江蘇省南通市如東縣2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題含解析

江蘇省南通市如東縣2025屆數(shù)學(xué)高二上期末調(diào)研試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫(xiě)在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫(xiě)在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫(xiě)在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線C：（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，的C的離心率為（）A. B.C.2 D.2．二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.323．是等差數(shù)列，，，的第（）項(xiàng)A.98 B.99C.100 D.1014．已知，，若，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.C. D.5．若命題“，”是假命題，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.6．已知拋物線C：，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.7．函數(shù)的圖象大致是（）A. B.C. D.8．在正方體中，分別是線段的中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離是（）A. B.C. D.9．命題“，”否定形式是（）A.， B.，C.， D.，10．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，則下列說(shuō)法不正確的是（）A.一定單調(diào)遞減 B.一定單調(diào)遞增C.式子-≥0恒成立 D.可能滿足=，且k≠111．“”是直線與直線平行的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件12．已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，且平面，若該棱錐的體積為，，，，則此球的表面積等于（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖三角形數(shù)陣：132456109871112131415……按照自上而下，自左而右的順序，位于第行的第列，則______.14．已知直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于該圓的半徑，則實(shí)數(shù)_____.15．設(shè)函數(shù)，.若對(duì)任何，，恒成立，求的取值范圍______.16．若函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),則a的值為_(kāi)____三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，點(diǎn)是曲線上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)在軸左側(cè))，以點(diǎn)為頂點(diǎn)作等腰梯形，使點(diǎn)在此曲線上，點(diǎn)在軸上.設(shè)，等腰梯的面積為.（1）寫(xiě)出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；（2）當(dāng)為何值時(shí)，等腰梯形的面積最大？求出最大面積.18．（12分）在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓：的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，離心率為（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）斜率為的直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)，且與橢圓相交于，兩點(diǎn)．已知點(diǎn)，求的值19．（12分）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求直線與平面所成角的正弦值；（2）求點(diǎn)到平面的距離.20．（12分）已知橢圓C：短軸長(zhǎng)為2，且點(diǎn)在C上（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)、為橢圓的左、右焦點(diǎn)，過(guò)的直線l交橢圓C與A、B兩點(diǎn)，若的面積是，求直線l的方程21．（12分）如圖，在梯形中，，，平面，四邊形為矩形，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且（1）求證：平面平面；（2）若平面與平面所成銳二面角的余弦值為，則三棱錐F-ABC的體積為多少？22．（10分）某校高二年級(jí)全體學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)測(cè)試，學(xué)校利用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣方法從甲班、乙班各抽取五名同學(xué)的數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)（單位：分）得到如下莖葉圖，若甲、乙兩班數(shù)據(jù)的中位數(shù)相等且平均數(shù)也相等.（1）求出莖葉圖中m和n的值：（2）若從86分以上（不含86分）的同學(xué)中隨機(jī)抽出兩名，求此兩人都來(lái)自甲班的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】由雙曲線的方程可得漸近線的直線方程，根據(jù)直線和圓相交弦長(zhǎng)可得圓心到直線的距離，進(jìn)而可得，結(jié)合，可得離心率.【詳解】雙曲線的一條漸近線方程為，即，被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，所以圓心到直線的距離為，，解得，故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線和離心率、直線和圓的相交弦、點(diǎn)到直線距離等基本知識(shí)，考查了運(yùn)算求解能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于一般題目.2、D【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開(kāi)式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是.故選：D3、C【解析】等差數(shù)列，，中，，，由此求出，令，得到是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)【詳解】解：等差數(shù)列，，中，，令，得是這個(gè)數(shù)列的第100項(xiàng)故選：C4、A【解析】由，得，從而可得答案.【詳解】解：因?yàn)椋?，即，解?故選：A.5、A【解析】根據(jù)命題與它的否定命題一真一假，寫(xiě)出該命題的否定命題，再求實(shí)數(shù)的取值范圍【詳解】解：命題“，”是假命題，則它的否定命題“，”是真命題，時(shí)，不等式為，顯然成立；時(shí)，應(yīng)滿足，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是故選：A6、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D7、A【解析】根據(jù)函數(shù)的定義域及零點(diǎn)的情況即可得到答案.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，則排除選項(xiàng)、,當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，且，，由零點(diǎn)存在定理可知在上存在一個(gè)零點(diǎn)，則排除，故選：.8、A【解析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，然后，列出計(jì)算公式進(jìn)行求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以的方向?yàn)檩S的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，所以，所以，則點(diǎn)到直線的距離故選：A9、C【解析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定的定義求解.【詳解】因?yàn)槊}“，是特稱(chēng)命題，所以其否定是全稱(chēng)命題，即為，故選：C10、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和的意義，可逐項(xiàng)分析求解.【詳解】因?yàn)榈缺葦?shù)列的前n項(xiàng)和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，所以當(dāng)時(shí)，由可得，故數(shù)列為增函數(shù)，故B正確；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定單調(diào)遞減，故A正確；因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，所以，即-，當(dāng)時(shí)，，綜上，故C正確；若=，且k≠1，則，即，因?yàn)椋?，故矛盾，所以D不正確.故選：D11、C【解析】先根據(jù)直線平行的充要條件求出a，然后可得.【詳解】若，則，，顯然平行；若直線，則且，即.故“”是直線與直線平行的充要條件.故選：C12、D【解析】由條件確定三棱錐的外接球的球心位置及球的半徑，再利用球的表面積公式求外接球的表面積.【詳解】由已知，，，可得三棱錐的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱錐外接球的直徑，，，即，則，故三棱錐外接球的半徑為，所以三棱錐外接球的表面積為故選：D.【點(diǎn)睛】與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題意可知到第行結(jié)束一共有個(gè)數(shù)字，由此可知在第行；又由圖可知，奇數(shù)行從左到右是從小到大排列，偶數(shù)行從左到右是從大到小排列，第行個(gè)數(shù)字從大到小排列，由此可知在到數(shù)第列，據(jù)此即可求出，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】由圖可知，第1行有1個(gè)數(shù)字，第2行有2個(gè)數(shù)字，第2行有3個(gè)數(shù)字，……第行有個(gè)數(shù)字，由此規(guī)律可知，到第行結(jié)束一共有個(gè)數(shù)字；又當(dāng)時(shí)，，所以第行結(jié)束一共有個(gè)數(shù)字；當(dāng)時(shí)，，所以在第行，故；由圖可知，奇數(shù)行從左到右是從小到大排列，偶數(shù)行從左到右是從大到小排列，第行是偶數(shù)行，共個(gè)數(shù)字，從大到小排列，所以在倒數(shù)第列，所以，所以.故答案為：.14、2或－4【解析】求出圓心到直線的距離，由幾何法表示出弦長(zhǎng)，列出等量關(guān)系，即可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離，則由題可得，即，解得或.故答案為：2或.15、【解析】先把原不等式轉(zhuǎn)化為恒成立，構(gòu)造函數(shù)，利用恒成立，求出的取值范圍.【詳解】因?yàn)閷?duì)任何，，所以對(duì)任何，，所以在上為減函數(shù).，，所以恒成立，即對(duì)恒成立，所以，所以.即的取值范圍是.故答案為：.【點(diǎn)睛】恒（能）成立問(wèn)題求參數(shù)的取值范圍：①參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的最值問(wèn)題；②不能參變分離，直接對(duì)參數(shù)討論，研究的單調(diào)性及最值；③特別地，個(gè)別情況下恒成立，可轉(zhuǎn)換為（二者在同一處取得最值）.16、a＝3【解析】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo),分類(lèi)討論函數(shù)單調(diào)性,根據(jù)單調(diào)性結(jié)合已知可以求出a的值.【詳解】∵函數(shù)在（0，+∞）內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn),∴f′（x）＝2x（3x﹣a），x∈（0，+∞），①當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0,函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增,f（0）＝1，f（x）在（0，+∞）上沒(méi)有零點(diǎn),舍去；②當(dāng)a＞0時(shí)，f′（x）＝2x（3x﹣a）＞0的解為x，∴f（x）在（0,）上遞減,在（,+∞）遞增，又f（x）只有一個(gè)零點(diǎn),∴f（）1＝0，解得a＝3故答案為：a＝3【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)取值問(wèn)題,考查了分類(lèi)討論和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）；（2）當(dāng)時(shí)取到最大值，【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，則根據(jù)題意得，，故；（2）令，研究函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得的最值，進(jìn)而得的最大值.【詳解】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)點(diǎn)，由是曲線上的動(dòng)點(diǎn)得：，由于橢圓與軸交點(diǎn)為，故，所以即：（2）結(jié)合（1），對(duì)兩邊平方得：，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在處取到最大值，，所以當(dāng)時(shí)，取到最大值，.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問(wèn)題，考查數(shù)學(xué)應(yīng)用能力與計(jì)算能力，是中檔題.18、（1）;（2）.【解析】（1）根據(jù)題意得到關(guān)于的方程，解之即可求出結(jié)果;（2）聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理以及平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)闄E圓的左頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是3，所以又橢圓的離心率是，所以，解得，，從而所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【小問(wèn)2詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，且過(guò)右焦點(diǎn)，所以直線的方程為聯(lián)立直線的方程與橢圓方程，消去，得，其中設(shè)，，則，因?yàn)?，所以因此的值?9、（1）（2）【解析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的一個(gè)法向量及，利用向量的夾角公式即可得解；（2）直接利用向量公式求解即可【小問(wèn)1詳解】解：以點(diǎn)作坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，0，，，2，，，0，，，0，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，又，則，則可取，又，設(shè)直線與平面的夾角為，則，直線與平面的正弦值為；【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)樗渣c(diǎn)到平面的距離為，點(diǎn)到平面的距離為20、（1）；（2）或.【解析】(1)根據(jù)短軸長(zhǎng)求出b，根據(jù)M在C上求出a；(2)根據(jù)題意設(shè)直線l為，與橢圓方程聯(lián)立得根與系數(shù)關(guān)系，根據(jù)＝即可求出m的值.【小問(wèn)1詳解】∵短軸長(zhǎng)為2，∴，∴，又∵點(diǎn)在C上，∴，∴，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問(wèn)2詳解】由(1)知，∵當(dāng)直線l斜率為0時(shí)，不符合題意，∴設(shè)直線l的方程為：，聯(lián)立，消x得：，∵，∴設(shè)，，則，∵，∴，∴，即，解得，∴直線l的方程為：或.21、（1）證明見(jiàn)解析；（2）【解析】（1）先證線面垂直，再證面面垂直即可解決；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，以向量法去求平面與平面所成銳二面角的余弦值，列方程解得的長(zhǎng)度，即可求得三棱錐F-ABC的體積.【小問(wèn)1詳解】在梯形中，，，，所以，，又，所以，所以，又所以，即又平面，平面，所以，又，，平面，所以平面，即平面又平面，則平面平面【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，兩兩垂直，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，，為軸、軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系因?yàn)?，，所以，令則，，，所以，設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，得解得，取，則，又是平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，即解之得，又，故即22、（1），（2）【解析】（1）根據(jù)莖葉圖得甲班中位數(shù)為，由此能求出，根據(jù)由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，從