2024-2025學年高中數(shù)學第二章推理與證明單元素養(yǎng)評價含解析新人教A版選修2-2

PAGE單元素養(yǎng)評價(二)(其次章)(120分鐘150分)一、選擇題(每小題5分,共60分)1.詩歌是一種抒情言志的文學體裁,用高度凝練的語言、形象表達作者豐富的情感,詩歌也可以反映數(shù)量關系的內(nèi)在聯(lián)系和規(guī)律,人們經(jīng)常把數(shù)學問題和算法理論編成朗朗上口的詩歌詞賦,使抽象理性的數(shù)學問題詩詞化,比如詩歌:“十里長街鬧盈盈,慶祝祖國萬象新;佳節(jié)禮花破長空,長街燈籠勝繁星;七七數(shù)時余兩個,八個一數(shù)恰為零;三數(shù)之時剩兩盞,燈籠幾盞放光明”,則此詩歌中長街上燈籠最少幾盞 ()A.70 B.128 C.140 D.150【解析】選B.由七七數(shù)時余兩個,可知燈籠數(shù)除以7余2,則A,C,D錯.2.在△ABC中,E,F分別為AB,AC的中點,則有EF∥BC,這個問題的大前提為 ()A.三角形的中位線平行于第三邊B.三角形的中位線等于第三邊的一半C.EF為中位線D.EF∥BC【解析】選A.這個三段論的推理形式是:大前提:三角形的中位線平行于第三邊;小前提:EF為△ABC的中位線;結論:EF∥BC.3.由圓心與弦(非直徑)中點的連線垂直于弦,想到球心與截面圓(不經(jīng)過球心的小截面圓)圓心的連線垂直于截面,用的是 ()A.類比推理 B.三段論推理C.歸納推理 D.傳遞性推理【解析】選A.將平面幾何問題推廣為空間幾何問題,利用了類比推理.4.視察下列各等式:QUOTE+QUOTE=2,QUOTE+QUOTE=2,QUOTE+QUOTE=2,QUOTE+QUOTE=2,依照以上各式成立的規(guī)律,得到一般性的等式為 ()A.QUOTE+QUOTE=2B.QUOTE+QUOTE=2C.QUOTE+QUOTE=2D.QUOTE+QUOTE=2【解析】選A.視察分子中2+6=5+3=7+1=10+(-2)=8.5.視察下列各式:3QUOTE=22×3QUOTE,3QUOTE=32×3QUOTE,3QUOTE=42×3QUOTE,…,若3QUOTE=92×3QUOTE,則m= ()A.80 B.81 C.728 D.729【解析】選C.3QUOTE=22×3QUOTE=22×3QUOTE,3QUOTE=32×3QUOTE=32×3QUOTE,3QUOTE=42×3QUOTE=42×3QUOTE,…,所以3QUOTE=n2×3QUOTE,所以3QUOTE=92×3QUOTE=92×3QUOTE,所以m=93-1=729-1=728.6.對大于或等于2的自然數(shù)的正整數(shù)冪運算有如下分解方式:22=1+3,32=1+3+5,42=1+3+5+7,23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,依據(jù)上述分解規(guī)律,若m2=1+3+5+…+11,n3的分解中最小的正整數(shù)是21,則m+n=()A.10 B.11 C.12 D.13【解析】選B.因為m2=1+3+5+…+11=QUOTE×6=36,所以m=6.因為23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,所以53=21+23+25+27+29,因為n3的分解中最小的數(shù)是21,所以n3=53,n=5,所以m+n=6+5=11.7.在平面直角坐標系內(nèi),方程QUOTE+QUOTE=1表示在x,y軸上的截距分別為a,b的直線,拓展到空間直角坐標系內(nèi),在x,y,z軸上的截距分別為a,b,c(abc≠0)的平面方程為 ()A.QUOTE+QUOTE+QUOTE=1B.QUOTE+QUOTE+QUOTE=1C.QUOTE+QUOTE+QUOTE=1D.ax+by+cz=1【解析】選A.因為在平面直角坐標系中,方程QUOTE+QUOTE=1,表示的圖形是一條直線,具有特定性質(zhì):“在x軸,y軸上的截距分別為a,b”類比到空間坐標系中,在x,y,z軸的截距分別為a,b,c(abc≠0)的平面方程為QUOTE+QUOTE+QUOTE=1.8.設x,y,z均為正實數(shù),則三個數(shù)QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE ()A.都大于2B.都小于2C.至多有一個小于2D.至少有一個不小于2【解析】選D.假設QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE,QUOTE+QUOTE三個數(shù)都小于2,則QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE<6,由QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥6,與QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE+QUOTE<6沖突,所以假設錯誤.9.如圖所示,坐標紙上的每個單元格的邊長為1,由下往上的六個點:1,2,3,4,5,6的橫、縱坐標分別對應數(shù)列{an}(n∈N*)的前12項,如表所示:a1a2a3a4a5a6a7a8a9a10a11a12x1y1x2y2x3y3x4y4x5y5x6y6按如此規(guī)律下去,則a2018= ()A.504 B.505 C.1008 D.1009【解析】選D.由a2,a4,a6,a8,…組成的數(shù)列恰好對應數(shù)列{yn},即yn=QUOTE=n.所以a2018=y1009=1009.10.定義在R上的函數(shù)f(x)滿意f(-x)=-f(x+4),且f(x)在(2,+∞)上為增函數(shù).已知x1+x2<4且(x1-2)·(x2-2)<0,則f(x1)+f(x2)的值 ()A.恒小于0 B.恒大于0C.可能等于0 D.可正也可負【解析】選A.不妨設x1-2<0,x2-2>0,則x1<2,x2>2,所以2<x2<4-x1,所以f(x2)<f(4-x1),即-f(x2)>-f(4-x1),從而-f(x2)>-f(4-x1)=f(x1),f(x1)+f(x2)<0.11.在“一帶一路”學問測驗后,甲、乙、丙三人對成果進行預料.甲:我的成果比乙高.乙:丙的成果比我和甲的都高.丙:我的成果比乙高.成果公布后,三人成果互不相同且只有一個人預料正確,那么三人按成果由高到低的次序為 ()A.甲、乙、丙 B.乙、甲、丙C.丙、乙、甲 D.甲、丙、乙【解析】選A.(1)若甲預料正確,則乙、丙預料錯誤,即①甲的成果比乙高;②丙的成果不是最高的;③丙的成果比乙低.由①②③可得甲、乙、丙成果由高到低的依次為甲、乙、丙.(2)若乙預料正確,則甲、丙預料錯誤,即①乙的成果比甲高;②丙的成果最高;③丙的成果比乙低.由上可知②③相沖突,故此狀況不成立.(3)若丙預料正確,則甲、乙預料錯誤,即①乙的成果比甲高;②丙的成果不是最高的;③丙的成果比乙高.由①③得成果由高到低的依次為丙、乙、甲,與②相沖突,此狀況不成立.12.把正整數(shù)按肯定的規(guī)則排成了如圖所示的三角形數(shù)表.設aij(i,j∈N*)是位于這個三角形數(shù)表中從上往下數(shù)第i行、從左往右數(shù)第j列的數(shù),如a42=8.若aij=2018,則i與j的和為 ()1243576810129 11 13 151714 16 18 202224……A.79 B.80 C.81 D.82【解析】選C.由三角形數(shù)表可以看出其奇數(shù)行為奇數(shù),偶數(shù)行為偶數(shù),2018=2×1009,所以2018為第1009個偶數(shù),又前31個偶數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為992,前32個偶數(shù)行內(nèi)數(shù)的個數(shù)的和為1056,故2018在第32個偶數(shù)行內(nèi),所以i=64.因為第64行的第一個數(shù)為2×993=1986,設2018=1986+2(m-1),所以m=17,即j=17,所以i+j=81.二、填空題(每小題5分,共20分)13.視察下列等式:13+23=32,13+23+33=62,13+23+33+43=102,依據(jù)上述規(guī)律,13+23+33+43+53+63=________.

【解析】因為所給等式左邊的底數(shù)依次分別為1,2;1,2,3;1,2,3,4;右邊的底數(shù)依次分別為3,6,10,所以由底數(shù)規(guī)律可知:第五個等式左邊的底數(shù)為1,2,3,4,5,6,右邊的底數(shù)為10+5+6=21,又左邊為立方和,右邊為平方的形式,故有13+23+33+43+53+63=212.答案:21214.視察下列等式:(1+1)=2×1(2+1)(2+2)=22×1×3(3+1)(3+2)(3+3)=23×1×3×5…照此規(guī)律,第n個等式可為________.

【解析】由已知的三個等式左邊的改變規(guī)律,得第n個等式左邊為(n+1)(n+2)…(n+n),由已知的三個等式右邊的改變規(guī)律,得第n個等式右邊為2n與n個奇數(shù)之積,即2n×1×3×…×(2n-1).答案:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)15.已知等差數(shù)列{an}的前n項和是Sn=QUOTE,由此可類比得到各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項積Tn=________(用n,b1,bn表示).

【解析】由等差數(shù)列中的“求和”類比等比數(shù)列中的“求積”,可知各項均為正數(shù)的等比數(shù)列{bn}的前n項積Tn=(b1bnQUOTE.答案:(b1bnQUOTE16.對于函數(shù)y=f(x),若其定義域內(nèi)存在兩個實數(shù)m,n(m<n),使得x∈[m,n]時,f(x)的值域也是[m,n],則稱函數(shù)f(x)為“和諧函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=k+QUOTE是“和諧函數(shù)”,則實數(shù)k的取值范圍是________.

【解析】因為函數(shù)的定義域為x≥-2,又f(x)=k+QUOTE在定義域內(nèi)為單調(diào)增函數(shù),則x∈[m,n]時,有f(m)≤f(x)≤f(n),則QUOTE可轉化為方程k+QUOTE=x在x∈[-2,+∞)上有兩個相異實根,即k=x-QUOTE,令t=QUOTE,則x=t2-2,得k=t2-t-2(t≥0),由圖(圖略)可知,當-QUOTE<k≤-2時,方程有兩個不等的實根,符合題意.答案:QUOTE三、解答題(共70分)17.(10分)已知a>b>c,且a+b+c=0,求證:QUOTE<QUOTE.【證明】因為a>b>c且a+b+c=0,所以a>0,c<0.要證明原不等式成立只需證明QUOTE<QUOTEa,即證b2-ac<3a2,從而只需證明(a+c)2-ac<3a2,即(a-c)(2a+c)>0,因為a-c>0,2a+c=a+c+a=a-b>0,所以(a-c)(2a+c)>0成立,故原不等式成立.18.(12分)設數(shù)列{an}是公比為q的等比數(shù)列,Sn是它的前n項和.(1)求證:數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列;(2)數(shù)列{Sn}是等差數(shù)列嗎?為什么?【解析】(1)假設數(shù)列{Sn}是等比數(shù)列,則QUOTE=S1S3,即QUOTE(1+q)2=a1·a1·(1+q+q2),因為a1≠0,所以(1+q)2=1+q+q2,即q=0,這與公比q≠0沖突,所以數(shù)列{Sn}不是等比數(shù)列.(2)當q=1時,Sn=na1,故{Sn}是等差數(shù)列;當q≠1時,{Sn}不是等差數(shù)列,否則2S2=S1+S3,即2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2),得q=0,這與公比q≠0沖突.19.(12分)設p,q是奇數(shù),證明:x2+2px+2q=0沒有有理根.【證明】設QUOTE是該方程的有理根(m,n互素),則QUOTE+QUOTE+2q=0,m2+2pmn+2qn2=0,因為2pmn+2qn2是偶數(shù),所以m2是偶數(shù),所以m是偶數(shù),設m=2k,則4k2+4pkn+2qn2=0,2k2+2pkn+qn2=0,因為2k2+2pkn是偶數(shù),所以qn2是偶數(shù),又q是奇數(shù),所以n2是偶數(shù),所以n是偶數(shù),于是m,n都是偶數(shù),與m,n互素沖突.所以x2+2px+2q=0沒有有理根.20.(12分)(2024·浙江高考)已知1<a≤2,函數(shù)f(x)=ex-x-a,其中e=2.71828…為自然對數(shù)的底數(shù).(1)證明:函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零點;(2)記x0為函數(shù)y=f(x)在(0,+∞)上的零點,證明:①Q(mào)UOTE≤x0≤QUOTE;②x0f(QUOTE)≥(e-1)(a-1)a.【解析】(1)當x∈(0,+∞)時,f′(x)=ex-1>0,所以f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增,由于f(0)=1-a<0,f(2)=e2-2-a≥e2-4>0,f(0)f(2)<0,則y=f(x)在(0,+∞)上有唯一零點.(2)①由于f(x)單調(diào)遞增,1<a≤2.設x0的最大值為t,則et=2+t.由f(1)=e-1-2<0,則t>1.右邊:由于x≥0時,ex≥1+x+QUOTEx2,且QUOTE-x0-a=0,則a≥1+QUOTE?x0≤QUOTE.左邊:要證明QUOTE≥a-1=QUOTE-x0-1,只需證明QUOTE-QUOTE-x0-1≤0.記h(x)=ex-1-x-x2(0≤x≤t),則h′(x)=ex-1-2x,h″(x)=ex-2,于是h′(x)在(0,ln2)上單調(diào)遞減,在(ln2,+∞)上單調(diào)遞增.于是h′(x)=ex-1-2x≤max{h′(0),h′(t)}=0,則h(x)在0≤x≤t上單調(diào)遞減.h(x)=ex-1-x-x2≤h(0)=0,得證.②要證明x0f(QUOTE)≥(e-1)(a-1)a,只需證:x0f(x0+a)≥(e-1)(a-1)a.由于(xf(x+a))′=f(x+a)+xf′(x+a)>f(x+a)>f(a)=ea-2a≥1-a+QUOTE>0,則x0f(x0+a)≥QUOTEf(QUOTE+a),只須要證明:f(QUOTE+a)≥(e-1)aQUOTE,即QUOTE-QUOTE-2a≥(e-1)aQUOTE.由ex≥1+x+QUOTEx2,只需證:1+QUOTE(QUOTE+a)2-a≥(e-1)aQUOTE?a2-(QUOTE)2-2(e-2)a·QUOTE≥0,只需證QUOTE-QUOTE≥2(e-2),由于QUOTE=QUOTE+QUOTE∈[2,+∞),則QUOTE-QUOTE≥2-QUOTE=QUOTE≥2(e-2).綜上所述,得證.21.(12分)如圖,DC⊥平面ABC,