河北省秦皇島市達(dá)標(biāo)名校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題含解析

河北省秦皇島市達(dá)標(biāo)名校2025屆數(shù)學(xué)高二上期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．一動(dòng)圓與圓外切，而與圓內(nèi)切，那么動(dòng)圓的圓心的軌跡是（）A.橢圓 B.雙曲線C.拋物線 D.雙曲線的一支2．已知空間向量，，則（）A. B.C. D.3．已知對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的雙曲線的兩漸近線方程為，若雙曲線上有一點(diǎn)，使，則雙曲線的焦點(diǎn)（）A.在軸上 B.在軸上C.當(dāng)時(shí)在軸上 D.當(dāng)時(shí)在軸上4．若圓與圓相切，則實(shí)數(shù)a的值為（）A.或0 B.0C. D.或5．已知集合A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝()A.{－2，－1，0，1} B.{－1，0，1}C.{－2，－1} D.{－2，－1，0}6．已知拋物線的焦點(diǎn)為，點(diǎn)為拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)，則的最小值為（）A. B.2C. D.37．函數(shù)在區(qū)間（0，e）上的極小值為（）A.－e B.1－eC.－1 D.18．已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱與底面垂直，若點(diǎn)C到平面AB1D1的距離為，則直線與平面所成角的余弦值為（）A. B.C. D.9．為比較甲、乙兩地某月時(shí)的氣溫狀況，隨機(jī)選取該月中的天，將這天中時(shí)的氣溫?cái)?shù)據(jù)（單位：℃）制成如圖所示的莖葉圖（十位數(shù)字為莖，個(gè)位數(shù)字為葉）.考慮以下結(jié)論：①甲地該月時(shí)的平均氣溫低于乙地該月時(shí)的平均氣溫；②甲地該月時(shí)的平均氣溫高于乙地該月時(shí)的平均氣溫；③甲地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于乙地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差；④甲地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙地該月時(shí)的氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差.其中根據(jù)莖葉圖能得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)論的編號(hào)為（）A.①③ B.①④C.②③ D.②④10．橢圓的離心率為（）A B.C. D.11．如圖，，是平面上兩點(diǎn)，且，圖中的一系列圓是圓心分別為，的兩組同心圓，每組同心圓的半徑分別是1，2，3，…，A，B，C，D，E是圖中兩組同心圓的部分公共點(diǎn).若點(diǎn)A在以，為焦點(diǎn)的橢圓M上，則（）A.點(diǎn)B和C都在橢圓M上 B.點(diǎn)C和D都在橢圓M上C.點(diǎn)D和E都在橢圓M上 D.點(diǎn)E和B都在橢圓M上12．已知雙曲線的兩個(gè)頂點(diǎn)分別為A、B，點(diǎn)P為雙曲線上除A、B外任意一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A、B連線的斜率為，若，則雙曲線的離心率為（）A. B.C.2 D.3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則的導(dǎo)函數(shù)______.14．記為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則__________15．過拋物線的焦點(diǎn)且斜率為的直線交拋物線于A，兩點(diǎn)，，則的值為__________16．雙曲線離心率__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在多面體中，平面平面．四邊形為正方形，四邊形為梯形，且，，，（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值；（3）線段上是否存在點(diǎn)，使得直線平面?若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說明理由18．（12分）某城市一入城交通路段限速60公里/小時(shí)，現(xiàn)對(duì)某時(shí)段通過該交通路段的n輛小汽車車速進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并繪制成頻率分布直方圖（如圖）.若這n輛小汽車中，速度在50~60公里小時(shí)之間的車輛有200輛.（1）求n的值；（2）估計(jì)這n輛小汽車車速的中位數(shù)；（3）根據(jù)交通法規(guī)定，小車超速在規(guī)定時(shí)速10%以內(nèi)（含10%）不罰款，超過時(shí)速規(guī)定10%以上，需要罰款.試根據(jù)頻率分布直方圖，以頻率作為概率的估計(jì)值，估計(jì)某輛小汽車在該時(shí)段通過該路段時(shí)被罰款的概率.19．（12分）已知函數(shù).（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值.20．（12分）從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個(gè)家庭，獲得第i個(gè)家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲(chǔ)蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得.（1）求家庭的月儲(chǔ)蓄y對(duì)月收入x的線性回歸方程；（2）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄.附：線性回歸方程中，，，其中，為樣本平均值.21．（12分）已知函數(shù)在時(shí)有極值0.（1）求函數(shù)的解析式；（2）記，若函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.22．（10分）如圖長方體中，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】依據(jù)定義法去求動(dòng)圓的圓心的軌跡即可解決.【詳解】設(shè)動(dòng)圓的半徑為r,又圓半徑為1，圓半徑為8，則，，可得，又則動(dòng)圓的圓心的軌跡是以為焦點(diǎn)長軸長為9的橢圓.故選：A2、C【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)?，，所以，故選：C3、B【解析】設(shè)出雙曲線的一般方程，利用題設(shè)不等式，令二者平方，整理求得的，進(jìn)而可判斷出焦點(diǎn)的位置【詳解】漸近線方程為，，平方，兩邊除，，，雙曲線的焦點(diǎn)在軸上.故選B.【點(diǎn)睛】本題考查已知雙曲線的漸近線方程求雙曲線的方程，考查對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解與運(yùn)用，求解時(shí)要注意焦點(diǎn)落在軸或軸的特點(diǎn)，考查學(xué)生分析問題和解決問題的能力4、D【解析】根據(jù)給定條件求出兩圓圓心距，再借助兩圓相切的充要條件列式計(jì)算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即點(diǎn)不可能在圓內(nèi)，則兩圓必外切，于是得，即，解得，所以實(shí)數(shù)a的值為或.故選：D5、D【解析】根據(jù)集合交集的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】∵A＝{x|－2≤x≤0}，B＝{－2，－1，0，1}，則A∩B＝{－2，－1，0}.故選：D.6、D【解析】求出拋物線C的準(zhǔn)線l的方程，過A作l的垂線段，結(jié)合幾何意義及拋物線定義即可得解.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線l：，顯然點(diǎn)A在拋物線C內(nèi)，過A作AM⊥l于M，交拋物線C于P，如圖，在拋物線C上任取不同于點(diǎn)P的點(diǎn)，過作于點(diǎn)N，連PF，AN，，由拋物線定義知，，于是得，即點(diǎn)P是過A作準(zhǔn)線l的垂線與拋物線C的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，所以的最小值為3.故選：D7、D【解析】求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性即可求解【詳解】的定義域?yàn)?0，＋∞)，，令，得x＝1，當(dāng)x∈(0，1)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)x∈(1，e)時(shí)，，單調(diào)遞增，故在x＝1處取得極小值.故選：D.8、A【解析】先由等面積法求得的長，再以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用線面角的向量求解方法可得答案【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，過點(diǎn)作于，則平面，則，設(shè)，則，則根據(jù)三角形面積得，代入解得以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系則，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，令，得，所以直線與平面所成的角的余弦值為，故選：9、B【解析】根據(jù)莖葉圖數(shù)據(jù)求出平均數(shù)及標(biāo)準(zhǔn)差即可【詳解】由莖葉圖知甲地該月時(shí)的平均氣溫為，標(biāo)準(zhǔn)差為由莖葉圖知乙地該月時(shí)的平均氣溫為，標(biāo)準(zhǔn)差為則甲地該月14時(shí)的平均氣溫低于乙地該月14時(shí)的平均氣溫，故①正確，乙平均氣溫的標(biāo)準(zhǔn)差小于甲的標(biāo)準(zhǔn)差，故④正確，故正確的是①④，故選：B10、D【解析】根據(jù)橢圓方程先寫出標(biāo)準(zhǔn)方程，然后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程寫出便可得到離心率.【詳解】解：由題意得：，，故選：D11、C【解析】根據(jù)橢圓的定義判斷即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以橢圓M中，因?yàn)椋?,,所以D，E在橢圓M上.故選：C12、C【解析】根據(jù)題意設(shè)設(shè)，根據(jù)題意得到，進(jìn)而求得離心率【詳解】根據(jù)題意得到設(shè)，因?yàn)?，所以，所以，則故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用基本初等函數(shù)的求導(dǎo)公式及積的求導(dǎo)法則計(jì)算作答.【詳解】函數(shù)定義域?yàn)?，則，所以.故答案為：14、【解析】因?yàn)槭堑炔顢?shù)列，根據(jù)已知條件，求出公差，根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和，即可求得答案.【詳解】是等差數(shù)列，且，設(shè)等差數(shù)列的公差根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式：可得即：整理可得：解得：根據(jù)等差數(shù)列前項(xiàng)和公式：可得：.故答案：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了求等差數(shù)列的前項(xiàng)和，解題關(guān)鍵是掌握等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，考查了分析能力和計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、2【解析】求出直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系可，，由拋物線的定義可知，，，即可得到【詳解】解：拋物線的焦點(diǎn)，，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，，，則直線的方程為，代入可得，，，由拋物線的定義可知，，，，解得故答案為：216、【解析】由已知得到a，b，再利用及即可得到答案.【詳解】由已知，可得，所以，所以.故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）（3）存在點(diǎn)，使得平面，且【解析】（1）由面面垂直的性質(zhì)可得平面，再由線面垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論，（2）可證得兩兩垂直，所以分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解，（3）設(shè)，然后利用空間向量求解【小問1詳解】證明：因?yàn)闉檎叫?，所以又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面平面，所以平面平面所以；【小?詳解】由（1）可知，平面，所以，因?yàn)?，所以兩兩垂直分別以為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖）因?yàn)椋?，所以，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則,即令，則，；所以設(shè)直線與平面所成角為，則直線與平面所成角為的正弦值為；【小問3詳解】設(shè)，易知設(shè)，則，所以，所以，所以設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，因?yàn)?，所以令，則，所以在線段上存在點(diǎn)，使得平面等價(jià)于存在，使得因?yàn)椋?，所以，解得，所以線段上存在點(diǎn)，使得平面，且18、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合頻率與頻數(shù)的關(guān)系，即可求解（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合中位數(shù)公式，即可求解（3）在這500輛小車中，有40輛超速，再結(jié)合古典概型的概率公式，即可求解【小問1詳解】解：由直方圖可知，速度在公里小時(shí)之間的頻率為，所以，解得【小問2詳解】解：設(shè)這輛小汽車車速的中位數(shù)為，則，解得小問3詳解】解：由交通法則可知，小車速度在66公里小時(shí)以上需要罰款，由直方圖可知，小車速度在之間有輛，由統(tǒng)計(jì)的有關(guān)知識(shí)，可以認(rèn)為車速在公里小時(shí)之間的小車有輛，小車速度在之間有輛，故估計(jì)某輛小汽車在該時(shí)段通過該路段時(shí)被罰放的概率為19、（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；單調(diào)減區(qū)間為和；（2）；.【解析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)，令，求出單調(diào)遞增區(qū)間；令，求出單調(diào)遞減區(qū)間.（2）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】1函數(shù)的定義域是R，，令，解得令，解得或，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為和；2由在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，而，，故最大值是.20、（1）＝0.3x－0.4；（2）正相關(guān)；（3）1.7(千元).【解析】（1）由題意得到n＝10，求得，進(jìn)而求得，寫出回歸方程；.（2）由判斷；（3）將x＝7代入回歸方程求解.【詳解】（1）由題意知n＝10，，則，所以所求回歸方程為＝0.3x－0.4.（2）因?yàn)?，所以變量y的值隨x的值增加而增加，故x與y之間是正相關(guān).（3）將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲(chǔ)蓄為＝0.3×7－0.4＝1.7(千元).21、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由在時(shí)有極值0,則，兩式聯(lián)立可求常數(shù)a，b的值，從而得解析式；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，根據(jù)函數(shù)圖象的大致形狀可求出參數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】由可得，因?yàn)樵跁r(shí)有極值0，所以，即，解得或，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不滿足在時(shí)有極值，故舍去.所以常數(shù)a，b的值分別為.所以.【小問2詳解】由（1）可知，，令，解得，當(dāng)或時(shí)，當(dāng)時(shí)，，的遞增區(qū)間是和，單調(diào)遞減區(qū)間為，當(dāng)有極大值，當(dāng)有極小值，要使函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則須滿足，解得.22、（1）見解析（2）見解析（3）【解析】（1）作輔助線，由中位線定理證明，再由線面平行的判定定理證明即可；（2）連接，由勾股定理證明，，再結(jié)合線面垂直的判定定理證明即可；（3）建立空間直角