第十一章 三角形（5類壓軸題專練）

第十一章三角形（壓軸題專練）【題型一三角形中高線的綜合問題】1.已知：點，，，，過點Ｃ是作y軸的垂線m，垂足為C．

(1)如圖1，連接、，求的面積；(2)如圖2，延長BA交直線m交于點D，在CD上存在點P，使，請補全圖形，并求點P的坐標；(3)請在備用圖中畫圖探究：若點P是直線m上的一個動點，連接交x軸于點M，連接,當時，直接寫出點Ｍ的坐標2．“等面積法”是解決三角形內(nèi)部線段長度的常用方法．如圖1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在題干的基礎(chǔ)上，①如圖2，點為上一點，作，，設(shè)，，求證：；②如圖3，當點在延長線上時，猜想、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想；(2)如圖4，在中，，，，若點是延長線上一點，且，過點作，點是直線上一動點，點是直線上一動點，連接、，求的最小值．3．在平面直角坐標系中，有點，，且a，b滿足，將線段向上平移k個單位得到線段．

(1)直接寫出______，______；(2)如圖1，點E為線段上任意一點，點F為線段上任意一點，．點G為線段與線段之間一點，連接，．且，，求的度數(shù)；(3)如圖2，若，過點C作直線軸，點M為直線l上一點，延長交l于K；①用面積法求K點坐標；②若的面積為10，求點M的坐標．【題型二三角形中中線的綜合問題】1.【問題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級下冊上有這樣一道題：如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．又因為高相同，所以，于是．據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點在的邊上，點在上．①若是的中線，求證：；②若，則______．【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形的各邊，使得點、、、分別為、、、的中點，依次連結(jié)、、、得四邊形．①求證：；②若，則______．2．基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．如圖1，是邊上的中線，則．理由：因為是邊上的中線，所以．又因為，，所以．所以三角形中線等分三角形的面積．基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，的面積為a．(1)如圖2，延長的邊到點D，使，連接．若的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長的邊到點D，延長邊到點E，使，，連接．若的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長到點F，使，連接，，得到（如圖4）．若陰影部分的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；拓展應(yīng)用：(4)如圖5，點D是的邊上任意一點，點E，F(xiàn)分別是線段，的中點，且的面積為，則的面積為_（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由．3．閱讀與理解：三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，是中邊上的中線，則．理由：，，即：等底同高的三角形面積相等．操作與探索在如圖2至圖4中，的面積為．(1)如圖2，延長的邊到點，使，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長的邊到點，延長邊到點，使，，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示），并寫出理由；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長到點，使，連接，，得到（如圖．若陰影部分的面積為，則___________；（用含的代數(shù)式表示）拓展與應(yīng)用：(4)如圖5，已知四邊形的面積是，、、、分別是、、、的中點，連接交于點O，求圖中陰影部分的面積？【題型三三角形中角平分線的綜合問題】1.已知，，點C是直線，下方一點，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，分別平分和，所在的直線相交于點H，若，求的度數(shù)；（用含的式子表示）(3)如圖3，若，分和兩部分，且，，直線，相交于點H，則____________．（用含n和的式子表示）2．在平面直角坐標系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）兩點，并且a，b滿足．(1)請直接寫出a，b的值；(2)如圖1，BC⊥x軸于點C，AB交y軸于點D，點F（m，n）在線段AB上，求點D的坐標，并求m與n滿足的關(guān)系式；(3)如圖2，若CF，BE分別是△ABC的高與角平分線，BE交CF于點G，CH平分∠ECG，交BE于點H，求證：CH⊥BE．【題型四三角形內(nèi)角和與外角和的綜合問題】1.在中，點是延長線上一點．

(1)如圖1，過點作，交于點，．①若，則______°；②試寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；③當時，求的度數(shù)；④若，請說明；(2)如圖2，交于點，，直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系．2．（1）如圖①所示，中，點是和的平分線的交點，若，則_____________（用表示）；不用說明理由，直接填空．如圖②所示，，，若，則____________（用表示），不用說明理由，直接填空．

（2）如圖③所示，，，若，則___________（用表示），填空并說明理由．3．已知點在射線上，．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，垂足為，交于點，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點作交射線于點，當，時，求的度數(shù)．4．在中，，平分，點F為射線上一點（不與點E重合），且于點D．

(1)如圖1，如果點F在線段上，且，，則______．(2)如果點F在的外部，分別作出和的角平分線，交于點K，請在圖2中補全圖形，探究、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)如圖3，若點與點重合，、分別平分和的外角，連接，過點作交延長線于點，交的延長線于點，若，且，求的度數(shù)．【題型五多邊形的內(nèi)角和與外角和綜合問題】1.【感知】如圖1所示，在四邊形中，分別是邊的延長線，我們把稱為四邊形的外角，若，則___________；【探究】如圖2所示，在四邊形中，分別是邊的延長線，我們把稱為四邊形的外角，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【應(yīng)用】如圖3所示，分別是四邊形的外角的平分線，若，則的度數(shù)為___________．

2．觀察圖形，按要求完成：(1)在四邊形中，，．

①如圖，若，則=________；②如圖，若的平分線交于點、且，則________；③如圖，若和的平分線相交于點，則________；(2)如圖，當時，若和的平分線交于點，請說明與之間的數(shù)量關(guān)系．3．動手操作，探究：探究一：三角形的一個內(nèi)角與另兩個內(nèi)角的平分線所夾的鈍角之間有何種關(guān)系？(1)已知：如圖，在中，分別平分和，試探究與的數(shù)量關(guān)系；(2)探究二：若將改為任意四邊形呢？已知：如圖，在四邊形中，分別平分和，試利用上述結(jié)論探究與的數(shù)量關(guān)系；（寫出說理過程）(3)探究三：若將上題中的四邊形改為六邊形（圖（3））呢？請直接寫出與的數(shù)量關(guān)系：.4．如圖1，我們分別研究過三角形中兩內(nèi)角平分線所成的、兩外角平分線所成的、一內(nèi)角一外角平分線所成的與的關(guān)系.(1)如圖2，在四邊形中，、分別平分和，則與，的數(shù)量關(guān)系為.(2)如圖3，在四邊形中，、分別平分和，請?zhí)骄颗c，的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.(3)在四邊形中，為的平分線與邊和延長線所成角的平分線所在的直線構(gòu)成的銳角，若設(shè)，，則.（用α、β表示）

第十一章三角形（壓軸題專練）答案全解全析【題型一三角形中高線的綜合問題】1.已知：點，，，，過點Ｃ是作y軸的垂線m，垂足為C．

(1)如圖1，連接、，求的面積；(2)如圖2，延長BA交直線m交于點D，在CD上存在點P，使，請補全圖形，并求點P的坐標；(3)請在備用圖中畫圖探究：若點P是直線m上的一個動點，連接交x軸于點M，連接,當時，直接寫出點Ｍ的坐標．【答案】(1)3(2)點P的坐標或，(3)點M的坐標為或【分析】（1）根據(jù)點A、B、C的坐標得，則，即可得；（2）設(shè)，根據(jù)的面積：，解得，根據(jù)得，或，進行計算即可得；（3）設(shè)，根據(jù)得，解得，根據(jù)得，計算得，則，當點P在第二象限時，根據(jù)對稱性，即可得．【詳解】（1）解：∵，，，∴，∴，∴的面積：；（2）解：如圖2所示，設(shè)，

的面積：，，∵，∴，或，解得，或，∴點P的坐標或；（3）解：如圖3中，設(shè)，

，，，∵，∴，，∴，當點P在第二象限時，根據(jù)對稱性，綜上，滿足條件的點M的坐標為或．【點睛】本題考查了三角形面積，平行線的性質(zhì)，一元一次方程，解題的關(guān)鍵是理解題意，掌握這些知識點．2．“等面積法”是解決三角形內(nèi)部線段長度的常用方法．如圖1，在中，，作，若，，，可列式：，解得．

(1)在題干的基礎(chǔ)上，①如圖2，點為上一點，作，，設(shè)，，求證：；②如圖3，當點在延長線上時，猜想、之間又有什么樣的數(shù)量關(guān)系，請證明你的猜想；(2)如圖4，在中，，，，若點是延長線上一點，且，過點作，點是直線上一動點，點是直線上一動點，連接、，求的最小值．【答案】(1)①見解析；②猜想：，證明見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求解；②作，，根據(jù)，代入數(shù)據(jù)即可求解；（2）作點關(guān)于直線的對稱點，則，，過作于，過作于，根據(jù)求得，進而根據(jù)求得，由，可得當，，共線，且時，和最小，最小值為的長，即可求解．【詳解】（1）①∵∴即

∴②猜想：理由如下：，作，，∵即即∴

（2）作點關(guān)于直線的對稱點，∴，∵點在延長線上，則、、、共線，∴，過作于，過作于，∵∴∴∵即∴∵當，，共線，且時，和最小，最小值為的長，此時

【點睛】本題考查了三角形高的定義，垂線段最短，熟練掌握等面積法求線段的長是解題的關(guān)鍵．3．在平面直角坐標系中，有點，，且a，b滿足，將線段向上平移k個單位得到線段．

(1)直接寫出______，______；(2)如圖1，點E為線段上任意一點，點F為線段上任意一點，．點G為線段與線段之間一點，連接，．且，，求的度數(shù)；(3)如圖2，若，過點C作直線軸，點M為直線l上一點，延長交l于K；①用面積法求K點坐標；②若的面積為10，求點M的坐標．【答案】(1)6；(2)(3)①；②或【分析】（1）根據(jù)絕對值和算術(shù)平方根的非負性求值即可；（2）設(shè)，，則，，過O作，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，求出，過G作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出，，即可求出結(jié)果；（3）①如圖，連接，設(shè)，根據(jù)，得出，求出即可；②設(shè)，根據(jù)，得出，求出或即可得出答案．【詳解】（1）解：∵，∴，，∴，，故答案為：6；．（2）解：由平移的性質(zhì)得：，設(shè)，，則，，過O作，如圖所示：

則，∴，，∴，即，∴，過G作，則，∴，，∴；（3）解：①如圖，連接，

∵，∴，，設(shè)，∵，∴，解得：，∴K點坐標為；②設(shè)，∵，∴，解得：或，∴M的坐標為或．【點睛】本題主要考查了平行線的判定和性質(zhì)，非負數(shù)的性質(zhì)，三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握平行線的性質(zhì)．【題型二三角形中中線的綜合問題】1.【問題情境】蘇科版數(shù)學(xué)課本七年級下冊上有這樣一道題：如圖1，是的中線，與的面積有怎樣的數(shù)量關(guān)系？小旭同學(xué)在圖1中作邊上的高，根據(jù)中線的定義可知．又因為高相同，所以，于是．據(jù)此可得結(jié)論：三角形的一條中線平分該三角形的面積．

【深入探究】（1）如圖2，點在的邊上，點在上．①若是的中線，求證：；②若，則______．【拓展延伸】（2）如圖3，分別延長四邊形的各邊，使得點、、、分別為、、、的中點，依次連結(jié)、、、得四邊形．①求證：；②若，則______．【答案】（1）①證明見解析；②；（2）①證明見解析；②【分析】（1）①根據(jù)中線的性質(zhì)可得，點為的中點，推得是的中線，，即可證明；②設(shè)邊上的高為，根據(jù)三角形的面積公式可得，，即可推得，同理推得，即可求得，即可證明；（2）①連接，，，根據(jù)中線的判定和性質(zhì)可得，，，，推得，，即可求得，即可證明，②由①可得，同理可證得，根據(jù)，即可推得，即可求解．【詳解】（1）①證明：∵是的中線，∴，點為的中點，∴是的中線，∴，∴，即；②，解：設(shè)邊上的高為，則，，∵，∴，同理，則，即，∴．（2）①證明：連接，，，如圖：

∵點、、、分別為、、、的中點，∴，，，分別為，，，的中位線，∴，，，，∴，∵，即；②15，解：由①可得，同理可證得，，即，∵，∴．【點睛】本題考查了中位線的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式，掌握三角形的一條中線把原三角形分成兩個等底同高的三角形是題的關(guān)鍵．2．基本性質(zhì)：三角形中線等分三角形的面積．如圖1，是邊上的中線，則．理由：因為是邊上的中線，所以．又因為，，所以．所以三角形中線等分三角形的面積．基本應(yīng)用：在如圖2至圖4中，的面積為a．(1)如圖2，延長的邊到點D，使，連接．若的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長的邊到點D，延長邊到點E，使，，連接．若的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長到點F，使，連接，，得到（如圖4）．若陰影部分的面積為，則_（用含a的代數(shù)式表示）；拓展應(yīng)用：(4)如圖5，點D是的邊上任意一點，點E，F(xiàn)分別是線段，的中點，且的面積為，則的面積為_（用含a的代數(shù)式表示），并寫出理由．【答案】(1)a(2)2a(3)6a(4)2a，見解析【分析】（1）直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”即可得出答案；（2）連接，運用“等底同高的三角形面積相等”得出，即可得解；（3）由（2）結(jié)論即可得出，從而得解；（4）點E是線段的中點，可得，．．點F是線段的中點，可得．從而可得答案．【詳解】（1）解：如圖2，延長的邊到點，使，為的中線，即；（2）如圖3，連接，延長的邊到點，延長邊到點，使，，，，，即；（3）由（2）得，同理：，，；（4），理由如下：理由：∵點E是線段的中點，∴，．∴．∵點F是線段的中點，∴．∴．【點睛】此題考查了閱讀與理解：三角形中線的性質(zhì)，等底同高的三角形面積相等，靈活運用這個結(jié)論并適當添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵．3．閱讀與理解：三角形的中線的性質(zhì)：三角形的中線等分三角形的面積，即如圖1，是中邊上的中線，則．理由：，，即：等底同高的三角形面積相等．操作與探索在如圖2至圖4中，的面積為．(1)如圖2，延長的邊到點，使，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示）；(2)如圖3，延長的邊到點，延長邊到點，使，，連接．若的面積為，則___________（用含的代數(shù)式表示），并寫出理由；(3)在圖3的基礎(chǔ)上延長到點，使，連接，，得到（如圖．若陰影部分的面積為，則___________；（用含的代數(shù)式表示）拓展與應(yīng)用：(4)如圖5，已知四邊形的面積是，、、、分別是、、、的中點，連接交于點O，求圖中陰影部分的面積？【答案】(1)；(2)；(3)；(4)．【分析】（1）直接根據(jù)“等底同高的三角形面積相等”即可得出答案；（2）連接，運用“等底同高的三角形面積相等”得出，即可得解；（3）由（2）結(jié)論即可得出，從而得解；（4）連接，運用“等底同高的三角形面積相等”得出，，從而得解．【詳解】（1）解：如圖2，延長的邊到點，使，為的中線，即；故答案為：；（2）解：如圖3，連接，延長的邊到點，延長邊到點，使，，，，，即；故答案為：；（3）解：由（2）得，同理：，，；故答案為：；（4）解：如圖5所示，連接，則，，；故陰影部分的面積為．【點睛】此題考查了閱讀與理解：三角形中線的性質(zhì)即等底同高的三角形面積相等，靈活運用這個結(jié)論并適當添加輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【題型三三角形中角平分線的綜合問題】1.已知，，點C是直線，下方一點，連接，．(1)如圖1，求證：；(2)如圖2，若，分別平分和，所在的直線相交于點H，若，求的度數(shù)；（用含的式子表示）(3)如圖3，若，分和兩部分，且，，直線，相交于點H，則____________．（用含n和的式子表示）【答案】(1)證明見解析；(2)；(3)．【分析】（1）過點B作交CD于點F，根據(jù)證明，再利用，且，即可證明；（2）利用角平分線即四邊形內(nèi)角和等于可得：，整理可得：，由（1）可得：，可得，進一步可求出；（3）設(shè)，，則且，，由四邊形內(nèi)角和等于可得：，即，由（1）可得：，即，可求出．【詳解】（1）證明：過點B作交CD于點F，∵，∴，∵，且，∴，即．（2）解：∵，分別平分和，∴，整理可得：，由（1）可得：，∴，即，∵，∴．（3）解：∵，，設(shè)，，則且，，由四邊形內(nèi)角和等于可得：，即，由（1）可得：，∴，即，∴，整理得：．故答案為：【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，四邊形內(nèi)角和等于，角平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵結(jié)合圖象找出角之間的關(guān)系．2．在平面直角坐標系xoy中，已知A（a，0），B（－a，b）兩點，并且a，b滿足．(1)請直接寫出a，b的值；(2)如圖1，BC⊥x軸于點C，AB交y軸于點D，點F（m，n）在線段AB上，求點D的坐標，并求m與n滿足的關(guān)系式；(3)如圖2，若CF，BE分別是△ABC的高與角平分線，BE交CF于點G，CH平分∠ECG，交BE于點H，求證：CH⊥BE．【答案】(1)，(2)(3)證明見解析【分析】（1）利用平方數(shù)、二次根式的非負性求解；（2）設(shè)D(0，y），利用點的坐標求出相關(guān)線段長度，利用S△AOD+S梯形BCOD=S△ABC求出點D的坐標；利用S△ACF+S△BCF=S△ABC求m與n滿足的關(guān)系式；（3）利用BC⊥AC，CF是△ABC的高，證明∠CBF=∠ACF，再結(jié)合角平分線的定義證明∠FBE=∠GCH，進而推出∠GHC=∠GFB=90°，即可證明CH⊥BE．【詳解】（1）解：∵，，，∴，解得：，；（2）解：設(shè)D(0，y），則，由（1）得，，∴，，∴，，，由S△AOD+S梯形BCOD=S△ABC得，，解得：y=3，∴D(0，3）．∵點F（m，n）在線段AB上，∴△ACF中AC邊的高為n，△BCF中BC邊的高為，由S△ACF+S△BCF=S△ABC得，，化簡得，；（3）證明：∵BC⊥AC，CF是△ABC的高，∴∠BCA=90°=∠BFC，∴∠CBF=90°－∠A，∠ACF=90°－∠A，∴∠CBF=∠ACF．∵BE平分∠CBA，CH平分∠ECG，∴∠FBE=∠CBF，∠GCH=∠ACF，∴∠FBE=∠GCH；∴∠GHC=180°－∠GCH－∠CGH=180°－∠FBE－∠BGF=∠GFB=90°，∴CH⊥BE．【點睛】本題考查平方數(shù)、二次根式的非負性，利用面積法求點的坐標，角平分線的定義，三角形內(nèi)角和定理等，難度一般，解第二問的關(guān)鍵是熟練運用數(shù)形結(jié)合思想，解第三問的關(guān)鍵是利用角度等量代換．【題型四三角形內(nèi)角和與外角和的綜合問題】1.在中，點是延長線上一點．

(1)如圖1，過點作，交于點，．①若，則______°；②試寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；③當時，求的度數(shù)；④若，請說明；(2)如圖2，交于點，，直接寫出、與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②，理由見解析；③；④見解析(2)【分析】（1）①根據(jù)，，即可求得答案．②根據(jù)，，結(jié)合等量代換，即可求得答案．③根據(jù)②的結(jié)論，采用等量代換即可求得答案．④根據(jù)，即可求得的度數(shù)，問題即可得證．（2）延長至，根據(jù)，結(jié)合三角形的外角的性質(zhì)可求得答案．【詳解】（1）①∵，∴．故答案為：．②．理由如下：∵，∴．即．③∵，，∴．∴．∴．④∵，，∴．∴．∴．（2）．理由如下：如圖，延長至．

∵，，，∴．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)角和定理、三角形的外角的性質(zhì)（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），牢記三角形的外角的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（1）如圖①所示，中，點是和的平分線的交點，若，則_____________（用表示）；不用說明理由，直接填空．如圖②所示，，，若，則____________（用表示），不用說明理由，直接填空．

（2）如圖③所示，，，若，則___________（用表示），填空并說明理由．【答案】（1），．；（2）【分析】（1）平分平分可得可得由可得代入即可得出結(jié)果．（2）由，，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得出，代入即可求解．【詳解】解：（1）在中，，如圖①所示，平分平分如圖②所示，故答案為：(2)∵，，，∴．故答案為：【點睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義以及三角形的外角的性質(zhì)，牢記三角形內(nèi)角和是是解此題的關(guān)鍵．3．已知點在射線上，．

(1)如圖1，若，求證：；(2)如圖2，若，垂足為，交于點，請?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系，寫出你的探究結(jié)論，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，過點作交射線于點，當，時，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)，理由見解析(3)【分析】（1）根據(jù)，可得，再根據(jù)，即可得到，即可得證；（2）．根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得到，根據(jù)直角三角形兩銳角互余，有，再根據(jù)即可得到與的數(shù)量關(guān)系；（3）設(shè)，則，，根據(jù)，即可得到，再根據(jù)，即可得到，求得的值，即可運用三角形內(nèi)角和定理得到的度數(shù)．【詳解】（1）證明：∵，∴，又∵，∴，∴；（2）解：理由如下：∵是的外角，∴，∵，∴，∴在中，，∴，又∵，∴；（3）設(shè)，則，∴，∵，∴，又∵，∴，∴∴，∴，又∵，∴，∵，∴，∴在中，，∴的度數(shù)為．【點睛】本題考查平行線的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形外角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余．靈活運用三角形內(nèi)角和定理是解題的關(guān)鍵．4．在中，，平分，點F為射線上一點（不與點E重合），且于點D．

(1)如圖1，如果點F在線段上，且，，則______．(2)如果點F在的外部，分別作出和的角平分線，交于點K，請在圖2中補全圖形，探究、、三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由：(3)如圖3，若點與點重合，、分別平分和的外角，連接，過點作交延長線于點，交的延長線于點，若，且，求的度數(shù)．【答案】(1)(2)畫圖見解析，，理由見解析(3)【分析】（1）先求出，進而得到，，根據(jù)得到，即可求出；（2）根據(jù)題意先畫出圖形，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義得到，再由三角形內(nèi)角和定理得到，則，據(jù)此即可得到答案；（3）根據(jù)得到，得到，從而求出，進而求出，結(jié)合，得到．根據(jù)，得到，求出．從而分別求出，，，再求出，根據(jù)四邊形內(nèi)角和為即可求出．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵是的角平分線，∴，∴，∵，∴，∴，故答案為：；（2）解：，理由如下：在中，，∵平分，∴，∵，∴，∵和的角平分線交于點K，∴，∵，∴，∴，∴；

（3）解：設(shè)，∵平分，∴，∴，∵∴，∴，，∴，∵、分別平分和的外角，∴，∴，∴，∵，∴，即，∴．∴，，∴，∵，∴，∴在四邊形中，（四邊形內(nèi)角和可以看做是兩個三角形的內(nèi)角和）．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理，三角形外角定理，三角形角平分線，綜合性較強，第（3）步難度較大．熟知相關(guān)定理，并根據(jù)題意進行角的表示與代換是解題關(guān)鍵．【題型五多邊形的內(nèi)角和與外角和綜合問題】1.【感知】如圖1所示，在四邊形中，分別是邊的延長線，我們把稱為四邊形的外角，若，則___________；【探究】如圖2所示，在四邊形中，分別是邊的延長線，我們把稱為四邊形的外角，試探究與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【應(yīng)用】如圖3所示，分別是四邊形的外角的平分線，若，則的度數(shù)為___________．

【答案】（感知）；（探究），理由見解析；（應(yīng)用）【分析】（感知）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補角的定義即可求出答案．（探究）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補角的定義即可求出答案．（應(yīng)用）根據(jù)四邊形的內(nèi)角和和鄰補角定義可求出的度數(shù)，結(jié)合角平分線的定義即可求出度數(shù)，最后利用三角形內(nèi)角和即可求出的度數(shù)．【詳解】解：（感知）四邊形的內(nèi)角和為：，，，，，．故答案為：．（探究），理由如下：，．，．．（應(yīng)用）四邊形的內(nèi)角和為：，，，，，．．分別是四邊形的外角的平分線，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了四邊形內(nèi)角和，三角形內(nèi)角和，鄰補角和角平分線，解題的關(guān)鍵在于掌握多邊形內(nèi)角和公式，以及相關(guān)知識點．2．觀察圖形，按要求完成：(1)在四邊形中，，．

①如圖，若，則=________；②如圖，若的平分線交于點、且，則________；③如圖，若和的平分線相交于點，則________；(2)如圖，當時，若和的平分線交于點，請說明與之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】(1)①；②；③(2)【分析】（1）①根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理即可求解；②根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，的度數(shù)，三角形的內(nèi)角和定理即可求解；③根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定理可得的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可求解；（2）由③的計算方法，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和定