微積分下冊期末試卷及答案

中南民族大學(xué)06、07微積分〔下〕試卷及參

考答案

06年A卷

閱卷

\I評±I人I

22

f(x+y^)=x-yf

i、x，那么/(無四_

p+ao-

F”/[x2e~xdx=

2、，那么J。

3、函數(shù)/a，）'）=J+孫+>2—y+l在點取得極值.

4、F(x，y)=X+(X+arctan)，)arctany,那么￡(1,0)=

、以）'=（3為任意常數(shù)）為通解的微分方程是

5G+Q^\CPC2

評閱卷

二、選擇題（每題3分，共15分）分人

6知J。與'EMx均收斂，

那么常數(shù)〃的取值范圍是（）.

(A)P>1(B)P<1(C)1<P<2①)P>2

4尤22c

7數(shù)I°，v+y2=°在原點間斷,

是因為該函數(shù)().

(A)在原點無定義

(B)在原點二重極限不存在

(C)在原點有二重極限，但無定義

(D)在原點二重極限存在，但不等于函數(shù)值

222

/(=JJ-ydxdy/二=jj\jl-x-ydxdy

8、假設(shè)?入,

Jj^\-x2-y2dxdy

2"+，3，那么以下關(guān)系式成立的是().

(A)L>'a>八(B)A

(C),I<’2<，3(D)‘2<4<，3

9、方程y-67+9y=5(x+l)?v具有特解().

(A)y=at+8(B))：=(&(+/7)/'

(C))'=(""2十bx)eyx(D)y~(ax'+bx2)e3x

00那么2、).

%

10、設(shè)T收斂,

(A)絕對收斂(B)條件收斂(C)發(fā)散(D)不定

評

分

三、計算題(每題6分，共60分)

11、求由)'="3=4/二°所圍圖形繞)’軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.

x2+y2

lim,--------

憂打+八1

12、求二重極限

d2z

13、z=z(x,)，)由z+e二孫確定，求治協(xié)

22

ff(x+yWy22.

16、計算二重積分。，其中°是由>軸及圓周x+>=1所圍成的在第一象限內(nèi)

的區(qū)域.

17、解微分方程y"=y'+x.

00,,I

2曲+1-〃3_1)

18、判別級數(shù)日的斂散性.

19、將函數(shù)3-X展開成工的塞級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間.

20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入R（萬

元）與電臺廣告費用萬元）的及報紙廣告費用萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式：

R=15+141-1+32x,-8x^2-2x（2-10^2,

求最優(yōu)廣告策略.

一

評

分

四、證明題（每題5分，共10分）-

dzdz1

x—4-y—=-

證明:dxdy3

22、假設(shè)》與型

都收斂，那么收斂.

06年B卷

一、填空題(每題3分，共15分)|分||工|

-設(shè)/-那么八_“)=

3、設(shè)函數(shù)〃樂)')=2父+公+孫2+2.)，在點(1-1)取得極值，那么常數(shù)

a=_____

■

4、y)=X+y(x+J4+arctany)，那么/(1,0)=

5、以丁=6-十&/'(0，。2為任意常數(shù))為通解的微分方程是

評「耳卷

二、選擇題(每題3分，共15分)I分II人

?+co_x「dx

。e"”與JiXin。］均收斂，

6、

那么常數(shù)P的取值范圍是().

(A)(B)P<°(C)p<i(D)°<P<1

7、對于函數(shù)/區(qū)加/一匕點(°叫).

(A)不是駐點(B)是駐點而非極值點

(C)是極大值點(D)是極小值點

人=IT。+y)2daA=ff(x+y)3da

8、°,，其中。為(x-2)-+(y-l)Wl,那么()

22

(A)l=2(B)l>2(C)7,<；2(D)；l=；2

9、方程V-5y+6y具有特解().

(A)y-ax+b(B)y=(ax+b)e2x

(C)y=(ax2+bx)e2x(口)y=(^+bx2)e2x

ecoc

10、級數(shù)”川收斂，那么級數(shù)a().

(A)條件收斂(B)絕對收斂

(C)發(fā)散(D)斂散性不定

一

評

分

三、計算題(每題6分，共60分)一

11、求丫=幺，)'=°,>=2所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.

lim(xsin—+ysin—)

12、求二重極限i岑

14、用拉格朗日乘數(shù)法求〃尤，)’)=個在滿足條件=l下的極值.

xexydy

—W0.

匣1二

ffyjx2+y2dxdy

16、計算二重積分%，其中。是由y軸及圓周x2+（》-1）2所圍成的在第一象限

內(nèi)的區(qū)域.

17、解微分方程*"+y'=°.

19、將函數(shù)展開成（'一$的零級數(shù).

評

分

人

20、某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，單位售價分別為40元和60元，假設(shè)生產(chǎn)不單位甲產(chǎn)品，生產(chǎn)了單位乙產(chǎn)品

的總費用為20乂+3°丁+0.1(2/-2"+3y2)+100,試求出甲、乙兩種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少時該工廠取得最

大利潤.

評

四、證明題(每題5分，共10分)分

評

分

麗

21、設(shè)"桁出+/+一,證明

d2ud2ud2u1

dx2dy2dz2_x2+y2+z2

07年A卷

一、填空題（每題3分，共15分）人

1、設(shè)2="+尸/（”-，），且當(dāng)>=O時，z=x2,那么z二,

2、計算廣義積分L丁二.

3、設(shè)z=*,那么詞（皿=.

4、微分方程y〃-5y+6y=工濟具有形式的特解.

V=4W1=]

5、設(shè)),W占,,4,那么2與_,(—2w.,--切-

閏卷

二、選擇題（每題3分，共15分）人

lim3sinix272)

6、寡一廠的值為(

(A)3(B)0(C)2（D）不存在

7、4&），％）和右（”。~。）存在是函數(shù)/。，丫）在點（孫為）可微的（）.

（A）必要非充分的條件（B）充分非必要的條件

（C）充分且必要的條件（D）即非充分又非必要的條件

8、由曲面“斤7二7和2=。及柱面/+9=1所圍的體積是（）

fd加力4一戶dr412do卜4-rdr

（A）Jo（B）JoJo

9、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性方程y"+0''+羽=〃幻有三個特解%二'，%="二

那么其通解為().

(A)x+C，'+Ge~'

(C)彳+G(e'—e?')十。2(x—e')①)G(e'—c2t)+G(小—%)

丈(一1)""

10、無窮級數(shù)幺(P為任意實數(shù))().

(A)收斂(B)絕對收斂

(C)發(fā)散(D)無法判斷

評

三、計算題(每題6分，共60分)分

評

分

外悶

人

11、求極限斌而不

評

分

12、求由>二6與直線犬=1、x=4、y=°所圍圖形繞X軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.

didz

13、求由爐二砂2所確定的隱函數(shù)=z（%y）的偏導(dǎo)數(shù)私'%.

14、求函數(shù)/a，y）=d-4M+2的極值.

15、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告,根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入R（萬元）

與電臺廣告費用%（萬元）的及報紙廣告費用&（萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式：

2

R=15+14*+X-SXJX.-2X1-

322*

假設(shè)提供的廣告費用為L5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.

16、計算積分，其中。是由直線y=x）'2x及"=l,x=2所鬧成的閉區(qū)域.

17、連續(xù)函數(shù)/⑴滿足J。/"辿=2爐且/⑴=°,求f（x）.

>〃+/-

18、求解微分方程1-y

19、求級數(shù)1的收斂區(qū)間.

￡sin（2"，x）

20、判定級數(shù)白,,!是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂.

評

四'證明題（每題5分，共10分）分

M

EAn+l

21、設(shè)正項級數(shù)I收斂，證明級數(shù)I也收斂.

22、設(shè)/（/一?。?，其中/（〃）為可導(dǎo)函數(shù)，證明

-1-d-z+--1-d-z=--z-

xdxydyy2

一、填空題（每題3分，共15分）|分|尸|

is設(shè)且當(dāng)x=o時，z=V,那么z=,

2、計算廣義積分L?=.

3、設(shè)z=ln（l十f十的，那么上/=.

4、微分方程y—6"9y=5（/1）*具有__________形式的特解.

￡3"+1

5、級數(shù)白9”的和為

評閱卷

二、選擇題（每題3分，共15分）分人

r3sin，+y2）

呵-2~2

6、二?！?）'的值為（）.

(A)°(B)3(Q2(D)不存在

7、力a,）和4ay）在（%％）存在且連續(xù)是函數(shù)打在點（麗，為）可微的（）.

（A）必要非充分的條件（B）充分非必要的條件

（C）充分且必要的條件（D）即非充分又非必要的條件

8、由曲面zN"—3和z=。及柱面V十9=4所圍的體積是（）.

網(wǎng)J。、心「4rd61：力4-/助

(B)

￡2/_______

(D)J°

9、設(shè)二階常系數(shù)非齊次微分方程）'"十〃y'十夕y=/'a）有三個特解）i=r,必=-,力

那么其通解為（）.

x2x2x2

(A)G(e-e)十C2(e-x)(B)+Ge+

2

m、x+Cc"+C262A(D)f+G(e”-e*HG。2-/)

yC-ir1

10、無窮級數(shù)g〃”（P為任意實數(shù)）（).

（A）無法判斷（B）絕對收斂

（C）收斂（D）發(fā)散

評

分

三、計算題（每題6分，共60分）

2-Jxy+4

lim--------------

KTOjry

IK求極限“°

[0,—].x=一八

12、求由在區(qū)間2上，曲線丁二階近與直線2、丁二°所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體

積.

dzdz

13、求由e'-、yz=孫所確定的隱函數(shù)z=z（xy）的偏導(dǎo)數(shù)R'少.

14、求函數(shù)/@，y）=/T加+8y3的極值

Ml

1；某公司需通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入R（萬元）

與電臺廣告費用苦（萬元）的及報紙廣告費用“2（萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式：

/?=15+14Xj+32X2-8XjX:-2x；-lOxJ

假設(shè)提供的廣告費用為L5萬元，求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.

JJ(2x+y)db

16、計算二重積分D，其中。是由y

H及尸2所圍成的閉區(qū)域.

17、連續(xù)函數(shù)〃勸滿足J°"""2/a)+x=°,求W

18、求微分方程（i+￡）y'_2v/=°的通解.

I

咧I

三（工一3廠

乙一5的收斂區(qū)間.

19、求級數(shù)”=i

￡cos(n-x)

20、判定級數(shù)En1是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂.

評

四、證明題（每題5分，共10分）分

證明爵也收斂.

21、設(shè)級數(shù)I收斂,

答案

一、填空題(每題3分，共15分)

.…)12

1、1+)'.2、3.3、飛'3.4、1.5、產(chǎn)6歹+)，=0

二、選擇題(每題3分，共15分)

6、(C).7、(B).8、(A).9、(D).10、(D).

三、計算題(每題6分，共60分)

3

11、求由丁=r,x=4,y=°所圍圖形繞〉軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積.

12

解；y的反函數(shù)為工二且x=4時，J=\于是

(3分)

（6分）

V=￡^（42-y3）2dy=16^（8-0）-y5dy

「3187

3-3-

=12甑一…y，=12甑——乃?（83-0）

-Jo

512

=---K

12、求二重極限尸0、人.一］

U2+r）（7^2+r+i+D

=hm--------z—-------------

回Tx+y+i-i

解：原式（盼）

=lim（Jx2+y2+1+1）=2

x->0Y

（6分）

d2z

13、2=2*,田由2+-=沖確定，求治勿

解:設(shè)Fa,y,z）=zS-*,那么

xz

Px=-yPy--F.=\+e

dz_Fv__-y_ya_G_-xx

dxFl+e:1+，SyF1十e二1十e二

zz（3分）

1zz8z

AZA/、1+e-ye'—；

dz_d（y_____________dy____1_____eq

dxdy+J（l+ez）21+E（l+ez）2

（6分）

14、用拉格朗日乘數(shù)法求z=f+丁+1在條件x+y=\下的極值.

解.z=x2+（I-x）2+1=2x2-2x+2

11

X~-X=-

令z'=4x-2=0,得2/“=4>0,2為極小值點.。分）

AL3

故z=x+）廣+1在y=lr下的極小值點為2'2，極小值為2俗分）

J；d）j：evdx

15、計算’

（6分）

22

Jf（x+yWy2之

16、計算二重積分。,其中。是由》軸及圓周工+》=i所圍成的在第一象限內(nèi)

的區(qū)域.

“八泊加丫戶〉辦L

解：D=JOJO=0（6分）

17、解微分方程<=、'+、.

解：令p=y',y=p1方程化為p'=p+x,于是

p=//（|&卜“G）=d（J3dx+C]）

=，H>+W+G]=T>+1）+中（3分）

x2x

ny=jM=J[_Q+1）+c{e]dx=-^（x+1）+Qe+C2

（6分）

（J?3+1—J-—1）

18、判別級數(shù)皿的斂散性.

J/+1--1=------2

解：J/+1+J/.1（3分）

..J/+1一介-11

hm---------------------=hm-------：——「—=1

…_L+

因為〃6（6分）

1

19、將函數(shù)口展開成x的皋級數(shù)，并求展開式成立的區(qū)間.

（3分）

（6分）

20、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料，銷售收入R（萬

元）與電臺廣告費用百（萬元）的及報紙廣告費用占（萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式：

R=15+14X）+32勺--10年，

求最優(yōu)廣告策略.

解：公司利潤為L三Rf_泡=15+13*+3區(qū)一甌電一年一10*

4=13-8%2—4%=0,

4.V1+8x2=13,

令［4=31-M-20^2=0,即風(fēng)+20修=31,

—.）=］』）=（0,7”25）

得駐點44，而（3分）

A=L；=-4<0B=L：=-8C=L；、=一20

Aj.V|,.l|A>，.17，

D=AC-B2=80-64>0,

所以最優(yōu)廣告策略為：

電臺廣告費用0?75（萬元），報紙廣告費用L25（萬元）.（6分）

四、證明題（每題5分，共10分）

113z,齒_1

2］、設(shè)z=ln（/+y3）,證明：工私）辦3

dz_援％dz_:產(chǎn)

證：爐十儼5爐十）3

（3分）

&dz打*1y-%

oxdy彳彳3+y彳3爐i+,i3

（6分）

00B

ST名⑸十了

22、假設(shè)lgx與-?都收斂,那么e收斂,

證：由于°"（"〃+"J="；+<+為產(chǎn)“工2叱+T）,

（粉）

都收斂那么胃2"*'

2>；2片

并由題設(shè)知啟與日收斂,

1（%+匕）2

從而"T收斂。（6分）

8800

、假設(shè)??"'與都收斂，那么自"也收斂.

07（A）卷參考答案

（可能會有錯誤大家一定要自己核對）

一、填空題（每題3分，共15分）

1、i§z=x+y+/（x—y）,且當(dāng)y=0時，z=x\那么z=____________。

^x2-2xy+2y+y2j

2、計算廣義積分'Y=0（2）

3、設(shè)z=*,那么聞（用）=。（《@+辦））

4、微分方程V-5y+6y=x廬具有形式的特解.（（加+版）戶”）

%〃=4￡（；"〃$）=

5、設(shè),那么2）o（1）

二、選擇題（每題3分，共15分）

..3sin（x2+/）

一1+2-

1、1°y的值為（A）

A.3B.OC.2D.不存在

2、工（/，%）和刀（/，丫。）存在是函數(shù)/（兒》）在點位。，%）可微的（A）。

A.必要非充分的條件；B,充分非必要的條件；

C.充分且必要的條件；D.即非充分又非必要的條件。

/~1227?7

3、由曲面z=[4-廠—y和z=0及柱面廠+y=1所圍的體積是（D）。

廣呵力4-六”4「阿、4-r”

AJoJoBJoJo

CJfo^d^Jof'TWdr

4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性方程y〃+py+/=〃力有三個特解力二匕y、=e

那么其通解為（C）o

A,尢+Gc"；B,G%+c?8+Ge”；

x

Cx+C]（€—）+C2（x-,dG（e"—02，）+《2（￡”—x）

￡（T尸

5、無窮級數(shù)〃=in，t（°為任意實數(shù)）（D）

A、收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、無法判斷

三、計算題（每題6分，共60分）

1、求以下極限；；3如+1。

..xy..孫（而7T+1）

hm.—=hm"-------

解：（町+I）T…（3分）

=limQ.+l+1）=1+1=2

）T6

…（6分）

2、求由，之五與直線"=1、1=4、）'二°所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。

解/=柏"）％

…（4分）

=7.5萬…（6分）

5zdz

3、求由i=工尸所確定的隱函數(shù)z=z^y>的偏導(dǎo)數(shù)小‘行。

解：方程兩邊對X求導(dǎo)得：

.dzdzyzz

dx小，有&e'~xyMz-l）…（3分）

方程兩邊對）'求導(dǎo)得：

.dzdzdzxzz

e"——=xz+xy——=------=-------

Sy?有力e’一盯y（z-\）…[6分）

4、求函數(shù)/（"）"-底+29-九勺極值。

解：f（x,y）=x3-4x2^2xy-y\那么

/（x,y）=3/_以+2yfjx,y）=2x-2y

r9，

f、x,y）=6%-84（X，y）=2%（x，y）=-2,

,f

3x2-8x+2y=0,

4

求駐點，解方程組⑵-2y=0,得（0,0）和（2,2）…〔2分）

對（0。有人（0,0）=-8<0,&（0,0）=2,4（0,0）=-2>

于是82-AC=T2<0,所以（°，°）是因數(shù)的極大值點，且〃0,0）=°…（4分）

對（2⑵有幾（2,2）=4,&（2,2）=2,4（2,2）=-2,

于是序-4。=12>0,（2,2）不是函數(shù)的極值點?！?6分）

5、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做俏售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)計資料,銷售收入R（萬元）與電臺廣告費

用百（萬元）的及報紙廣告費用W（萬元）之間的關(guān)系有如下的經(jīng)驗公式：

/?=15+14%+32占-823；-10三假設(shè)提供的廣告費用為1.5萬元求相應(yīng)的最優(yōu)廣告策略.

解:顯然此題要求:在條件夕%）=%+%?L5=°下,求R的最大值.

令/=15+13%+3氏-8為9-2x；-10石+4%+x2-1.5）…g分）

解方程組

/二13-84-4$+4=0,

，=31—8%）—20X3+4=0,

F；=X,+X2-1,5=0,...（盼）

得:再=0,%=1.5

所以，假設(shè)提供的廣告費用為15萬元，應(yīng)招15萬元全部用在報紙廣告費用是最優(yōu)的廣告策

略，…（6分）

JF布__

6、計算積分。x，其中O是由直線'=*曠=2*及x=l,x=2所圍成的閉區(qū)域:

上出4%『少

解:…（4分）

…（6分）

7、連續(xù)函數(shù)/㈤滿足"⑺"-必"+",且/⑴=°,求,⑴。

解：關(guān)系式兩端關(guān)于x求導(dǎo)得：

人幼￡小）=-（

/(?=2/(勸+2礦(勸+1即

…（2分）

這是關(guān)于/(幻的一階線性微分方程,

共通解為:

-心r1f-

f(x)=eJ2x([—)r2x+c)

,2x

-^=(-Vx+c)=-^-l

=yjxyjx…（5分）

又/⑴=。，即。故。所以〃

-1=0,=1,…（6分）

r+—y'2

8、求解微分方程i-y

=00

dpdp2

y=p—p—+------p?2=0

解：令'=p,那么d)‘，于是原方程可化為：dyl-y…（3分）

以J=0-舟2

［

即力~y，其通解為〃=華"=o（y_i）…（5分）

g-2dy

-cydx

dx即(yT):

故原方程通解為：C/+C2（6分）

?a*

Z3「

9、求級數(shù)i守〃的收斂區(qū)間。

解;令1=4一2,塞級數(shù)變形為…（3分）

￡㈠）”市

當(dāng)"T時,級數(shù)為”=。寸〃收斂;

當(dāng)f=1時，級數(shù)為弓而發(fā)散.

00F

故盲而

的收斂區(qū)間是〔一口）

4=…（5分）

￡（'-2）”

那么占五的收斂區(qū)間為‘'二0'3）

…（6分）

8

sin(2n-x)

〃!

10、判定級數(shù)g是否收斂，如果是收斂級數(shù)，指出其是絕對收斂還是條件收斂。

sin(2w-x)1

,<---

解：因為〃！〃！

…（2分）

1

..5+1)!八

81lim=0

1n->ao1t

2-3-j

由比值判別法知g〃!收斂(；加),…（4分）

00sin(2wx)

2￡sin（2"x）

n\

從而由比擬判別法知局收斂,所以級數(shù)gn-絕對收斂，…（6分）

四,證明題（每題5分，共10分）

Z而匚

1、設(shè)正項級數(shù)I收斂，證明級數(shù)I也收斂。

歷匚4（〃“+心

證：2,…（3分）

（〃“+wn+l）yjwu,

而由2收斂，故由比擬原那么，乙V”/用也收斂。?（5分）

y1&1&z

z=；—=—

2、設(shè)/（/一廠），其中八〃）為可導(dǎo)函數(shù)，證明工以yQyy\

dz2xyf

---=-------

證明：因為以儼,

（2分）

2

dz=f^2yf

曠f2

…〔4分）

18z1dz2yf/+2y2r1

—+=十'.—■=2

所以X&ySyf-yf-yfy1

…（5分）

評

分

評閱

人

z=2cos2(x-—)2^-4+-^-=0

22、設(shè)2,證明：drdxdt

07年［B［卷參考答案

（可能會有錯誤大家一定要自己核對）

一、填空題（每題3分，共15分）

1、設(shè)z=+y+/（y-x）,且當(dāng)＞0時，那么z=____________0

（￡-2孫+21+丫2）

r^dx

2、計算廣義積分，/=o（I）

12

J

3、設(shè)z=ln（l+f+/）,那么囪（回=o（33）

4、微分方程6y十9k5（九+1）*具有形式的特解.（（加十加）*）

（3"+15

5、級數(shù)e9的和為―。(8)

二、選擇題（每題3分，共15分）

3sin(jt2+/)

lim

22

XTOx+y

1、尸?！沟闹禐?B)

A、0B、3C、2D、不存在

2、4（用?。┖汀?田在（兩，為）存在且連續(xù)是函數(shù)〃局〉）在點（*0，為）可微的（B）

A.必要非充分的條件：B.充分非必要的條件：

C,充分且必要的條件；D.即非充分又非必要的條件。

3、由曲面Z=）4-"2—/和2=。及柱面/+丁=4所圍的體積是（B）

—「dr4（）圻力4-/dr

AJoJo.pJoJo.

LTd可:Qd,D.4.呵:Qdr

C、

4、設(shè)二階常系數(shù)非齊次微分方程v+py"分=/a）有三個特解M=V,），3=/

那么其通解為（D）

ABCX+G/+G消.

212x22

C、x+Qe+C2e°、X+G?-e^l+G。--）

.（T尸

5、無窮級數(shù)in~（〃為任意實數(shù)）（A）

A、無法判斷B、絕對收斂C、收斂D、發(fā)散

三、計算題（每題6分，共60分）

..2-4xy+4

hm——-----

1°xy

1、求以下極限：1。）0

1.2-J孫+44一（刈+4）

hm——---=hm------[

解.，沖，孫（2+"y+4）

…（3分）

,2+J9+42+24

（6分）

[0%]彳_K

2、求由在區(qū)間'5上，曲線＞=sin%與直線"5、y二°所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體的體積。

￡

&V=^-[^sin2jdx

解：J。（4分）

4…[6分）

dzdz

3、求由e二一與‘z=xy所確定的隱函數(shù)2=2（%＞）的偏導(dǎo)數(shù)辦'協(xié)。

解：（一）令—（x,y,z）=ez-取z-xy

8FdF_dF

----=_yZ_V------—XZ.X——=e°-xy

那么8,力'dz

利用公式，得

yz+y

-d-z=&=—,-yz-y=,

dx變e:-xye:-xy

…（3分）

—dz=-.d.y=----x--z---x=--x-z-+-x-

dy竺e"-xyez-xy

0?,（6分）

（二）在方程兩邊同時對x求導(dǎo)，得

.&dz

解出

8z_yz-^-y

dxe:-xy

???（3分）

dzxz+x

同理解出力'已一孫…16分）

4、求函數(shù)/（樂丫心^一⑵y+8y③的極值。

解/ay）=d-l的十8匕那么

22

￡（匹y）=3x-12yfv（x,y）=24y-12x

幾a,y）=6x,4（x,y）=T2,4（x,y）=48y,

’3f-12y=0,

求駐點，解方程組[24）2-12x=0,得（0,0）和（2,1）...已分）

對（0,0）有￡（°，°）=0,4（0,0）=-124（0,0）=0

于是力-AC=144>0,所以（°，°）點不是函數(shù)的極值點,…（4分）

時（2,1）有人（2,1）=12,f￡2,l）=T2,啟（2,1）二48,

于是B2-AC=144-12X48<0,且A=12>0,所以函數(shù)在⑵。點取得極小

值,/（2/）=23-12x2x1+8x1'=一8…（6分）

5、某公司可通過電臺及報紙兩種方式做銷售某商品的廣告.根據(jù)統(tǒng)