題主要考查了計(jì)數(shù)方法，利用遞推的方法，依次推出圓上有3個(gè)點(diǎn)，6個(gè)點(diǎn)，9個(gè)點(diǎn)和12個(gè)點(diǎn)連成三角形的種數(shù)，即采用了化難為易的方法解答，要注意各個(gè)三角形的邊都不相交這個(gè)要求．題型03三角形的穩(wěn)定性【例3】（2023·山西運(yùn)城·統(tǒng)考二模）學(xué)校、工廠、企業(yè)等單位的大門都是收縮性大門，這種門的門體可以伸縮自由移動(dòng)，以此來控制門的大?。@種方法應(yīng)用的數(shù)學(xué)知識(shí)是（

）

A．三角形的穩(wěn)定形 B．四邊形的不穩(wěn)定性C．勾股定理 D．黃金分割【答案】B【分析】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動(dòng)，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性．【詳解】由題意可知收縮大門可以伸縮自由移動(dòng)，這是根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性．故選：B【點(diǎn)睛】本題考查四邊形的不穩(wěn)定性，抓住題意的關(guān)鍵詞從而解決問題．【變式31】（2023·廣東佛山·?？家荒＃┮瓜旅娴哪炯懿蛔冃?，至少需要再釘上幾根木條？（）A．1條 B．2條 C．3條 D．4條【答案】C【分析】根據(jù)三角形具有穩(wěn)定性，六邊形轉(zhuǎn)化成三角形即可得出答案．【詳解】解：根據(jù)三角形的穩(wěn)定性可知，要使六邊形木架不變形，至少要再釘上3根木條．故答案選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查的是三角形的穩(wěn)定性，當(dāng)三角形三邊的長(zhǎng)度確定后，三角形的形狀和大小就能唯一確定下來，故三角形具有穩(wěn)定性．【變式32】（2022·河北保定·?？家荒＃┠苡萌切蔚姆€(wěn)定性解釋的生活現(xiàn)象是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)各圖所用到的直線、線段有關(guān)知識(shí)，即可一一判定【詳解】解：A、利用的是“兩點(diǎn)確定一條直線”，故該選項(xiàng)不符合題意；B、利用的是“兩點(diǎn)之間線段最短”，故該選項(xiàng)不符合題意；C、窗戶的支架是三角形，利用的是“三角形的穩(wěn)定性”，故該選項(xiàng)符合題意；D、利用的是“垂線段最短”，故該選項(xiàng)不符合題意；故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)確定一條直線、兩點(diǎn)之間線段最短、三角形的穩(wěn)定性、垂線段最短的應(yīng)用，結(jié)合題意和圖形準(zhǔn)確確定所用到的知識(shí)是解決本題的關(guān)鍵．【變式33】（2021·浙江臺(tái)州·一模）如圖，升降平臺(tái)由三個(gè)邊長(zhǎng)為1.2米的菱形和兩個(gè)腰長(zhǎng)為1.2米的等腰三角形組成，其中平臺(tái)AM與底座A0N平行，長(zhǎng)度均為2.4米，B，B0分別在AM和A0N上滑動(dòng)，且始終保持點(diǎn)B0，C1，A1成一直線．(1)這種升降平臺(tái)的設(shè)計(jì)原理是利用了四邊形的____性；(2)為了安全，該平臺(tái)在作業(yè)時(shí)∠B1不得超過40°，求平臺(tái)高度(AA0)的最大值（sin20°≈0.34）．【答案】(1)不穩(wěn)定(2)平臺(tái)高度(AA0)的最大值為3.3米．【分析】（1）根據(jù)四邊形的不穩(wěn)定性即可解決問題．（2）當(dāng)∠B1=40°時(shí)，平臺(tái)AA0的高度最大，解直角三角形A1B0A0，可得A0A1的長(zhǎng)，再由AA3=A3A2=A2A1=A1A0，即可解決問題．【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅尉哂胁环€(wěn)定性，點(diǎn)B，B0分別在AM和A0N上滑動(dòng)，從而達(dá)到升降目的，因而這種設(shè)計(jì)利用了平行四邊形的不穩(wěn)定性；故答案為：不穩(wěn)定．（2）由圖可知，當(dāng)∠B1=40°時(shí)，平臺(tái)AA0的高度最大，∠A0B0A1=12∠B1A0A1=A1A2==A2A3==A3A4.∵B0A1=2A1C1=2×1.2=2.4（米），sin20°≈0.34，∴A0A1=2.4×sin20°×4＝3.264≈3.3(米)，∴平臺(tái)高度(AA0)的最大值為3.3米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練菱形的性質(zhì)．考點(diǎn)二三角形的重要線段重要線段概念圖形性質(zhì)三角形的高從三角形一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊做垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線（簡(jiǎn)稱三角形的高）．∵AD是?ABC中BC邊的高∴∠ADB=∠ADC=90°三角形的中線在三角形中，連接一個(gè)頂點(diǎn)和它對(duì)邊的中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線∵AD是?ABC中BC邊的中線∴BD=CDS△ABD=S△ADCC三角形的角平分線三角形的一個(gè)角的平分線與這個(gè)角的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)和交點(diǎn)間的線段叫做三角形的角平分線．∵AD是?ABC中∠BAC的角平分線∴∠BAD=∠DAC=12∠三角形的中位線連接三角形兩邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中位線∵DE是?ABC的中位線∴AD=DBAE=ECDE=12B概念圖形性質(zhì)重心三角形三條中線交點(diǎn)1）重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：1。

2）重心和三角形3個(gè)頂點(diǎn)組成的3個(gè)三角形面積相等。

3)重心到三角形3個(gè)頂點(diǎn)距離的平方和最小。垂心三角形三條高交點(diǎn)1）銳角三角形的垂心在三角形內(nèi)；直角三角形的垂心在直角頂點(diǎn)上；鈍角三角形的垂心在三角形外；

2）銳角三角形的垂心到三頂點(diǎn)的距離之和等于其內(nèi)切圓與外接圓半徑之和的2倍。3）三角形三個(gè)頂點(diǎn)，三個(gè)垂足，垂心這7個(gè)點(diǎn)可以得到6組四點(diǎn)共圓.4）銳角三角形的垂心是垂足三角形的內(nèi)心；銳角三角形的內(nèi)接三角形(頂點(diǎn)在原三角形的邊上)中，以垂足三角形的周長(zhǎng)最短.11.三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關(guān)系，由三角形的角平分線可得角之間的關(guān)系．2.常見三角形的高：3.當(dāng)已知三角形兩邊的中點(diǎn)時(shí)，可考慮運(yùn)用三角形中位線定理，得到相應(yīng)線段的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系.題型01畫三角形的高、中線、角平分線【例1】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）如圖，在△ABC中，邊ABA．AD B．GE C．EF D．CH【答案】D【分析】根據(jù)高線的定義：三角形的頂點(diǎn)到對(duì)邊的垂線段為三角形的高線，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵CH⊥∴在△ABC中，邊AB上的高是CH故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查三角形的高線．熟練掌握三角形的高線的定義，是解題的關(guān)鍵．【變式11】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在△ABC中，AB=AC，BC長(zhǎng)度不確定，拫據(jù)尺規(guī)作圖痕跡，用直尺不一定能直接畫出BCA．

B．

C．

D．

【答案】A【分析】分別考慮選項(xiàng)中的作圖方法，然后結(jié)合三角形高的定義即可求解．【詳解】解：A中以AB邊為直徑作弧，沒有作線段AB中點(diǎn)的作圖痕跡，∴無法直接畫出BC邊上的高，符合題意；B中分別以點(diǎn)B、C為圓心，BC為半徑畫弧，交點(diǎn)為BC邊垂直平分線上的點(diǎn)，連接交點(diǎn)和點(diǎn)A延長(zhǎng)到BC邊即為BC邊上的高，不符合題意；C中作的是∠A的角平分線，連接點(diǎn)A與交點(diǎn)并延長(zhǎng)與BC相交，即為BCD中分別以AC、AB為半徑畫圖，所得圖形為菱形，連接點(diǎn)A及其相對(duì)的交點(diǎn)，根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得出故選A．【點(diǎn)睛】題目主要考查基本的作圖方法及三角形高的判定，熟練掌握各個(gè)作圖方法是解題關(guān)鍵．【變式12】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）嘉淇剪一個(gè)銳角△ABC做折紙游戲，折疊方法如圖所示，折痕與BC交于點(diǎn)D，連接AD，則線段AD分別是△ABC的（

A．高，中線，角平分線 B．高，角平分線，中線C．中線，高，角平分線 D．高，角平分線，垂直平分線【答案】B【分析】根據(jù)三角形的高線、角平分線及中線的定義依次判斷即可．【詳解】解：由圖可得，圖①中，線段AD是△ABC圖②中，線段AD是△ABC圖③中，線段AD是△ABC故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形的高線、角平分線及中線的定義，理解題意是解題關(guān)鍵．【變式13】（2023·廣東深圳·統(tǒng)考二模）觀察下列尺規(guī)作圖痕跡，其中所作線段AD為△ABC的角平分線的是（

A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)基本作圖的方法對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：對(duì)于A選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為∠CAB的平分線，故A對(duì)于B選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為△ABC中BC邊上的高線，故B對(duì)于C選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為△ABC的中線，故C對(duì)于D選項(xiàng)，由作圖痕跡可知，AD為△ABC中BC邊上的高線，故D故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查作圖—基本作圖：作三角形的角平分線、中線和高，熟練掌握基本作圖的方法是解答本題的關(guān)鍵．【變式14】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，嘉琪任意剪了一張鈍角三角形紙片（∠A是鈍角），他打算用折疊的方法折出∠C的角平分線、

A．AB邊上的中線和高線 B．∠C的角平分線和ABC．∠C的角平分線和AB邊上的中線 D．∠C的角平分線、【答案】C【分析】由折疊的性質(zhì)可求解．【詳解】解：當(dāng)AC與BC重合時(shí)，折痕是∠C當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)B重合時(shí)，折疊是AB的中垂線，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換，掌握折疊的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【變式15】（2023·河北石家莊·校聯(lián)考二模）小熊和小貓把一個(gè)三角形紙片折一次后，折痕把原三角形分成兩個(gè)三角形．如圖，當(dāng)∠1=∠2時(shí)，折痕是三角形的（

）

A．中線 B．中位線 C．高線 D．角平分線【答案】C【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)和平角定義得到∠1=∠2=90°，再根據(jù)三角形的高線定義求解即可．【詳解】解：∵∠1+∠2=180°，∠1=∠2，∴∠1=∠2=90°，又∵折痕經(jīng)過三角形的頂點(diǎn)，∴折痕是三角形的高線，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查折疊性質(zhì)、平角定義、三角形的高線，理解三角形的高線定義是解答的關(guān)鍵．【變式16】（2023·吉林松原·統(tǒng)考一模）圖①、圖②均是6×6的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫格點(diǎn)．△ABC(1)在圖①中畫△ABC的中位線DE，使點(diǎn)D、E(2)在圖②中畫△ABC的高線BF【答案】(1)作圖見解析(2)作圖見解析【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)、矩形性質(zhì)，先找到AB,（2）根據(jù)網(wǎng)格線的特點(diǎn)，利用全等三角形性質(zhì)構(gòu)造過點(diǎn)B的斜邊等于AC的直角三角形即可．【詳解】（1）解：如下圖所示：∴線段DE即為所求；（2）解：如下圖所示：∴線段BF即為所求．【點(diǎn)睛】本題考查作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，掌握網(wǎng)格線的特點(diǎn)和三角的的中位線、高線的定義是解題的關(guān)鍵．題型02已知三角形的高、中線、角平分線，判斷式子正誤【例2】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┤鐖D，AD，AE，AF分別是△ABC的中線，角平分線，高．則下列各式中錯(cuò)誤的是（

A．∠AFB=90° B．C．BC=2CD D【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高的定義逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【詳解】解：∵AD，AE，AF分別是△ABCA、∠AFBB、AE，C、BC=2D、∠BAE故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，角平分線，高的定義，熟練掌握三角形的中線，角平分線，高的定義是解題的關(guān)鍵．【變式21】（2020上·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在△ABC中，AD是高，AE是角平分線，AF是中線，則下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．BF＝CF B．∠C＋∠CAD＝90° C．∠BAF＝∠CAF D．S【答案】C【分析】根據(jù)三角形的角平分線、中線和高的概念判斷．【詳解】解：∵AF是△ABC的中線，∴BF=CF，A說法正確，不符合題意；∵AD是高，∴∠ADC=90°，∴∠C+∠CAD=90°，B說法正確，不符合題意；∵AE是角平分線，∴∠BAE=∠CAE，C說法錯(cuò)誤，符合題意；∵BF=CF，∴S△ABC=2S△ABF，D說法正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的角平分線、中線和高，掌握它們的概念是解題的關(guān)鍵．題型03等面積法求三角形的高【例3】如圖，已知AC⊥BC，CD⊥AB，AC=5，BC=12，AB=13A．125 B．135 C．6013【答案】C【分析】根據(jù)等積法求出點(diǎn)C到直線AB的距離即可．【詳解】解：∵AC⊥BC，∴S△∴CD=即點(diǎn)C到直線AB的距離為6013，故C故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形面積計(jì)算，點(diǎn)到直線的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等積法求出CD=【變式31】（2023·河北張家口·統(tǒng)考一模）如圖，在點(diǎn)A，B，C，D中選一個(gè)點(diǎn)；與點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△KMN的面積，這個(gè)點(diǎn)為（

A．點(diǎn)A B．點(diǎn)B C．點(diǎn)C D．點(diǎn)D【答案】C【分析】與點(diǎn)M，N為頂點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)三角形，其面積等于△KMN的面積，即尋找以MN為底邊，高為KN長(zhǎng)的三角形．根據(jù)兩平行線間的距離處處相等，只需要找到過點(diǎn)K且與MN【詳解】解：由于平行線間的距離處處相等，所有在過點(diǎn)K且與MN平行的直線上的點(diǎn)與M、N組成的三角形都滿足其面積與△KMN的面積相等，有網(wǎng)格的特點(diǎn)可知只有過點(diǎn)K、C的直線與MN故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形面積，熟知平行線間的距離處處相等是解題的關(guān)鍵．【變式32】（2023·江蘇蘇州模擬）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，小敏、小穎分別畫了△ABC和△DEF，數(shù)據(jù)如圖，如果把小敏畫的三角形面積記作S△ABC，小穎畫的三角形面積記作S△DEF，那么你認(rèn)為(

)A．S△ABC>S△DEF B．S△ABC<S△DEFC．S△ABC=S△DEF D．不能確定【答案】C【分析】在兩個(gè)圖形中分別作BC、EF邊上的高，欲比較面積，由于底邊相等，所以只需比較兩條高即可．【詳解】解：如圖，過點(diǎn)A、D分別作AG⊥BC，DH⊥EF，垂足分別為G、H，在△ABG和△DHE中，AB=DE=5，∠B=50°，∠DEH=180°130°=50°，∴∠B=∠DEH，∠AGB=∠DHE=90°，∴△AGB≌△DHE(AAS)，∴AG=DH．∵BC=4，EF=4，∴S△ABC=S△DEF．故選：C．【點(diǎn)睛】要題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，等底等高兩三角形面積相等．證明△AGB≌△DHE是解題的關(guān)鍵．【變式33】（2023·陜西西安·西安市曲江第一中學(xué)?？级＃┤鐖D，小正方形邊長(zhǎng)為1，連接小正方形的三個(gè)頂點(diǎn)，可得△ABC，則AC邊上的高長(zhǎng)度為（

A．355 B．3510 C．【答案】A【分析】求出三角形ABC的面積，再根據(jù)三角形的面積公式即可求得AC邊上的高．【詳解】解：四邊形DEFA是正方形，面積是4；△ABF，△ACD的面積相等，且都是△BCE的面積是：1則△ABC的面積是：4-1-1-在直角△ADC中根據(jù)勾股定理得到：AC設(shè)AC邊上的高線長(zhǎng)是x．則12解得：x=故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理，利用“割補(bǔ)法”求面積是解決本題的關(guān)鍵．題型04利用網(wǎng)格求三角形的面積【例4】（2021·遼寧沈陽·統(tǒng)考一模）如圖，在3×3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)A，B，C都在格點(diǎn)上，則S△ABC的面積為（）A．52 B．3 C．72 D【答案】C【分析】利用割補(bǔ)法求△ABC面積等于大正方形面積三個(gè)三角形面積即可．【詳解】解：在網(wǎng)格中添加字母如圖，S△AEB=12S△AFC=12S△BGC=12S正方形=EF?∴S△ABC=S正方形S△AEBS△AFCS△BGC=91332故選擇C．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格三角形面積，掌握用割補(bǔ)法求網(wǎng)格三角形面積的方法是解題關(guān)鍵．【變式41】（2023·北京·統(tǒng)考二模）如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格，點(diǎn)A，B，C，D均在格點(diǎn)上，則SΔABCSΔACD(填“＞”，“＜”或

【答案】＜【分析】分別求出△ABC的面積和△【詳解】解：由題意，SΔSΔ∴SΔ故答案為：＜．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的面積，掌握三角形的面積公式是本題的關(guān)鍵．【變式42】（2023·陜西西安·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格上的每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(-1,3)，B(2,0)，C

(1)在圖中畫出△ABC關(guān)于x軸對(duì)稱的△A1B1C1（點(diǎn)A、B、C(2)求△ABC【答案】(1)見解析；(2)9．【分析】（1）分別找到點(diǎn)A、B、C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為A1、B1、（2）結(jié)合表格，利用割補(bǔ)法S△【詳解】（1）解：作圖如下：

（2）由題意可知，小網(wǎng)格的邊長(zhǎng)代表1個(gè)單位長(zhǎng)度，如圖：S=4×5-=9

【點(diǎn)睛】本題考查了利用網(wǎng)格作對(duì)稱圖形及利用網(wǎng)格求面積；解題的關(guān)鍵是正確作圖．題型05與垂心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算【例5】（2022·安徽·校聯(lián)考三模）如圖，已知ΔABC中，∠ACB=45°，F(xiàn)是高BD和CE的交點(diǎn)，AD=3，A．1 B．2 C．22-3【答案】B【分析】連接AF交BC于G點(diǎn)，可知F是三角形的垂心，可知AG也是一條高線，在結(jié)合等腰直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】連接AF交BC于G點(diǎn)，如圖所示：∵CE、DB是△ABC的兩條高線，∴可知F是三角形的垂心，可知AG也是一條高線，即AG⊥BC，∴在Rt△AGC中，∠ACB=45°，∴AG=GC=22AC，∵AC=AD+CD=3+5=8，∴AG=GC=42∵BD⊥AC，∠ACB=45°，∴在Rt△DCB中，∠CBD=45°，DC=DB=22BC∵DC=5，∴DB=5，BC=52∴BG=BCCG=52∴在Rt△FGB中，∠CBD=45°，BG=2，∴BG=2=FG，∴BF=2BG=2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中三條高線交于一點(diǎn)、等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，根據(jù)判斷F點(diǎn)為三角形垂心是解答本題的關(guān)鍵．【變式51】（2021·山東威?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）【信息閱讀】垂心的定義：三角形的三條高（或高所在的直線）交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫三角形的垂心．【問題解決】如圖，在△ABC中，∠ABC=40°，∠ACB=62°，H為△A．120° B．115° C．102° D．108°【答案】C【分析】如圖，延長(zhǎng)BH,CH,分別交AC,AB于K,M【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BH,CH,分別交AC∵H為△∴BK∴∠AMC∵∠ABC∴∠BAC∴∠MHK∴∠BHC=102°．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理，四邊形的內(nèi)角和定理，垂心的定義，正確理解垂心的定義構(gòu)建需要的四邊形是解題的關(guān)鍵.【變式52】（2022·浙江紹興·統(tǒng)考一模）在學(xué)習(xí)三角形高線時(shí)，發(fā)現(xiàn)三角形三條高線交于一點(diǎn)，我們把這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的垂心．課后小明同學(xué)繼續(xù)探究，上網(wǎng)搜索得到了三角形重心的一條性質(zhì)，制作了如下表格進(jìn)行探究．三角形關(guān)型直角三角形銳角三角形鈍角三角形垂心的位置直角頂點(diǎn)①在三角形外部垂心的性質(zhì)三角形任意頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到對(duì)邊的距離的兩倍．圖形圖1圖2(1)表格中①處應(yīng)填：．(2)小明先選擇了直角三角形來探究重心的性質(zhì)，寫出了已知求證，請(qǐng)完成證明．已知：如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∠B=Rt∠，H是求證：AH=2(3)如圖2，⊙O是銳角三角形ABC的外接圓，高線AF與高線CG交于點(diǎn)H，OE⊥BC于點(diǎn)E，為了證明AH=2OE．小明想把銳角三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，為此他過點(diǎn)B作了⊙【答案】(1)在三角形內(nèi)部(2)見解析(3)見解析【分析】（1）銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，所以銳角三角形三條高的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部；（2）根據(jù)⊙O是Rt△ABC的外接圓點(diǎn)，可得O為AC中點(diǎn)，再根據(jù)OE⊥BC，由垂徑定理得到點(diǎn)E（3）本小題利用（2）的結(jié)論，把銳角三角形的問題轉(zhuǎn)化為直角三角形，可得到DC=2OE，然后連接AD、CD，證明四邊形ADCH是平行四邊形，得到【詳解】（1）解：∵銳角三角形的三條高都在三角形內(nèi)部，∴銳角三角形三條高的交點(diǎn)一定在三角形內(nèi)部在三角形內(nèi)部，∴銳角三角形的垂心在三角形的內(nèi)部；（2）解：如圖1，⊙O是Rt△ABC的外接圓，∴點(diǎn)O為AC中點(diǎn)．∵OE⊥∴E為BC中點(diǎn)．∴OE為△ABC∴AB=2OE即（3）證明：如圖2，連結(jié)AD、CD，∵BD是⊙O的直徑，∴DC⊥由（2）可知DC=2又∵AF⊥∴AF∥同理CG∥∴四邊形ADCH是平行四邊形，∴AH=∴AH=2【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的垂心的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)與判定、垂徑定理及三角形中位線定理．掌握三角形任意頂點(diǎn)到垂心的距離等于外心到對(duì)邊的距離的兩倍以及轉(zhuǎn)化的思想是解答的關(guān)鍵．【變式53】（2021·山西呂梁·統(tǒng)考二模）閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的學(xué)習(xí)任務(wù)：我們知道三角形外接圓的圓心叫做三角形的外心，三角形內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心．由于三角形的三條高（或高所在的直線）相交于一點(diǎn)，因此我們把三角形三條高的交點(diǎn)叫做三角形的垂心．下面我們以銳角三角形為例，證明三角形的三條高相交于一點(diǎn)．如圖，在△ABC中，AD，BE分別是BC，AC邊上的高，且AD與BE相交于點(diǎn)P．連接CP并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F．求證：CF⊥AB．證明：分別過點(diǎn)A，B，C作它們所對(duì)邊的平行線，三條平行線兩兩相交于點(diǎn)M，N，Q．分別連接PM，PN，PQ．∵M(jìn)N//BC，MQ//AB，NQ//AC，∴四邊形MABC，四邊形ANBC，四邊形ABQC都是平行四邊形．∴BC=AM=AN，AC=BN=BQ，AB=MC=CQ．∵AD⊥BC，∴∠MAD=∠ADB=90°，即AD⊥MN．∴PM=PN．…學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）請(qǐng)將上面剩余的證明過程補(bǔ)充完整；（2）點(diǎn)P是△MNQ的．（填出字母代號(hào)即可）A．內(nèi)心

B．外心

C．垂心

D．重心（3）若∠CAB=40°，則∠MPN=°．【答案】（1）見解析；（2）B；（3）80°【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合一以及中垂線的性質(zhì)，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)三角形外心的定義，即可得到答案；（3）構(gòu)造△MNQ的外接圓，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和圓周角定理，即可求解．【詳解】（1）∵BE⊥AC，∴∠EBQ=∠BEA=90°，即EB⊥NQ．∴PN=PQ．∴PM=PQ．∴PC⊥MQ，∴∠CFB=∠FCM=90°．∴CF⊥AB．（2）∵PM=PQ=PN，∴點(diǎn)P是△MNQ的外心，故選B．（3）∵四邊形ABQC都是平行四邊形，∴∠BQC=∠CAB=40°，∵點(diǎn)P是△MNQ的外心，∴∠MPN=2∠BQC=2×40°=80°，故答案是：80°．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的垂心，外心，平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，添加合適的輔助線構(gòu)造平行四邊形和三角形的外接圓，是解題的關(guān)鍵．題型06根據(jù)三角形的中線求長(zhǎng)度【例6】（2023·陜西西安·交大附中分校?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，AD是△ABC的中線，AB=5，AC=4，△ACD的周長(zhǎng)為

A．8 B．9 C．10 D．11【答案】D【分析】根據(jù)三角形的中線的概念得到BD=【詳解】解：∵△ACD的周長(zhǎng)為10∴AC+∵AC=4∴AD+∵AD是△ABC∴BD=∴AD∵AB=5∴△ABD的周長(zhǎng)=故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形的中線的概念，三角形一邊的中點(diǎn)與此邊所對(duì)頂點(diǎn)的連線叫做三角形的中線．【變式61】（2023·青?！そy(tǒng)考一模）在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，若AB=9，AC=5，則△ABC的中線A．5<AD<9 B．4<AD<9 C．【答案】D【分析】根據(jù)題意，畫出圖形，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE，連接EC，可證△ABD≌△ECD，可得CE【詳解】解：如下圖，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AD=DE，連接∵AD是邊BC的中線，∴BD=又∵∠ADB∴△ABD∴CE=∵在△ACE中，CE∴9-5<AE<9+5，即∵AD=∴2<AD故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的中線、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的三邊關(guān)系等知識(shí)，熟悉三角形的三邊關(guān)系，利用中線構(gòu)造全等三角形是解答的關(guān)鍵．【變式62】（2022·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，BE是△ABC的中線，點(diǎn)F在BE上，延長(zhǎng)AF交BC于點(diǎn)D，若BF=3EF，則BDA．43 B．32 C．65【答案】B【分析】先利用三角形的中線的定義得到AEAC=12，過點(diǎn)E作EG∥DC交AD于G，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到DC=2【詳解】解：如圖，∵BE是△ABC∴AEAC過點(diǎn)E作EG∥DC交AD于∴∠AGE=∠ADC∴△AGE∴EGDC∴DC=2∵BF=3∴EFBF∵GE∥∴∠GEF=∠FBD∴△GFE∴GEDB∴DCDB∴BDDC故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，過點(diǎn)E作EG∥【變式63】（2022·江蘇泰州·模擬預(yù)測(cè)）△ABC中，AB：AC=3：2，BC=AC+1，若△ABC的中線BD把△ABC的周長(zhǎng)分成兩部分的比是8【答案】AB=6,AC【分析】根據(jù)題意，設(shè)設(shè)AB=3x，則AC=2【詳解】解：如圖，∵AB：AC=3：2，設(shè)AB=3x∴BC=∵BD是△ABC則AD=依題意，BC+CDAB∴2x+1+x解得：x=2或x=711，經(jīng)檢驗(yàn)∴當(dāng)x=2時(shí)，AB=3x=6，當(dāng)x=711時(shí)，AB=21∴AB=6,AC=4【點(diǎn)睛】本題考查了三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵．題型07根據(jù)三角形的中線求面積【例7】（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）如圖，△ABC的面積為30，BD=2CD，E為AB的中點(diǎn)，則△

A．15 B．12 C．10 D．9【答案】C【分析】根據(jù)三角形的中線的性質(zhì)與面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：∵△ABC的面積為30，BD∴S△又E為AB的中點(diǎn)，∴S△故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的中線，三角形的面積的計(jì)算，正確的識(shí)別圖形是解題的關(guān)鍵．【變式71】（2023·江蘇南京·南師附中新城初中?？寄M預(yù)測(cè)）如圖△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，E是AC邊上一點(diǎn)，且AE=2EC，連接AD、BE交于點(diǎn)F，若△BDF的面積是3，則△

【答案】30【分析】連接CF，由點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，得S△ABD=S△ACD，由△BDF的面積是3，得S△CDF=3，令【詳解】解：連接CF，

∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD=∴S△∵△BDF的面積是3∴S△令S△∵AE=2∴S△∴S△S△∴S1∴3S∴S2∴S1∴S△故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形的面積，三角形中線等知識(shí)點(diǎn)，掌握等積變換是解答此題的關(guān)鍵．【變式72】（2023·江蘇揚(yáng)州·?？级＃┨骄繎?yīng)用：(1)如圖①，在△ABC中，中線AD、BE交于點(diǎn)O．若△ABC的面積為6，求四邊形小明在求解時(shí)，利用“三角形的中線平分此三角形的面積”的結(jié)論，連接OC，設(shè)△ODC的面積為x，△OEC的面積為y，列出方程組2x+y=3，解得x=y=

，所以四邊形ODCE(2)如圖②，在△ABC中，AD是中線，AE=EF=FC，AD與BE、BF分別交于點(diǎn)M、N．若四邊形NDCF(3)在（2）的條件下，求△AME【答案】(1)x+2y=3，1，(2)60(3)5【分析】（1）可得2x（2）連接CM，DF，設(shè)S△ABC=m，S△CME=23S△AMC=13m-23a，S△（3）由（2）得S△【詳解】（1）解：AD、BE是△ABC∴S△∴2解得：x=1∴x故答案：x+2y=3，1，1（2）解：連接CM，DF，設(shè)S△ABC=∵AD∴S△CMDS△ACD∴S△∵AE∴SS△S△BCE=∴S==1S=2∴1整理得：a=∴=1∴==14-1∴DN∵EF=FC∴DF∥BE∴△CDF△DFN∴SS∴S∴=14-1∴DNMN∴14-整理得：m2解得：m1=60，∴S（3）解：由（2）得S=====5．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形面積的等積轉(zhuǎn)換，一元二次方程的應(yīng)用，中位線定理，三角形相似的判定及性質(zhì)，掌握相關(guān)的方法，判定方法及性質(zhì)，會(huì)根據(jù)題意設(shè)適當(dāng)?shù)妮o助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．【變式73】（2023·黑龍江哈爾濱·統(tǒng)考二模）已知四邊形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)E，AB=CD，(1)如圖，求證：∠EBC

(2)如圖2，延長(zhǎng)BA，延長(zhǎng)CD相交于點(diǎn)F，若點(diǎn)D是CF的中點(diǎn)．在不添加任何輔助線的情況下，請(qǐng)直接寫出圖2中的四個(gè)三角形，使寫出的每個(gè)三角形的面積都等于△ADF面積的2

【答案】(1)證明見解析(2)△AFC，△FDB，△【分析】（1）先根據(jù)AAS證明△ABE（2）根據(jù)“中線平分三角形面積”可得出答案．【詳解】（1）證明：在△ABE與△∵∠AEB=∠DEC，∠∴△ABE∴EB=∴∠EBC（2）∵點(diǎn)D是CF的中點(diǎn)，∴AD是△FAC的中線，BD是△∴S△ADF由（1）可知△ABE∴S△∴△∴△AFC，△FDB，△ABC，△BDC的面積都等于【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形的判斷和性質(zhì)，三角形的面積等，屬于基礎(chǔ)題，解題的關(guān)鍵在于熟練掌握全等三角形的判斷和性質(zhì)．題型08判斷重心位置【例8】（2023·河北石家莊·統(tǒng)考一模）如圖，在4×4的正方形格紙中，△ABC的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，BC邊與網(wǎng)格線交于點(diǎn)D，AC邊過格點(diǎn)E，連接AD，BE相交于點(diǎn)O，則點(diǎn)O為△A．重心 B．外心 C．內(nèi)心 D．以上結(jié)果均不對(duì)【答案】A【分析】根據(jù)三角形三條中線的交點(diǎn)是三角形的重心進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：由圖可知，點(diǎn)D、E是BC、AC的中點(diǎn)，∴AD、BE是△∴點(diǎn)O是△ABC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，熟練掌握三角形重心的定義是解題的關(guān)鍵．【變式81】（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考一模）已知△ABC在正方形網(wǎng)格中的位置如圖所示，點(diǎn)A、B、C、P均在格點(diǎn)上，有下列結(jié)論：①點(diǎn)P在∠ACB的角平分線上；②直線BP可以把△ABC分成面積相等的兩部分；③點(diǎn)P是△ABC的外心；④點(diǎn)P是【答案】①②④【分析】①取BC、AC的中點(diǎn)E、F，連接PE、PF、PC，根據(jù)勾股定理解得AC、BC的長(zhǎng)，再證明△PEC≌△PFC，由全等三角形對(duì)應(yīng)角相等解得∠【詳解】解：①取BC、AC的中點(diǎn)E、F，連接PE、PF、PC，則點(diǎn)A，P，由圖可知，AC=∴AC∵E、F分別是∴又∵PE∴△PEC∴∠PCE∴PC平分∴點(diǎn)P在∠ACB的角平分線上，故①②∵F是AC的中點(diǎn)，點(diǎn)B，P，F(xiàn)三點(diǎn)共線，∴BF是△ABC即直線BP把△ABC分成面積相等的兩個(gè)部分，故②③∵AP=2,PC∴AP≠∴點(diǎn)P不在AC的垂直平分線上，∴點(diǎn)P不是△ABC∴點(diǎn)P不是△ABC的外心，故③④∵E、F∴AE、BF∴點(diǎn)P是△ABC的重心，故④故答案為：①②④．【點(diǎn)睛】本題考查網(wǎng)格與勾股定理、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的外心，重心等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．題型09與重心性質(zhì)有關(guān)的計(jì)算【例9】（2023·江蘇蘇州·蘇州高新區(qū)第二中學(xué)?？级＃┑妊鰽BC中，AB=AC=5，BC=6【答案】43/【分析】根據(jù)題意作出高線，首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理可求得AD的長(zhǎng)，再根據(jù)重心的性質(zhì)即可求得結(jié)果．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)

∵AB=AC=5∴BD=∴AD=∵AD為等腰三角形底邊上的中線，∴重心G一定在AD上，且重心G到底邊的距離為GD的長(zhǎng)，根據(jù)重心的性質(zhì)可知，GD=故答案為：43【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理，重心的性質(zhì)，熟知在任何一個(gè)直角三角形中，兩條直角邊長(zhǎng)的平方之和一定等于斜邊長(zhǎng)的平方是解答此題的關(guān)鍵．【變式91】（2023·上?！ひ荒＃┤鐖D，G是△ABC的重心，延長(zhǎng)BG交AC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)CG交AB于點(diǎn)E，P、Q分別是△BCE和△BCD的重心，BC長(zhǎng)為6，則PQ的長(zhǎng)為【答案】1【分析】連接DE，延長(zhǎng)EP交BC于F點(diǎn)，連接DF，由G是△ABC的重心，可證DE是△ABC的中位線，從而可求出DE的長(zhǎng)．利用三角形重心的定義和性質(zhì)得到EP=2PF，DQ=2【詳解】解：連接DE，延長(zhǎng)EP交BC于F點(diǎn)，連接DF，如圖，

∵G是△ABC∴D、E分別是AB、∴DE是△ABC∴DE=∵P點(diǎn)是△BCE∴F點(diǎn)為BC的中點(diǎn)，EP=2∵Q點(diǎn)是△BCD∴點(diǎn)Q在中線DF上，DQ=2∵∠PFQ=∠EFD∴△FPQ∴PQED∴PQ=故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，三角形的中位線，相似三角形的判定與性質(zhì)．三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2：【變式92】（2021·河北邢臺(tái)·二模）如圖，△ABC中，點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，連接DE，線段BE、CD相交于點(diǎn)O，若OD=2，則OC=

【答案】4【分析】本題考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三邊中線的交點(diǎn)；重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1．根據(jù)重心定義得到點(diǎn)O為△ABC的重心，再根據(jù)重心的性質(zhì)得OCOD=2【詳解】解：∵點(diǎn)D、E分別為AB、AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)O為△ABC∴OCOD而OD=2∴OC故答案為4【變式93】（2023·江蘇泰州·?？既＃┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B-2，3，點(diǎn)C在x軸負(fù)半軸，OB=BC，點(diǎn)M為△OBC的重心，若將△

【答案】-【分析】由重心的性質(zhì)可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)證全等即可求得旋轉(zhuǎn)后三角形的重心的坐標(biāo)．【詳解】解：∵OB=BC，點(diǎn)M為∴BM⊥CO∵點(diǎn)B∴點(diǎn)M

∵將△OBC繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)過點(diǎn)M″作M″∵∠∴∠∵∠∴△∴OE∴點(diǎn)M故答案為：-【點(diǎn)睛】本題考查了重心的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等．熟記相關(guān)數(shù)學(xué)結(jié)論是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)三三角形的性質(zhì)三角形三邊關(guān)系定理：三角形的兩邊之和大于第三邊．推論：三角形的兩邊之差小于第三邊．三角形三邊關(guān)系定理及推論的應(yīng)用：1）判斷三條已知線段能否組成三角形，只需檢驗(yàn)最短的兩邊之和大于第三邊，則可說明能組成三角形．2）已知三角形兩邊的長(zhǎng)度分別為a，b，求第三邊長(zhǎng)度的范圍：|ab|＜c＜a＋b3）所有通過周長(zhǎng)相加減求三角形的邊，求出兩個(gè)答案的，要注意檢查每個(gè)答案能否組成三角形．三角形的內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°．推論：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用：1)在三角形中,已知兩個(gè)內(nèi)角的度數(shù),可以求出第三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；2)在三角形中,已知三個(gè)內(nèi)角的比例關(guān)系,可以求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)；3)在直角三角形中,已知一個(gè)銳角的度數(shù),可以求出另一個(gè)銳角的度數(shù).三角形的外角和定理：三角形的外角和等于360°．三角形的外角和的性質(zhì)：1）三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和；2）三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)和它不相鄰的內(nèi)角．題型01應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系求第三邊長(zhǎng)或取值范圍【例1】（2021·福建寧德·統(tǒng)考一模）下列三條線段中，能組成三角形的是（

）A．2，3，4 B．2，3，5 C．2，2，4 D．2，2，5【答案】A【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，進(jìn)行分析．【詳解】解：A、2+3>4，能構(gòu)成三角形；B、2+3=5，不能夠組成三角形；C、2+2=4，不能構(gòu)成三角形；D、2+2<5，不能構(gòu)成三角形．故選：A．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，根據(jù)第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．【變式11】（2022·山東淄博·統(tǒng)考一模）已知三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，x，且x為整數(shù)，則x的最大值為（

）A．8 B．7 C．5 D．6【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“第三邊大于兩邊之差，而小于兩邊之和”，求得第三邊的取值范圍；再根據(jù)第三邊是整數(shù)，從而求得第三邊長(zhǎng)的最大值．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：43＜x＜4+3，即1＜x＜7，∵x為整數(shù)，∴x的最大值為6．故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．注意第三邊是整數(shù)的已知條件．【變式12】（2021·湖南婁底·統(tǒng)考中考真題）2,5,m是某三角形三邊的長(zhǎng)，則(m-3)2A．2m-10 B．10-2m C．【答案】D【分析】先根據(jù)三角形三邊的關(guān)系求出m的取值范圍，再把二次根式進(jìn)行化解，得出結(jié)論．【詳解】解：∵2,5,m∴5-2<m解得：3<m∴(故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)及化簡(jiǎn)，解題的關(guān)鍵是：先根據(jù)題意求出m的范圍，再對(duì)二次根式化簡(jiǎn)．【變式13】（2018·甘肅武威·中考真題）已知a，b，c是△ABC的三邊長(zhǎng)，a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，c為奇數(shù)，則c=．【答案】7【分析】根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)列式求出a、b的值，再根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊求出c的取值范圍，再根據(jù)c是奇數(shù)求出c的值．【詳解】∵a，b滿足|a﹣7|+（b﹣1）2=0，∴a﹣7=0，b﹣1=0，解得a=7，b=1，∵7﹣1=6，7+1=8，∴6<c又∵c為奇數(shù)，∴c=7，故答案為：7．【點(diǎn)睛】本題考查非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：偶次方，解題的關(guān)鍵是明確題意，明確三角形三邊的關(guān)系．【變式14】．（2021·江蘇淮安·統(tǒng)考中考真題）一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是1和4，若第三邊的長(zhǎng)為偶數(shù)，則第三邊的長(zhǎng)是．【答案】4【分析】利用三角形三邊關(guān)系定理，先確定第三邊的范圍，再根據(jù)第三邊是偶數(shù)這一條件，求得第三邊的值．【詳解】解：設(shè)第三邊為a，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系知，4﹣1＜a＜4＋1，即3＜a＜5，又∵第三邊的長(zhǎng)是偶數(shù)，∴a為4．故答案為：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系，掌握第三邊滿足：大于已知兩邊的差，且小于已知兩邊的和是解決問題的關(guān)鍵．【變式15】（2021上·四川內(nèi)江·九年級(jí)四川省隆昌市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）三角形兩邊的長(zhǎng)分別為2和5，第三邊的長(zhǎng)是方程x2-8x【答案】12【分析】解方程得第三邊邊長(zhǎng)可能的值，代入三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證，進(jìn)而求出周長(zhǎng)即可．【詳解】∵第三邊的長(zhǎng)是方程x2-8x+15=0當(dāng)x=3時(shí)，由于2＋3=5，不能構(gòu)成三角形；當(dāng)x=5時(shí)，由于2＋5>5，能構(gòu)成三角形；故該三角形三邊長(zhǎng)分別為2,5,5，則周長(zhǎng)為2＋5＋5=12．故答案為12．【點(diǎn)睛】本題考查了解一元二次方程，三角形三邊關(guān)系，利用三角形三邊關(guān)系驗(yàn)證三邊長(zhǎng)是否能構(gòu)成三角形是解決本題的關(guān)鍵．【變式16】（2021·四川遂寧·統(tǒng)考中考真題）先化簡(jiǎn)，再求值：m3-2m2m2-4【答案】m-3【分析】原式括號(hào)中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡(jiǎn)結(jié)果，利用三角形三邊的關(guān)系，求得m的值，代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：m====m∵m是已知兩邊分別為2和3的三角形的第三邊長(zhǎng)，∴32＜m＜3+2，即1＜m＜5，∵m為整數(shù)，∴m=2、3、4，又∵m≠0、2、3∴m=4，∴原式=4-34-2【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式的化簡(jiǎn)求值以及三角形三邊的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握分式混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．題型02應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系化簡(jiǎn)含有絕對(duì)值的式子【例2】（2019下·山東濰坊·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如果一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)分別是2，3，m，則化簡(jiǎn)m2-10【答案】-【分析】由于三角形的三邊長(zhǎng)分別為2，3，m，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，2+3＞m，即m＜5，32＜m，所以m＞1，根據(jù)m的取值范圍，再對(duì)代數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)【詳解】∵邊長(zhǎng)分別是2，3，m，∴2+3＞m，即m＜5，32＜m，即m＞1，∴m5<0，1m<0，∴m=(=5m+22m7=3m.故答案為3m.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊的關(guān)系，二次根式的性質(zhì)及絕對(duì)值的意義，由三角形三條邊的關(guān)系求出m的取值范圍是解答本題的關(guān)鍵.【變式21】（2021·湖南·長(zhǎng)沙市長(zhǎng)郡雙語實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考一模）若a，b，c是△ABC的三邊的長(zhǎng)，則化簡(jiǎn)|a【答案】a【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”，判斷絕對(duì)值內(nèi)的代數(shù)式的符號(hào)，再根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)即可．【詳解】∵a，b，c是ΔABC的三邊，∴a<b+c，∴a-b-c<0∴a==a故答案為：a+【點(diǎn)睛】題目主要考查的是三角形的三邊關(guān)系及去絕地值，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．題型03應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系解決線段的和差比較問題【例3】（2023·陜西渭南·統(tǒng)考一模）在學(xué)習(xí)了勾股定理后，數(shù)學(xué)興趣小組在李老師的引導(dǎo)下，利用正方形網(wǎng)格和勾股定理，運(yùn)用構(gòu)圖法進(jìn)行了探究活動(dòng)：如圖，在5×5正方形的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A、B、C均在格點(diǎn)上，已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為25、22、2，李老師在圖中已經(jīng)畫出了其中一邊AB．請(qǐng)你補(bǔ)全△ABC，并根據(jù)圖形比較

【答案】2【分析】根據(jù)勾股定理畫出BC、AC，再運(yùn)用三角形三邊關(guān)系比較25與2【詳解】解：△ABC

可知AB=22+4∵BC∴22【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理得實(shí)際應(yīng)用和三角形三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是關(guān)鍵．【變式31】在△ABC中，AB>AC，AD是△ABC的角平分線，請(qǐng)比較【答案】AB-【分析】首先在AB上取點(diǎn)E，使AE=AC，連接DE，易證得△AED【詳解】解：AB-AC理由：在AB上取點(diǎn)E，使AE=AC，連接DE∴AD是△ABC的角平分線，∴∠EAD=∠在△ADE和△ADC中，AE∴△AED≌△∴DE=CD∵AB-AC=AB∴AB-【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及三角形三邊關(guān)系．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．【變式32】（2023下·安徽蚌埠·八年級(jí)統(tǒng)考期末）下面是小明和小亮比較2+3與2+3

A．小明對(duì)，小亮錯(cuò) B．小明錯(cuò)，小亮對(duì)C．兩人都錯(cuò) D．兩人都對(duì)【答案】D【分析】根據(jù)兩個(gè)正數(shù)比較大小，平方數(shù)越大，則這個(gè)正數(shù)就越大，則小明的思路進(jìn)行判斷，再根據(jù)勾股定理和三角形的三邊關(guān)系對(duì)小亮的思路進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵2>0∴2+∵2+∴5+26∴2+∴小明的思路正確；∵兩個(gè)直角邊分別為2,∴由勾股定理得：斜邊長(zhǎng)為22∵三角形任意兩邊之和大于第三邊，∴2+∴小亮的思路也正確．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了實(shí)數(shù)的大小比較，熟練掌握實(shí)數(shù)大小比較的方法是解題關(guān)鍵．題型04三角形內(nèi)角和定理的證明【例4】（2023·陜西西安·西安市航天中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）某班學(xué)生對(duì)三角形內(nèi)角和為180°展開證明討論，以下四個(gè)學(xué)生的作法中，不能證明△ABC的內(nèi)角和為180°的是（

A．過點(diǎn)A作AD∥BC B．延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CEC．過點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D D．過BC上一點(diǎn)D作DE∥AC【答案】C【分析】本題運(yùn)用轉(zhuǎn)化的思想作出相應(yīng)的平行線，把三角形的內(nèi)角進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再根據(jù)平角的定義解決此題．【詳解】解：A、由AD∥BC，則∠CAD=∠C，∠B、由CE∥AB，則∠A=∠ACE，∠C、由AD⊥BC于D，則∠ADCD、由DE∥AC，得∠FDE=∠BED，∠A=∠BED，則∠FDE=∠A故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和的定理的證明，熟練掌握轉(zhuǎn)化的思想以及平行線的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．【變式41】（2022·北京·統(tǒng)考中考真題）下面是證明三角形內(nèi)角和定理的兩種添加輔助線的方法，選擇其中一種，完成證明．

三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角和等于180°，已知：如圖，ΔABC求證：∠方法一證明：如圖，過點(diǎn)A作DE

方法二證明：如圖，過點(diǎn)C作CD//AB【答案】答案見解析【分析】方法一：依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠B=∠BAD，∠方法二：由平行線的性質(zhì)得：∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，從而可求證三角形的內(nèi)角和為180°．【詳解】證明：方法一：過點(diǎn)A作DE//

則∠B=∠BAD，∠C∵點(diǎn)D，A，E在同一條直線上，∴∠DAB∴∠B+∠即三角形的內(nèi)角和為180°．方法二：如圖，過點(diǎn)C作CD

∵CD//AB，∴∠A=∠ACD，∠B+∠BCD=180°，∴∠B+∠ACB+∠A=180°．即三角形的內(nèi)角和為180°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理的運(yùn)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型05應(yīng)用三角形內(nèi)角和定理求角度【例5】（2022·黑龍江哈爾濱·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A'B'C，連接AA．70° B．65° C．60° D．55°【答案】B【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AC=A'C，∠ACA'=90°，從而得到【詳解】解：∵將Rt△ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A∴AC=A∴△AC∴∠CA∵∠A∴∠B∵∠C∴∠C故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【變式51】（2022·河北唐山·?？家荒＃┰凇鰽BC中，已知∠A=∠A．等腰三角形 B．等邊三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)即可判斷．【詳解】解：設(shè)∠C∵∠A∴∠A∵∠A∴2α∴α=36°∴∠A∴△ABC故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理和等腰三角形的判定定理，運(yùn)用了方程的思想．熟知三角形的內(nèi)角和是180°是解題的關(guān)鍵．【變式52】（2022上·河北唐山·九年級(jí)統(tǒng)考期中）在△ABC中，若cosA-32+(1-【答案】105°/105度【分析】根據(jù)非負(fù)性，求出cosA,tanB，進(jìn)而求出【詳解】解：∵cosA-3∴cosA∴cosA∴∠A∴∠C故答案為：105°．【點(diǎn)睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，絕對(duì)值的非負(fù)性以及三角形的內(nèi)角和．熟記特殊角的三角函數(shù)值，是解題的關(guān)鍵．題型06三角形內(nèi)角和與平行線的綜合應(yīng)用【例6】（2023·山西太原·山西實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）綠色出行，健康出行，你我同行．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖1是某品牌共享單車放在水平地面的實(shí)物圖，圖2是其示意圖，其中AB，CD都與地面平行，∠BCD=68°，∠BAC=52°．已知AM與CB平行，則圖1

圖2A．70° B．68° C．60° D．50°【答案】C【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠ABC=∠BCD【詳解】解：∵AB，CD都與地面平行，∠BCD∴AB∥∴∠ABC∵∠BAC∴∠ACB∵AM∥∴∠MAC故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和定理，屬于基礎(chǔ)題型，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【變式61】（2023·河南周口·淮陽第一高級(jí)中學(xué)?？既＃┪锢韺W(xué)光的反射現(xiàn)象中，反射光線、入射光線和法線都在同一個(gè)平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側(cè)；入射角等于反射角．這就是光的反射定律．如圖，兩平面鏡AB與BC的夾角為α，一條光線經(jīng)過兩次反射后，∠AEF=∠GEB，∠BGE=∠CGH，仍可以使入射光線EF與反射光線

A．60° B．80° C．90° D．100°【答案】C【分析】分別過點(diǎn)E、G作ED⊥AB，DG⊥BC，垂線相交于點(diǎn)D，由入射角等于反射角，可得∠GED=12∠GEF，∠EGD【詳解】解：分別過點(diǎn)E、G作ED⊥AB，DG⊥∵入射角等于反射角，∴∠GED=1∵EF∥∴∠GEF+∠EGH∴∠GED又∵∠BEG+∠GED∴∠BEG∴∠α故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，理解題意，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【變式62】（2022·江蘇蘇州·星海實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？级＃┤鐖D，一束太陽光線平行照射在放置于地面的正六邊形上，若∠1=19°，則∠2的度數(shù)為°．【答案】41【分析】根據(jù)正六邊形得到∠AFG=∠FAH=60°，利用三角形內(nèi)角和求出∠G的度數(shù)，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠1．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)BA交EG于點(diǎn)H，∵六邊形ABCDEF是正六邊形，∴∠AFG=∠FAH=60°，又∵∠GAH=∠1=19°，∴∠G=180°∠AFG∠GAF=180°60°79°=41°，又∵AG∥MF，∴∠2=∠G=41°；故答案為41．【點(diǎn)睛】本題考查平行線的性質(zhì)、多邊形外角性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，構(gòu)造三角形AGH是解決問題的關(guān)鍵．題型07三角形內(nèi)角和與角平分線的綜合應(yīng)用【例7】（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）如圖，BE是△ABC的角平分線，點(diǎn)D在AB上，且DE(1)求證：DB=(2)若∠A=60°，∠C【答案】(1)見解析(2)35°【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出∠DBE=∠EBC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠DEB=∠（2）∠ABC=180°-∠A-∠C【詳解】（1）證明：∵BE是△ABC∴∠DBE∵DE∥∴∠DEB∴∠DEB∴DB=（2）解：∵∠A=60°，∴∠ABC∵BE是△ABC∴∠EBC∵DE∥∴∠BED【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)．【變式71】（2022·江蘇無錫·?？家荒＃┤鐖D1，已知線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．試解答下列問題：(1)在圖1中，請(qǐng)直接寫出∠A、∠B、∠C、∠(2)如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N．請(qǐng)直接利用（①仔細(xì)觀察，在圖2中“8字形”的個(gè)數(shù)：___________個(gè)；②若∠D=40°,∠B③若∠D和∠B為任意角，其他條件不變，試問∠P與∠④若∠D和∠B∠為任意角，∠DAB=3∠2,∠DCB=3∠4，試問【答案】(1)∠(2)①6②∠P=45°③存在（理由見解析）④【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及對(duì)頂角相等可得出結(jié)論．（2）①分別找到以交點(diǎn)M、O、N為頂點(diǎn)的能構(gòu)成“8字形”的三角形，避免漏數(shù)．②利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合角平分線的定義，可求出∠P③和②同理④利用“8字形”的數(shù)量關(guān)系并結(jié)合“∠DAB=3∠2，∠【詳解】（1）解：∵在△AOD中，在△COB中，∵∠AOD∴∠（2）①解：以M為交點(diǎn)的有1個(gè)，即為△AMD和以O(shè)為交點(diǎn)的有4個(gè)，即為△AOD和△COB，△AOM和△BOC，△AOM和②解：∵AP平分∠DAB，CP平分∴2∠1=∠由（1）中的結(jié)論得：∠1+∠2∠1+∠整理得：∠∴∠③解：∠B∵AP平分∠DAB，CP平分∴2∠1=∠由（1）中的結(jié)論得：∠1+∠2∠1+∠整理得：∠④解：2∠B由（1）中的結(jié)論得：∠2+∠3∠2+∠整理得：2∠【點(diǎn)睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理、角平分線的定義，熟練利用“8字形”模型是解決本題的關(guān)鍵．【變式72】（2020·山西臨汾·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）閱讀下面內(nèi)容，并解答問題．探索三角形的內(nèi)（外）角平分線形成的角的規(guī)律在三角形中，由三角形的內(nèi)角平分線、外角平分線所形成的角存在一定的規(guī)律，如果能理解并掌握其中的規(guī)律，對(duì)解決相關(guān)的問題會(huì)起到事半功倍的效果．規(guī)律1：三角形的兩個(gè)內(nèi)角的角平分線形成的角等于90加上第三個(gè)內(nèi)角度數(shù)的一半．規(guī)律2：三角形的兩個(gè)外角的角平分線形成的角等于90°減去與這兩個(gè)外角不相鄰的內(nèi)角度數(shù)的一半．如圖，已知點(diǎn)P是△ABC的內(nèi)角平分線BP與CP的交點(diǎn)，點(diǎn)M是△ABC的外角平分線BM與CM的交點(diǎn)．則∠P證明：規(guī)律1，∵BP，CP是△ABC∴∠1=12∠∴∠A∴∠1+∠2=90°-1∴∠P規(guī)律2，∵∠3=12∠∴∠3+∠4=1∴∠M請(qǐng)解決以下問題：（1）寫出上述證明過程中依據(jù)的一個(gè)定理：______；（2）如圖，已知點(diǎn)Q是△ABC的內(nèi)角平分線BQ與△ABC的外角平分線CQ的交點(diǎn)，試探究∠Q【答案】（1）三角形內(nèi)角和定理；（2）∠Q【分析】（1）根據(jù)題意直接進(jìn)行解答即可；（2）由題意易得∠QBC=1【詳解】解：（1）答案不唯一，如三角形內(nèi)角和定理或者三角形的內(nèi)角和等于180°或者三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．（2）∠Q理由如下：∵BQ，CQ平分∠ABC和∠∴∠QBC=1∵∠QCD是△∴∠QCD∵∠ACD是△∴∠ACD∴∠ACD∴∠QCD∴∠QBC∴∠Q【點(diǎn)睛】本題主要考查三角形角平分線、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)，熟練掌握三角形角平分線、三角形內(nèi)角和及外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型08三角形折疊中的角度問題【例8】（2023·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖1，已知三角形紙片ABC，AB=AC，∠A=50°，將其折疊，如圖2，使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合，折痕為ED，點(diǎn)E，D分別在AB，AC上，那么

A．10° B．15° C．20° D．30°【答案】B【分析】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理，求出∠ABC的度數(shù)，再證明∠DBA=∠【詳解】解：∵AB=AC，∴∠ABC由折疊可得：DA=∴∠DBA∴∠DBC故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理等幾何知識(shí)點(diǎn)．【變式81】（2023·江蘇鹽城·校聯(lián)考二模）如圖，將平行四邊形ABCD折疊，使點(diǎn)C落在AD邊上的點(diǎn)C'處，若∠1=58°，∠2=42°，則∠C的度數(shù)為（

A．100° B．109° C．126.5° D．130°【答案】B【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)求出∠C'EC的度數(shù)，根據(jù)折疊的性質(zhì)求出∠【詳解】解：設(shè)折痕為EF∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AD∥∴∠C∵折疊，∴∠CEF∴∠C故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【變式82】如圖，把△ABC紙片沿DE折疊，當(dāng)點(diǎn)A落在四邊形BCDE內(nèi)部時(shí)，則∠A與∠1+∠2之間有一種數(shù)量關(guān)系