中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)題型強(qiáng)化課件：題型5幾何探究題(共92張課件)

題型5

幾何探究題題型點(diǎn)撥幾何探究題是江西近10年的必考題型，題位在解答題最后兩題的一道.考查類型有：(1)新定義型探究問題(2017.23,2016.22,2015.24)；(2)幾何變換型探究問題(2017.23,2016.22,2014.23,2012.24,2010.25)；(3)操作型探究問題(2019.21,2014.23，2013.23,2011.26)；(4)動(dòng)點(diǎn)型探究問題(2019.22,2018.22).題目中設(shè)問有：(1)求線段的長度；(2)判斷圖形的形狀；(3)求角度；(4)判斷兩條線段的數(shù)量和位置關(guān)系并證明；(5)條件變化后，證明結(jié)論是否仍然成立.(6)幾何圖形中，求函數(shù)關(guān)系式；等等.解決這類問題，要熟練掌握相關(guān)知識(shí)，通過觀察、分析、概括、推理，判斷等一系列探究活動(dòng).確定要求的條件和結(jié)論，選擇適應(yīng)的方法進(jìn)行解答.新定義型探究問題考法示例類型1［方法特點(diǎn)］在材料中，為問題的提出設(shè)置一種背景，如新定義，新定理，新運(yùn)算.解決此類問題要仔細(xì)閱讀題目所提供的新定義、新定理或新運(yùn)算的內(nèi)容，通過對材料信息的分析、提煉，再運(yùn)用所分析、提煉的結(jié)果或題目所提供的運(yùn)算法則解決新問題.示例1(2017·江西,12分)我們定義：如圖1，在△ABC中，把AB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)得到AB′，把AC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)β得到AC′，連接B′C′.當(dāng)α+β=180°時(shí)，我們稱△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，△AB′C′邊B′C′上的中線AD叫做△ABC的“旋補(bǔ)中線”，點(diǎn)A叫做“旋補(bǔ)中心”.特例感知：(1)在圖2，圖3中，△AB′C′是△ABC的“旋補(bǔ)三角形”，AD是△ABC的“旋補(bǔ)中線”.①如圖2，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，AD與BC的數(shù)量關(guān)系為AD=1/2BC；②如圖3，當(dāng)∠BAC=90°，BC=8時(shí)，AD長為4.(3)存在.證明：如圖②，延長AD交BC的延長線于M，作BE⊥AD于E，作線段BC的垂直平分線交BE于P，交BC于F，連接PA、PD、PC，作△PCD的中線PN,連接DF.∵∠ADC=150°，∴∠MDC=30°.在Rt△DCM中，∵CD=23，∠DCM=90°，∠MDC=30°，∴CM=2，DM=4，∠M=60°.1.(2019·贛州模擬)如果三角形的兩個(gè)內(nèi)角α與β滿足2α+β=90°，那么我們稱這樣的三角形為“準(zhǔn)互余三角形”．(1)若△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，則∠B=15°；變式訓(xùn)練(2)如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若AD是∠BAC的平分線，不難證明△ABD是“準(zhǔn)互余三角形”．試問在邊BC上是否存在點(diǎn)E(異于點(diǎn)D)，使得△ABE也是“準(zhǔn)互余三角形”？若存在，請求出BE的長；若不存在，請說明理由；(3)如圖2，在四邊形ABCD中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC是“準(zhǔn)互余三角形”，求對角線AC的長．(2)請你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果，猜想a2，b2，c2三者之間的關(guān)系，用等式表示出來，并利用圖3證明你發(fā)現(xiàn)的關(guān)系式；拓展應(yīng)用(3)如圖4，在□ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是AD，BC，CD的中點(diǎn)，BE⊥EG，AD=AB=3.求AF的長.幾何變換型探究問題類型2［方法特點(diǎn)］特征與方法：幾何變換型探究性問題是以幾何知識(shí)和具體的幾何圖形為背景，通過圖形的平移、翻折、旋轉(zhuǎn)等把圖形的有關(guān)性質(zhì)和圖形之間的數(shù)量關(guān)系、位置關(guān)系看作是在變化的、相互依存的狀態(tài)之中，要求對變換過程中伴隨的數(shù)量關(guān)系和圖形的位置關(guān)系等進(jìn)行探究.解決這類問題，要善于發(fā)現(xiàn)全等三角形、等邊三角形、直角三角形和相似三角形,或添輔助線構(gòu)造全等三角形、等邊三角形、直角三角形和相似三角形，運(yùn)用全等三角形來證明，運(yùn)用勾股定理、相似三角形和銳角三角函數(shù)來計(jì)算.示例2(2016·江西，10分)【圖形定義】如圖，將正n邊形繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，發(fā)現(xiàn)旋轉(zhuǎn)前后兩圖形有另一交點(diǎn)O，連接AO，我們稱AO為“疊弦”；再將“疊弦”AO所在的直線繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°后，交旋轉(zhuǎn)前的圖形于點(diǎn)P，連接PO，我們稱∠OAB為“疊弦角”，△AOP為“疊弦三角形”.【探究證明】(1)請?jiān)趫D1和圖2中選擇其中一個(gè)證明：“疊弦三角形”(即△AOP)是等邊三角形；(2)如圖2，求證：∠OAB=∠OAE′.【歸納猜想】(3)圖1、圖2中“疊弦角”的度數(shù)分別為15°,24°;(4)圖n中，“疊弦三角形”是等邊三角形(填“是”或“不是”)；[解答］解：(1)①選擇圖1.證明：依題意，得∠DAD′=60°,∠PAO=60°.∵∠DAP=∠DAD′-∠PAD′=60°-∠PAD′,∠D′AO=∠PAO-∠PAD′=60°-∠PAD′,∴∠DAP=∠D′AO.又∠D=∠D′,AD=AD′,∴△DAP≌△D′AO,∴AP=AO,∴△AOP是等邊三角形.②選擇圖2.證明：依題意,得∠EAE′=60°,∠PAO=60°.∵∠EAP=∠EAE′-∠PAE′=60°-∠PAE′,∠E′AO=∠PAO-∠PAE′=60°-∠PAE′,∴∠EAP=∠E′AO.又∠E=∠E′,AE=AE′,∴△EAP≌△E′AO,∴AP=AO,∴△AOP是等邊三角形.(2)證明：如圖，連接AC,AD′,CD′.∵AE′=AB,∠E′=∠B=108°,E′D′=BC,∴△AE′D′≌△ABC,∴AD′=AC,∠AD′E′=∠ACB.由AD′=AC,得∠AD′C=∠ACD′,∴∠OD′C=∠OCD′,∴OC=OD′，∴BC-OC=E′D′-OD′,即BO=E′O.又AB=AE′,∠B=∠E′,∴△ABO≌△AE′O,∴∠OAB=∠OAE′.3.(2014·江西，9分)如圖1，邊長為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E在AB邊上(不與點(diǎn)A,B重合)，點(diǎn)F在BC邊上(不與點(diǎn)B,C重合).第一次操作：將線段EF繞點(diǎn)F順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)E落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)G；第二次操作：將線段FG繞點(diǎn)G順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)F落在正方形上時(shí)，記為點(diǎn)H；依此操作下去……變式訓(xùn)練(1)圖2中的△EFD是經(jīng)過兩次操作后得到的，其形狀為等邊三角形，求此時(shí)線段EF的長;(2)若經(jīng)過三次操作可得到四邊形EFGH.①請判斷四邊形EFGH的形狀為正方形,此時(shí)AE與BF的數(shù)量關(guān)系是AE=BF；②以①中的結(jié)論為前提，設(shè)AE的長為x,四邊形EFGH的面積為y，求y與x的函數(shù)關(guān)系式及面積y的取值范圍.操作型探究問題類型3［方法特點(diǎn)］操作探究型問題是通過動(dòng)手測量、作圖(象)、取值、計(jì)算等實(shí)驗(yàn)，猜想獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的研究性活動(dòng)，這類活動(dòng)完全模擬以動(dòng)手為基礎(chǔ)的手腦結(jié)合的科學(xué)研究形式，需要?jiǎng)邮植僮?、合理猜想和?yàn)證．常見類型：(1)操作設(shè)計(jì)問題；(2)圖形剪拼；(3)操作探究；(4)數(shù)學(xué)建模．解題策略：運(yùn)用觀察、操作、聯(lián)想、推理、概括等多種方法．示例3(2013·江西，10分)某學(xué)?；顒?dòng)小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質(zhì)時(shí)，經(jīng)歷了如下過程：【操作發(fā)現(xiàn)】(1)在等腰△ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DF⊥AB于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則下列結(jié)論：①AF=AG=1/2AB；②MD=ME；③整個(gè)圖形是軸對稱圖形；④∠DAB=∠DMB．正確的是①②③④.(填序號(hào)即可)【數(shù)學(xué)思考】(2)在任意△ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的外側(cè)作等腰直角三角形，如圖2所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，則MD與ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系？請給出證明過程.【類比探究】(3)在任意△ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向△ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點(diǎn)，連接MD和ME，試判斷△MED的形狀．5.(2019·九江贛北中考聯(lián)盟)【操作發(fā)現(xiàn)】(1)如圖1，在邊長為1個(gè)單位長度的小正方形組成的網(wǎng)格中，△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．①請按要求畫圖：將△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為B′，點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為C′，連接BB′；②在①所畫圖形中，∠AB′B=45°.變式訓(xùn)練【問題解決】(2)如圖2，在等邊三角形ABC中，AC=7，點(diǎn)P在△ABC內(nèi)，且∠APC=90°，∠BPC=120°，求△APC的面積．小明同學(xué)通過觀察、分析、思考，對上述問題形成了如下想法：想法一：將△APC繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′B，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系；想法二：將△APB繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△AP′C，連接PP′，尋找PA，PB，PC三條線段之間的數(shù)量關(guān)系．…請參考小明同學(xué)的想法，完成該問題的解答過程．(一種方法即可)【靈活運(yùn)用】(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AE⊥BC，垂足為E，∠BAE=∠ADC，BE=CE=2，CD=5，AD=kAB(k為常數(shù))，求BD的長(用含k的式子表示)．6.（2019·江西，9分）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，張老師引導(dǎo)同學(xué)進(jìn)行如下探究：如圖1，將長為12cm的鉛筆AB斜靠在垂直于水平桌面AE的直尺FO的邊沿上，一端A固定在桌面上，圖2是示意圖．活動(dòng)一如圖3，將鉛筆AB繞端點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，AB與OF交于點(diǎn)D，當(dāng)旋轉(zhuǎn)至水平位置時(shí)，鉛筆AB的中點(diǎn)C與點(diǎn)O重合．?dāng)?shù)學(xué)思考（1）設(shè)CD＝xcm，點(diǎn)B到OF的距離GB＝y(tǒng)cm．①用含x的代數(shù)式表示：AD的長是（6+x）cm，BD的長是（6-x）cm；②y與x的函數(shù)關(guān)系式是，自變量x的取值范圍是0≤x≤6．動(dòng)點(diǎn)型探究問題類型4［方法特點(diǎn)］特征與方法：動(dòng)點(diǎn)型幾何探究問題是指題設(shè)圖形中存在一個(gè)或多個(gè)動(dòng)點(diǎn)，它們在線段、射線或弧線上運(yùn)動(dòng)的一類開放性題目.解決這類問題的關(guān)鍵是動(dòng)中求靜，靈活運(yùn)用有關(guān)數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題，在動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中觀察圖形的變化情況，理解圖形在不同位置的情況，做好計(jì)算推理的過程.在變化中找到不變的性質(zhì)是解決這類問題的基本思路，這也是動(dòng)態(tài)幾何數(shù)學(xué)問題中最核心的數(shù)學(xué)本質(zhì).示例4(2018·江西，9分)在菱形ABCD中，∠ABC=60°，點(diǎn)P是射線BD上一動(dòng)點(diǎn)，以AP為邊向右側(cè)作等邊△APE，點(diǎn)E的位置隨著點(diǎn)P的位置變化而變化.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在菱形ABCD內(nèi)部或邊上時(shí)，連接CE，BP與CE的數(shù)量關(guān)系是BP=CE，CE與AD的位置關(guān)系是CE⊥AD;解：(1)相等(或BP=CE)垂直(或CE⊥AD)［如圖1，連接AC.∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC=60°，∴△ABC,∴ACD都是等邊三角形.∴AB=AC,∠BAC=60°.∵△APE為等邊三角形，∴AP=AE，∠PAE=60°.∵∠BAC=∠PAE,∴∠BAP=∠CAE.∴△BAP≌△CAE(SAS).∴BP=CE.∴∠ABP=∠ACE=30°,延長CE交AD于D.∵∠CAH=60°,∴∠CAH+∠ACH=90°.∴CE⊥AD.］(2)(1)中結(jié)論仍然成立.證明：選擇圖2，連接AC交BD于點(diǎn)O.∵四邊形ABCD為菱形，∠ABC=60°,∴AB=BC,∠ABD=30°.∴△ABC為等邊三角形，∴∠BAC=60°.∵△APE為等邊三角形，∴AP=AE,∠PAE=60°.∴∠BAC+∠PAC=∠PAE+∠PAC,即∠BAP=∠CAE.在△ABP與△ACE中，AB=AC,∠BAP=∠CAE,AP=AE,∴△ABP≌△ACE.∴BP=CE,∠ACE=∠ABP=30°.∵△ACD為等邊三角形，∴∠ACE=∠DCE=30°.∴CE⊥AD.選擇圖3時(shí)，證明方法同上.7.(2019·江西，9分)在圖1,2,3中，已知平行四邊形ABCD，∠ABC=120°，點(diǎn)E為線段BC上的動(dòng)點(diǎn)，連接AE，以AE為邊向上作菱形AEFG，且∠EAG=120°.(1)如圖1，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí)，∠CEF=60°.(2)如圖2，連接AF.①填空：∠FAD=∠EAB(填“＞”“＜”或“=”)；②求證：點(diǎn)F在∠ABC的平分線上.變式訓(xùn)練(1)解：60°［∵四邊形AEFG是菱形，∴∠AEF=180°-∠EAG=60°，∴∠CEF=∠ABC-∠AEF=60°.］(2)①解：=［∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠DAB=180°-∠ABC=60°.∵四邊形AEFG是菱形，∠EAG=120°，∴∠FAE=60°，∴∠FAD=∠EAB.］②證明