2024屆上海市風(fēng)華中學(xué)高三下學(xué)期三校五測(cè)數(shù)學(xué)試題試卷

2024屆上海市風(fēng)華中學(xué)高三下學(xué)期三校五測(cè)數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．2．某單位去年的開(kāi)支分布的折線(xiàn)圖如圖1所示，在這一年中的水、電、交通開(kāi)支（單位：萬(wàn)元）如圖2所示，則該單位去年的水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為（）A． B． C． D．3．已知拋物線(xiàn),過(guò)拋物線(xiàn)上兩點(diǎn)分別作拋物線(xiàn)的兩條切線(xiàn)為兩切線(xiàn)的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)若,則直線(xiàn)與的斜率之積為（）A． B． C． D．4．五行學(xué)說(shuō)是華夏民族創(chuàng)造的哲學(xué)思想，是華夏文明重要組成部分.古人認(rèn)為，天下萬(wàn)物皆由金、木、水、火、土五類(lèi)元素組成，如圖，分別是金、木、水、火、土彼此之間存在的相生相克的關(guān)系.若從5類(lèi)元素中任選2類(lèi)元素，則2類(lèi)元素相生的概率為（）A． B． C． D．5．已知向量，滿(mǎn)足，在上投影為，則的最小值為()A． B． C． D．6．中，，為的中點(diǎn)，，，則（）A． B． C． D．27．記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)k的取值范圍()A． B． C． D．8．已知曲線(xiàn)且過(guò)定點(diǎn)，若且，則的最小值為（）.A． B．9 C．5 D．9．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足，且，，則（）A． B．9 C． D．710．函數(shù)在上的大致圖象是（）A． B．C． D．11．秦九韶是我國(guó)南宋時(shí)期的數(shù)學(xué)家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)書(shū)九章》中提出的多項(xiàng)式求值的秦九韶算法，至今仍是比較先進(jìn)的算法．如圖的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的一個(gè)實(shí)例，若輸入的值為2，則輸出的值為A． B． C． D．12．執(zhí)行如下的程序框圖，則輸出的是（）A． B．C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，，，設(shè)直線(xiàn)和分別與直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，若與的面積相等，則線(xiàn)段的長(zhǎng)為_(kāi)_____.14．?dāng)?shù)列滿(mǎn)足遞推公式，且，則___________.15．已知，則_____。16．實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，如果目標(biāo)函數(shù)的最小值為，則的最小值為_(kāi)______．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知變換將平面上的點(diǎn)，分別變換為點(diǎn)，．設(shè)變換對(duì)應(yīng)的矩陣為．（1）求矩陣；（2）求矩陣的特征值．18．（12分）如圖，四棱錐中，底面ABCD為菱形，平面ABCD，BD交AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是線(xiàn)段PC中點(diǎn)，G為線(xiàn)段EC中點(diǎn)．Ⅰ求證：平面PBD；Ⅱ求證：．19．（12分）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，上頂點(diǎn)為A，直線(xiàn)AF與直線(xiàn)垂直，垂足為B，且點(diǎn)A是線(xiàn)段BF的中點(diǎn).（I）求橢圓C的方程；（II）若M，N分別為橢圓C的左，右頂點(diǎn)，P是橢圓C上位于第一象限的一點(diǎn)，直線(xiàn)MP與直線(xiàn)交于點(diǎn)Q，且,求點(diǎn)P的坐標(biāo).20．（12分）已知正數(shù)x，y，z滿(mǎn)足xyzt（t為常數(shù)），且的最小值為，求實(shí)數(shù)t的值.21．（12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，側(cè)面BCC1B1是菱形，AC=BC=2，∠CBB1=，點(diǎn)A在平面BCC1B1上的投影為棱BB1的中點(diǎn)E．（1）求證：四邊形ACC1A1為矩形；（2）求二面角E-B1C-A1的平面角的余弦值．22．（10分）設(shè)數(shù)列是公差不為零的等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，，若，，成等比數(shù)列．（1）求及；（2）設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和，證明：．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】

解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合的表示，求解函數(shù)的定義域化簡(jiǎn)集合的表示，根據(jù)可以得到集合、之間的關(guān)系，結(jié)合數(shù)軸進(jìn)行求解即可.【詳解】，.因?yàn)椋杂?，因此?故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了已知集合運(yùn)算的結(jié)果求參數(shù)取值范圍問(wèn)題，考查了解一元二次不等式，考查了函數(shù)的定義域，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.2、A【解析】

由折線(xiàn)圖找出水、電、交通開(kāi)支占總開(kāi)支的比例，再計(jì)算出水費(fèi)開(kāi)支占水、電、交通開(kāi)支的比例，相乘即可求出水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比.【詳解】水費(fèi)開(kāi)支占總開(kāi)支的百分比為.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查折線(xiàn)圖與柱形圖，屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】

設(shè)出A，B的坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)求出過(guò)A，B的切線(xiàn)的斜率，結(jié)合，可得x1x2＝﹣1．再寫(xiě)出OA，OB所在直線(xiàn)的斜率，作積得答案．【詳解】解：設(shè)A（），B（），由拋物線(xiàn)C：x2＝1y，得，則y′．∴，，由，可得，即x1x2＝﹣1．又，，∴．故選：A．點(diǎn)睛：（1）本題主要考查拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分析推理能力.(2)解答本題的關(guān)鍵是解題的思路，由于與切線(xiàn)有關(guān)，所以一般先設(shè)切點(diǎn)，先設(shè)A,B,,再求切線(xiàn)PA,PB方程，求點(diǎn)P坐標(biāo)，再根據(jù)得到最后求直線(xiàn)與的斜率之積.如果先設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)，計(jì)算量就大一些.4、A【解析】

列舉出金、木、水、火、土任取兩個(gè)的所有結(jié)果共10種，其中2類(lèi)元素相生的結(jié)果有5種，再根據(jù)古典概型概率公式可得結(jié)果.【詳解】金、木、水、火、土任取兩類(lèi)，共有：金木、金水、金火、金土、木水、木火、木土、水火、水土、火土10種結(jié)果，其中兩類(lèi)元素相生的有火木、火土、木水、水金、金土共5結(jié)果，所以2類(lèi)元素相生的概率為，故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查古典概型概率公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，利用古典概型概率公式求概率時(shí)，找準(zhǔn)基本事件個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，基本亊件的探求方法有(1)枚舉法：適合給定的基本事件個(gè)數(shù)較少且易一一列舉出的；(2)樹(shù)狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問(wèn)題中的基本亊件的探求.在找基本事件個(gè)數(shù)時(shí)，一定要按順序逐個(gè)寫(xiě)出：先，….，再，…..依次….…這樣才能避免多寫(xiě)、漏寫(xiě)現(xiàn)象的發(fā)生.5、B【解析】

根據(jù)在上投影為，以及，可得；再對(duì)所求模長(zhǎng)進(jìn)行平方運(yùn)算，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模長(zhǎng)和夾角運(yùn)算，代入即可求得.【詳解】在上投影為，即又本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查向量模長(zhǎng)的運(yùn)算，對(duì)于含加減法運(yùn)算的向量模長(zhǎng)的求解，通常先求解模長(zhǎng)的平方，再開(kāi)平方求得結(jié)果；解題關(guān)鍵是需要通過(guò)夾角取值范圍的分析，得到的最小值.6、D【解析】

在中，由正弦定理得；進(jìn)而得，在中，由余弦定理可得.【詳解】在中，由正弦定理得，得，又，所以為銳角，所以，，在中，由余弦定理可得，.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查了正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力.7、D【解析】

做出函數(shù)的圖象，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個(gè)交點(diǎn)，而函數(shù)在上有3個(gè)交點(diǎn)，則在上有4個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知方程在上有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，；當(dāng)直線(xiàn)經(jīng)過(guò)時(shí)，，可知當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與的圖象在上有4個(gè)交點(diǎn)，即方程，在上有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查方程根的個(gè)數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點(diǎn)和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題的基本思想，屬于中檔題.8、A【解析】

根據(jù)指數(shù)型函數(shù)所過(guò)的定點(diǎn)，確定，再根據(jù)條件，利用基本不等式求的最小值.【詳解】定點(diǎn)為,，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)取得最小值.故選：A【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，以及基本不等式求最值，意在考查轉(zhuǎn)化與變形，基本計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題型.9、A【解析】

先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列，再根據(jù)，，可求出公差，即可求出．【詳解】數(shù)列滿(mǎn)足，則數(shù)列為等差數(shù)列，，，，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題．10、D【解析】

討論的取值范圍，然后對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可判斷.【詳解】當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，則，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)時(shí)，，故切線(xiàn)的斜率變小，當(dāng)時(shí)，，故切線(xiàn)的斜率變大，可排除A、B；當(dāng)時(shí)，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，令，，當(dāng)時(shí)，，故切線(xiàn)的斜率變大，當(dāng)時(shí)，，故切線(xiàn)的斜率變小，可排除C，故選：D【點(diǎn)睛】本題考查了識(shí)別函數(shù)的圖像，考查了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及導(dǎo)數(shù)的幾何意義，屬于中檔題.11、C【解析】

由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到的，的值，當(dāng)時(shí)，不滿(mǎn)足條件，跳出循環(huán)，輸出的值．【詳解】解：初始值，，程序運(yùn)行過(guò)程如下表所示：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，跳出循環(huán)，輸出的值為其中①②①—②得．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正確依次寫(xiě)出每次循環(huán)得到，的值是解題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．12、A【解析】

列出每一步算法循環(huán)，可得出輸出結(jié)果的值.【詳解】滿(mǎn)足，執(zhí)行第一次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第二次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第三次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第四次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第五次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第六次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第七次循環(huán)，，；成立，執(zhí)行第八次循環(huán)，，；不成立，跳出循環(huán)體，輸出的值為，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查算法與程序框圖的計(jì)算，解題時(shí)要根據(jù)算法框圖計(jì)算出算法的每一步，考查分析問(wèn)題和計(jì)算能力，屬于中等題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

先設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)，由三角形面積相等得出兩個(gè)三角形的邊之間的比例關(guān)系，這個(gè)比例關(guān)系又可用線(xiàn)段上點(diǎn)的坐標(biāo)表示出來(lái)，從而可求得點(diǎn)的橫坐標(biāo)，代入橢圓方程得縱坐標(biāo)，然后可得．【詳解】如圖，設(shè)，，，由，得，由得，∴，解得，又在橢圓上，∴，，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題，解題時(shí)由三角形面積相等得出線(xiàn)段長(zhǎng)的比例關(guān)系，解題是由把線(xiàn)段長(zhǎng)的比例關(guān)系用點(diǎn)的橫坐標(biāo)表示．14、2020【解析】

可對(duì)左右兩端同乘以得，依次寫(xiě)出，，，，累加可得，再由得，代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有，從而，，，，將以上式子累加得.由得.令，有.故答案為：2020【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題15、【解析】

由已知求，再利用和角正切公式，求得，【詳解】因?yàn)樗詂os因此.【點(diǎn)睛】本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式與和角的正切公式。16、【解析】

作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用目標(biāo)函數(shù)的最小值為，確定出的值，進(jìn)而確定出C點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)幾何意義，從而求得結(jié)果.【詳解】先做的區(qū)域如圖可知在三角形ABC區(qū)域內(nèi)，由得可知，直線(xiàn)的截距最大時(shí)，取得最小值，此時(shí)直線(xiàn)為，作出直線(xiàn)，交于A(yíng)點(diǎn)，由圖象可知，目標(biāo)函數(shù)在該點(diǎn)取得最小值，所以直線(xiàn)也過(guò)A點(diǎn)，由，得，代入，得，所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為．等價(jià)于點(diǎn)與原點(diǎn)連線(xiàn)的斜率，所以當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)C時(shí)，取得最小值，最小值為，故答案為：.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)線(xiàn)性規(guī)劃的問(wèn)題，在解題的過(guò)程中，注意正確畫(huà)出約束條件對(duì)應(yīng)的可行域，根據(jù)最值求出參數(shù)，結(jié)合分式型目標(biāo)函數(shù)的意義求得最優(yōu)解，屬于中檔題目.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）1或6【解析】

（1）設(shè)，根據(jù)變換可得關(guān)于的方程，解方程即可得到答案；（2）求出特征多項(xiàng)式，再解方程，即可得答案；【詳解】（1）設(shè)，則，，即，解得，則．（2）設(shè)矩陣的特征多項(xiàng)式為，可得，令，可得或．【點(diǎn)睛】本題考查矩陣的求解、矩陣的特征值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查運(yùn)算求解能力.18、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析．【解析】分析：（1）先證明，再證明FG//平面PBD.（2）先證明平面，再證明BD⊥FG．詳解：證明：（1）連結(jié)PE，因?yàn)镚.、F為EC和PC的中點(diǎn)，，又平面，平面，所以平面（II）因?yàn)榱庑蜛BCD，所以，又PA⊥面ABCD，平面，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，且，平面，平面，∴BD⊥FG.點(diǎn)睛：（1）本題主要考查空間位置關(guān)系的證明，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平和空間想象轉(zhuǎn)化能力.(2)證明空間位置關(guān)系，一般有幾何法和向量法，本題利用幾何法比較方便.19、（I）．（II）【解析】

（I）寫(xiě)出坐標(biāo)，利用直線(xiàn)與直線(xiàn)垂直，得到.求出點(diǎn)的坐標(biāo)代入，可得到的一個(gè)關(guān)系式，由此求得和的值，進(jìn)而求得橢圓方程.（II）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，由此寫(xiě)出直線(xiàn)的方程，從而求得點(diǎn)的坐標(biāo)，代入，化簡(jiǎn)可求得點(diǎn)的坐標(biāo).【詳解】（I）∵橢圓的左焦點(diǎn)，上頂點(diǎn)，直線(xiàn)AF與直線(xiàn)垂直∴直線(xiàn)AF的斜率，即①又點(diǎn)A是線(xiàn)段BF的中點(diǎn)∴點(diǎn)的坐標(biāo)為又點(diǎn)在直線(xiàn)上∴②∴由①②得：∴∴橢圓的方程為．（II）設(shè)由（I）易得頂點(diǎn)M、N的坐標(biāo)為∴直線(xiàn)MP的方程是：由得：又點(diǎn)P在橢圓上，故∴∴∴或（舍）∴∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為【點(diǎn)睛】本小題主要考查直線(xiàn)和圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，考查兩直線(xiàn)垂直的條件，考查向量數(shù)量積