專題2.7 函數(shù)與方程（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題2.7函數(shù)與方程【八大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】 2【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】 4【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】 6【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)】 9【題型5由函數(shù)零點(diǎn)分布求值（范圍）】 12【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定】 14【題型7根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)】 18【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問(wèn)題】 211、函數(shù)與方程考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解的聯(lián)系

(2)理解函數(shù)零點(diǎn)存在定理，并能簡(jiǎn)單應(yīng)用(3)了解用二分法求方程的近似解2022年天津卷：第15題，5分2023年新課標(biāo)I卷：第15題，5分2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是高考?？嫉臒狳c(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考形勢(shì)來(lái)看，一般以選擇題與填空題的形式出現(xiàn)；函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用也是歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn)內(nèi)容，經(jīng)常以客觀題出現(xiàn)，通過(guò)分析函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)圖象研究函數(shù)的零點(diǎn)或方程的根的分布、個(gè)數(shù)等，題目難度較大，一般出現(xiàn)在壓軸題位置.【知識(shí)點(diǎn)1確定函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的方法】1．確定函數(shù)f(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間的常用方法(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性定理：首先看函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上的圖象是否連續(xù)，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)必有零點(diǎn).(2)數(shù)形結(jié)合法：若一個(gè)函數(shù)(或方程)由兩個(gè)初等函數(shù)的和(或差)構(gòu)成，則可考慮用圖象法求解，如f(x)=g(x)-h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的圖象，其交點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為函數(shù)f(x)的零點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)和求參問(wèn)題】1．函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判定有下列幾種方法：(1)直接法：直接求零點(diǎn)，令f(x)=0，如果能求出解，那么有幾個(gè)解就有幾個(gè)零點(diǎn).(2)零點(diǎn)存在定理：利用該定理不僅要求函數(shù)在[a,b]上是連續(xù)不斷的曲線，且f(a)·f(b)<0，還必須結(jié)合函數(shù)的圖象和性質(zhì)(如單調(diào)性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).(3)圖象法：畫兩個(gè)函數(shù)圖象，看其交點(diǎn)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)，其中交點(diǎn)的橫坐標(biāo)有幾個(gè)不同的值，就有幾個(gè)不同的零點(diǎn).(4)性質(zhì)法：利用函數(shù)性質(zhì)，若能確定函數(shù)的單調(diào)性，則其零點(diǎn)個(gè)數(shù)不難得到；若所考查的函數(shù)是周期函數(shù)，則只需解決在一個(gè)周期內(nèi)的零點(diǎn)的個(gè)數(shù).2．已知函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)的方法(1)已知函數(shù)的零點(diǎn)求參數(shù)的一般方法①直接法：直接求方程的根，構(gòu)建方程(不等式)求參數(shù)；②數(shù)形結(jié)合法：將函數(shù)的解析式或者方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，把函?shù)的零點(diǎn)或方程的根的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)熟悉的函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍；③分離參數(shù)法：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題來(lái)求解.(2)已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍的方法已知函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍，常利用數(shù)形結(jié)合法將其轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，需準(zhǔn)確畫出兩個(gè)函數(shù)的圖象，利用圖象寫出滿足條件的參數(shù)范圍.【知識(shí)點(diǎn)3嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題】1．嵌套函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題的解題策略函數(shù)的零點(diǎn)是命題的熱點(diǎn)，常與函數(shù)的性質(zhì)和相關(guān)問(wèn)題交匯.對(duì)于嵌套函數(shù)的零點(diǎn)，通常先“換元解套”,設(shè)中間函數(shù)為t，通過(guò)換元將復(fù)合函數(shù)拆解為兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單的函數(shù)，借助函數(shù)的圖象、性質(zhì)求解.【題型1函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間的判斷】【例1】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=3x+x?6有一個(gè)零點(diǎn)x=x0，則x0屬于下列哪個(gè)區(qū)間（

）A．12,1 B．1,32 C．【解題思路】利用零點(diǎn)存在性定理計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題知fx在R∵f12=3?5.5<0又33?4.52>0，∴f32故選：B.【變式1-1】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=2A．?1,0 B．0,1 C．1,2 D．2,3【解題思路】利用零點(diǎn)存在定理計(jì)算出滿足條件的區(qū)間即可.【解答過(guò)程】易知函數(shù)fx=2又f1=1+1?3<0，由函數(shù)的零點(diǎn)存在定理可知，函數(shù)fx的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是1,2故選：C.【變式1-2】（2024·吉林長(zhǎng)春·一模）方程log3x+x=2的根所在區(qū)間是（A．0,1 B．1,2 C．2,3 D．3,4【解題思路】將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為fx【解答過(guò)程】設(shè)fx=log3x+x?2∵y=log3x與y=x?2在0,+∞上均為增函數(shù)，對(duì)于A，∵f1=log31+1?2=?1，∴對(duì)于B，∵f1=?1<0，f2∴?x0∈對(duì)于CD，當(dāng)x>2時(shí)，fx>f2>0，∴fx故選：B.【變式1-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)函數(shù)fx=eA．若fxB．若fxC．若fxD．若fx【解題思路】函數(shù)分段去絕對(duì)值，利用導(dǎo)數(shù)分類討論函數(shù)單調(diào)性，根據(jù)零點(diǎn)存在定理判斷零點(diǎn)所在區(qū)間.【解答過(guò)程】去絕對(duì)值可得fxx≤a時(shí)，f′x=x>a時(shí)，f′（i）a∈0,+∞時(shí)，f′x>0當(dāng)1<a<e+1時(shí)，f0=1?a<0，f1=e當(dāng)a>e+1時(shí)，f1<0，故在區(qū)間（ii）a∈?∞,0時(shí)，令f′x=0得f當(dāng)a∈?1,0時(shí)，f（1）a∈e?1?1,0時(shí)，fx在區(qū)間（2）a∈?1,e?1?1時(shí)，當(dāng)a∈?2,?1時(shí)，f①a∈?1?e?1,?1時(shí)，f?2f?1<0,f?1②a∈?∞,?1?e?1綜上所述，本題正確答案是A.故選：A.【題型2求函數(shù)的零點(diǎn)或零點(diǎn)個(gè)數(shù)】【例2】（2024·江蘇·一模）函數(shù)fx=sin2x+πA．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】利用三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【解答過(guò)程】令fx=sin2x+π故k=1,x=π3;k=2,x=所以fx在0,2故選：C.【變式2-1】（2024·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)y=x?22xA．2 B．2,0 C．-2 D．2或-1【解題思路】由題意令y=0可得關(guān)于x的方程，進(jìn)而求解.【解答過(guò)程】由題意令y=x?22x+1=0，因?yàn)?故選：A.【變式2-2】（2024·內(nèi)蒙古·三模）已知奇函數(shù)fx的定義域?yàn)镽,fx+3=?f?x，且f2=0，則A．7 B．9 C．10 D．12【解題思路】由已知可得fx的圖象關(guān)于點(diǎn)32,0對(duì)稱，周期為3，據(jù)此計(jì)算可得f【解答過(guò)程】由fx+3=?f?x，可得f又fx是奇函數(shù)，所以fx+3=?f所以f0則f1.5=f4.5=0.故取fx=sin故選：B.【變式2-3】（2024·四川自貢·一模）定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f1+x=f1?x，且當(dāng)x∈0,1時(shí)，fx=A．16 B．32 C．36 D．48【解題思路】先判斷fx的對(duì)稱性、周期性，然后由g【解答過(guò)程】依題意，fx是定義在R由于f1+x=f1?x，所以ff=?fx+2所以fx是周期為4令gx=fx函數(shù)y=1x?4的圖象關(guān)于4,0對(duì)稱，y=fx畫出函數(shù)y=fx和y=由圖可知，兩個(gè)函數(shù)圖象有4個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)關(guān)于4,0對(duì)稱，所以gx所有零點(diǎn)和為8×2=16故選：A.【題型3根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)】【例3】（2024·四川內(nèi)江·三模）若函數(shù)f(x)=lnxx?xA．(0,e) B．(e,+∞)【解題思路】將函數(shù)f(x)=lnxx?x【解答過(guò)程】由題意知函數(shù)f(x)=lnxx即函數(shù)y=ln設(shè)?(x)當(dāng)0<x<e時(shí)，?'(x)當(dāng)x>e時(shí)，?'(x)當(dāng)0<x<1時(shí)，?(x)<0，當(dāng)x>1時(shí)，?(x)>0，作出?(x)的圖象如圖：當(dāng)直線y=xm與?(x)圖象相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為此時(shí)1m=1?故此時(shí)1m結(jié)合圖象可知，要使函數(shù)y=ln需滿足0<1故m∈(2e故選：D.【變式3-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1?2sin2ωx+π6A．76,136 B．76,【解題思路】利用降冪公式降冪，結(jié)合余弦函數(shù)的圖象特征，可得關(guān)于ω的不等式，即可求得實(shí)數(shù)ω得取值范圍.【解答過(guò)程】函數(shù)fx由x∈0,π2要使函數(shù)fx=1?2sin則πω+π3∈即ω的取值范圍是76故選：C.【變式3-2】（2024·河北衡水·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=xlnx,x>0,?1,x=0,xln?xA．1,+∞ B．2,+∞ C．1,e【解題思路】直線y=ax與函數(shù)?x=fx+1=xlnx+1,x>0,0,x=0,x【解答過(guò)程】由題意得ax=fx+1，則直線y=ax與函數(shù)顯然，直線y=ax與?x的圖象交于點(diǎn)0,0又當(dāng)x>0時(shí)，?x<0,??x當(dāng)x<0時(shí)，?x>0,??x當(dāng)x=0時(shí)，?x=0，所以則必須且只需直線y=ax與曲線y=xln所以方程a=lnx+1x有2個(gè)實(shí)數(shù)根.令當(dāng)0<x<1時(shí)，t′當(dāng)x>1時(shí)，t′所以tx又當(dāng)x趨近于0時(shí)，tx=ln當(dāng)x趨近于+∞時(shí)，ln所以必須且只需a>1.故選：A.【變式3-3】（2024·陜西漢中·二模）已知函數(shù)fx=12xln1A．mm≥16eC．meln22<m<【解題思路】由題意可知：函數(shù)gx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=fx與【解答過(guò)程】作出fx令gx=fx由題意可知：函數(shù)gx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)即為y=fx與若x>0，則fx=4ln設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x1,4ln則切線方程為y?4ln代入點(diǎn)O0,0，可得?4ln2此時(shí)切線斜率為k1若x≤0，則fx=1設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為x2,?ln則切線方程為y+ln代入點(diǎn)O0,0，可得ln2?1此時(shí)切線斜率為k2結(jié)合圖象可知m的取值范圍為mm=故選：D.【題型4根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的范圍求參數(shù)】【例4】（2024·四川成都·三模）若函數(shù)fx=ex?kx2大于0【解題思路】首先判斷k>0，令fx=0，x∈0,+∞，參變分離可得k=exx2，依題意可得y=k與y=e【解答過(guò)程】若k≤0時(shí)fx>0恒成立，所以所以k>0，令fx=0，x∈0,+∞，即依題意y=k與y=exx令φx=exx所以當(dāng)0<x<2時(shí)，φ′(x)<0，當(dāng)x>2時(shí)，即φ(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞所以φ(x)的最小值是φ2而當(dāng)x→0時(shí)，fx→+∞，當(dāng)x→+∞時(shí)，故答案為：e2【變式4-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=x+2lnx+1?ax只有3個(gè)零點(diǎn)x1，x2，x3【解題思路】由題意對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，為判斷導(dǎo)數(shù)與零的大小關(guān)系，對(duì)導(dǎo)數(shù)再次求導(dǎo)求其最值，利用分類討論思想，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理，建立不等式組，可得答案.【解答過(guò)程】函數(shù)fx=x+2lnx+1設(shè)gx=f所以當(dāng)x∈?1,0時(shí)，g′x<0，f′x單調(diào)遞減，當(dāng)所以f′當(dāng)2?a≥0，即a≤2時(shí)，f′x≥0，fx單調(diào)遞增，且當(dāng)2?a<0，即a>2時(shí)，由f′f存在m∈?1,0，n∈0,+∞，使得f當(dāng)x∈?1,m∪n,+∞時(shí)，f′所以fx在?1,m上單調(diào)遞增，在m,n上單調(diào)遞減，在n,+又f0=0，易知fm由f1fe則fx在?1,m，n,+所以a>2，且x2=0．由x3<3，得所以a+x2的取值范圍是故答案為：2,10【變式4-2】（2024·陜西西安·二模）已知函數(shù)fx=3cosωx+φω>0，若f?π4=3，fπ2=0【解題思路】根據(jù)f?π4=3,fπ2=0可得ω=【解答過(guò)程】由題意，在fx=3cos∴3cos?π兩式相減得3π4所以ω=43k2?2因?yàn)閤∈?π3令ωx+φ=t，t∈?由題意知y=3cost在故?π3ω+φ,?所以?π3ω+φ≥?兩式相加得?π6ω≥?又ω=4n所以，當(dāng)n=0時(shí)，ω=23；當(dāng)n=1時(shí)，ω=2；當(dāng)n=2時(shí)，ω=103；當(dāng)n=3時(shí)，ω=14所以ω的取值有5個(gè)，取其中一個(gè)填寫即可.故答案為：23【變式4-3】（2024·天津·二模）設(shè)a∈R，函數(shù)fx=1x?a+1+a,x<ax2?2a+1x+2【解題思路】對(duì)不同情況下的a分類，然后分別討論fx相應(yīng)的零點(diǎn)分布，即可得到a【解答過(guò)程】本解析中，“至多可能有1個(gè)零點(diǎn)”的含義是“零點(diǎn)個(gè)數(shù)不超過(guò)1”，即不可能有2個(gè)不同的零點(diǎn)，并不意味著零點(diǎn)一定在某些時(shí)候存在1個(gè).當(dāng)a≤0時(shí)，只要x≠a+1，就有x2故fx在a,+∞上至多可能有1個(gè)零點(diǎn)，從而在當(dāng)a>3時(shí)，有x2所以fx在a,+而若1x?a+1+a=0，則只可能x=a?1a?1故fx在R上至多可能有1個(gè)零點(diǎn)，從而在0,+當(dāng)0<a<3時(shí)，解1x?a+1+a=0可得到x=a?1a?1從而x=a?1a?1確為f再解方程x2?2a+1可得兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x=a+1±a而fa=a故x=a+1+a3?a確為fx而當(dāng)且僅當(dāng)a2?3a+1≥0時(shí)，另一根x=a+1?a3?a是條件為fx在區(qū)間0,+∞內(nèi)恰有2個(gè)零點(diǎn)，從而此時(shí)恰有兩種可能：a?1解得a∈0,當(dāng)a=3時(shí)，驗(yàn)證知fx恰有兩個(gè)零點(diǎn)53和綜上，a的取值范圍是0,3?故答案為：0,3?【題型5由函數(shù)零點(diǎn)分布求值（范圍）】【例5】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=x+mx?2,x∈A．?∞,0 B．?∞,1 C．【解題思路】法一：轉(zhuǎn)化成一元二次方程在0,+∞上有兩個(gè)不同的解的問(wèn)題；法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)函數(shù)圖像在0,+【解答過(guò)程】法一：因?yàn)閒x=x+m所以方程x2?2x+m=0在所以m>0Δ=4?4m>0解得法二：由fx=0得因?yàn)閒x有兩個(gè)零點(diǎn)，所以直線y=m與函數(shù)y=?函數(shù)y=?(x?1)2+1,x>0故選：D．【變式5-1】（2024·上海松江·二模）已知某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為a、b及c，其中a<b.若a，b是函數(shù)y=ax2?bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)，則aA．12,1 C．0,5?12【解題思路】由a，b為函數(shù)f(x)=ax2?bx+c的兩個(gè)零點(diǎn)可得ax2?aa+b【解答過(guò)程】由a,b為函數(shù)f(x)=ax2?bx+c即ax故aa+b=b，a2b=c，則由a，b，c為某三角形的三邊長(zhǎng)，且a<b，故1?a>0，且a<a21?a，則1所以a+c>ba+b>c，即a+a4所以12故a的取值范圍是：12故選：B.【變式5-2】（2023·云南·二模）設(shè)x1,x2是關(guān)于x的方程x2+a?1A．?43,?1 B．?34【解題思路】函數(shù)圖像開口向上，利用根的分布，即可求解實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解答過(guò)程】由題意知，函數(shù)f(x)=x若?1<x當(dāng)x=?1時(shí)，x2+a?1當(dāng)x=1時(shí)，x2+a?1當(dāng)x=2時(shí)，x2+a?1綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(?4故選：A.【變式5-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=1x?x,x>0A．lnαβ=γ B．lnαβ=γ?1 C．lnαβ<γ?1【解題思路】當(dāng)x>0時(shí)，解出一根，由α<β<γ得γ=1，當(dāng)x≤0時(shí)，還有兩根，則此時(shí)方程為二次方程，根據(jù)題意建立不等式解出a的取值范圍，再根據(jù)其他條件即可得結(jié)論.【解答過(guò)程】當(dāng)x>0時(shí)，令1x?x=0，解得當(dāng)x≤0時(shí)，方程ax2+2ax+3=0有兩個(gè)不等負(fù)實(shí)根α所以Δ=4a2當(dāng)α=β=?1時(shí)，α+β=?2，又α<β<0，則?2<α<?1<β<0．所以lnαβ=故選：C.【題型6復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)判定】【例6】（2024·浙江金華·三模）若函數(shù)fx=x+1x，則方程A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】求導(dǎo)得到函數(shù)單調(diào)性，畫出函數(shù)圖象，令fx=t，則ft=3，且t1∈?1,0,t2∈0,1,【解答過(guò)程】fx當(dāng)x<0時(shí)，fx=x?1此時(shí)fx=x?1當(dāng)x>0時(shí)，fx=x+1故當(dāng)x>1時(shí)，f′x>0，當(dāng)0<x<1故fx=x+1x在畫出函數(shù)fx和y=3令x+1x故x1令fx=t，則ft當(dāng)fx=t當(dāng)fx=t當(dāng)fx=t綜上，方程ff故選：D.【變式6-1】（2024·福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=lnx?1x,x>0A．3 B．5 C．6 D．8【解題思路】令f(x)?1=t，求出方程f(t)=0的根，再結(jié)合圖象求出f(x)=t+1的解的個(gè)數(shù)即可.【解答過(guò)程】依題意，函數(shù)g(x)=f(f(x)?1)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即為方程f(f(x)?1)=0解的個(gè)數(shù)，令f(x)?1=t，則f(t)=0，當(dāng)t>0時(shí)，lnt?1t=0，令函數(shù)y=lnt,y=?1t在(0,+∞又?(1)=?1<0，?(e)=1?1e>0當(dāng)t≤0時(shí)，?|t+1|+1=0，解得t=0或?2，作函數(shù)f(x)=ln

又f(x)?1=t，則f(x)=t+1，當(dāng)t=0時(shí)，f(x)=1，由y=fx的圖象知，方程f(x)=1當(dāng)t=?2時(shí)，f(x)=?1，由y=fx的圖象知，方程f(x)=?1當(dāng)t=t1，t1∈(1,e)時(shí)，f(x)=綜上所述，函數(shù)g(x)=f(f(x)?1)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5.故選：B.【變式6-2】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=?xex,x<0A．1 B．0 C．2 D．3【解題思路】根據(jù)函數(shù)解析式畫出圖像，利用換元法令t=fx，可知ft=1【解答過(guò)程】函數(shù)f(x)=?x對(duì)y=?xex?y′可知y=?xex在?∞且x趨向負(fù)無(wú)窮時(shí)，y>0，x=?1時(shí)，ymax故結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，可畫出函數(shù)fx函數(shù)g(x)=f(f(x))?1的零點(diǎn)，即f(f(x))=1，令t=fx，代入可得f由圖像可知t=e?1，即結(jié)合函數(shù)圖像可知，fx綜合可知，函數(shù)g(x)=f(f(x))?1的零點(diǎn)有1個(gè)，故選：A.【變式6-3】（2024·全國(guó)·二模）已知函數(shù)fx=11?x,x<0lnxA．3 B．5 C．7 D．9【解題思路】作出函數(shù)fx=11?x,x<0lnx,x>0的圖象，可設(shè)fx=t，可得【解答過(guò)程】設(shè)fx=t，令Fx對(duì)于y=11?x，y′=1(1?x)2設(shè)y=k2x+1與y=∵(lnx)′=即y=1x2由于1e3<1e∴y=1e3即y=1e3設(shè)三個(gè)交點(diǎn)為t1,t作出函數(shù)y=t,y=f(x)的圖象如圖，由此可知fx與y=t1無(wú)交點(diǎn)，與y=∴Fx故選：C.【題型7根據(jù)復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)求參數(shù)】【例7】（2024·西藏林芝·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx=?x2,x<0x,0≤x≤12?x,1<x≤2【解題思路】把函數(shù)gx零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=fx與直線【解答過(guò)程】函數(shù)gx=fx?mx有三個(gè)零點(diǎn)，則方程所以函數(shù)y=fx與函數(shù)y=mx由fx=?若函數(shù)y=fx與過(guò)原點(diǎn)直線y=mx則0<m<13m>1，解得13<m<1，即實(shí)數(shù)m故答案為：13【變式7-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=4x?1,x≤1x2?6x+8,x>1【解題思路】先作出函數(shù)圖象，解一元二次方程，結(jié)合函數(shù)圖象含參討論即可.【解答過(guò)程】作出函數(shù)fx由2fx2解得fx=1或由圖象易知，直線y=1與fx所以方程fx因?yàn)榉匠?f所以直線y=a2與故0<a2<1，解得0<a<2，故實(shí)數(shù)a故答案為：0,2.【變式7-2】（2024·天津?yàn)I海新·二模）已知函數(shù)fx=x?1?1,x≤2?12fx?2,x>2，若函數(shù)【解題思路】把函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出圖象，列出限制條件可得答案.【解答過(guò)程】令?x當(dāng)x≤2時(shí)，fx=x?1當(dāng)x∈2,4時(shí)，x?2∈0,2，?x當(dāng)x∈4,6時(shí)，x?4∈0,2，?x當(dāng)x∈6,8時(shí)，x?6∈0,2，?x……作出函數(shù)?(x)的部分圖象如下，因?yàn)間x=x?fx?a的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2，所以由圖可知，78<a<3故答案為：78<a<3【變式7-3】（2024·河南新鄉(xiāng)·二模）已知函數(shù)fx=2x,x≤0,2lnxx,x>0,gx=x【解題思路】令gx=t，根據(jù)fx的圖象可知，fx等于常數(shù)的解最多只有3個(gè)，根據(jù)gx圖象性質(zhì)可知，gx等于常數(shù)的解最多只有2個(gè)，若fgx=λ有6個(gè)解，需要ft=λ有3個(gè)解，gx=t有2個(gè)解，根據(jù)f【解答過(guò)程】令gx=t，由函數(shù)fx的圖象可知，方程fft在?當(dāng)t>0時(shí)，f′t=21?lnt所以t=e處取得極大值，即極大值為f故結(jié)合圖象可得0<λ<2e，且方程ft又gx=x2+2x?4λ=所以gx最小值為g?1=?4λ?1，即當(dāng)t≥?4λ?1所以使關(guān)于x的方程fgx=λlog2λ>?4λ?1，即4λ+log易知?λ在0,+∞上單調(diào)遞增，又?14=0綜上所述，λ的取值范圍為14故答案為：14【題型8函數(shù)零點(diǎn)的大小與范圍問(wèn)題】【例8】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)設(shè)fx的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x1,(3)證明：23【解題思路】（1）方法一：分類討論a大于等于小于零的情況，再求導(dǎo)討論單調(diào)性，分析零點(diǎn)情況；方法二：分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題，再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)討論單調(diào)性，求最值；（2）考查極值點(diǎn)偏移問(wèn)題.方法一：第一步：根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的含義得出a=x1e?x1=x2（3）利用（2）的結(jié)論進(jìn)行不等式放縮，得到lnn+1【解答過(guò)程】（1）解法一

由題，f′x=aex?1，當(dāng)a≤0時(shí)，f′當(dāng)a>0時(shí)，由f′x=0所以當(dāng)x∈?∞,?lna時(shí)，f當(dāng)x∈?lna,+∞時(shí)，f′所以fx要使函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn)，必須滿足fxmin當(dāng)0<a<1e時(shí)，所以函數(shù)fx在0,?f1記gx=ex?x2所以g′x=ex所以gx=ex?因?yàn)?a>e所以函數(shù)fx在?綜上所述，當(dāng)0<a<1e時(shí)，函數(shù)fx有兩個(gè)零點(diǎn).所以實(shí)數(shù)a解法二

因?yàn)閒x=aex?xa∈R所以直線y=a與曲線y=x令gx則g′x=1?xe所以gx在?∞,1上單調(diào)遞增，在1,+又g0=0，當(dāng)x→+∞時(shí)，gx→0，所以0<a<（2）解法一

因?yàn)閒x1=f設(shè)rx=xe令r′x=0當(dāng)x變化時(shí)，r′x?11,+r＋0－r單調(diào)遞增1單調(diào)遞減由（1）知x1>0,x2>0，不妨設(shè)x令Rx則R因?yàn)閤>1，所以2x?2>0，所以e2x?2?1>0，則所以Rx在1,+所以Rx>r1?r2?1=0，即當(dāng)又rx1=r因?yàn)閤>1，所以2?x因?yàn)閞x在?∞,1上單調(diào)遞增，x1<1解法二

由（1）知x1>0,x2>0所以lna+x1要證x1+x2>2不妨設(shè)0<x1<x2令t=x2x設(shè)?t=lnt?2t?1t+1所以?t>ln1?2×（3）由（2）中解法二可知，lnt>令t=n+1nn∈所以k=1n即23【變式8-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=2時(shí)，求曲線y=fx在點(diǎn)1,f(2)設(shè)函數(shù)gx=fx?x【解題思路】（1）先將a=2的值代入函數(shù)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求出切線斜率，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求出切線方程.（2）由gx有兩個(gè)零點(diǎn)，得出a6=?x+1ex?13x2【解答過(guò)程】（1）當(dāng)a=2時(shí)，fx=x所以f′則k=f所以曲線y=fx在點(diǎn)1,f1處的切線方程為y+1=?2x?1（2）函數(shù)gx因?yàn)間x所以?x+1ex?1=設(shè)函數(shù)?x=?x+1因?yàn)?62?4×3×7=?48<0，所以所以當(dāng)x∈?∞,0時(shí)，?當(dāng)x∈0,+∞時(shí)，?′因?yàn)楹瘮?shù)?x=?x+1所以0<a6<1e，即0<a<【變式8-2】（2024·河北邯鄲·三模）已知函數(shù)f(x)=xex?a(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程．(2)已知關(guān)于x的方程f(x)=ax2?ex恰有4個(gè)不同的實(shí)數(shù)根x（i）求a的取值范圍；（ii）求證：x1【解題思路】（1）求出導(dǎo)數(shù)，繼而可得切線斜率為在x=0的導(dǎo)數(shù)值，由f(0)=0，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式，可求出切線方程；（2）（i）將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為y=a與g(x)=exx2有三個(gè)不同交點(diǎn)的問(wèn)題，利用導(dǎo)數(shù)可求得（ii）設(shè)x2>x1>0，根據(jù)：ex1=ax12，ex2=ax【解答過(guò)程】（1）f′所以f'又f(0)=0，所以曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程為y=x．（2）（i）由f(x)=ax2?ex，得(x+1)所以ex?ax2=0令g(x)=exx所以當(dāng)x∈(?∞,0)時(shí)，g′(x)>0，當(dāng)x∈(0,2)時(shí)，g′所以g(x)在(?∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,2)上單調(diào)遞減，在又g(2)=e24，且當(dāng)x無(wú)限趨近于?當(dāng)x從0的左側(cè)無(wú)限趨近于0時(shí)，g(x)趨近于+∞，當(dāng)x從0的右側(cè)無(wú)限趨近于0時(shí)，g(x)趨近于+當(dāng)x無(wú)限趨近于+∞時(shí)，ex的增速遠(yuǎn)大于x2的增速，所以g(x)故g(x)的大致圖象如圖所示：又g(?1)=1e<e24，所以當(dāng)a>e24時(shí)，直線y=a（ii）由（i）知ex1=ax12，所以x1?x要證x1+x不妨設(shè)x2>x1>0，所以0<令t=x1x2，則則當(dāng)0<t<1時(shí)，?′所以?(t)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以?(t)<?(1)=0，所以當(dāng)t∈(0,1)時(shí)，lnt<2(t?1)t+1【變式8-3】（2024·浙江·二模）已知函數(shù)fx=x(1)求證：fx(2)若函數(shù)fx有三個(gè)不同的零點(diǎn)x1，x2（?。┣骯的取值范圍；（ⅱ）求證：x1【解題思路】（1）代入計(jì)算即可求解，（2）（?。┓诸愑懻揳的取值范圍即可求解，（ⅱ）結(jié)合函數(shù)有三個(gè)不同的零點(diǎn)，可得x3=1x1，x2=1，進(jìn)而結(jié)合f【解答過(guò)程】（1）由fx=x所以x2f1（2）（?。┯捎趂1=0，且當(dāng)x→+∞時(shí)，f又f′x=2x?aln當(dāng)a>2時(shí)，令gx=f當(dāng)x>a2時(shí)，g′x>0,當(dāng)0<x<a2時(shí)，g′x又f′1=2?a<0f′a2=2因此fx在0,m,n,+∞上單調(diào)遞增，在又當(dāng)x→0+,f所以此時(shí)fx有3個(gè)零點(diǎn)，符合題意，故a>2當(dāng)a=2時(shí)，f令?x=ln故當(dāng)x>1時(shí)，?′x<0，此時(shí)?x單調(diào)遞減，當(dāng)0<x<1時(shí)，?′x>0，此時(shí)?x單調(diào)遞增，故綜上可知：a>2，（ⅱ）由（?。┮约癴1=0可知，x2=1，又fx1=1+ax1設(shè)φ所以φx在1，+即φx=ln又因?yàn)閒x所以x1所以x1一、單選題1．（2024·山東青島·二模）函數(shù)fx=axA．0 B．1 C．1,0 D．a(chǎn)【解題思路】令fx=ax【解答過(guò)程】因?yàn)閒x令fx=ax即函數(shù)的零點(diǎn)為1.故選：B.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=lnA．0,22 B．22,1 C．【解題思路】由零點(diǎn)存在性定理可得答案.【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)fx的定義域?yàn)?,+∞，又f′x=又f1=?1<0,f2=ln2=故選：C.3．（2024·甘肅張掖·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù)fx=eA．0 B．-1 C．3 D．2【解題思路】令fx=0，即exx?1?x?1=0，構(gòu)造函數(shù)y=ex與函數(shù)y=x+1【解答過(guò)程】由零點(diǎn)定義可知，函數(shù)的零點(diǎn)，就是方程fx=0的實(shí)數(shù)根，令則exx?1?x?1=0，顯然x≠1構(gòu)造函數(shù)y=ex與函數(shù)y=x+1可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)圖象可知，兩個(gè)函數(shù)圖象相交于兩點(diǎn)，所以此方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即函數(shù)fx設(shè)為x1,x2，所以即fx另外發(fā)現(xiàn)，將?x1代入，可得所以?x1也是函數(shù)fx的零點(diǎn)，說(shuō)明x故選:A.4．（2024·浙江紹興·三模）已知函數(shù)f2x+1為偶函數(shù)，若函數(shù)gx=fx+A．1 B．2 C．3 D．0【解題思路】由函數(shù)gx的圖象關(guān)于x=1對(duì)稱得零點(diǎn)關(guān)于x=1對(duì)稱，但g【解答過(guò)程】因?yàn)楹瘮?shù)f2x+1為偶函數(shù)，所以f所以y=fx的圖象關(guān)于x=1令?x=2可得函數(shù)?x=2所以函數(shù)gx=fx則函數(shù)gx的零點(diǎn)關(guān)于x=1對(duì)稱，但g則g1=f1故選：C.5．（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）若函數(shù)fx=x3?3x+a在區(qū)間0,2A．0,2 B．2,+∞ C．0,1 D．【解題思路】利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，依題意可得f0【解答過(guò)程】因?yàn)閒′x=3x2?3=3x+1即fx在1,+∞，當(dāng)?1<x<1時(shí)f′x<0，即f根據(jù)題意可得f0>0f1<0故選：A.6．（2024·廣東湛江·二模）已知函數(shù)fx=2x?1A．當(dāng)gx有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，fB．當(dāng)gx有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，fC．當(dāng)fx有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，gD．當(dāng)fx有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g【解題思路】作出函數(shù)y=2x?1，y=【解答過(guò)程】?jī)蓚€(gè)函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為圖象與y=a的圖象的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)，作出y=2x?1由圖可知，當(dāng)gx有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，f當(dāng)gx有3個(gè)零點(diǎn)時(shí)，f當(dāng)fx有2個(gè)零點(diǎn)時(shí)，g故選：D.7．（2024·四川綿陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ex,x≤0,lnx,x>0,gx=x?3,A．0 B．3 C．6 D．9【解題思路】方程fgx=?3?gx有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)y=fgx與【解答過(guò)程】由題意得：gx=x?3為R當(dāng)x≤3時(shí)，gx≤0，當(dāng)x>3時(shí)，gx>0，方程fgx=?3?gx=?x作出函數(shù)fgx與由圖可知y=ex?3與y=ln則A,B兩點(diǎn)關(guān)于y=x?3對(duì)稱，中點(diǎn)C在y=x?3圖象上，由y=?xy=x?3，解得：C所以x1故選：B.8．（2024·安徽合肥·三模）設(shè)a∈R，函數(shù)fx=2x?1?1,x≥0?xA．?2,2 B．0,2 C．?1,0 D．?【解題思路】設(shè)t=fx，可確定當(dāng)x≥0時(shí)，函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，繼而作出y=fx的大致圖像，考慮【解答過(guò)程】設(shè)t=fx，當(dāng)x≥0時(shí)，fx=由ft=0得t=1，即fx=2所以y=ffx在x<0時(shí)，若a≥0,fx=?x2+ax此時(shí)fx=?x2+ax<0所以ft=0無(wú)解，則t=fx綜上，此時(shí)y=ff若a<0，此時(shí)f令?t2+at=0，解得t=a<0顯然fx=a在所以要使y=ff需fa2>1，即?所以a∈?故選：D.二、多選題9．（2024·遼寧·一模）已知函數(shù)fx=2cosωx+π6+2(ω>0)在區(qū)間?A．23 B．56 C．1112【解題思路】結(jié)合函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性和零點(diǎn)個(gè)數(shù)，可確定ω的取值范圍，從而確定正確的選項(xiàng).【解答過(guò)程】由2kπ≤ωx+π6≤2kπ+π，又函數(shù)fx在區(qū)間?π6,π3上單調(diào)遞減，所以又因?yàn)閗∈Z，ω>0，所以k=0，0<ω≤1因?yàn)?≤x≤π，所以π因?yàn)閒x在區(qū)間0,所以cosωx+π6所以π≤ωπ+綜上，56故選：BC.10．（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=ex+2x?2,gA．2x1+C．x1+x【解題思路】對(duì)于A，由題意得ex1+2x1=2lnx2+x2=2，進(jìn)而得ex1=x【解答過(guò)程】對(duì)于A，由題ex1+2所以ex1+2所以ex1=對(duì)于B，由fx=0,gx故函數(shù)y=ex與y=?2x+2圖象交點(diǎn)橫坐標(biāo)和y=lnx與y=?12x+1如圖，由圖象性質(zhì)可知0<x又由A得ex1=所以x1對(duì)于C，由上2lnx2+x2?2=0x1對(duì)于D，由AB得ex1=x2所以2x故選：ACD.11．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)fx=2?log1A．若g(x)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，則2<a<5B．當(dāng)a=2時(shí)，gf(x)C．若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2D．若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1,x2【解題思路】作出fx的圖象，由gx有2個(gè)不同的零點(diǎn)，結(jié)合圖象，可判定A錯(cuò)誤；由f(f(x))=2，令t=f(x)，得到f(t)=2，求得t1=1,t2=4?【解答過(guò)程】由函數(shù)fx=2?作出fx對(duì)于A中，由g(x)=f(x)?a=0，可得f(x)=a，若gx結(jié)合圖象知a<1或2<a<5，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，當(dāng)a=2時(shí)，由g(f(x))=0，可得f(f(x))=2，令t=f(x)，則有f(t)=2，可得t1結(jié)合圖像知，t1=f(x)有3個(gè)不等實(shí)根，t2所以g(f(x))有5個(gè)不同的零點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，若g(x)有4個(gè)不同的零點(diǎn)x1則1<a<2，且2+log2x由二次函數(shù)的對(duì)稱性得x3+x結(jié)合B知x3∈(2,4?3)，所以x3對(duì)于D中，由ax1x由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)，可得?a=a+8a在所以ax1x故選：BCD．三、填空題12．（2023·遼寧葫蘆島·一模）請(qǐng)估計(jì)函數(shù)fx=6x?【解題思路】根據(jù)零點(diǎn)存在性定理求解即可.【解答過(guò)程】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，函數(shù)fx=6函數(shù)的圖像在0，又f3=2?log所以函數(shù)fx=6故答案為:3,4.13．（2024·天津北辰·三模）若函數(shù)f(x)=a2x?3?3a?x?2∪?【解題思路】分析可知f(x)關(guān)于直線x=32對(duì)稱，由對(duì)稱性可知當(dāng)x>32時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，令gx=x3?3【解答過(guò)程】由題意可知：f(x)的定義域?yàn)镽，且f(3?x)=a2(3?x)?3可知f(x)關(guān)于直線x=3原題意等價(jià)于：當(dāng)x>32時(shí)，f(x)有2個(gè)零點(diǎn)，且f3若x>32，則顯然f(3)=0，若x∈32,3∪3,+令gx=x3?3x2則g′x=3x2?6x，令g′x>0可知gx在32,2且g32=?可得gx由圖象可知：2a=?4或?278<2a<0或2a>0，解得a=?2或?綜上所述：實(shí)數(shù)a的取值范圍為?2∪故答案為：?2∪14．（2024·河北秦皇島·三模）已知奇函數(shù)fx的定義域?yàn)镽，fx+3=?f?x，且f2=0，則fx【解題思路】由fx+3=?f?x結(jié)合fx是奇函數(shù)可求出fx的周期為3，即可求出f【解答過(guò)程】由fx+3=?f?x，可得f又fx是奇函數(shù)，所以f則fx的周期為3，所以ff5而f1.5=f?1.5故fx在0,6故答案為：9.四、解答題15．（2024·四川瀘州·三模）已知函數(shù)f(x)=axex?1(1)討論函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)若|f(x)|>x+xlnx恒成立，求函數(shù)f(x)的零點(diǎn)【解題思路】（1）求出函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探討單調(diào)性，進(jìn)而求出零點(diǎn)個(gè)數(shù).（2）由（1）的結(jié)論，按0<x<x【解答過(guò)程】（1）函數(shù)f(x)=axex?1的定義域?yàn)镽，求導(dǎo)得f由f′(x)<0得x<?1，由f′(x)>0得x>?1，因此函數(shù)f(x)在又當(dāng)x<0時(shí)，f(x)<0恒成立，f(0)=?1<0,f(1a)=e1所以函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1.（2）由（1）知函數(shù)f(x)存在唯一零點(diǎn)x0∈(0,+∞①當(dāng)x∈(0,x0)時(shí)，f(x)<0，由|f(x)|>x+xlnx設(shè)g(x)=?aex+g(x)在(0,x0)上單減，則g(x)>g(②當(dāng)x∈[x0,+∞)時(shí)，由|f(x)|>x+x設(shè)?(x)=aex?1x則?′(x)>0，?(x)在[x0,+綜上得x0的取值范圍是(0,16．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)f(x)=(x?1)2ex?ax，且曲線y=f(x)(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)證明：函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)．【解題思路】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義計(jì)算即可求解；（2）利用轉(zhuǎn)化的思想將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)=(x?1)2?【解答過(guò)程】（1）由題意可得f′(x)=x所以f'(0)=?2f(0)=b（2）由f(x)=0可得(x?1)2ex函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)即函數(shù)g(x)=(x?1)g′當(dāng)x<1時(shí)，g′(x)<0，g(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x>1時(shí)，g′又g(0)=1>0，g(1)=?1e<0所以g(0)g(1