湖南省衡陽市衡陽縣2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁湖南省衡陽市衡陽縣2025屆高三一模數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共7小題，每小題5分，共35分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.已知集合A={y|y=lg(x2?x?2)}，B={x|y=A.(?1,2) B.[32,+∞) C.(0,+∞)2.復(fù)數(shù)z滿足z+z=|z|，則z|z|的實部為A.32 B.?32 3.已知古典概型的樣本空間Ω={1,2,3,4,5,6}，“事件A={1,2}”，則命題“事件B=Ω”是命題“事件A與事件B相互獨立”的(

)A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知α,β∈(0,π2)，sin(α+β)=56，A.π3 B.π4 C.π65.(x2?1xA.30 B.?30 C.60 D.?606.某城市隨機選取n個人參加活動，假設(shè)該城市人口年齡分布均勻，要使得參加該活動有人生肖相同的概率大于50%，則至少需要選取(

)個人．A.3 B.4 C.5 D.67.已知雙曲線C:x2a2?y2b2=1，兩焦點分別為F1，F(xiàn)2，過右焦點F2作直線l交右支于A.32 B.53 C.75二、多選題：本題共4小題，共24分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。8.平面直角坐標(biāo)系xOy中，若過點Ak(kπ2,0)，k∈Z作斜率不為0的直線lk，使得lk與正弦曲線y=sinx的交點中，存在點Pk，Qk滿足Pk是線段AA.k為偶數(shù)時，存在“平均割線”

B.若存在“平均割線”lk，則lk唯一

C.若存在“平均割線”lk，則所有“平衡點”共線

D.若存在“平均割線”lk，則所有“平衡點”Pk,j9.已知一組樣本數(shù)據(jù)：?1,5,a,b.其中a≤0，b≥0，將改組數(shù)據(jù)排列，下列關(guān)于該組數(shù)據(jù)結(jié)論正確的是(

)A.序列不可能既是等比數(shù)列又是等差數(shù)列B.若成等比數(shù)列，a和b有3組可能取值

C.若成等差數(shù)列，a和b有3組可能取值D.若該數(shù)據(jù)平均數(shù)是1，則方差最小值為2110.按指對數(shù)運算律定義兩個函數(shù)fx=xxx∈RA.f(x)在定義域上單調(diào)遞增B.g(x)在定義域上單調(diào)遞減

C.35<f(x)min<411.?x，y∈R，非常數(shù)函數(shù)f(x)都有f(x+y)+f(x)f(y)=f(xy+1)，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(0)=?1B.若f(2)≠1，f(x)是偶函數(shù)

C.若f(2)=f(?2)=1，則f2k+1=0k∈ZD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知三角形ABC中，E，F(xiàn)是AC上中線BD的三等分點滿足DE=EF=FB，記DF=xAB+yCE，則x+y=13.函數(shù)f(x)=6sin2x+2sin14.已知由系列圓構(gòu)成的點集為C={(x,y)|(x?cosθ)2+(y?sin①圖形內(nèi)部空白區(qū)域的面積最小值為π②圖形到原點的最小距離為1③φ=π2時，圖形關(guān)于直線④φ=π2其中正確的有

．四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)如圖所示，在三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=AC，側(cè)面BCC1B1⊥(1)求證：EF//平面ABB(2)若AA1=BC=AB，且平面ABC⊥平面AEF，求二面角16.(本小題12分)已知函數(shù)f(x)=(1)若f(x)在x=π處的切線方程為2x+y+2π(ln2π?1)=0，求a、(2)若b=1時，在(?1,π2]上f(x)≥0恒成立，求17.(本小題12分)如圖，已知點F1、F2分別是橢圓E:x22+y2=1的左、右焦點，點D是負半軸上的一點，|DO|=2，過點D

(1)求?ABF(2)設(shè)直線PA的斜率為k1和直線PB的斜率為k2，橢圓E上是否存在點P，使得k1?k218.(本小題12分)學(xué)校教學(xué)樓的每兩層樓之間的上下樓梯有15個臺階，從下至上記臺階所在位置為1?15，同學(xué)甲在上樓的過程中，每一步等可能地跨1或2個臺階(位置+1或+2).(1)記甲邁3步后所在的位置為X，寫出X的分布列和期望值．(2)求甲6步內(nèi)到過位置8的概率；(3)求10步之內(nèi)同時到過位置10和12的有多少種走法，及發(fā)生的概率．19.(本小題12分)某次生日會上，餐桌上有一個披薩餅，小華同學(xué)準(zhǔn)備用刀切的方式分給在座的15位小伙伴，由此思考一個數(shù)學(xué)問題：假設(shè)披薩近似可看成平面上的一個圓，第k條切痕看作直線lk，設(shè)切n下，最多能切出的塊數(shù)為bn，如圖易知b1

(1)試寫出b3，b4，作出對應(yīng)簡圖，并指出要將披薩分給在座的15位小伙伴(不考慮大小平分(2)這是一個平面幾何問題，利用“降維打擊”思想，聯(lián)想到一條線段被切n下能劃分成n+1段，由此求出數(shù)列{b(3)若將披薩換成一個蛋糕(近似看成空間中的一個圓柱體)，同樣用刀切方式分蛋糕，可以從上下底面和側(cè)面各方向切入，每次切面都看作一個平面.若切n下，最多能切出的塊數(shù)為cn，求出{cn}的通項公式，并指出這時最多需要切幾下能分給15個人.(參考答案1.D

2.C

3.A

4.C

5.D

6.C

7.C

8.AC

9.AB

10.BCD

11.ABC

12.1

13.[?514.①②③

15.(1)如圖，取A1B1的中點G，連接BG在?A1B1C1中，因F是在三棱柱ABC?A1B1C又E為棱BC的中點，故得FG//BE，且FG=BE，故得?BEFG，則有EF//BG，又因為BG?平面ABB1A，EF?所以EF//平面ABB(2)由題意，三棱柱中所有棱長都相等，則?ABC與?A如圖，取B1C1上的四等分點H取B1C1的中點M則HF//MA1，易知EM//BB1//A則有MA1//EA，故有HF//EA,因平面BCC1B1⊥平面ABC且平面BCC1B1∩平面AEF=HE,可得HE⊥故可建立以E為原點，EC，EA，EH所在直線分別為x，y，z軸的空間直角坐標(biāo)系．不妨取CE=2，則CC1=BC=4，由則有C1(1,0,15)則CC設(shè)平面AA1C則n取z=1，可得x=15，故n=(15因HE⊥平面ABC，故m=(0,0,1)為底面ABC則cosm設(shè)二面角B?AC?C1的平面角為θ，由圖知二面角故二面角B?AC?C1的余弦值為

16.(1)f′(x)=cos由題意得f′(π)=cos所以ab+π=1，即f(π)=sin所以aln故a=2π，b=π．(2)f(0)=sin若(?1,π2]上f(x)≥0故f(0)是f(x)在(?1,π2]f′(x)=cosx?a1+x，下證a=1時，f(x)令g(x)=(1+x)cosx?1，①在(0,π2]上g′(x)由零點存在定理，?x0∈(0,在(0,x0]上，g′(x)≥0在[x0,π2g(π2)=?1，g(0)=0由零點存在定理?x1∈(在(x0,x1在(x1,π2所以(0,π2]上，f(0)=0，f(②在(?1,0]上，f′(x)=cosf′(x)≤f′(0)=0，f(x)單調(diào)遞減，所以f(x)綜上，只有當(dāng)a=1時，在(?1,π2]上f(x

17.(1)因為E:x22所以|OF由D?2,0，可設(shè)l:x=my?2由題意m≠0，聯(lián)立x=my?2x22設(shè)A(x1,則Δ=16m2?8(m2+2)>0?所以?ABF1的面積令t=m2?2>0當(dāng)且僅當(dāng)t=16t=4，即m2=6，m=±6故?ABF1面積的最大值為(2)設(shè)橢圓上存在滿足條件的點P(x0,

由(1)知A(x1,y1)，k1?k2=y1所以x1x2所以k1當(dāng)x02=2，x0此時λ=28(1±2)+4=3±22

18.(1)由題意可知甲每步跨1或2個臺階的概率都為12X可能的取值為3，4，5，6.取值分別對應(yīng)3步中分別有0，1，2，3次跨兩個臺階，故P(X=i)=CX的分布列如下，X3456P1331EX(2)6步內(nèi)到過位置8記為事件A8可分為：4步到達位置8(記為A5步到達位置8(記為A5,8)和6步到達位置8(記為A4,8即4步中每步都+2；A5,8即5步中有兩步+1，3步A6,8即6步中有兩步+2，4步+1則P(A)=P(A(3)記n步內(nèi)到過位置n為事件An，走法為an，則由題意an+2=a遞推a3～a10，依次為3,5,8,13,21,34,55,89，其中9步和10步到達位置10的走法分別為9

步到達位置10情況下再到達位置12只有1種走法，10步到達位置10不可能再到達位置12，其他到達位置10的情況再到達位置12都有2種走法．故10步之內(nèi)同時到過位置10和12的走法為：a10記P(An)為p數(shù)列{pn?23}是以?1記9步和10步到達位置10為分別為事件A9,10，A10,10，P(A記10步內(nèi)到過位置12為事件B，則P(A10A10,10A其余情況下P(B|AP(AB)=P(A故10步之內(nèi)同時到過位置10和12的概率為5071024

19.(1)如圖：b3=7，

可知，再作一條直線l5，使其與l1，l2，l3都相交于圓內(nèi)，且與