中考數(shù)學總復習題型強化課件：題型5幾何探究題(共92張課件)

題型5

幾何探究題題型點撥幾何探究題是江西近10年的必考題型，題位在解答題最后兩題的一道.考查類型有：(1)新定義型探究問題(2017.23,2016.22,2015.24)；(2)幾何變換型探究問題(2017.23,2016.22,2014.23,2012.24,2010.25)；(3)操作型探究問題(2019.21,2014.23，2013.23,2011.26)；(4)動點型探究問題(2019.22,2018.22).題目中設問有：(1)求線段的長度；(2)判斷圖形的形狀；(3)求角度；(4)判斷兩條線段的數(shù)量和位置關系并證明；(5)條件變化后，證明結論是否仍然成立.(6)幾何圖形中，求函數(shù)關系式；等等.解決這類問題，要熟練掌握相關知識，通過觀察、分析、概括、推理，判斷等一系列探究活動.確定要求的條件和結論，選擇適應的方法進行解答.新定義型探究問題考法示例類型1［方法特點］在材料中，為問題的提出設置一種背景，如新定義，新定理，新運算.解決此類問題要仔細閱讀題目所提供的新定義、新定理或新運算的內容，通過對材料信息的分析、提煉，再運用所分析、提煉的結果或題目所提供的運算法則解決新問題.示例1(2017·江西,12分)我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點A順時針旋轉α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC繞點A逆時針旋轉β得到AC′，連接B′C′.當α+β=180°時，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補三角形”，△AB′C′邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補中線”，點A叫做“旋補中心”.特例感知：(1)在圖2，圖3中，△AB′C′是△ABC的“旋補三角形”，AD是△ABC的“旋補中線”.①如圖2，當△ABC為等邊三角形時，AD與BC的數(shù)量關系為AD=1/2BC；②如圖3，當∠BAC=90°，BC=8時，AD長為4.(3)存在.證明：如圖②，延長AD交BC的延長線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN,連接DF.∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°.在Rt△DCM中，∵CD=23，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°.1.(2019·贛州模擬)如果三角形的兩個內角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準互余三角形”．(1)若△ABC是“準互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，則∠B=15°；變式訓練(2)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分線，不難證明△ABD是“準互余三角形”．試問在邊BC上是否存在點E(異于點D)，使得△ABE也是“準互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“準互余三角形”，求對角線AC的長．(2)請你觀察(1)中的計算結果，猜想a2，b2，c2三者之間的關系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關系式；拓展應用(3)如圖4，在□ABCD中，點E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點，BE⊥EG，AD=AB=3.求AF的長.幾何變換型探究問題類型2［方法特點］特征與方法：幾何變換型探究性問題是以幾何知識和具體的幾何圖形為背景，通過圖形的平移、翻折、旋轉等把圖形的有關性質和圖形之間的數(shù)量關系、位置關系看作是在變化的、相互依存的狀態(tài)之中，要求對變換過程中伴隨的數(shù)量關系和圖形的位置關系等進行探究.解決這類問題，要善于發(fā)現(xiàn)全等三角形、等邊三角形、直角三角形和相似三角形,或添輔助線構造全等三角形、等邊三角形、直角三角形和相似三角形，運用全等三角形來證明，運用勾股定理、相似三角形和銳角三角函數(shù)來計算.示例2(2016·江西，10分)【圖形定義】如圖，將正n邊形繞點A順時針旋轉60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉前后兩圖形有另一交點O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點A逆時針旋轉60°后，交旋轉前的圖形于點P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”.【探究證明】(1)請在圖1和圖2中選擇其中一個證明：“疊弦三角形”(即△AOP)是等邊三角形；(2)如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′.【歸納猜想】(3)圖1、圖2中“疊弦角”的度數(shù)分別為15°,24°;(4)圖n中，“疊弦三角形”是等邊三角形(填“是”或“不是”)；[解答］解：(1)①選擇圖1.證明：依題意，得∠DAD′=60°,∠PAO=60°.∵∠DAP=∠DAD′-∠PAD′=60°-∠PAD′,∠D′AO=∠PAO-∠PAD′=60°-∠PAD′,∴∠DAP=∠D′AO.又∠D=∠D′,AD=AD′,∴△DAP≌△D′AO,∴AP=AO,∴△AOP是等邊三角形.②選擇圖2.證明：依題意,得∠EAE′=60°,∠PAO=60°.∵∠EAP=∠EAE′-∠PAE′=60°-∠PAE′,∠E′AO=∠PAO-∠PAE′=60°-∠PAE′,∴∠EAP=∠E′AO.又∠E=∠E′,AE=AE′,∴△EAP≌△E′AO,∴AP=AO,∴△AOP是等邊三角形.(2)證明：如圖，連接AC,AD′,CD′.∵AE′=AB,∠E′=∠B=108°,E′D′=BC,∴△AE′D′≌△ABC,∴AD′=AC,∠AD′E′=∠ACB.由AD′=AC,得∠AD′C=∠ACD′,∴∠OD′C=∠OCD′,∴OC=OD′，∴BC-OC=E′D′-OD′,即BO=E′O.又AB=AE′,∠B=∠E′,∴△ABO≌△AE′O,∴∠OAB=∠OAE′.3.(2014·江西，9分)如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點E在AB邊上(不與點A,B重合)，點F在BC邊上(不與點B,C重合).第一次操作：將線段EF繞點F順時針旋轉，當點E落在正方形上時，記為點G；第二次操作：將線段FG繞點G順時針旋轉，當點F落在正方形上時，記為點H；依此操作下去……變式訓練(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為等邊三角形，求此時線段EF的長;(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH.①請判斷四邊形EFGH的形狀為正方形,此時AE與BF的數(shù)量關系是AE=BF；②以①中的結論為前提，設AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關系式及面積y的取值范圍.操作型探究問題類型3［方法特點］操作探究型問題是通過動手測量、作圖(象)、取值、計算等實驗，猜想獲得數(shù)學結論的研究性活動，這類活動完全模擬以動手為基礎的手腦結合的科學研究形式，需要動手操作、合理猜想和驗證．常見類型：(1)操作設計問題；(2)圖形剪拼；(3)操作探究；(4)數(shù)學建模．解題策略：運用觀察、操作、聯(lián)想、推理、概括等多種方法．示例3(2013·江西，10分)某學校活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經(jīng)歷了如下過程：【操作發(fā)現(xiàn)】(1)在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點F，EG⊥AC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論：①AF=AG=1/2AB；②MD=ME；③整個圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DMB．正確的是①②③④.(填序號即可)【數(shù)學思考】(2)在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關系？請給出證明過程.【類比探究】(3)在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．5.(2019·九江贛北中考聯(lián)盟)【操作發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，在邊長為1個單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個頂點均在格點上．①請按要求畫圖：將△ABC繞點A按順時針方向旋轉90°，點B的對應點為B′，點C的對應點為C′，連接BB′；②在①所畫圖形中，∠AB′B=45°.變式訓練【問題解決】(2)如圖2，在等邊三角形ABC中，AC=7，點P在△ABC內，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．小明同學通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：想法一：將△APC繞點A按順時針方向旋轉60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關系；想法二：將△APB繞點A按逆時針方向旋轉60°，得到△AP′C，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關系．…請參考小明同學的想法，完成該問題的解答過程．(一種方法即可)【靈活運用】(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB(k為常數(shù))，求BD的長(用含k的式子表示)．6.（2019·江西，9分）數(shù)學活動課上，張老師引導同學進行如下探究：如圖1，將長為12cm的鉛筆AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的邊沿上，一端A固定在桌面上，圖2是示意圖．活動一如圖3，將鉛筆AB繞端點A順時針旋轉，AB與OF交于點D，當旋轉至水平位置時，鉛筆AB的中點C與點O重合．數(shù)學思考（1）設CD＝xcm，點B到OF的距離GB＝y(tǒng)cm．①用含x的代數(shù)式表示：AD的長是（6+x）cm，BD的長是（6-x）cm；②y與x的函數(shù)關系式是，自變量x的取值范圍是0≤x≤6．動點型探究問題類型4［方法特點］特征與方法：動點型幾何探究問題是指題設圖形中存在一個或多個動點，它們在線段、射線或弧線上運動的一類開放性題目.解決這類問題的關鍵是動中求靜，靈活運用有關數(shù)學知識解決問題，在動點的運動過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計算推理的過程.在變化中找到不變的性質是解決這類問題的基本思路，這也是動態(tài)幾何數(shù)學問題中最核心的數(shù)學本質.示例4(2018·江西，9分)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點P是射線BD上一動點，以AP為邊向右側作等邊△APE，點E的位置隨著點P的位置變化而變化.(1)如圖1，當點E在菱形ABCD內部或邊上時，連接CE，BP與CE的數(shù)量關系是BP=CE，CE與AD的位置關系是CE⊥AD;解：(1)相等(或BP=CE)垂直(或CE⊥AD)［如圖1，連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC,∴ACD都是等邊三角形.∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°.∵∠BAC=∠PAE,∴∠BAP=∠CAE.∴△BAP≌△CAE(SAS).∴BP=CE.∴∠ABP=∠ACE=30°,延長CE交AD于D.∵∠CAH=60°,∴∠CAH+∠ACH=90°.∴CE⊥AD.］(2)(1)中結論仍然成立.證明：選擇圖2，連接AC交BD于點O.∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°,∴AB=BC,∠ABD=30°.∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°.∵△APE為等邊三角形，∴AP=AE,∠PAE=60°.∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC,即∠BAP=∠CAE.在△ABP與△ACE中，AB=AC,∠BAP=∠CAE,AP=AE,∴△ABP≌△ACE.∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.∵△ACD為等邊三角形，∴∠ACE=∠DCE=30°.∴CE⊥AD.選擇圖3時，證明方法同上.7.(2019·江西，9分)在圖1,2,3中，已知平行四邊形ABCD，∠ABC=120°，點E為線段BC上的動點，連接AE，以AE為邊向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.(1)如圖1，當點E與點B重合時，∠CEF=60°.(2)如圖2，連接AF.①填空：∠FAD=∠EAB(填“＞”“＜”或“=”)；②求證：點F在∠ABC的平分線上.變式訓練(1)解：60°［∵四邊形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，∴∠CEF=∠ABC-∠AEF=60°.］(2)①解：=［∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB=180°-∠ABC=60°.∵四邊形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠FAE=60°，∴∠FAD=∠EAB.］②證明