高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提高第一輪專題復(fù)習(xí)專題03圓錐曲線中的三角形(四邊形)面積問(wèn)題(含定值、最值、范圍問(wèn)題)(典型題型歸類訓(xùn)練)(學(xué)生版+解析)

專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題（含定值、最值、范圍問(wèn)題）(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問(wèn)題直線方程：3、焦點(diǎn)三角形的面積直線過(guò)焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問(wèn)題首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問(wèn)題）1．（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，EF是圓O的一條直徑，EF不與坐標(biāo)軸重合，直線BE、BF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P、Q，求的面積的最大值．2．（2024上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓離心率等于，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率之積等于，試探究的面積是否為定值，并說(shuō)明理由.3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在拋物線上，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為(1)證明：為定值:(2)若，求的面積．題型二：四邊形面積（定值問(wèn)題）1．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過(guò)定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．2．（2024上·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；(3)延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率及四邊形的面積.3．（2023上·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，若上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，且點(diǎn)在上.(1)求橢圓的方程；(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)，在上，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，分別延長(zhǎng)，交于，兩點(diǎn)，則四邊形的面積是否為定值？若為定值，求四邊形的面積，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.題型三：三角形面積（最值，范圍問(wèn)題）1．（2024上·江西吉安·高二江西省峽江中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€C：的焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點(diǎn)．已知當(dāng)l的斜率為2時(shí)，．(1)求拋物線C的解析式；(2)試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．2．（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，EF是圓O的一條直徑，EF不與坐標(biāo)軸重合，直線BE、BF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P、Q，求的面積的最大值．3．（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┮阎?，圓，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是曲線．(1)求曲線的方程；(2)過(guò)作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交曲線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，求面積的最大值．4．（2024·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的兩焦點(diǎn)，且橢圓過(guò).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，直線交橢圓于兩點(diǎn)（與均不重合），記直線的斜率為，直線的斜率為，且，設(shè)，的面積分別為，求的取值范圍題型四：四邊形面積（最值，范圍問(wèn)題）1．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過(guò)定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．2．（2024上·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的距離的最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的大小，并求四邊形面積的最小值.3．（2024上·山西大同·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)．求四邊形的面積的最小值．4．（2024上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，若是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求此時(shí)的常數(shù)及四邊形面積的最大值.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；(3)延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率及四邊形的面積.2．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知橢圓（）的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，垂足為，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形的面積的最小值.3．（2024上·重慶九龍坡·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，焦距為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且．求的面積．4．（2024上·河北滄州·高二泊頭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)均在橢圓上．(1)求橢圓的離心率；(2)過(guò)原點(diǎn)且經(jīng)過(guò)第一、三象限的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．5．（2024上·天津?qū)幒印じ叨y(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求的面積.8．（2024上·上?！じ叨虾Ｊ袇卿林袑W(xué)?？计谀┤鐖D，設(shè)是橢圓的下焦點(diǎn)，直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn).(1)求以為圓心，短軸長(zhǎng)為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)判斷直線與斜率之和是否為常數(shù)，若成立，求出常數(shù)值；否則說(shuō)明理由；(3)求面積的最大值.9．（2024上·甘肅蘭州·高二?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，圓與圓內(nèi)切，且與圓外切，記動(dòng)圓M的圓心的軌跡記為曲線C．直線與曲線C相交于P，Q兩點(diǎn)．(1)求曲線C的方程；(2)若是一個(gè)與m無(wú)關(guān)的定值，求此時(shí)k的值及△OPQ的面積的最大值．10．（2024上·江蘇無(wú)錫·高二無(wú)錫市第一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓的左右焦點(diǎn)分別為，，且橢圓過(guò)點(diǎn)，直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)．(1)求橢圓的方程；(2)若不過(guò)原點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸，記線段的中點(diǎn)為，求證：直線的斜率與的斜率的乘積為定值；(3)若，求面積的取值范圍．專題03圓錐曲線中的三角形（四邊形）面積問(wèn)題（含定值、最值、范圍問(wèn)題）(典型題型歸類訓(xùn)練)一、必備秘籍1、弦長(zhǎng)公式（最常用公式，使用頻率最高）2、三角形面積問(wèn)題直線方程：3、焦點(diǎn)三角形的面積直線過(guò)焦點(diǎn)的面積為注意：為聯(lián)立消去后關(guān)于的一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)4、平行四邊形的面積直線為，直線為注意：為直線與橢圓聯(lián)立后消去后的一元二次方程的系數(shù).5、范圍問(wèn)題首選均值不等式，其實(shí)用二次函數(shù)，最后選導(dǎo)數(shù)均值不等式變式：作用：當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的積為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的和的最小值；當(dāng)兩個(gè)正數(shù)的和為定值時(shí)求出這兩個(gè)正數(shù)的積的最大值注意：應(yīng)用均值不等式求解最值時(shí)，應(yīng)注意“一正二定三相等”圓錐曲線經(jīng)常用到的均值不等式形式列舉：（1）（注意分三種情況討論）（2）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立（3）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（4）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立(5)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.二、典型題型題型一：三角形面積（定值問(wèn)題）1．（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，EF是圓O的一條直徑，EF不與坐標(biāo)軸重合，直線BE、BF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P、Q，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)離心率得到，即可得到答案.（2）首先設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立得到，從而得到，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：；（2）由題意知直線，的斜率存在且不為0，，不妨設(shè)直線的斜率為，則直線．由，得，或，所以.用代替，得則，，，設(shè)，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.2．（2024上·浙江寧波·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓離心率等于，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與軌跡交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率之積等于，試探究的面積是否為定值，并說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)是定值1，理由見(jiàn)解析【分析】（1）列出關(guān)于的方程組求解后可得標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，直線方程代入橢圓方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，代入斜率乘積化簡(jiǎn)得出的關(guān)系，然后由弦長(zhǎng)公式計(jì)算弦長(zhǎng)，再由點(diǎn)到直線距離公式求得三角形的高，從而計(jì)算三角形面積可得結(jié)論．【詳解】（1）由題意得，解得，

所以橢圓的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立直線和橢圓方程可得：，消去可得：，所以，即，則，

，，把韋達(dá)定理代入可得：，而點(diǎn)到直線的距離，所以，

把代入，則，可得是定值1．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查橢圓中三角形面積為定值問(wèn)題，一般設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，直線方程與橢圓方程聯(lián)立方程組消元后應(yīng)用韋達(dá)定理，并把此結(jié)論代入題設(shè)條件得出參數(shù)關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式求得弦長(zhǎng)，由點(diǎn)到直線距離公式求高，計(jì)算三角形面積，并根據(jù)參數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)得結(jié)論．3．（2024上·四川宜賓·高二統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在拋物線上，斜率為的直線與交于兩點(diǎn)，記直線的斜率分別為(1)證明：為定值:(2)若，求的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)48.【分析】（1）求出拋物線的方程，設(shè)出直線的方程，與的方程聯(lián)立，借助韋達(dá)定理及斜率坐標(biāo)公式計(jì)算即得.（2）由（1）的結(jié)論求出，進(jìn)而求出直線的方程，利用弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)到直線的距離公式求解即得.【詳解】（1）由點(diǎn)在拋物線上，得，拋物線，設(shè)直線的方程為，，顯然，所以為定值.（2）由，得，則，由（1）知，，，解得，直線的方程為，，而點(diǎn)到直線的距離，所以的面積.題型二：四邊形面積（定值問(wèn)題）1．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過(guò)定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗(yàn)證即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到條件，利用進(jìn)行計(jì)算，換元法求值域即可.【詳解】（1）由題設(shè)得，解得，由得，即，整理得，因?yàn)?，得，解得或，時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，不合題意，舍去；時(shí)，滿足，所以直線過(guò)定點(diǎn)．（3））由（2）得直線，所以，由，整理得，，由題意得，因?yàn)?，所以，所以，令，，所以，在上單調(diào)遞減，所以的范圍是．

2．（2024上·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；(3)延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率及四邊形的面積.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)斜率為，【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)、短軸長(zhǎng)求出即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，求出弦中點(diǎn)，得出斜率即可得證；（3）由題意為線段的中點(diǎn)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓求解斜率，再由點(diǎn)到直線距離求出高可得三角形面積，即可得解.【詳解】（1）由題意知，又，解得.橢圓的方程為.（2）由題意，設(shè)直線的方程為，由方程組消去得.顯然，，故為定值.（3）如圖，

若四邊形為平行四邊形，則為線段的中點(diǎn)，即點(diǎn)在橢圓上，，解得，即；結(jié)合（2）可得，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即3．（2023上·四川綿陽(yáng)·高三綿陽(yáng)南山中學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)為，，若上任意一點(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，且點(diǎn)在上.(1)求橢圓的方程；(2)在（1）的條件下，若點(diǎn)，在上，且(為坐標(biāo)原點(diǎn))，分別延長(zhǎng)，交于，兩點(diǎn)，則四邊形的面積是否為定值？若為定值，求四邊形的面積，若不為定值，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】(1)(2)四邊形的面積為定值，理由見(jiàn)解析.【分析】（1）根據(jù)定義可求出，利用點(diǎn)在橢圓上列方程即可求出，進(jìn)而得到橢圓方程；（2）設(shè)直線的方程，，，聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理結(jié)合，得到與的關(guān)系，由弦長(zhǎng)公式和點(diǎn)到直線距離公式即可得到，根據(jù)圖象對(duì)稱性即可計(jì)算四邊形的面積.【詳解】（1）因?yàn)樯先我庖稽c(diǎn)到兩焦點(diǎn)的距離之和為，所以，即.又因?yàn)辄c(diǎn)在上，所以，則，故橢圓的方程為.（2）四邊形的面積為定值，理由如下：當(dāng)直線斜率為0時(shí)，因?yàn)椋环猎O(shè)，則，則，，則，因?yàn)?，所以，即，即，則，又原點(diǎn)到的距離，所以四邊形的面積，綜上，所以四邊形的面積為定值..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.題型三：三角形面積（最值，范圍問(wèn)題）1．（2024上·江西吉安·高二江西省峽江中學(xué)?？计谀┮阎獟佄锞€C：的焦點(diǎn)F在x軸正半軸上，過(guò)F的直線l交C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)F與l垂直的直線交C于D，E兩點(diǎn)，其中B，D在x軸上方，M，N分別為，的中點(diǎn)．已知當(dāng)l的斜率為2時(shí)，．(1)求拋物線C的解析式；(2)試判斷直線是否過(guò)定點(diǎn)，若過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)設(shè)G為直線與直線的交點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】(1)(2)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)為(3)8【分析】（1）根據(jù)直線的斜率為2時(shí)列方程，得到即可得到拋物線方程；（2）分別聯(lián)立直線與拋物線、直線與拋物線方程得到點(diǎn)，的坐標(biāo)，從而得到直線的方程，即可得到直線過(guò)定點(diǎn)；（3）聯(lián)立直線與的方程得到，根據(jù)點(diǎn)，的坐標(biāo)和不等式得到，通過(guò)分析、和三種情況得到，從而可得面積的最小值.【詳解】（1）

設(shè)，，由題意得，，當(dāng)直線的斜率為2時(shí)，直線的方程為，聯(lián)立得，則，，則，所以拋物線的解析式為.（2）由（1）得，設(shè)直線的方程為，的方程為，設(shè)，，因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，當(dāng)時(shí)，：，即，因?yàn)?，所以直線的方程為，故當(dāng)時(shí)，，此時(shí)過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由得，此時(shí)直線的方程為，同樣經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)為.（3）由拋物線方程得，，則：，同理可得：，聯(lián)立得，即，由，同理，故，當(dāng)時(shí)，有，則點(diǎn)在軸上方，點(diǎn)亦在軸上方，，直線過(guò)定點(diǎn)，所以此時(shí)，同理時(shí)，點(diǎn)在軸下方，點(diǎn)亦在軸下方，，故此時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，，，所以恒成立，且時(shí)等號(hào)成立，故，所以的面積最小值為8.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定點(diǎn)問(wèn)題常見(jiàn)的兩種方法：（1）從特殊入手，求出定點(diǎn)，再證明這個(gè)點(diǎn)與變量無(wú)關(guān)；（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn).2．（2024上·江西新余·高二統(tǒng)考期末）如圖，橢圓和圓，已知橢圓C的離心率為，直線與圓O相切．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)橢圓C的上頂點(diǎn)為B，EF是圓O的一條直徑，EF不與坐標(biāo)軸重合，直線BE、BF與橢圓C的另一個(gè)交點(diǎn)分別為P、Q，求的面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先根據(jù)題意得到，再根據(jù)離心率得到，即可得到答案.（2）首先設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立得到，從而得到，即可得到（2）由題意知直線，的斜率存在且不為0，，不妨設(shè)直線的斜率為，則直線．由，得，或，所以.用代替，得則，，，設(shè)，則．當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)取等號(hào)，所以.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，注意的判斷；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.3．（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┮阎瑘A，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)的軌跡是曲線．(1)求曲線的方程；(2)過(guò)作一條不平行于坐標(biāo)軸的直線交曲線于兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線交于點(diǎn)，求面積的最大值．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)可得，再利用橢圓的定義求解即得.（2）設(shè)出直線的方程，與曲線的方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理及三角形面積公式求出面積的函數(shù)關(guān)系，并求出最大值即得.【詳解】（1）連接，由線段的垂直平分線和半徑相交于點(diǎn)，得，而圓的半徑為，則，因此曲線是以為左右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)的橢圓，顯然焦距，則，所以曲線的方程是.（2）設(shè)直線的方程為，，則，由消去得，顯然，則，于是的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以面積的最大值為.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．4．（2024·吉林長(zhǎng)春·東北師大附中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知橢圓的兩焦點(diǎn)，且橢圓過(guò).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)橢圓的左?右頂點(diǎn)分別為，直線交橢圓于兩點(diǎn)（與均不重合），記直線的斜率為，直線的斜率為，且，設(shè)，的面積分別為，求的取值范圍【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得：，求解即可；（2）先確定直線的斜率必不為0，設(shè)其方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理，結(jié)合題意可得直線恒過(guò)軸上一定點(diǎn).從而可求得，進(jìn)而可求解.【詳解】（1）由題意可得：，解得，所以橢圓的方程為：；（2）依題意，，設(shè)，直線斜率為.若直線的斜率為0，則點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，必有，不合題意.所以直線的斜率必不為0，設(shè)其方程為，與橢圓的方程聯(lián)立得，所以，且因?yàn)槭菣E圓上一點(diǎn)，滿足，所以，則，即.因?yàn)樗?，此時(shí)，故直線恒過(guò)軸上一定點(diǎn).因此，所以，令，當(dāng)即時(shí)，取得最大值..【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問(wèn)題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時(shí)計(jì)算；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問(wèn)題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或、）的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.題型四：四邊形面積（最值，范圍問(wèn)題）1．（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）已知橢圓的離心率為，點(diǎn)在橢圓上，過(guò)點(diǎn)的兩條直線，分別與橢圓交于另一點(diǎn)A，B，且直線，，的斜率滿足．(1)求橢圓的方程；(2)證明直線過(guò)定點(diǎn)；(3)橢圓C的焦點(diǎn)分別為，，求凸四邊形面積的取值范圍．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)條件列出方程組，解出即可；（2）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用，建立方程，解出后驗(yàn)證即可；（3）設(shè)直線，聯(lián)立直線和橢圓方程，消元后，利用韋達(dá)定理得到條件，利用進(jìn)行計(jì)算，換元法求值域即可.【詳解】（1）由題設(shè)得，解得，所以的方程為；（2）由題意可設(shè)，設(shè)，，由，整理得，．由韋達(dá)定理得，，由得，即，整理得，因?yàn)?，得，解得或，時(shí)，直線過(guò)定點(diǎn)，不合題意，舍去；時(shí)，滿足，所以直線過(guò)定點(diǎn)．（3））由（2）得直線，所以，由，整理得，，由題意得，因?yàn)?，所以，所以，令，，所以，在上單調(diào)遞減，所以的范圍是．

2．（2024上·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率，橢圓上一動(dòng)點(diǎn)到的距離的最小值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)斜率為的直線過(guò)點(diǎn)，交橢圓于兩點(diǎn)，記線段的中點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)，直線交橢圓于兩點(diǎn)，求的大小，并求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)，3【分析】（1）由題意，結(jié)合平方關(guān)系即可得解.（2）由題意設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理、中點(diǎn)坐標(biāo)公式得坐標(biāo)，方程，聯(lián)立進(jìn)而得坐標(biāo)，可以發(fā)現(xiàn)，所以，由四邊形對(duì)角線互相垂直，以及弦長(zhǎng)公式、同理思想可表示出面積，結(jié)合基本不等式的相關(guān)推論即可得解.【詳解】（1）設(shè)橢圓的半焦距為，由已知，求得，所以.所以橢圓的方程為.（2）由已知橢圓的右焦點(diǎn)為，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立，可得.則.于是有.因?yàn)榈闹悬c(diǎn)為，所以，因此直線的斜率，因?yàn)橹本€交直線于點(diǎn)，所以，故直線的斜率為，即得，因此直線與直線垂直，所以，所以.因?yàn)?，所以直線的方程為，同理可得，所以四邊形的面積.因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，故四邊形面積的最小值為3.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：第二問(wèn)求的關(guān)鍵是先用的斜率表示出的斜率，結(jié)合到角公式可以得夾角，事實(shí)上可以得，問(wèn)題就簡(jiǎn)單了，然后由弦長(zhǎng)公式、同理思想表示出四邊形面積，即可順利得解.3．（2024上·山西大同·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)在直線上．(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的兩條互相垂直的直線分別與橢圓相交于，兩點(diǎn)和，兩點(diǎn)．求四邊形的面積的最小值．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題設(shè)易得，結(jié)合橢圓定義及兩點(diǎn)距離公式求得，進(jìn)而可得橢圓方程；（2）討論直線斜率，設(shè)直線方程并聯(lián)立橢圓求相交弦長(zhǎng)，進(jìn)而得到四邊形的面積關(guān)于直線斜率的表達(dá)式，即可得求最小值.【詳解】（1）由題意，橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，即，所以，即，，所以橢圓的方程為．（2）①當(dāng)直線的斜率不存在或?yàn)?時(shí)，，，，分別為橢圓的四個(gè)頂點(diǎn)，所以．②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)，則，設(shè)，，，，聯(lián)立，解得，即，所以，同理，所以．令，則，，所以，，當(dāng)時(shí)，又，所以四邊形的面積的最小值為．4．（2024上·貴州銅仁·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)，且過(guò)點(diǎn).(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，且，關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)分別為，，若是一個(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，求此時(shí)的常數(shù)及四邊形面積的最大值.【答案】(1)(2)28，【分析】（1）由橢圓的定義求出，再由焦點(diǎn)坐標(biāo)求出，再由，即可得出答案；（2）聯(lián)立直線與橢圓方程，消去y，由韋達(dá)定理表示出，因?yàn)槭且粋€(gè)與無(wú)關(guān)的常數(shù)，所以，求出，再表示出四邊形的面積，由二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可得出答案.【詳解】（1）點(diǎn)到橢圓兩焦點(diǎn)的距離和為，.又，故，故橢圓方程為.（2）依題意，可得四邊形為平行四邊形，故，設(shè)，，則，由，消掉可得，可得，，∴.若上式與無(wú)關(guān)，故，.故此時(shí)常數(shù)為28.此時(shí)，，，而原點(diǎn)到的距離，四邊形的面積，此時(shí)，滿足成立.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求定值問(wèn)題常見(jiàn)的方法①?gòu)奶厥馊胧郑蟪龆ㄖ?，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．②直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2024上·天津河北·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸長(zhǎng)為2.過(guò)點(diǎn)且不平行于坐標(biāo)軸的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)證明：直線的斜率與直線的斜率的乘積為定值；(3)延長(zhǎng)線段與橢圓交于點(diǎn)，若四邊形為平行四邊形，求此時(shí)直線的斜率及四邊形的面積.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)斜率為，【分析】（1）根據(jù)橢圓的焦點(diǎn)、短軸長(zhǎng)求出即可得解；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，求出弦中點(diǎn)，得出斜率即可得證；（3）由題意為線段的中點(diǎn)，表示出點(diǎn)坐標(biāo)，代入橢圓求解斜率，再由點(diǎn)到直線距離求出高可得三角形面積，即可得解.【詳解】（1）由題意知，又，解得.橢圓的方程為.（2）由題意，設(shè)直線的方程為，由方程組消去得.顯然，設(shè)，則.為線段的中點(diǎn)，，，故為定值.（3）如圖，

若四邊形為平行四邊形，則為線段的中點(diǎn)，即點(diǎn)在橢圓上，，解得，即；結(jié)合（2）可得，，設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，則，即2．（2024上·遼寧·高三校聯(lián)考期末）已知橢圓（）的離心率為，左?右焦點(diǎn)分別為，.過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，過(guò)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，且，垂足為，.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由幾何關(guān)系得，結(jié)合離心率得橢圓的方程；（2）按兩條相互垂直的直線斜率是否存在分類討論，當(dāng)直線BD的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線BD的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，用弦長(zhǎng)公式求，同理得，表示出四邊形的面積并求最小值.【詳解】（1）因?yàn)椋棺銥?，O為的中點(diǎn)，所以，即，又因?yàn)殡x心率，所以，，橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線BD的斜率不存在或斜率為零時(shí)，四邊形ABCD的面積為；當(dāng)直線BD的斜率存在且不為零時(shí)，設(shè)直線BD的方程為，，，聯(lián)立方程組，得，則，，，由，及橢圓的對(duì)稱性，，四邊形ABCD的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，因?yàn)?，所以四邊形ABCD的面積最小值為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：當(dāng)直線BD的斜率存在且不為零時(shí)，由弦長(zhǎng)公式得，求的長(zhǎng)可根據(jù)直線AC過(guò)定點(diǎn)且與直線BD垂直，結(jié)合橢圓的對(duì)稱性通過(guò)用代直接得到.3．（2024上·重慶九龍坡·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，焦距為2．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，且．求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)橢圓焦距及離心率即可得；（2）聯(lián)立橢圓方程后，利用韋達(dá)定理及可得的值，即可求出的面積.【詳解】（1）∵橢圓：的離心率為，故，又焦距為2，故，即有，，則，∴橢圓的方程為；（2）聯(lián)立，消去整理得，由，則，設(shè)，，則，，故，則，化簡(jiǎn)得，即，滿足，故，又點(diǎn)到直線的距離，∴的面積，故的面積為.4．（2024上·河北滄州·高二泊頭市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，點(diǎn)均在橢圓上．(1)求橢圓的離心率；(2)過(guò)原點(diǎn)且經(jīng)過(guò)第一、三象限的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓右頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上頂點(diǎn)，求四邊形面積的最大值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用待定系數(shù)法，結(jié)合題目中的已知點(diǎn)，建立方程組，根據(jù)橢圓離心率的計(jì)算公式，可得答案；（2）設(shè)出函數(shù)解析式，聯(lián)立方程，求得交點(diǎn)坐標(biāo)，利用分割法，整理函數(shù)解析式，結(jié)合基本不等式，可得答案.【詳解】（1）設(shè)橢圓的方程為，點(diǎn)均在橢圓上，，解得，橢圓的方程為，橢圓的離心率．（2）由題意，設(shè)直線的方程為，設(shè)，其中，聯(lián)立，得，，由題設(shè)，，四邊形的面積為：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，上式取等號(hào)．四邊形面積的最大值為．5．（2024上·天津?qū)幒印じ叨y(tǒng)考期末）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為.(1)求橢圓的方程；(2)設(shè)直線與橢圓交于A，B兩點(diǎn)，求的面積.【答案】(1)；(2).【分析】（1）由題設(shè)可得、，進(jìn)而寫(xiě)出橢圓方程；（2）聯(lián)立橢圓與直線，應(yīng)用韋達(dá)定理、弦長(zhǎng)公式及點(diǎn)線距離公式求，進(jìn)而求面積.【詳解】（1）由題設(shè)且，則，故，所以.（2）聯(lián)立直線與橢圓，可得，顯然，所以，，故，而到的距離，所以的面積為.6．（2024上·遼寧葫蘆島·高二統(tǒng)考期末）在以下三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并作答.條件①：直線的法向量為；條件②：與直線平行；條件③：與直線垂直.已知直線經(jīng)過(guò)且___________.(1)求直線方程；(2)若點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)做的兩條切線，切點(diǎn)分別為，兩點(diǎn)，求四邊形的面積的最小值.【答案】(1)所選條件見(jiàn)解析，；(2)5.【分析】（1）選擇①，根據(jù)法向量得到直線的一個(gè)方向向量，即得斜率，點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程；選擇②③，由平行、垂直關(guān)系設(shè)所求直線方程，將已知點(diǎn)代入求參數(shù)，即得直線方程；（2）由圓切線性質(zhì)，問(wèn)題化為先求，再求四邊形的面積的最小值.【詳解】（1）若選擇①：由法向量，可得直線的一個(gè)方向向量，可得，于是，代入并整理得，綜上，直線方程為；若選擇②：與直線平行，可設(shè)直線方程為，，將代入，則有，解得，整理得，綜上，直線方程為；若選擇③：與直線垂直，可設(shè)直線方程為，將代入，則有，解得，整理得綜上，直線方程為.（2）由題意，圓的方程為，得圓心為，半徑為，則到距離為，即直線與圓相離，而，，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)面積的最小值為.7．（2024上·湖北武漢·高三統(tǒng)考期末）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，M為拋物線上一點(diǎn)，且在第一象限內(nèi).過(guò)作拋物線的兩條切線，，A，B是切點(diǎn)；射線交拋物線于.(1)求直線的方程（用M點(diǎn)橫坐標(biāo)表示）；(2)求四邊形面積的最小值.【答案】(1)(2)16【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求則切線和的方程，由點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足和的方程，得直線的方程；（2）設(shè)直線的方程，表示出弦長(zhǎng)，再求A、B