第十九章 幾何證明（單元重點綜合測試）

第十九章幾何證明單元重點綜合測試注意事項：本試卷滿分100分，考試時間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2022下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列命題中，假命題是（）A．如果兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等B．如果兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等C．如果兩角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等D．如果兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等2．（2023上·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）在中，的對邊分別為，下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（）A． B．C． D．3．（2023上·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點，的周長是，則的長為（）

A． B． C． D．4．（2020上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為上一點，聯(lián)結(jié)，點在上，過點作，，垂足分別為M、N．下面四個結(jié)論：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正確的有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2022上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（）A． B． C． D．6．（2022上·上?！ぐ四昙壭？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于點、．，，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落雙曲線（是常數(shù)，）的圖像上，則的值為（）A． B． C． D．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2020上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）把命題“平行于同一直線的兩直線平行”改寫成“如果...，那么...”的形式：__________．8．（2023上·上海青浦·八年級?？计谥校┰谥校?，，，點D為斜邊的中點，那么________．9．（2023上·上海寶山·八年級校考期中）已知直角坐標(biāo)平面內(nèi)的三個頂點、、的坐標(biāo)分別為、、，則的形狀是______．10．（2023上·上海·八年級?？茧A段練習(xí)）在中，若，于，，，則__________．11．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k上寶中學(xué)校考期中）若線段，以線段為斜邊的直角三角形的頂點C的軌跡是_______________．12．（2023上·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)校考期中）如圖，在中，已知，，點在邊上，，把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)（）度后，如果點恰好落在初始的邊上，那么___________

13．（2023上·上海松江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點在邊上，且，將繞點旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在的邊上，則的長為_____．14．（2022上·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，為的中點，連接，延長交的延長線于點．若，則________．

15．（2020上·上海青浦·九年級校考階段練習(xí)）如圖，中，，，，，則________

16．（2019上·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)?？奸_學(xué)考試）如圖，中，平分，的中垂線交于點，交于點，連接．若，，則的度數(shù)為______．

17．（2023上·上海黃浦·九年級上海市民辦立達(dá)中學(xué)?？计谥校┤绻粋€三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做“半高三角形”．這條高稱為“半高”．若一個三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長為，則該等腰三角形底邊長為___________．18．（2023下·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）兩塊全等的等腰直角三角板如圖放置，，的頂點與的斜邊的中點重合，將繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點落在直線上時，如果，那么____________．

三、解答題（9小題，共64分）19．（2021下·上海青浦·七年級校考期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線交AD于點E，EF⊥AB于點F，已知EF＝3，求ED的長．20．（2023上·上海·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在四邊形中，，，，．

(1)求的度數(shù)．(2)求四邊形的面積．21．（2021下·上海松江·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，已知是邊的中點，過點的直線交于，交的平行線于點，，交的延長線于點，聯(lián)結(jié)．(1)說明與相等的理由；(2)說明與相等的理由．22．（2021下·上海閔行·七年級校考期中）如圖，點P在外，點Q在邊上，按要求畫圖，寫出作圖結(jié)論，并填空．(1)過點P分別畫，垂足分別是E、F．(2)連接，用尺規(guī)作線段的垂直平分線．(3)過P、Q兩點分別作、的平行線交于點G；若，則______________．23．（2022下·上海閔行·七年級校考期末）如圖，在中，，．點在邊的延長線上，點在邊上，且，連接、，延長與相交于點．

(1)試說明的理由；(2)如果平分，試說明的理由．24．（2023下·上海嘉定·八年級?？奸_學(xué)考試）定義：如圖1，點、把線段分割成、、，若以、、為邊的三角形是一個直角三角形，則稱點、是線段的勾股分割點．

(1)已知點、是線段的勾股分割點，，，求的長；(2)如圖2，中，，，點、在斜邊上，，①求證：點、是線段的勾股分割點；②當(dāng)，時，請直接寫出線段的長．25．（2021上·上?！ぐ四昙壭？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，點是邊上的動點（不與點、重合），把沿過點的直線折疊，點的對應(yīng)點是點，折痕為．

(1)若點恰好在邊上．①如圖1，當(dāng)時，連接，求證：．②如圖2，當(dāng)，且，，求與的周長差．(2)如圖3，點在邊上運動時，若直線始終垂直于，的面積是否變化？請說明理由．

第十九章幾何證明單元重點綜合測試答案全解全析選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2022下·上?！て吣昙墝ｎ}練習(xí)）下列命題中，假命題是（）A．如果兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等B．如果兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等C．如果兩角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等D．如果兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等【答案】B【詳解】根據(jù)全等三角形的判定定理對各選項分析論證得出正確選項．【解答】解：A．如果兩邊及它們的夾角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等，符合判定定理邊角邊，是真命題．B．如果兩邊及其中一邊的對角對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．因為兩邊相等，其夾角不一定相等，所以兩三角形不一定全等，故是假命題．C．如果兩角及它們的夾邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等，符合判定定理角邊角，是真命題．D．如果兩角及其中一角的對邊對應(yīng)相等，那么這兩個三角形全等．兩角相等，則根據(jù)三角和內(nèi)角和定理可推出三個角分別相等，有一邊相等，所以符合判定定理角邊角，是真命題．故選：B．【點評】此題考查的是全等三角形的判定，關(guān)鍵是每個選項是否符合全等三角形的判定定理．2．（2023上·江蘇徐州·八年級統(tǒng)考期中）在中，的對邊分別為，下列條件中，不能判斷是直角三角形的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理的應(yīng)用；本題利用勾股定理的逆定理判斷A、D，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合三角形的內(nèi)角和定理判斷B、C，從而可得答案．【詳解】解：A．由題可得：滿足勾股定理的逆定理，是直角三角形，故A選項不符合題意；B．，，∵，由三角形內(nèi)角和定理得：，不是直角三角形，故B選項符合題意；C．∵，設(shè)，則，，由三角形內(nèi)角和定理得：，解得：，，，是直角三角形，故C選項不符合題意；D．由題可得：滿足勾股定理的逆定理，是直角三角形，故D選項不符合題意．故選B3．（2023上·廣東湛江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，線段的垂直平分線交于點，的周長是，則的長為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】本題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)；先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形的周長公式即可得．【詳解】解：是線段的垂直平分線，，，，的周長是，，，故選：A．4．（2020上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，為上一點，聯(lián)結(jié)，點在上，過點作，，垂足分別為M、N．下面四個結(jié)論：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正確的有（）．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【分析】①，，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可證得是的角平分線，又由，，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，即可證得；②根據(jù)證明，利用全等三角形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)得出；③根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)得出；④根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出．【詳解】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正確；②∵，，∴，∵，∴；故②正確；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正確；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正確；故選：D．【點睛】此題考查了角平分線的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．5．（2022上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，△ABC中，AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，若∠BAC＝，則∠EAN的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求∠B+∠C，根據(jù)垂直平分線性質(zhì)，EA＝EB，NA＝NC，則∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，從而可得∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，即可得到∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，即可得解．【詳解】解：∵∠BAC＝，∴∠B+∠C＝，∵AB的垂直平分線交BC邊于點E，AC的垂直平分線交BC邊于點N，∴EA＝EB，NA＝NC，∴∠EAB＝∠B，∠NAC＝∠C，∴∠BAC＝∠BAE+∠NAC－∠EAN＝∠B+∠C－∠EAN，∴∠EAN＝∠B+∠C－∠BAC，＝＝．故選：B．【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和，線段垂直平分線的性質(zhì)，角的和差關(guān)系，能得到求∠EAN的關(guān)系式是關(guān)鍵．6．（2022上·上?！ぐ四昙壭？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，直線與軸、軸分別相交于點、．，，將沿直線翻折，點的對應(yīng)點恰好落雙曲線（是常數(shù)，）的圖像上，則的值為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】過點C作CD⊥x軸，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，用含30°直角三角形的性質(zhì)和勾股定理求出AD和CD的長，進而得到OD的長，即可得到點C的坐標(biāo)，即可得出k的值．【詳解】解：如圖，過點C作CD⊥x軸，∵將△ABO沿直線AB翻折，∴∠CAB=∠OAB=30°，AC=AO=4，∠ACB=AOB=90°，∴∠CAD＝60°，∴AD＝，∴CD＝，OD＝2，∴C（－2，），∵點C恰好落在雙曲線(k≠0)上，∴．故選：B．【點睛】本題主要考查了翻折的性質(zhì)，含30°直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，反比例函數(shù)的解析式的求法，理解翻折的性質(zhì)，求出點C的坐標(biāo)是解答本題的關(guān)鍵．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2020上·上海普陀·八年級統(tǒng)考期中）把命題“平行于同一直線的兩直線平行”改寫成“如果...，那么...”的形式：__________．【答案】如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行【分析】命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，通常寫成“如果...，那么...”的形式．“如果”后面接題設(shè)，“那么”后面接結(jié)論．【詳解】解：命題“平行于同一直線的兩直線平行”可以改寫為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行．故答案為：如果兩條直線平行于同一條直線，那么這兩條直線平行．【點睛】任何一個命題都可以寫成“如果...，那么...”的形式．“如果”后面接題設(shè)，“那么”后面接結(jié)論．在改寫過程中，不能簡單地把題設(shè)部分、結(jié)論部分分別塞在“如果”、“那么”后面，要適當(dāng)增減詞語，保證句子通順而不改變原意．8．（2023上·上海青浦·八年級?？计谥校┰谥?，，，，點D為斜邊的中點，那么________．【答案】【分析】本題考查了直角三角形相關(guān)知識，根據(jù)勾股定理，求出的長，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可得出答案，解題關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．【詳解】解：由勾股定理得：，∵點是的中點，∴．故答案為：．9．（2023上·上海寶山·八年級?？计谥校┮阎苯亲鴺?biāo)平面內(nèi)的三個頂點、、的坐標(biāo)分別為、、，則的形狀是______．【答案】直角三角形【分析】本題考查了勾股定理及其逆定理的應(yīng)用，根據(jù)勾股定理求得的長，進而根據(jù)勾股定理的逆定理，即可求解．【詳解】解：解：∵、、的坐標(biāo)分別為、、，∴，，，∵，，∴∴是直角三角形，故答案為：直角三角形．10．（2023上·上?！ぐ四昙壭？茧A段練習(xí)）在中，若，于，，，則__________．【答案】8【分析】先根據(jù)直角三角形兩銳角互余計算出，再根據(jù)含30度角的直角三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：如圖所示，在中，，，，，，又在中，，，，故答案為：8．【點睛】本題主要考查直角三角形兩銳角互余，含30度角的直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握含30度角的直角三角形中，30度角所對的直角邊等于斜邊的一半．11．（2022上·上?！ぐ四昙壣虾Ｊ忻褶k上寶中學(xué)?？计谥校┤艟€段，以線段為斜邊的直角三角形的頂點C的軌跡是_______________．【答案】以中點為圓心，以為半徑的圓【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】如圖所示，直角三角形中，點D是斜邊的中點，

∴，∴點C的軌跡是以中點為圓心，以為半徑的圓．故答案為：以中點為圓心，以為半徑的圓．【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．12．（2023上·上海靜安·九年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在中，已知，，點在邊上，，把繞著點逆時針旋轉(zhuǎn)（）度后，如果點恰好落在初始的邊上，那么___________

【答案】或【分析】根據(jù)題意，分類討論，①當(dāng)點落在邊上時，得，②當(dāng)點落在邊上時，得；根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：在中，已知，，∴,如圖所述，

①當(dāng)點落在邊上時，得，∴，∴，即是等腰三角形，∴在中，；②當(dāng)點落在邊上時，得，在中，，，∴，∴；綜上所述，的值為或，故答案為：或．【點睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．13．（2023上·上海松江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，，，點在邊上，且，將繞點旋轉(zhuǎn)，使點的對應(yīng)點落在的邊上，則的長為_____．【答案】或【分析】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握并運用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．【詳解】解：如圖，在上取一點，使，連接，作于點，∴，∵，∴，在中，，∵，，∴，在中，，當(dāng)與重合時，，當(dāng)與重合時，，故答案為：或．14．（2022上·上海靜安·八年級上海市市北初級中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在四邊形中，為的中點，連接，延長交的延長線于點．若，則________．

【答案】2【分析】根據(jù)可知，再根據(jù)是的中點可求出，利用可得，可得，，結(jié)合已知可得是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出即可證得，進而即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵是的中點，∴，∵，∴，∴，，又∵，∴是線段的垂直平分線，∴，∵，∴，∵，∴，故答案為：2．【點睛】本題主要考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定，熟練掌握線段的垂直平分線的性質(zhì)和全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．15．（2020上·上海青浦·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，中，，，，，則________

【答案】/【分析】根據(jù)勾股定理求得的長，再根據(jù)三角形的面積公式求得，然后在中利用勾股定理可求出，再求出，即可得到答案．【詳解】解：在中，，，，∴，由，∴，在中，，∴,∴，故答案為：．【點睛】此題考查了直角三角形面積，勾股定理的綜合應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題，解答本題的關(guān)鍵是掌握利用三角形面積的表示方法求出．16．（2019上·河南鄭州·八年級鄭州外國語中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，中，平分，的中垂線交于點，交于點，連接．若，，則的度數(shù)為______．

【答案】【分析】由角平分線的定義可得，由垂直平分線的性質(zhì)可得，從而得到，進而得到，由三角形內(nèi)角和定理進行計算即可得到答案．【詳解】解：平分，，垂直平分，，，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂直平分線的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點是解題的關(guān)鍵．17．（2023上·上海黃浦·九年級上海市民辦立達(dá)中學(xué)校考期中）如果一個三角形有一條邊上的高等于這條邊的一半，那么我們把這個三角形叫做“半高三角形”．這條高稱為“半高”．若一個三角形既是等腰三角形又是半高三角形，且“半高”長為，則該等腰三角形底邊長為___________．【答案】4或或．【分析】本題主要考查了三角形的高線、等腰三角形的性質(zhì)，勾股定理；分三種情況討論，分別畫出圖形然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和半高三角形的概念以及勾股定理求解即可，解決問題的關(guān)鍵是掌握半高三角形的概念，注意分類討論．【詳解】解：①當(dāng)高是底邊上的高時，如圖所示，，是邊上的高，∵，，∴，∵是半高三角形，∴，∴．②當(dāng)三角形是鈍角三角形，且高是腰上的高時，如圖所示，，是邊上的高，

∵，∴，∴，∴，∴；③當(dāng)三角形是銳角三角形，且高是腰上的高時，如圖所示，，是邊上的高，

∵“半高”長為，即，∴，∴，∴，∴，綜上所述，該等腰三角形底邊長為4或或．故答案為：4或或．18．（2023下·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）兩塊全等的等腰直角三角板如圖放置，，的頂點與的斜邊的中點重合，將繞點旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)點落在直線上時，如果，那么____________．

【答案】【分析】當(dāng)點落在直線上時，有兩種情況：第一種是點落在的延長線上，第二種是點落在的延長線上，然后畫出兩種情況所對應(yīng)的圖形，利用勾股定理求解即可．【詳解】解：由題意可知，當(dāng)點落在直線上時，有兩種情況：第一種是點落在的延長線上，第二種是點落在的延長線上，當(dāng)點落在的延長線上時，作交于點，作交于點，連接，如圖：

，，，，等腰直角三角形的頂點與等腰直角三角形的斜邊的中點重合，，，，，四邊形為矩形，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，；當(dāng)點落在的延長線上時，延長交于點，作于點，如圖，

，等腰直角三角形的頂點與等腰直角三角形的斜邊的中點重合，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，解得：，；，故答案為：或．【點睛】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圖形的旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定及性質(zhì)、勾股定理、一元二次方程的解法是解答此題的關(guān)鍵．三、解答題（9小題，共64分）19．（2021下·上海青浦·七年級?？计谀┤鐖D，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的中線，∠ABC的平分線交AD于點E，EF⊥AB于點F，已知EF＝3，求ED的長．【答案】3【分析】先根據(jù)三線合一定理得到AD⊥BC，再由角平分線的性質(zhì)即可得到ED＝EF＝3．【詳解】解：∵AC＝AB，AD是中線，∴AD⊥BC，∵BE平分∠ABC，EF⊥BA，ED⊥BC，∴ED＝EF＝3．【點睛】本題主要考查了三線合一定理和角平分線的性質(zhì)，熟知三線合一定理和角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．20．（2023上·上海·八年級?？茧A段練習(xí)）已知：如圖，在四邊形中，，，，．

(1)求的度數(shù)．(2)求四邊形的面積．【答案】(1)(2)【分析】對于（1），連接，根據(jù)勾股定理求出及，再根據(jù)勾股定理逆定理說明是直角三角形，即可求出答案；對于（2），根據(jù)兩個三角形的面積和求出答案即可．【詳解】（1）連接，如圖所示．∵，，∴，根據(jù)勾股定理得，在中，，∴是直角三角形，且，∴；

（2）．【點睛】本題主要考查了勾股定理及逆定理的應(yīng)用，求四邊形的面積，將不規(guī)則四邊形轉(zhuǎn)化為兩個直角三角形是解題的關(guān)鍵．21．（2021下·上海松江·七年級?？计谥校┤鐖D，在中，已知是邊的中點，過點的直線交于，交的平行線于點，，交的延長線于點，聯(lián)結(jié)．(1)說明與相等的理由；(2)說明與相等的理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）求出，證出即可；（2）根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)得出，求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：∵D為中點，∴（中點的定義），∵（已知），∴（兩直線平行，內(nèi)錯角相等），在和中，，∴，∴（全等三角形對應(yīng)邊相等）；（2）解：∵，∴，，即D是邊的中點，∵，即為線段的中垂線，∴，∴（等邊對等角），∴（等量代換）．【點睛】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)．解答本題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，證明三角形全等．、22．（2021下·上海閔行·七年級?？计谥校┤鐖D，點P在外，點Q在邊上，按要求畫圖，寫出作圖結(jié)論，并填空．(1)過點P分別畫，垂足分別是E、F．(2)連接，用尺規(guī)作線段的垂直平分線．(3)過P、Q兩點分別作、的平行線交于點G；若，則______________．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析；【分析】（1）先延長，然后再過點P作于點E，過點P作于點F即可；（2）分別以點P和點Q為圓心，大于為半徑畫弧，兩弧交于兩點M、N，連接即可；（3）根據(jù)要求作圖，然后根據(jù)平行線的性質(zhì)進行求解即可．【詳解】（1）解：如圖，，為所畫的垂線；（2）解：如圖，為所求作的直線；（3）解：如圖，、為所求作的平行線；∵，，∴，∵，∴．故答案為：．【點睛】本題主要考查了垂直平分線作圖，作垂線，平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本的作圖方法，平行線的性質(zhì)．23．（2022下·上海閔行·七年級校考期末）如圖，在中，，．點在邊的延長線上，點在邊上，且，連接、，延長與相交于點．

(1)試說明的理由；(2)如果平分，試說明的理由．【答案】(1)理由見解析(2)理由見解析【分析】（1）利用兩個三角形全等的判定定理證明即可得證；（2）由平分，，，得，再證，得，為等腰直角三角形，得，再由，，可證．【詳解】（1）證明：，，，，在和中，，，；（2）證明：過點作交于點，如圖所示：

平分，，，，，，在和中，，，，，，∵，，∵，為等腰直角三角形，，，，即．【點睛】本題考查了三角形全等的性質(zhì)和判定，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，掌握三角形全等的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．24．（2023下·上海嘉定·八年級?？奸_學(xué)考試）定義：如圖1，點、