自動控制原理：第2章-控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

自動控制原理

第二章控制系統(tǒng)的數(shù)學模型

§2.1引言

§2.2控制系統(tǒng)的時域數(shù)學模型復(fù)習：拉普拉斯變換有關(guān)知識自動控制原理課程的任務(wù)與體系結(jié)構(gòu)§2控制系統(tǒng)的數(shù)學模型自動控制原理時域模型—微分方程復(fù)域模型—傳遞函數(shù)§2.1引言數(shù)學模型描述系統(tǒng)輸入、輸出變量以及內(nèi)部各變量之間關(guān)系的數(shù)學表達式

建模方法

解析法（機理分析法）根據(jù)系統(tǒng)工作所依據(jù)的物理定律列寫運動方程

實驗法（系統(tǒng)辨識法）給系統(tǒng)施加某種測試信號，記錄輸出響應(yīng)，并用適當?shù)臄?shù)學模型去逼近系統(tǒng)的輸入輸出特性§2.2控制系統(tǒng)的數(shù)學模型—微分方程線性定常系統(tǒng)微分方程的一般形式§2.2控制系統(tǒng)的數(shù)學模型—微分方程§2.2.1

線性元部件及系統(tǒng)的微分方程例1R-L-C串連電路控制系統(tǒng)的數(shù)學模型—基本術(shù)語：2024/11/1a.輸入量：體現(xiàn)引起運動的原因的物理量。本例中，Ur(t)是輸入量b.受控量：體現(xiàn)運動的物理量。

本例中，電流i(t)、uc(t)是受控量。c.輸出量：需要重點研究的受控量。d.中間變量：某些受控制量選為輸出量后，其余的受控量就視作中間變量。把uc(t)選作輸出量，i(t)為中間量?！?.2控制系統(tǒng)的數(shù)學模型—分析法建模的步驟2024/11/1建立物理模型。任何元件或系統(tǒng)實際上都是很復(fù)雜的，難以對它作出精確、全面的描述，必須進行簡化或理想化。簡化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡化是有條件的，要根據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。列寫原始方程。利用適當?shù)奈锢矶伞缗ｎD定律、基爾霍夫電流和電壓定律、能量守恒定律等）選定系統(tǒng)的輸入量、輸出量及狀態(tài)變量（僅在建立狀態(tài)模型時要求），消去中間變量，建立適當?shù)妮斎胼敵瞿Ｐ突驙顟B(tài)空間模型。§2.3線性微分方程的解2024/11/1有兩種解法（1）正規(guī)解法;（2）拉普拉斯變換法1.正規(guī)解法的解是特解，是齊次線性微分方程的通解。代表對象的自由運動。§2.3線性微分方程的解2024/11/1例特征方程是特征根是齊次微分方程的解§2.3線性微分方程的解2024/11/1定義：如果微分方程的特征根是其中沒有重根，則把函數(shù)定義為該微分方程所描述的運動的模態(tài)。每一種模態(tài)代表一種類型的運動形態(tài)。

線性定常微分方程求解微分方程求解方法

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（1）1復(fù)數(shù)有關(guān)概念

（1）復(fù)數(shù)、復(fù)函數(shù)復(fù)數(shù)復(fù)函數(shù)例1（2）模、相角（3）復(fù)數(shù)的共軛模相角

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（2）2拉氏變換的定義

（1）階躍函數(shù)像函數(shù)原函數(shù)3常見函數(shù)的拉氏變換（2）指數(shù)函數(shù)

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（3）（3）正弦函數(shù)

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（4）（1）線性性質(zhì)4拉氏變換的幾個重要定理（2）微分定理證明：0初條件下有：

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（5）例2求解：

例3求解：

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（6）（3）積分定理零初始條件下有：進一步有：

例4求L[t]=?

解.例5求解.

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（7）（4）實位移定理證明：例6解：

令

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（8）（5）復(fù)位移定理證明：令例7例8例9

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（9）（6）初值定理證明：例10由微分定理

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（10）（7）終值定理證明：例11（終值確實存在時）例12由微分定理

復(fù)習拉普拉斯變換有關(guān)內(nèi)容（11）用拉氏變換方法解微分方程L變換系統(tǒng)微分方程L-1變換控制系統(tǒng)的數(shù)學模型課程小結(jié)(1)時域模型—微分方程元部件及系統(tǒng)微分方程的建立線性定常系統(tǒng)微分方程的特點微分方程求解

課程小結(jié)(2)1拉氏變換的定義

（2）單位階躍2常見函數(shù)L變換（5）指數(shù)函數(shù)（1）單位脈沖（3）單位斜坡（4）單位加速度（6）正弦函數(shù)（7）余弦函數(shù)

課程小結(jié)(3)（2）微分定理3L變換重要定理（5）復(fù)位移定理（1）線性性質(zhì)（3）積分定理（4）實位移定理（6）初值定理（7）終值定理2024/11/12.5傳遞函數(shù)一．傳遞函數(shù)１．定義：線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，定義為零初使條件下，系統(tǒng)輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。系統(tǒng)微分方程的一般形式為：設(shè)R(s)=L[r(t)],C(s)=L[c(t)],當初始條件均為0時,有

(sn+a1sn-1+…+an-1s+an)C(s)=(b0sm+b1sm-1+…+bm-1s+bm)R(s)

即傳遞函數(shù):

2024/11/1二．注意

（1）傳遞函數(shù)是由微分方程在初始條件為零時進行拉氏變換得到的,是以s為自變量的函數(shù)，s為復(fù)頻率。（2）如果已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)和輸入信號,則可根據(jù)式求得初始條件為零時輸出量的拉氏變換式C（S）,再求C（S）的拉氏反變換可得到系統(tǒng)的響應(yīng)

c(t)。所以傳遞函數(shù)和微分方程、傳遞函數(shù)與時域響應(yīng)之間都具有密切聯(lián)系

。（3）傳遞函數(shù)的分母多項式即為微分方程的特征多項式

。G(s)還可寫成2024/11/1性質(zhì)1傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，m≤n，且具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。三．傳遞函數(shù)的幾點性質(zhì)性質(zhì)2G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式（幅度與大?。o關(guān)。性質(zhì)3G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。性質(zhì)4如果G(s)已知，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。2024/11/1性質(zhì)5傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)

脈沖響應(yīng)（脈沖過渡函數(shù)）g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。

例求課本中的例2.2.2中的傳遞函數(shù)系統(tǒng)的微分方程為零初始條件下，對兩端求拉氏變換得2024/11/1系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為：若輸入為單位階躍函數(shù),初始時刻電容電壓為0,則所以2024/11/1四、脈沖響應(yīng)與階躍響應(yīng)1、單位脈沖函數(shù)特別地，當時，2、脈沖響應(yīng)零初值條件下，令對象的輸入量為，則對象的響應(yīng)為脈沖響應(yīng)2024/11/13、階躍響應(yīng)零初值條件下，若對象的輸入量是單位階躍函數(shù)1(t),則對象的響應(yīng)稱為階躍響應(yīng)。2024/11/1五、傳遞函數(shù)的極點和零點對輸出的影響

極點是微分方程的特征根，因此，決定了所描述系統(tǒng)輸入量為零時自由運動的模態(tài)。為傳遞函數(shù)的零點為傳遞函數(shù)的極點設(shè)對象的傳遞函數(shù)是顯然，極點分別是-1，-2，自由運動的模態(tài)是e-t,e-2t設(shè)輸入量是

2024/11/1是實常數(shù)在零初始條件下，得到系統(tǒng)的輸出可求得2024/11/1

零點作用：影響各模態(tài)在響應(yīng)中所占的比重，因而影響響應(yīng)曲線的形狀。從工程角度看，決不能認為系統(tǒng)的動態(tài)性質(zhì)唯一或主要地由傳遞函數(shù)的極點決定，必須注意到零點的作用。極點作用：傳遞函數(shù)的極點可以受輸入函數(shù)的激發(fā)，在輸出響應(yīng)中形成自由運動的模態(tài)控制系統(tǒng)的數(shù)學模型結(jié)構(gòu)圖的組成及繪制2024/11/11．方框圖的基本概念

控制系統(tǒng)的方框圖是系統(tǒng)各元件特性、系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號流向的圖解表示法。六.控制系統(tǒng)的方框圖(結(jié)構(gòu)圖）2024/11/1（1）方框（BlockDiagram）:表示輸入到輸出單向傳輸間的函數(shù)關(guān)系。方框中寫入元部件或系統(tǒng)的傳遞函數(shù)。G(s)R(s)C(s)

圖2-12

方框圖中的方框信號線方框r(t)c(t)2.方框圖元素（2）信號線：帶有箭頭的直線，箭頭表示信號的流向，在直線旁標記信號的時間函數(shù)或象函數(shù)。2024/11/1表示對兩個或兩個以上的輸入信號進行加減運算?！?”表示相加，“-”表示相減?！?”號可省略不寫。注意：進行相加減的量，必須具有相同的量剛。+Υ1Υ1+Υ2Υ2+-)()(21sRsR-)(1sR)(2sRΥ1Υ1-Υ2+Υ3Υ2-Υ3圖2-13（3）比較點（合成點、綜合點）2024/11/1表示信號測量或引出的位置。從同一位置引出的信號在數(shù)值和性質(zhì)方面完全相同。(4)分支點（引出點、測量點）2024/11/1（1）分別列寫系統(tǒng)各元部件的微分方程或傳遞函數(shù)，并將它們用方框表示。（2）根據(jù)各元部件的信號流向，用信號線依次將各方塊連接起來，便可得到系統(tǒng)的方塊圖。系統(tǒng)方框圖-也是系統(tǒng)數(shù)學模型的一種。

4．方框圖的繪制2024/11/1RCi（a）iuou圖2-18一階RC網(wǎng)絡(luò)

解：由圖2-18，利用基爾霍夫電壓定律及電容元件特性可得：對其進行拉氏變換得：

例１：畫出下列RC電路的方塊圖。2024/11/1將圖（b）和(c)組合起來即得到圖(d)——一階RC網(wǎng)絡(luò)的方塊圖。（b）I(s))(sUi)(sUoI(s)（c）)(sUo圖2-19（d）－I(s))(sUo)(sUo)(sUi圖2-202024/11/1(1)前向通路傳遞函數(shù)--假設(shè)N(s)=0,打開反饋后，輸出C(s)與R(s)之比。等價于C(s)與誤差E(s)之比++H(s)-+R(s)E(s)B(s)N(s)打開反饋)(1sG)(2sGC(s)圖2-15反饋控制系統(tǒng)方塊圖2.7閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)一.閉環(huán)系統(tǒng)2024/11/1(3)開環(huán)傳遞函數(shù)：假設(shè)N(s)=0，主反饋信號B(s)與誤差信號E(s)之比。(2)反饋回路傳遞函數(shù)：假設(shè)N(s)=0，主反饋信號B(s)與輸出信號C(s)之比。2024/11/1(4)閉環(huán)傳遞函數(shù)Closed-loopTransferFunction假設(shè)N(s)=0

輸出信號C(s)與輸入信號R(s)之比。推導(dǎo)：因為

右邊移過來整理得

即

請記住**2024/11/1-N(s)C(s)H(s))(2sG)(1sG圖2-16輸出對擾動的結(jié)構(gòu)(5)輸出對擾動的傳遞函數(shù)假設(shè)R(s)=0利用公式**，直接可得：**++-R(s）B(s)N(s))(2sGC(s))(1sGH(s)2024/11/1

方框圖的等效變換相當于在方框圖上進行數(shù)學方程的運算。常用的方框圖等效變換方法可歸納為兩類。環(huán)節(jié)的合并;信號分支點或相加點的等效移動。

方框圖變換必須遵循的原則是：變換前、后的數(shù)學關(guān)系保持不變，因此方框圖變換是一種等效變換，同時由于傳遞函數(shù)和變量的方程是代數(shù)方程，所以方框圖變換是一些簡單的代數(shù)運算。（－）環(huán)節(jié)的合并

環(huán)節(jié)之間互相連接有三種基本形式：串聯(lián)、并聯(lián)和反饋連接。2.方框圖的等效變換2024/11/11．環(huán)節(jié)的串聯(lián)

特點:前一個環(huán)節(jié)的輸出信號就是后一環(huán)節(jié)的輸入信號。下圖所示為三個環(huán)節(jié)串聯(lián)的例子。圖中，每個環(huán)節(jié)的方框圖為：2024/11/1

上式表明，三個環(huán)節(jié)的串聯(lián)可以用一個等效環(huán)節(jié)來代替。這種情況可以推廣到有限個環(huán)節(jié)串聯(lián)（各環(huán)節(jié)之間無負載效應(yīng)）的情況，等效環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)等于各個串聯(lián)環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)的乘積，如有n個環(huán)節(jié)串聯(lián)則等效傳遞函數(shù)可表示為：2024/11/12.環(huán)節(jié)的并聯(lián)

環(huán)節(jié)并聯(lián)的特點是各環(huán)節(jié)的輸入信號相同，輸出信號相加（或相減）。等效傳遞函數(shù)為：下圖所示為三個環(huán)節(jié)的并聯(lián)，圖中含有信號相加點。從圖中可見:2024/11/1

以上結(jié)論可推廣到一般情況，當有n個環(huán)節(jié)并聯(lián)時，其輸出信號相加則有等效傳遞函數(shù)2024/11/13．反饋連接

將系統(tǒng)或環(huán)節(jié)的輸出信號反饋到輸入端，并與原輸入信號進行比較后再作為輸入信號，即為反饋連接，如下圖所示。負反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相反的反饋。正反饋：反饋信號與給定輸入信號符號相同的反饋。2024/11/1

上述三種基本變換是進行方框圖等效變換的基礎(chǔ)。對于較復(fù)雜的系統(tǒng),例如當系統(tǒng)具有信號交叉或反饋環(huán)交叉時,僅靠這三種方法是不夠的。

（二）信號相加點和信號分支點的等效變換

對于一般系統(tǒng)的方框圖，系統(tǒng)中常常出現(xiàn)信號或反饋環(huán)相互交叉的現(xiàn)象，此時可將信號相加點（匯合點）或信號分支點（引出點）作適當?shù)牡刃б苿?，先消除各種形式的交叉，再進行等效變換即可。2024/11/1

信號相加點的移動分兩種情況：相對于某個環(huán)節(jié)前移和后移。

信號分支點（取出點）的移動也分兩種情況：相對于某個環(huán)節(jié)前移和后移。2024/11/1下表列出了信號相加點和信號分支點等效變換的各種方法。

2024/11/1

此外，兩個相鄰的信號相加點或兩個相鄰的信號分支點可以互換位置。但必須注意，相鄰的相加點與分支點的位置不能簡單互換。2024/11/1例：求傳遞函數(shù)R1C2S++---EiEoEiEEo++－－R1C2s+－圖2-27（a)圖2-27（b)2024/11/1+EoR1C2S-Ei圖2-27（c)R1C2S+-EiEo圖2-27（d)EiEo圖2-27（e)2024/11/12.6典型環(huán)節(jié)及其傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)可表示成零、極點表示形式：傳遞函數(shù)可表示成復(fù)變量s的有理分式:2024/11/1

系統(tǒng)傳遞函數(shù)有時還具有零值極點，設(shè)傳遞函數(shù)中有

個零值極點,并考慮到零極點都有實數(shù)和共軛復(fù)數(shù)的情況,則傳遞函數(shù)表示的一般形式為：2024/11/1

從傳遞函數(shù)的表示式中可以看到，傳遞函數(shù)的基本因子對應(yīng)的典型環(huán)節(jié)有比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、慣性環(huán)節(jié)、振蕩環(huán)節(jié)和延遲環(huán)節(jié)等。

l．比例環(huán)節(jié)

比例環(huán)節(jié)又稱為放大環(huán)節(jié)，其輸出量與輸入量之間的關(guān)系為固定的比例關(guān)系，即它的輸出量能夠無失真、無延遲地按一定的比例關(guān)系復(fù)現(xiàn)輸入量。時域中的代數(shù)方程為c(t)=Kr(t)t

0

比例環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：式中K為比例系數(shù)或傳遞系數(shù)，有時也稱為放大系數(shù)2024/11/12．慣性環(huán)節(jié)

慣性環(huán)節(jié)又稱為非周期環(huán)節(jié)，其輸入量和輸出量之間的關(guān)系可用下列微分方程來描述：式中T——慣性環(huán)節(jié)的時間常數(shù)

K——比例系數(shù)。2024/11/13．積分環(huán)節(jié)K為比例系數(shù)。積分環(huán)節(jié)的動態(tài)方程為：

積分環(huán)節(jié)具有一個零值極點，即極點位于S平面上的坐標原點處。T稱為積分時間常數(shù)。從傳遞函數(shù)表達式易求得在單位階躍輸入時的輸出為：

C（t）=K

t

上式說明，只要有一個恒定的輸入量作用于積分環(huán)節(jié)，其輸出量就與時間成比例地無限增加。積分環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：2024/11/14．振蕩環(huán)節(jié)

振蕩環(huán)節(jié)的微分方程是：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

T——時間常數(shù)；

——阻尼系數(shù)（阻尼比），且0＜

＜1。

傳遞函數(shù)具有一對共軛復(fù)數(shù)極點,在復(fù)平面S上的位置見右圖。

n=1/T——無阻尼自然振蕩頻率。共軛復(fù)數(shù)極點為：傳遞函數(shù)可改寫為：2024/11/15．微分環(huán)節(jié)

微分是積分的逆運算,按傳遞函數(shù)的不同,微分環(huán)節(jié)可分為三種：理想微分環(huán)節(jié)、一階微分環(huán)節(jié)（也稱為比例加微分環(huán)節(jié)）和二階微分環(huán)節(jié)。相應(yīng)的微分方程為：相應(yīng)的傳遞函數(shù)為：

2024/11/16．延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)又稱為純滯后環(huán)節(jié)、時滯環(huán)節(jié)。延遲環(huán)節(jié)的輸出是一個延遲時間

后，完全復(fù)現(xiàn)輸入信號，即：式中

——純延遲時間。根據(jù)拉氏變換的實位移定理，可得延遲環(huán)節(jié)的傳遞函數(shù)為：單位階躍輸入時，延遲環(huán)節(jié)的輸出響應(yīng)如右圖示。2024/11/1前述幾種典型環(huán)節(jié)的方框圖如下圖所示：2024/11/12.7信號流圖與梅遜公式

信號流圖和方框圖類似，都可用來表示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)和信號傳送過程中的數(shù)學關(guān)系。因而信號流圖也是一種數(shù)學模型。

方框圖及其等效變換雖然對分析系統(tǒng)很有效，但是對于比較復(fù)雜的系統(tǒng)，方框圖的變換和化簡過程往往顯得繁瑣、費時，并易于出錯。如采用信號流圖，則可利用梅遜公式，不需作變換而直接得出系統(tǒng)中任何兩個變量之間的數(shù)學關(guān)系。一.信號流圖及其等效變換2024/11/1

信號流圖中，用小圓圈“O”表示變量，并稱其為節(jié)點。節(jié)點之間用加權(quán)的有向線段連接，稱為支路。通常在支路上標明前后兩個變量之間的數(shù)學關(guān)系，因此支路的權(quán)又稱為增益（傳輸）。e1abcdfghC(s)R(s)1.基本概念2024/11/1信號流圖中除有節(jié)點和支路外，還常用到下述術(shù)語。（1）出支路：離開節(jié)點的支路。（2）入支路：進入節(jié)點的支路。（3）源節(jié)點（輸入節(jié)點）：只有出支路的節(jié)點，對應(yīng)于自變量或外部輸入，因此也稱為輸入節(jié)點。（4）匯節(jié)點（輸出節(jié)點）：只有入支路的節(jié)點，對應(yīng)于因變量，有時也稱為輸出節(jié)點。（5）混合節(jié)點：既有入支路，又有出支路的節(jié)點。2024/11/1（8）回路：如果通道的終點就是通道的起始點，并且通道中每個節(jié)點只經(jīng)過一次，則該通道稱為回路、回環(huán)等。如果一個通道從一個節(jié)點開始，只經(jīng)過一個支路又回到該節(jié)點，則稱這樣的通道為自回環(huán)。

（9）前向通道：從源節(jié)點出發(fā)到匯節(jié)點終止，而且每個節(jié)點只通過一次的通道稱為前向通道。（10）互不接觸回環(huán)：如果一些回路沒有任何公共節(jié)點和回路，就稱它們?yōu)榛ゲ唤佑|回環(huán)。（11）通道傳輸：指沿通道各支路傳輸?shù)某朔e，也稱為通道增益。

（12）回環(huán)傳輸：又稱為回環(huán)增益，指回環(huán)通道中各支路傳輸?shù)某朔e。

2024/11/1

例如下圖中，X0為源節(jié)點，X6為匯節(jié)點。X1、X2、X3、X4和X5為混合節(jié)點。通道abcdej是一條前向通道，而abcde和fghi是普通的通道，bi是一個回環(huán)，bchi不是一個回環(huán)，因為有兩次經(jīng)過節(jié)點x2。圖中共有四個回環(huán)，即bi,ch,dg和ef。兩個互不接觸的回環(huán)有三種組合，即bi和ef，bi和dg，ch和ef。本系統(tǒng)沒有三個及三個以上互不接觸的回環(huán)。2024/11/12.信號流圖的基本性質(zhì)

（1）用節(jié)點表示變量，源節(jié)點代表輸入量，匯節(jié)點代表輸出量，用混合節(jié)點表示變量或信號的匯合。在混合節(jié)點處，所有出支路的信號（即混合節(jié)點對應(yīng)的變量）等于各支路引入信號的代數(shù)和。

（2）以支路表示變量或信號的傳輸和變換過程，信號只能沿著支路的箭頭方向傳輸。在信號流圖中每經(jīng)過一條支路，相當于在方框圖中經(jīng)過一個用方框表示的環(huán)節(jié)。（3）對于同一系統(tǒng)，信號流圖的形式不是唯一的。2024/11/13例題

試將下圖所示的系統(tǒng)方框圖化為信號流圖。解（a）所示的方框圖可化為圖(b)所示的信號流圖，注意：方框圖中比較環(huán)節(jié)的正負號在信號流圖中表現(xiàn)在支路傳輸?shù)姆柹稀k—從R(s)到C