江西省宜春市宜豐中學(xué)2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試題

江西省宜豐中學(xué)20232024（下）高二6月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（40分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，則（）A B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義得出，再運(yùn)算化簡即可.【詳解】復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是，所以，，所以.故選：D．2.已知向量，，若與共線且反向，則實數(shù)的值為（）A.4 B.2 C. D.或4【答案】A【解析】【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示求出，再結(jié)合反向共線即可得解.【詳解】由向量，共線，得，解得或，當(dāng)時，，，與同向，不符合題意，當(dāng)時，，，與反向，符合題意，所以實數(shù)的值為4.故選：A3.已知平面，則“”是“且”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面垂直即可求證面面垂直，即可說明充分性，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，即可利用線面垂直的判斷求證必要性.【詳解】由于，所以，若，則，，故充分性成立，若，，設(shè)，，則存在直線使得，所以，由于，故，同理存在直線使得，所以，由于，故，由于不平行，所以是平面內(nèi)兩條相交直線，所以，故必要性成立，故選：C4.已知公比不為1的等比數(shù)列的前項和為，若數(shù)列是首項為1的等差數(shù)列，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，根據(jù)題意可得，即，化簡整理得，求得得解.【詳解】令，，，又，即，即，整理得，設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，即，解得或1，又，所以，所以.故選：C.5.已知函數(shù)的定義域為，且滿足為偶函數(shù)，當(dāng)時，，若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)條件確定函數(shù)的對稱性和周期性，再利用待定系數(shù)法列方程組求出，進(jìn)而利用對稱性和周期性求即可.【詳解】因為①，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱.因為為偶函數(shù)，所以②，則函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱.由①②得，則，故的周期為4，所以.由，令，得，即③，已知，由函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，得又函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，得所以，即，所以④，聯(lián)立③④解得，，故當(dāng)時，由的圖象關(guān)于點對稱，可得.故選：A.6.已知正四棱錐的側(cè)棱長為，且二面角的正切值為，則它的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)正方形中心為，取中點，連接、、，由正四棱錐的性質(zhì)可知，，平面，則為二面角的平面角，設(shè)正方形的邊長為，利用銳角三角函數(shù)求出，即可求出，，再設(shè)球心為，則球心在直線上，設(shè)球的半徑為，利用勾股定理求出，最后再由球的表面積公式計算可得.【詳解】設(shè)正方形中心為，取中點，連接、、，則，，平面，所以為二面角的平面角，即，設(shè)正方形的邊長為，則，又，，所以，即，解得（負(fù)值已舍去），則，，設(shè)球心為，則球心在直線上，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以外接球的表面積.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解答的關(guān)鍵是確定二面角的平面角，利用銳角三角函數(shù)求出底面邊長與高，再由正四棱錐的性質(zhì)確定球心在上.7.函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心，，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)的圖象.若，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)y軸右邊第二個對稱中心在內(nèi)，第三個對稱中心不在內(nèi)可求得，結(jié)合可得，再利用平移變換求出，根據(jù)三角變換化簡可得，然后由二倍角公式可解.【詳解】由得，因為函數(shù)在內(nèi)恰有兩個對稱中心，所以，解得，又，所以，即，所以，將函數(shù)的圖象向右平移個單位得到函數(shù)，即，因為，所以.故選：A8.如圖，在長方形中，，，E為DC的中點，F(xiàn)為線段EC（端點除外）上的動點．現(xiàn)將沿AF折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點D作，K為垂足．設(shè)，則t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點D作，垂足為H，過點F作，交AB于點P，設(shè)，用表示，在中，求出的函數(shù)關(guān)系，可求t的取值范圍.【詳解】如圖，在平面內(nèi)過點D作，垂足為H，連接HK．過點F作，交AB于點P．設(shè)，，，所以．設(shè)，則．因為平面平面，平面平面，，平面，所以平面，又平面，所以．又因為，，，平面，所以平面，平面，所以，即．在中，，，因為和都是直角三角形，，，所以，則有．因為，所以，，，所以，，得．因為，所以．故選：A.二、多選題（18分）9.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法正確的是（）A.3是的極小值點B.是的極小值點C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.曲線在處的切線斜率小于零【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的圖象，結(jié)合極小值點的定義、導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】A：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以3是的極小值點，因此本選項說法正確；B：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以不是的極小值點，因此本選項說法不正確；C：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，所以本選項說法不正確；D：：由導(dǎo)函數(shù)的圖象可知：，所以本選項說法正確，故選：AD10.如圖，正方體的棱長為1，E為的中點，下列判斷正確的是（）A.平面B.直線與直線是異面直線C.在直線上存在點F，使平面D.直線與平面所成角是【答案】AC【解析】【分析】A選項由線線平行證明線面平行；B選項找到兩個直線所在的平面否定異面關(guān)系；C選項由線面垂直的判定定理證明；D選項由線面角的定義求角的大小.【詳解】對A，正方體中，平面，平面，平面，A選項正確；對B，由圖可知直線與直線都在平面中，故B選項錯誤；對C，連接，，取的中點，連接，又為的中點，則，正方體中，，且，平面，得平面，則平面，故C選項正確；對D，連接交于點，連接，由平面，有平面，則即為直線與平面所成的角，，，則，故D選項錯誤.故選：AC.11.如圖，直四棱柱的底面是梯形，，是棱的中點，在直四棱柱的表面上運(yùn)動，則（）A.若在棱上運(yùn)動，則最小值為B.若在棱上運(yùn)動，則三棱錐的體積為定值C.若，則點的軌跡為平行四邊形D.若，則點的軌跡長度為【答案】BCD【解析】【分析】結(jié)合棱柱其結(jié)構(gòu)特征，體積的運(yùn)算，點軌跡逐一分析各選項可得答案【詳解】由題意可得，.將平面和平面，沿直線展開，如圖2，在中，，，所以，則的最小值為，故A錯；平面平面平面，即到平面的距離為定值，即三棱錐的高為定值，又為定值，所以為定值，故B正確；如圖3，連接，由正四棱柱的性質(zhì)可得四邊形為正方形，故，而為中點，故，故，而平面，平面，故，又，平面，故平面，故平面，而平面，故，而，平面，故平面，而平面，故.在梯形中，，而，故，故，而，故同理可證，而平面，則平面點的軌跡為平行四邊形，故C正確；，如圖4，以為球心，為半徑作球，則點的軌跡即為該球與直四棱柱各面截球所得的弧，在線段上取一點，使得上取一點，使得，則，平面截球得，長度為，平面截球得，長度平面平面截球得，長度為，同理可得，平面截球得，長度為，平面與球相切與點，則點的軌跡長度為，故D正確.故選：BCD.三、填空題（15分）12.已知，且，則______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題意，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可得，即可得到，由正弦函數(shù)的和差角公式代入計算，即可得到結(jié)果.【詳解】因為，所以，又，所以，所以.故答案為：13.設(shè)數(shù)列的前n項和為，若的值為常數(shù)，則稱數(shù)列為“吉祥數(shù)列”，這個常數(shù)稱為數(shù)列的“吉祥數(shù)”．已知等差數(shù)列的首項為1，公差不為0，若數(shù)列為“吉祥數(shù)列”，則它的“吉祥數(shù)”是_____．【答案】##0.25【解析】【分析】設(shè)數(shù)列的公差，利用等差數(shù)列前n項和公式，結(jié)合給定的定義建立方程，再借助恒等式求解即得.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，，而，，整理得，即對任意正整數(shù)上式均成立，因此，，所以.故答案為：14.已知正四面體的棱長為3，點滿足，過點作平面平行于和，設(shè)分別與該正四面體的棱，，相交于點，，，則四邊形的周長為______，四棱錐的體積的最大值為______.【答案】①.②.##【解析】【分析】根據(jù)線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行，根據(jù)線段的比例關(guān)系可求該平行四邊形的周長為6，取的中點為，的中點為，連接，則可求的長度，故可求到平面的距離，故可求四棱錐的體積，利用導(dǎo)數(shù)可求體積的最大值.詳解】平面，平面平面，平面，故，同理，故，同理，故四邊形為平行四邊形.由，可得，則，又正四面體的棱長為3，則，四邊形的周長為.取的中點為，的中點為，連接，則由正四面體可得，故且，故.因為，故，同理，而平面，故平面，因平面，故，，故，且，故平行四邊形為矩形.而平面，故平面,因為平面，平面，故到平面的距離即為到平面的距離，到平面的距離即為到平面的距離，而，故，故到平面的距離與到平面的距離的比值為，結(jié)合可得到平面的距離為，則四棱錐的體積.令，則，由得，由，得，則在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，在時取最大值，即的最大值為.故答案為：6，.四、解答題（77分）15.在中，內(nèi)角所對的邊分別為，且.（1）求角；（2）射線繞點旋轉(zhuǎn)交線段于點，且，求的面積的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助正弦定理將邊化角后，利用三角形內(nèi)角和公式及兩角和的正弦公式計算即可得；（2）借助等面積法計算可得，利用基本不等式可得，利用面積公式計算即可得.【小問1詳解】，由正弦定理得，則，即則，且，，；【小問2詳解】由和，可知，因為，所以，又因為，所以，即，又，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，所以，所以，所以的面積的最小值為.16.已知橢圓的長軸長為4，一個焦點與拋物線的焦點重合．（1）求橢圓的方程；（2）若不過的直線交于兩點，使得，求證：直線恒過一定點．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題可得，又，即得橢圓方程；（2）利用韋達(dá)定理法，利用斜率互為相反數(shù)得與的一次關(guān)系即得.【小問1詳解】由，可得，所以.又，故，所以，所以橢圓的方程為：.【小問2詳解】設(shè)，由可得，由，可得，則，.因為，所以直線與關(guān)于軸對稱，所以，即，所以，即，所以，可得，所以直線的方程為，恒過定點.17.如圖，在四棱錐中，，.（1）證明:平面平面；（2）若為中點，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】(1)先由余弦定理解出，由勾股定理證明垂直，進(jìn)而證明出平面，最后證出平面平面；(2)適當(dāng)說明并建立空間直角坐標(biāo)系，求出向量的坐標(biāo)，并求出平面的一個法向量，最后求解即可.【小問1詳解】在中，由余弦定理，，，平面，又平面，平面平面.【小問2詳解】由，由余弦定理可知，，所以，，所以，又由(1)知平面平面，平面平面，平面平面，，又，平面平面，，又，如圖，以為坐標(biāo)原點，以所在直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則：，，是中點，，設(shè)為平面的一個法向量，，，即，令得，設(shè)直線與平面所成角大小為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知是等比數(shù)列，滿足，且成等差數(shù)列，數(shù)列滿足.（1）求和的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用等比數(shù)列定義以及等差數(shù)列性質(zhì)可求得數(shù)列的公比，再由數(shù)列滿足的等式可得，即可求出和的通項公式.（2）寫出數(shù)列的表達(dá)式，利用分組求和法，再按奇偶分別求和即得.【小問1詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，依題意，，又，則，即，而，解得，因此；數(shù)列中，當(dāng)時，，由，得當(dāng)時，，兩式相減得，即，顯然滿足上式，因此，所以數(shù)列和的通項公式分別為.【小問2詳解】由（1）知，，，因此當(dāng)為偶數(shù)時，，當(dāng)為奇數(shù)時，，所以數(shù)列的前n項和.19.在數(shù)學(xué)中，由個數(shù)排列成的m行n列的數(shù)表稱為矩陣，其中稱為矩陣A的第i行第j列的元素.矩陣乘法是指對于兩個矩陣A和B，如果4的列數(shù)等于B的行數(shù)，則可以把A和B相乘，具體來說：若，，則，其中.已知，函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）若是的兩個極值點，證明：，.【答案】（1）答案見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由題意，，求導(dǎo)得，從而可以分是否為0進(jìn)行討論，時，可以繼續(xù)分是否大于0進(jìn)行討論，結(jié)合導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系即可得解；（2）構(gòu)造函數(shù)，首先利用導(dǎo)數(shù)證明得到，進(jìn)一步有，從而即可順利得解.【小問1詳解】由矩陣乘法定義知，，