2023-2024學年（上）高一級期中考試數學含答案

2023—2024學年（上）高一級期中考試數學本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，共4頁，滿分150分，考試用時120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考號填寫在答題卡上.2.選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在另發(fā)的答題卷各題目指定區(qū)域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答的答案無效.4.考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卷和答題卡一并收回.一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設集合,則A. B. C. D.【答案】B【解析】【詳解】試題分析：由已知得，，故，選B．考點：集合的運算．2.函數的定義域為（）A. B.C.或 D.【答案】B【解析】【分析】利用給定函數有意義，列出不等式組求解即得.【詳解】函數有意義，，解得，所以函數的定義域為.故選：B3.函數的單調遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用指數函數、二次函數單調性，結合復合函數單調性法則求解即得.【詳解】函數的定義域為R，函數在上單調遞減，在單調遞增，而函數在R上單調遞減，因此函數在上單調遞增，在單調遞減，所以函數的單調遞增區(qū)間是.故選：A4.使不等式成立的一個充分不必要條件是（）.A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】解出不等式，進而可判斷出其一個充分不必要條件．【詳解】解：不等式，，解得，故不等式的解集為：，則其一個充分不必要條件可以是，故選：．【點睛】本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對應集合是對應集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對應集合是對應集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對應集合與對應集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對的集合與對應集合互不包含．5.已知，，，則A. B.C. D.【答案】A【解析】【詳解】因為，，，因為冪函數在R上單調遞增，所以，因為指數函數在R上單調遞增，所以，即b<a<c.故選：A.6.函數在的圖像大致為A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由分子、分母的奇偶性，易于確定函數為奇函數，由的近似值即可得出結果．【詳解】設，則，所以是奇函數，圖象關于原點成中心對稱，排除選項C．又排除選項D；，排除選項A，故選B．【點睛】本題通過判斷函數的奇偶性，縮小考察范圍，通過計算特殊函數值，最后做出選擇．本題較易，注重了基礎知識、基本計算能力的考查．7.已知函數的定義域為，是偶函數，是奇函數，則的最小值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用函數奇偶性的定義可求得函數的解析式，再利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】因為函數為偶函數，則，即，①又因為函數為奇函數，則，即，②聯立①②可得，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，故函數的最小值為.故選：B.8.對于函數，若對任意的，，，，，為某一三角形的三邊長，則稱為“可構成三角形的函數”，已知是可構成三角形的函數，則實數t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先判斷的奇偶性，然后對進行分類討論，結合的單調性、最值求得的取值范圍.【詳解】，，當時，，的定義域為，，所以是偶函數，為偶函數，只需考慮在上的范圍，當時，在單調遞減，對，，，恒成立，需，，.當，在上單調遞增，，對，，，恒成立，，，，綜上：故選：B二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.冪函數為奇函數C.的單調減區(qū)間為D.函數的圖象與y軸的交點至多有1個【答案】ABD【解析】【分析】由存在量詞命題否定的定義判斷A；利用冪函數的定義及奇函數的概念判斷B；由判斷C；由函數的定義判斷D.【詳解】對于A項，由存在量詞命題的否定的定義可知，命題“，”的否定是“，”，A正確；對于B項，由冪函數的概念有，則或，當時，為奇函數，當時，為奇函數，所以選項B正確；對于C項，由可知，C錯誤；對于D項，由函數的定義可知，若在定義域內，則有且只有一個與之對應，即函數的圖象與軸的交點只有一個，若不在定義域內，則函數的圖象與軸無交點，所以函數的圖象與軸的交點至多有1個，D正確.故選：ABD10.若，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】【分析】利用作差法即可判斷A，根據函數單調性即可判斷B，舉反例即可判斷C，根據均值不等式即可判斷D.【詳解】對于A項，因為，則，，所以，A項正確；對于B項，因為，所以，所以，所以，B項正確；對于C項，令，，則，C錯誤；對于D項，由均值定理即可得到，D項正確．故選：ABD．11.已知函數的定義域為R，對任意的實數x，y，有，且當時，，則（）AB.對任意的，恒成立C.函數在上單調遞增D.若，則不等式的解集為【答案】BCD【解析】【分析】對選項A，首先令得到或，再根據時，，即可得到，即可判斷A錯誤，對選項B，令即可判斷B正確，對選項C，首先根據題意得到在R上恒大于0，在利用函數單調性的定義設任意R，且，得到，即判斷C正確，對選項D，根據題意得到，再結合的單調性求解即可.【詳解】對選項A，令，則，解得或，令，，則.因為時，，所以，即不符合題意.所以，故A錯誤.對選項B，令，所以，故B正確.對選項C，當時，，所以.令，所以，即又因為，時，，所以在R上恒大于0.設任意R，且，則，所以.，即，在R上為增函數，故C正確.對選項D，因為，所以，因為函數在上單調遞增，所以，解得，故D正確.故選：BCD12.已知函數，若存在實數使得方程有四個互不相等的實數根，則下列敘述中正確的有（）A. B. C. D.有最小值【答案】ABD【解析】【分析】畫出與的圖象，根據圖象對選項進行分析，從而確定正確答案.【詳解】畫出與的圖象如下圖所示，由圖可知，依題意可知，，所以，所以，A選項正確.由是方程的兩個不相等實數根，即是方程的兩個不相等實數根，所以，B選項正確.由圖可知，當直線向下移動時，存在，使，C選項錯誤.，當且僅當時等號成立，D選項正確.故選：ABD【點睛】本小題主要的難點有三個，一個是化的圖象，主要是含有絕對值的函數以及對鉤函數的圖象；一個是的關系以及的關系；一個是基本不等式求最值，要注意等號成立的條件.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.若冪函數在上為增函數，則實數的值為______．【答案】2【解析】【分析】根據冪函數的性質和形式可得滿足的條件，從而可求實數的值.【詳解】因為為冪函數且在上為增函數，所以，故.故答案為：2.【點睛】本題考查冪函數的定義和性質，注意冪函數的一般形式為，當且僅當時冪函數在為增函數，本題屬于基礎題.14.若函數是奇函數，，則__________.【答案】【解析】【分析】根據定義域關于原點對稱求出，再由求出即可求解.【詳解】根據題意可得，解得，又，代入解得，當時，，滿足題意，所以.故答案為：15.設函數則滿足的x的取值范圍是____________.【答案】【解析】【詳解】由題意得：當時，恒成立，即；當時，恒成立，即；當時，，即.綜上，x取值范圍是.【名師點睛】分段函數的考查方向注重對應性，即必須明確不同的自變量所對應的函數解析式是什么，然后代入該段的解析式求值.解決此類問題時，要注意區(qū)間端點是否取到及其所對應的函數值，尤其是分段函數結合點處的函數值.16.函數的定義域為R，滿足，且當時，，若對任意的，都有，則m的取值范圍是_______【答案】【解析】【分析】首先根據已知條件依次得到在附近的區(qū)間，、對應的函數解析式，然后按其規(guī)律畫出函數的圖像，再根據不等式恒成立的意義與函數圖像即可求得實數m的取值范圍【詳解】當時，，則，當時，，則，當時，，則，由此作出圖象如圖所示，由圖知當時，令，整理得：，解得：或，要使對任意的，都有，必有，所以m的取值范圍是，故答案為：【點睛】本題主要考查函數的解析式，函數的圖象，不等式恒成立問題，考查分類討論，數形結合的思想，屬于中檔題.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.求下列各式的值（寫出化簡步驟）（1）；（2）【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）根據對數的運算性質,化簡即可得解；（2）根據換底公式化簡即可得解.【小問1詳解】原式.【小問2詳解】原式.18.用分數指數冪表示并計算下列各式（式中字母均正數），寫出化簡步驟.（1）；（2）【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）（2）將根式化為分數指數冪，再根據冪的運算法則計算可得.【小問1詳解】.【小問2詳解】.19.已知集合，集合或，全集.（1）若，求;（2）若，求實數的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題知，再根據集合運算求解即可；（2）根據題意得或，再解不等式即可得答案.【小問1詳解】解：當時，，所以，又或，所以.【小問2詳解】因為，或，，所以或，解得或，所以實數的取值范圍是.20.求下列函數的值域：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）令進行換元，然后由二次函數性質可解；（2）分離常數，然后利用反比例函數單調性可解；（3）分離常數，利用對勾函數和反比例函數單調性可解.【小問1詳解】令，則，，所以，所以的值域為.【小問2詳解】，由反比例函數性質可知，在上單調遞增，所以，即，所以的值域為.【小問3詳解】,令，則，由對勾函數性質可知，在上單調遞增，所以，由反比例函數性質可知，在單調遞減，所以，即的值域為.21.已知函數．（1）試判斷函數在區(qū)間上的單調性，并用函數單調性定義證明；（2）若，使成立，求實數的范圍．【答案】（1）單調遞減；證明見解析（2）【解析】【分析】（1）運用定義法結合函數單調性即可；（2）將能成立問題轉化為最值問題，結合單調性求解最值.【小問1詳解】在區(qū)間上單調遞減,證明如下：設，則∵，∴，，，∴，∴所以，在區(qū)間上單調遞減．【小問2詳解】由（1）可知在上單調遞減，所以，當時，取得最小值，即，又，使成立，∴只需成立，即，解得．故實數的范圍為．22.已知函數．（1）若不等式的解集是空集，求m的取值范圍；（2）當時，解不等式；（3）若不等式的解集為D，若，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）答案見解析（3）【解析】【分析】（1）分和兩種情況討論即可；（2）由，因式分解得，再從分類討論即可；（3）由不等式的解集為，且，可得對任意的，不等式恒成立，分離參數得恒成立，在分離常數結合基本不等式求出的最大值即可.【小問1詳解】當時，即，則由，得，不合題意，當，即時，由不等式的解集為得，解得，所以的取值范圍為；【小問2詳解】因為，所以，即，當，即時，解得，所以不等式的解集為，當，即時，，因為，所以不等式的解集為，當，即時，，因為，所以，所以，所以不等式的解集為，綜上，當，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；當時，不等式的解集為；【小問3詳解】因為不等式的解集為，且，所以對任意的，不等式恒成立，即，因為，所以恒成立，令，則，，所以，由基本不等式可得，當且僅當，即時取等號，所以當時，取最大值，最大值為，所以的取值范圍為.【點睛】結論點睛：利用二次不等式在實數集上恒成立，可以利用以下結論來求解：設①在上恒成立，則；②在上恒成立，則；③在上恒成立，則；④在上恒成立，則.23.已知定義在上的函數．（1）若函數在上單調遞增，求實數的取值范圍；（2）若函數的定義域內存在，使得成立，則稱為局部對稱函數，其中為函數的局部對稱點．若是的局部對稱點，求實數的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用換元法，對的取值范圍進行分類討論，結合一次函數、二次函數的單調性可求得實數的取值范圍；（2）由分離參數，利用換元法，結合二次函數基本性質可求得實數的取值范圍.【小問1詳解】解：當時，令，則，因為內層函數在上為增函數，且函數在上為增函數，故函數在上為增函數，當時，則函數在上為減函數，不合乎題意，當時，要使得函數在上為增函數