安徽省鼎尖名校聯(lián)盟高三下學(xué)期5月第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷2

【新結(jié)構(gòu)】2024屆安徽省鼎尖名校聯(lián)盟高三5月第三次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷?一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知果合，，則圖中所示的陰影部分的集合可以表示為(

)

A. B.

C. D.2.已知某地區(qū)高中生的身高X近似服從正態(tài)分布，若，則(

)A. B. C. D.3.若，，，則(

)A. B. C. D.4.直線與圓的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為(

)A.0 B.1 C.2 D.1或25.已知為等比數(shù)列，是它的前n項(xiàng)和．若，且與的等差中項(xiàng)為，則(

)A.29 B.31 C.33 D.356.已知圓臺(tái)的上、下底面積分別為，，體積為，線段AB，CD分別為圓臺(tái)上、下底面的兩條直徑，且A，B，C，D四點(diǎn)不共面，則四面體ABCD的外接球表面積為(

)A. B. C. D.7.已知函數(shù)的部分圖象如下圖所示，若曲線過點(diǎn)，，，，且，則(

)

A. B. C. D.8.已知拋物線與直線交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在線段MN上，且，若點(diǎn)在直線OP上，則(

)A. B. C. D.二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對的得6分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9.若復(fù)數(shù)，是方程的兩根，則(

)A.，實(shí)部不同

B.，虛部不同

C.

D.在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)位于第三象限10.已知中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，其中，，，，則(

)A.

B.的外接圓面積為

C.若，，則

D.若，，則11.已知函數(shù)其中，且，則(

)A. B.函數(shù)有2個(gè)零點(diǎn)

C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.的展開式中的系數(shù)為__________.13.已知四棱錐的底面ABCD為矩形，其中，點(diǎn)平面ABCD，點(diǎn)M，N分別在線段AB，SD上不含端點(diǎn)位置，其中，則四面體CBMN的體積最大值為__________.14.我們把焦點(diǎn)相同且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對“友好曲線”.已知，為一對“友好曲線”的左、右焦點(diǎn)，M為兩者在第一象限的交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，這一對“友好曲線”中雙曲線的離心率為__________.四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.本小題13分已知函數(shù)求曲線在處的切線方程;若，求函數(shù)在上的最值.16.本小題15分近年來，為了提升青少年的體質(zhì)，教育部出臺(tái)了各類相關(guān)文件，各地區(qū)學(xué)校也采取了相應(yīng)的措施，適當(dāng)增加在校學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間;現(xiàn)調(diào)查某地區(qū)中學(xué)生包含初中生與高中生對增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度，所得數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示：喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間不喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間初中生16040高中生14060在犯錯(cuò)誤的概率不超過小概率值的前提下，能否認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān)聯(lián);以頻率估計(jì)概率，若在該地區(qū)所有中學(xué)生中隨機(jī)抽取4人，記“喜歡增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間”的人數(shù)為X，求X的分布列以及數(shù)學(xué)期望參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：17.本小題15分

如圖，已知四棱錐中，點(diǎn)S在平面ABCD內(nèi)的投影為點(diǎn)A，，

求證：平面平面若平面SAB與平面SCD所成角的正弦值為，求SA的值.18.本小題17分已知橢圓的長軸長為4，左，右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為A，其中直線的斜率為求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;已知直線l與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，若原點(diǎn)到直線l的距離為1，求周長的取值范圍.19.本小題17分已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若數(shù)列滿足：①數(shù)列為有窮數(shù)列;②數(shù)列為遞增數(shù)列;③，，，，使得

則稱數(shù)列具有“和性質(zhì)”.已知，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列是否具有“和性質(zhì)”判斷是否具有“和性質(zhì)”時(shí)不必說明理由，直接給出結(jié)論若首項(xiàng)為1的數(shù)列具有“和性質(zhì)”.ⅰ比較與的大小關(guān)系，并說明理由;ⅱ若數(shù)列的末項(xiàng)為36，求的最小值.

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】本題考查集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

由條件求出集合A和B，再由結(jié)合運(yùn)算即可得解.【解答】

解：由圖可知，陰影部分表示的集合的元素為集合A中的元素除去掉集合的元素構(gòu)成，

而，，

故所求集合為，

故選2.【答案】D

【解析】【分析】本題主要考查正態(tài)分布的概率計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)題意利用正態(tài)曲線的對稱性進(jìn)行解答即可，【解答】

解：依題意，，

故選3.【答案】D

【解析】【分析】本題考查比較大小、涉及對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可比較a，b，然后a，c再與2比較大小，可得結(jié)果.【解答】

解：依題意，，故而，

故，

故選4.【答案】C

【解析】【分析】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

根據(jù)已知直線與圓的方程，得到直線過定點(diǎn)即可判定.【解答】

解：直線l過定點(diǎn)，而又在圓C上，而直線l的斜率顯然存在，

故公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為2，

故選：5.【答案】B

【解析】【分析】本題考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的綜合應(yīng)用，求出數(shù)列的首項(xiàng)和公比是解決問題的關(guān)鍵，屬于中檔題．

由題意可得①，②，聯(lián)立①②可解得，，進(jìn)而即可求解的值．【解答】

解：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，

，

①

與的等差中項(xiàng)為，

，

即②

聯(lián)立①②可解得，，

，

故選6.【答案】B

【解析】【分析】本題考查圓臺(tái)的體積、球的表面積、球的切、接問題，屬于一般題.

利用圓臺(tái)的體積公式即可求出圓臺(tái)的高，根據(jù)

四面體ABCD的外接球即為圓臺(tái)的外接球，求出外接球半徑，代入球的表面積公式，即可求出結(jié)果.【解答】

解：依題意，設(shè)圓臺(tái)

的高為h，

則

，解得

四面體ABCD的外接球即為圓臺(tái)

的外接球，

設(shè)其半徑為R，球心為O，

，

由已知易得圓臺(tái)

的上、下底面圓半徑分別為

，，

則

，

故

，解得，

故

，

故四面體ABCD的外接球表面積為7.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了五點(diǎn)法作圖和兩角和與差的余弦公式，屬于中檔題.

利用五點(diǎn)法作圖，結(jié)合函數(shù)的圖象得、和，再利用兩角差的余弦公式，計(jì)算得結(jié)論.【解答】

解：因?yàn)?，所以，而，因此，?/p>

因?yàn)?，所以由“五點(diǎn)法”作圖得：，解得，因此

因?yàn)椋裕?/p>

因?yàn)橛珊瘮?shù)的圖象，結(jié)合“五點(diǎn)法”作圖知：，，

所以由和得：，，

因此

8.【答案】A

【解析】【分析】本題考查了直線與拋物線的位置關(guān)系，是中檔題.

設(shè)直線OM，ON的方程分別為，，由點(diǎn)到直線OM的距離為r，得，設(shè)，，則，故，將直線l與拋物線聯(lián)立，由韋達(dá)定理可得k的值.【解答】

解：已知直線，設(shè)直線OM，ON的方程分別為，，

記點(diǎn)到直線OM的距離為r，則，

整理得，

同理可得，，

故，是方程的兩根，故，

設(shè)，，則，故，

聯(lián)立

故，故，

則，故，解得，

故選9.【答案】BC

【解析】【分析】本題考查復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程、復(fù)數(shù)的模及其幾何意義、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義、復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，屬于一般題.

方程可化為，求出，再對各選項(xiàng)逐項(xiàng)判定，即可求出結(jié)果.

【解答】

解：方程可化為，

故，則，是共軛復(fù)數(shù)，實(shí)部相同，虛部互為相反數(shù)，故A錯(cuò)誤，B正確;

而，故C正確;

，

故在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第一象限，故D錯(cuò)誤.

故選10.【答案】BCD

【解析】【分析】本題考查了向量的數(shù)量積、利用正余弦定理解三角形和三角恒等變換，是中檔題.

先由向量的數(shù)量積、正弦定理和三角恒等變換得，則，再由利用正余弦定理解三角形逐一判定即可.【解答】

解：依題意，，

則，

由正弦定理，，

因?yàn)?，且?/p>

故，故，

因?yàn)?，故，故A錯(cuò)誤;

則，故其外接圓面積為，故B正確;

而，記，

所以，，，，

在中，由正弦定理，，即，

在中，由余弦定理，，

故，解得，

因?yàn)?，則，，故C、D正確;

故選11.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查了分段函數(shù)和函數(shù)零點(diǎn)，是中檔題.

先作出函數(shù)圖象，結(jié)合圖象逐一判定即可.【解答】

解：，故A正確;

作出函數(shù)的圖象如圖所示，

觀察可知，，而，

故，有3個(gè)交點(diǎn)，

即函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤;

由對稱性，，而，

故，故C正確;

b，c是方程的根，故，

令，則，

故，而，均為正數(shù)且在上單調(diào)遞增，

故，故D正確，

故選12.【答案】

【解析】【分析】本題主要考查二項(xiàng)展開式中指定項(xiàng)的系數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．

由題意利用乘方的幾何意義，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式，求出展開式中含的項(xiàng)，可得結(jié)論．【解答】

解：要想產(chǎn)生，則出1個(gè)，出2個(gè)，y出2個(gè)，

故所求系數(shù)為13.【答案】

【解析】【分析】本題考查了棱錐的體積，是中檔題.

設(shè)，，其中，計(jì)算四面體CBMN的體積，再研究最值即可.【解答】

解：在AD上取點(diǎn)G，使得，由，

設(shè)，，其中，

由，，平面ABCD，

可得，，，，

因?yàn)?，故平面ABCD，

在中，，則，

則的面積為，

故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立.14.【答案】

【解析】【分析】本題考查橢圓、雙曲線的定義和性質(zhì)，主要是離心率的求法，同時(shí)考查了余弦定理，屬于較難題．

分別運(yùn)用橢圓和雙曲線的定義、結(jié)合余弦定理，和離心率公式，解方程可得所求值．【解答】

解：設(shè)橢圓的長半軸長為，橢圓的離心率為，則，，

雙曲線的實(shí)半軸長為a，雙曲線的離心率為e，則，，

設(shè)，，則，

當(dāng)點(diǎn)M被看作是橢圓上的點(diǎn)時(shí)，有，

當(dāng)點(diǎn)M被看作是雙曲線上的點(diǎn)時(shí)，有，

兩式聯(lián)立消去xy得，即，

所以，又，

所以，整理得，解得或舍去，

所以，即雙曲線的離心率為15.【答案】解：依題意，，故，

而，故切點(diǎn)為，

則所求切線方程為

由可知，，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，

而，，，

故所求最大值為，最小值為

【解析】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義及導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性關(guān)系的簡單應(yīng)用，屬于中檔題．利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求出切線的斜率，即可求出結(jié)果；利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出

和

的解集，即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，再求出兩端點(diǎn)函數(shù)值及極值，通過比較，即可求出結(jié)果.16.【答案】解：零假設(shè)不能認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān)聯(lián)，

則，

故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充足證據(jù)推斷不成立，

因此可以認(rèn)為成立，即不能認(rèn)為學(xué)段與對增加體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的態(tài)度有關(guān)聯(lián);

依題意，X∽，

，

，

，

，

故X的分布列為：X01234P

則

【解析】本題考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)、離散型隨機(jī)變量的分布列和離散型隨機(jī)變量的期望，是中檔題.

先得出，對照臨界值表可得結(jié)論；

依題意，X∽，得出對應(yīng)概率，可得X的分布列以及數(shù)學(xué)期望17.【答案】解：設(shè)BC中點(diǎn)為E，連接AE，

因?yàn)?，且?/p>

故四邊形ADCE為正方形，

而，，，

所以，所以，

因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，

所以，

又SA，平面SAB，，

所以平面SAB，

因?yàn)槠矫鍿AC，

所以平面平面

以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AE、AD、AS所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，

則，，，，

所以，，

設(shè)平面SCD的法向量為，

則即

令，所以，

由知，平面SAB的法向量為，

則，，

解得

【解析】本題考查了面面垂直的判定和平面與平面所成角的向量求法，是中檔題.

先證明平面SAB，由面面垂直的判定即可得證；

建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，得出平面SCD的法向量和平面SAB的法向量，利用空間向量求解即可.18.【答案】解：依題意，，

聯(lián)立三式，解得，，

故橢圓C的方程為

設(shè)，，

則，

同理可得，，

易知直線l與單位圓相切，設(shè)切點(diǎn)為B，

，同理可得，，

故的周長為，

當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，

l的方程為或，此時(shí)的周長為4或；

當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)l的方程為，

則原點(diǎn)到直線l的距離，故，

聯(lián)立化簡可得，

故，易知，故，同號;

當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)點(diǎn)M在y軸右側(cè)，所以，，

此時(shí)的周長為為定值;

當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)點(diǎn)M在y軸左側(cè)，所以，，

此時(shí)的周長為

，

因?yàn)?，故?/p>

當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)取等號，

從而，故的周長的取值范圍為

綜上所述，的周長的取值范圍為

【解析】本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和直線與橢圓的位置關(guān)系，是較難題.

由條件聯(lián)立方程組，解出可得橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

設(shè)，，易得的周長為，再分直線l的斜率不存在和存在，兩種情況求解計(jì)算即可.19.【答案】解：因?yàn)椋?/p>

所以當(dāng)時(shí)，；

當(dāng)時(shí)，，

而當(dāng)時(shí)，滿足，

因此數(shù)列的通項(xiàng)公式為

該數(shù)列具有“和性質(zhì)”.

因?yàn)槭醉?xiàng)為1的數(shù)列具有“和性質(zhì)”，

所以，，，，使得，且，，

因此，，所以

因此，，，，，，

所以將上述不等式相加得：，即

因?yàn)椋?，因?/p>

因?yàn)閿?shù)列具有“和性質(zhì)”，所以由③得：，因此數(shù)列中的項(xiàng)均為整數(shù).

構(gòu)造數(shù)列：1，2，3，6，9，18，36或數(shù)列：1，2，4，5，9，18，36，

因此這兩個(gè)數(shù)列具有“和性質(zhì)”，此時(shí)

下面證明的最小值為75，即證明不可能存在比75更小的

假設(shè)存在性顯然，因?yàn)闈M足的數(shù)列只有有限個(gè)

第一步：首先說明有窮數(shù)列中至少有7個(gè)元素.

設(shè)有窮數(shù)列中元素組合的集合為A，

由知：，，，而，因此，，，，，所以

第二步：證明，

若，設(shè)

因?yàn)椋詾榱耸沟米钚?，則在數(shù)列中一定不含有，使得，因此

假設(shè)，根據(jù)“和性質(zhì)”，對，有，，使得

顯然，因此，

所以由有窮數(shù)列中至少有7個(gè)元素得：集合A中至少還有4個(gè)不同于，，的元素，

因此，與矛盾，所以，且

同理可證：

根據(jù)“和性質(zhì)”得：存在、，使得

我們需要考慮如下幾種情形：

①當(dāng)，時(shí)，至少還需要一個(gè)大于等于4的，才能得到8，因此

②當(dāng)，時(shí)，至少還需要一