清單08與圓有關(guān)的常見7種輔助線（7種題型解讀（27題））（原卷版）

清單08與圓有關(guān)的常見7種輔助線【題型匯總】【考試題型1】遇到弦時,常添加弦心距解決方法：遇到弦時,常添加弦心距，或者作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。作用：①利用垂徑定理；②圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；③利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。1．（2023上·江蘇淮安·九年級統(tǒng)考期中）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其截面如圖所示，已知EF=CD=4cm，則球的半徑長是（

A．1cm B．2cm C．522．（2023上·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)P，∠APC=30°，點(diǎn)P是OA的中點(diǎn)，且AP=2，則CD=．3．（2023上·河南許昌·九年級統(tǒng)考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，筒車盛水桶的運(yùn)行軌道是以軸心O為圓心的圓，如圖1．唐代陳廷章在《水輪賦》中寫道“水能利物，輪乃曲成”．如圖2，已知圓心O在水面上方，且⊙O被水面截得弦AB長為8米，若點(diǎn)C為運(yùn)行軌道的最低點(diǎn)，點(diǎn)C到弦AB所在直線的距離是2，則⊙O的半徑長為米．4．（2023上·浙江紹興·七年級校聯(lián)考期中）如圖，一下水管道橫截面為圓形，直徑為26dm，下雨前水面寬為10dm，一場大雨過后，水面寬為24dm，則水位上升【考試題型2】遇到有直徑時,常添加（畫）直徑所對的圓周角作用：利用圓周角的性質(zhì)得到直角或直角三角形。5．（2023上·湖北隨州·九年級校考階段練習(xí)）如圖，在△ABC中，AB=AC，∠C=70°，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，則BD的度數(shù)為°．6．（2023上·陜西延安·九年級校聯(lián)考期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D均在⊙O上，AB為直徑，BC=CD．若∠A=50°，求∠B的度數(shù)．7．（2023上·北京西城·九年級北京市第三中學(xué)?？计谥校┤鐖D，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)H，∠A=30°，CD=23，求⊙O8．（2023上·浙江紹興·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在△ABC中，AB=AC，以AB為直徑作⊙O，交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E．(1)求證：點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)．(2)記AE的度數(shù)為α，∠C的度數(shù)為β．探究α與β的數(shù)量關(guān)系．【考試題型3】遇到有切線時添加過切點(diǎn)的半徑（連結(jié)圓心和切點(diǎn)）作用：利用切線的性質(zhì)定理可得OA⊥AB，得到直角或直角三角形。9．（2023上·江蘇鎮(zhèn)江·九年級統(tǒng)考期中）如圖，CD切⊙O于B，若∠C=30°，則∠ABD的度數(shù)是．10．（2023上·內(nèi)蒙古赤峰·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB切⊙O于點(diǎn)A，連接OB交⊙O于點(diǎn)C．過點(diǎn)A作AD∥OB交⊙O于點(diǎn)D，連接CD．若∠B=48°．則∠OCD為（

）A．21° B．24° C．25° D．30°11．（2023上·安徽銅陵·九年級銅陵市第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，⊙O與矩形ABCD的邊相切于點(diǎn)E，F(xiàn)，G，點(diǎn)P是EFG上一點(diǎn)，則∠P的度數(shù)是（

）A．45° B．60° C．30° D．無法確定12．（2023上·吉林·九年級?？计谥校┤鐖D，半圓⊙O的圓心在BC上，AC、AB分別與⊙O相切于點(diǎn)C、D，半圓⊙O交BC于另一點(diǎn)E．連接【考試題型4】遇到證明某一直線是圓的切線時，過圓心連切點(diǎn)或作垂線13．（2022上·全國·九年級專題練習(xí)）如圖，P是⊙O的直徑CD的延長線上一點(diǎn)，∠P=30°，則當(dāng)∠ACP=（

）時，直線PA是⊙O的切線．A．20° B．30° C．15° D．25°14．（2023上·安徽蕪湖·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，AC是⊙O的直徑，PA相切于⊙O，點(diǎn)B是圓上一點(diǎn)，且PA=PB，連接AB，∠BAC=30°．(1)求證：PB是⊙O的切線．(2)若PA=4，求點(diǎn)O到弦AB的距離．15．（2023上·陜西西安·九年級統(tǒng)考期中）如圖，已知AB為同心圓⊙O中大圓的弦，若AB=23，大圓半徑為2，小圓半徑為1．求證：AB為同心圓⊙O16．（2023上·江蘇淮安·九年級?？计谥校┮阎鐖D，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，AB=5

(1)請用尺規(guī)作圖的方法，在BC上找一點(diǎn)O，以O(shè)為圓心作圓，使得該圓與AB、AC兩邊都相切．（保留作圖痕跡，不寫作法）(2)填空：⊙O的半徑=．【考試題型5】遇到兩相交切線時（切線長），常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)。作用：據(jù)切線長及其它性質(zhì)，可得到①角、線段的等量關(guān)系；②垂直關(guān)系；③全等、相似三角形。17．（2023上·浙江寧波·九年級寧波市第七中學(xué)校聯(lián)考期中）如圖，Rt△ABC中，斜邊BC=10，AC=6，內(nèi)切圓I切各邊為D，E，F(xiàn)，連結(jié)EF，作DG⊥EF交AB于G，則GDA．7 B．210 C．43 D18．（2023上·湖北襄陽·九年級校聯(lián)考期中）如圖，PA、PB分別與⊙O相切于點(diǎn)A、B，連接AB．若AB=PB，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)（異于A

19．（2022上·九年級單元測試）如圖，從點(diǎn)P向⊙O引兩條切線PA，PB，切點(diǎn)為A，B，作直徑BC，連接AC，若∠P=60°，PB=2，則AC=．

20．（2023上·甘肅定西·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，PA、PB是⊙O的切線，A、

(1)求∠APB的度數(shù)；(2)當(dāng)AP=3時，求⊙O的半徑．【考試題型6】遇到三角形的內(nèi)切圓時，連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過內(nèi)心作三角形各邊的垂線段作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得①內(nèi)心到三角形三個頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線；②內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。21．（2023上·全國·九年級專題練習(xí)）已知：如圖，⊙O是Rt△ABC的內(nèi)切圓，∠C=90°．若AC=12cm，BC=9cm，求⊙O的半徑r；若AC=b，BC=a，AB=c，求⊙O

22．（2023上·九年級課時練習(xí)）如圖所示，⊙O內(nèi)切于△ABC，切點(diǎn)分別為點(diǎn)D，點(diǎn)E，點(diǎn)F，已知AB=BC，∠B=40°，連接DE，EF，則∠DEF的度數(shù)為（）

A．40° B．55° C．65° D．70°23．（2023上·江蘇鹽城·九年級統(tǒng)考期中）如圖，在一張Rt△ABC紙片中，∠ACB=90°，BC=5，AC=12，⊙O是它的內(nèi)切圓．小明用剪刀沿著⊙O的切線DE剪下一塊三角形ADE，則△ADE的周長為（

A．19 B．17 C．22 D．2024．（2023上·廣東廣州·九年級廣東實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）小雅同學(xué)在學(xué)習(xí)圓的基本性質(zhì)時發(fā)現(xiàn)了一個結(jié)論：如圖，⊙O中，OM⊥弦AB于點(diǎn)M，ON⊥弦CD于點(diǎn)N，若OM=ON，則AB=CD．

(1)請幫小雅證明這個結(jié)論；(2)運(yùn)用以上結(jié)論解決問題：在Rt△ABC中，∠ABC=90°，O為△ABC的內(nèi)心，以O(shè)為圓心，OB為半徑的⊙O與△ABC三邊分別相交于點(diǎn)D、E、F、G．若AD=9，CF=2，求△ABC【考試題型7】遇到三角形的外接圓時，連結(jié)外心和各頂點(diǎn)作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。25．（2022上·山東日照·九年級日照市新營中學(xué)?？计谥校┤鐖D，一塊等腰三角形鋼板的底邊長為80cm，腰長為50cm(1)求能從這塊鋼板上截得的最大圓的半徑：(2)用一個圓完整覆蓋這塊鋼板，這個圓的最小半徑是多少cm？(3)求這塊等腰三角形鋼板的內(nèi)心與外心之間距離．26．（2023上·湖北荊