中考數(shù)學(xué)易錯(cuò)易混淆集訓(xùn)：勾股定理

專(zhuān)題10易錯(cuò)易混集訓(xùn)：勾股定理

聚焦考點(diǎn)

易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解

易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式

典型例題j

易錯(cuò)一沒(méi)有明確斜邊或直角時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：(2022?湖北?恩施市崔壩鎮(zhèn)民族中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))若一個(gè)直角三角形的兩邊長(zhǎng)為3和4,則它第三

邊的長(zhǎng)為.

【答案】近或5

【分析】分邊長(zhǎng)為4的邊是斜邊和直角邊兩種情況，再分別利用勾股定理即可得.

【詳解】解：由題意，分以下兩種情況：

(1)當(dāng)邊長(zhǎng)為5的邊是斜邊時(shí)，

則第三邊長(zhǎng)為742-32=手-

(2)當(dāng)邊長(zhǎng)為5的邊是直角邊時(shí)，

則第三邊長(zhǎng)為序弄=5；

綜上，第三邊長(zhǎng)為近或5,

故答案為：行或5.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，依據(jù)題意，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2022?廣東?東莞市南城陽(yáng)光實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別為3和2,則第三邊長(zhǎng)為

【答案】回或非

【分析】分3是直角邊和斜邊兩種情況討論求解.

【詳解】解：當(dāng)3是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：序方=而，

當(dāng)3是斜邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：打"=有，

所以，第三邊長(zhǎng)為而或右.

故答案為：舊或退.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，是基礎(chǔ)題，注意要分情況討論.

2.（2022?遼寧撫順?八年級(jí)期末）如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長(zhǎng)分別為8和15,那么這個(gè)三角形的第三邊

長(zhǎng)為.

【答案】17或師

【分析】分兩種情況：當(dāng)8和15都是直角邊時(shí)；當(dāng)15是斜邊長(zhǎng)時(shí)；分別利用勾股定理計(jì)算出第三邊長(zhǎng)即

可.

【詳解】解：當(dāng)8和15都是直角邊時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：后石手=17，

當(dāng)15是斜邊長(zhǎng)時(shí)，第三邊長(zhǎng)為：7152-82=7161.

故答案為：17或洞’

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)分別是。，b,斜邊長(zhǎng)為c,那么/+〃=c2.

3.（2022?云南?彌勒市長(zhǎng)君實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）己知GI+（6-5）2=0,那么以“，b為邊長(zhǎng)的直角

三角形的第三邊長(zhǎng)為.

【答案】4或扃

【分析】先根據(jù)算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性求出。=3,6=5,再分①長(zhǎng)為3和5的邊均為直角邊，②長(zhǎng)為

5的邊為斜邊兩種情況，利用勾股定理即可得.

【詳解】解：,病方+（6-5/=0,且而與",（6_5『N0,

.,.a—3=0,b—5=0,

解得。=3,6=5,

①當(dāng)長(zhǎng)為3和5的邊均為直角邊時(shí)，

則這個(gè)直角三角形的第三邊長(zhǎng)為J32+52=取;

②當(dāng)長(zhǎng)為5的邊為斜邊時(shí)，

則這個(gè)直角三角形的第三邊長(zhǎng)為7^二三=4；

故答案為：4或四.

【點(diǎn)睛】本題考查了算術(shù)平方根和偶次方的非負(fù)性、勾股定理，正確分兩種情況討論是解題關(guān)鍵.

4.（2022?安徽?合肥市西苑中學(xué)八年級(jí)期中）已知x、y為直角三角形的兩邊且滿足VT分+（x-y+l）2=0,

則該直角三角形的第三邊為.

【答案】5或⑺##e或5

【解析】

【分析】

由非負(fù)性的性質(zhì)可求得x與y的值，再分兩種情況，利用勾股定理即可求得第三邊的長(zhǎng).

【詳解】

V7^3>0,（X-V+1）2>0,且GI+（x-y+l）2=0,

:?x—3=0,x-y+l=0,

解得：x=3,y=4.

當(dāng)x=3,尸4為直角三角形的兩直角邊時(shí)，由勾股定理得第三邊為：序弄=5；

當(dāng)x=3為一直角邊，y=4為斜邊時(shí)，由勾股定理得第三邊為："2一3?="

故答案為：5或?qū)?

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，涉及兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零則它們均為零的性質(zhì)，注意求得的兩邊無(wú)法確

定都是直角邊還是一條直角邊和一條斜邊，故要分類(lèi)討論.

5.（2020?四川成都?八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A/,N把線段分割成/A/,MN和NB,若以/A/,MN,

為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱(chēng)點(diǎn)M,N是線段N3的“勾股分割點(diǎn)”.已知點(diǎn)N是線段

的“勾股分割點(diǎn)"，若4W=3,MN=4,則8N的長(zhǎng)為.

【答案】5或五##近或5

【解析】

【分析】

分兩種情況討論：當(dāng)/河=3,9=4為直角邊時(shí)，當(dāng)MN=4為斜邊時(shí)，則/朋=3為直角邊，再利用勾股定

理可得答案.

【詳解】

解：當(dāng)加/=3,招=4為直角邊時(shí)，

\W=A/32+42=5,

當(dāng)兒W=4為斜邊時(shí)，則ZM=3為直角邊，

\BN="-32=后,

故答案為：5或五

【點(diǎn)睛】

本題考查的是新定義情境下的勾股定理的應(yīng)用，理解新定義，再分類(lèi)討論是解本題的關(guān)鍵.

6.（2022?河南?鄭州市二七區(qū)侯寨一中八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在必△4BC中，ZA=90°,AB=AC,BC=&+1,

點(diǎn)M,N分別是邊BC,48上的動(dòng)點(diǎn)，沿MN所在的直線折疊N3,使點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)"始終落在邊NC上，

若AMB'C為直角三角形，則BM的長(zhǎng)為

【答案】:行+3或1

【分析】①如圖1,當(dāng)N8'MC=90。，夕與工重合，M是2C的中點(diǎn)，于是得到結(jié)論；②如圖2,當(dāng)乙10c=90。,

推出△CM"是等腰直角三角形，得到。0=亞/2，，列方程即可得到結(jié)論.

【詳解】解：①如圖1，

當(dāng)/2'MC=90。，8'與/重合，河是的中點(diǎn)，

<?BM=~+—；

②如圖2,當(dāng)NW"C=90。，

VZA=90°,AB=AC,

：.ZC=45°,

△CMB'是等腰直角三角形，

：.CM=y[2MB',

:沿MN所在的直線折疊使點(diǎn)2的對(duì)應(yīng)點(diǎn)"，

：.CM=5BM,

,；BC=01,

：.CM+BM=y/2BM+BM=亞+1,

綜上所述，若△MQC為直角三角形，則四的長(zhǎng)為g亞+g或1,

故答案為：:收+;或1.

2.，

圖1圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換折疊問(wèn)題，等腰直角三角形的性質(zhì)，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?河南?鄭州楓楊外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，在A4BC中,ZACB=90°,AC=6,BC=8,7是

斜邊48上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，E是直線3c上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△48C沿DE折疊，使點(diǎn)3的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸落在直線48

上，連接CF,當(dāng)ACE尸是直角三角形時(shí)，線段3。的長(zhǎng)為

【答案】（7或5

【分析】分兩種情況討論：當(dāng)/。茗=90。時(shí)，過(guò)點(diǎn)C作CALL/8于點(diǎn)由翻折可知，BD=DF,ZEFB=

ZB,由直角三角形兩銳角互余易得/C=/C=6,則”為/尸的中點(diǎn)，由面積相等可求得CM的長(zhǎng)，再由勾

股定理可求得放的長(zhǎng)，則可求得2尸的長(zhǎng)，從而可得2。的長(zhǎng)；當(dāng)NEC尸=90。時(shí)，此時(shí)點(diǎn)尸落在點(diǎn)/,則

BD=，B=5.

【詳解】解：①當(dāng)NCEE=90。時(shí)，過(guò)點(diǎn)/作CWL/8于點(diǎn)如圖所示：

VZACB=90°,AC=6,BC=8,

AB=V62+82=10-

由翻折可知，BD=DF,ZEFB=ZB,

VZA+ZB=90°,ZEFB+ZCFA=90°,

：.ZA=ZCFA,

：.FC=AC=6,

'：CMLAB,

：.AM=FM=-AF

2

S..RC=-AC>BC=-AB>CM,

AC?BC6x8_24

CM=

AB

18

在必△CEM中，由勾股定理得:FM=^FC2-CM2=

5

2A

AF=2FM=——

5

BF=AB-AF=10——二——，

55

17

BD=-BF=--

25

②當(dāng)NEW=90。時(shí)，點(diǎn)尸落在點(diǎn)4貝！

7

綜上，線段8。的長(zhǎng)為（或5.

故答案為：￡或5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查翻折變換（折疊問(wèn)題）、勾股定理、等腰三角形的判定，由翻折的性質(zhì)和直角三角形

銳角互余得到尸C=/C,是解答本題的關(guān)鍵.注意等積思想的應(yīng)用.

易錯(cuò)二三角形形狀不明時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：（2021?北京市魯迅中學(xué)八年級(jí)期中）在△4BC中，AB=15,AC=20,3C邊上的高ND=12,則

BC=.

【答案】7或25

【解析】

【分析】

己知三角形兩邊的長(zhǎng)和第三邊的高，未明確這個(gè)三角形為鈍角還是銳角三角形，所以需分情況討論，即/

是鈍角還是銳角，然后利用勾股定理求解.

【詳解】

解：分兩種情況：

①如圖1,ZUBC中，48=15,AC=20,8C邊上高/。=12,

(1)(2)

在Rt^ABD中4B=15,AD=12,

由勾股定理得：5￡>=^/152-122=9

在及△NOC中NC=20,AD=12,

由勾股定理得：￡>C=V202-122=16

：.BC的長(zhǎng)為BD+DC=9+16=25.

②如圖2,同理得：BD=9,0c=16,

：.BC=CDBD=7.

綜上所述，8C的長(zhǎng)為25或7.

故答案為：25或7.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了勾股定理，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是在直角三角形中用勾股定理求得線段的長(zhǎng).當(dāng)已知條件中沒(méi)

有明確角的大小時(shí)，要注意討論.

【變式訓(xùn)練】

1.（2021?黑龍江牡丹江?八年級(jí)期末）在A/BC中，若NC=15,BC=13,48邊上的高CD=12,則△/2C的周

長(zhǎng)為.

【答案】32或42##42或32

【解析】

【分析】

作出圖形，利用勾股定理列式求出BD,再分在A42C內(nèi)部和外部?jī)煞N情況求出然后根據(jù)三

角形的周長(zhǎng)的定義解答即可.

【詳解】

解：AC=15,5C=13,A8邊上的高CD=12,

:.AD=ylAC2-CD2=9，

BD7BC2-CD?=5,

如圖2,CD在AA8C外部時(shí)，AB=AD-BD=9-5=4,

此時(shí)，A48C的周長(zhǎng)=4+13+15=32,

綜上所述，AA&C的周長(zhǎng)為32或42.

故答案為：32或42.

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是分情況討論求出N3的長(zhǎng)，作出圖形更形象直觀.

2.（2022?山西?孝義市第六中學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）已知△48C中，48=5,NC=8,2c邊上的高/。=4,

則BC=.

【答案】4用3或46-3

【分析】根據(jù)題意，可分為兩種情況進(jìn)行分析：當(dāng)A/BC為銳角三角形；當(dāng)ZU2C為鈍角三角形；利用勾股

定理，分別求出答案即可.

【詳解】解：分兩種情況考慮：

如圖1所示，此時(shí)△4BC為銳角三角形，

在7？公/80中，根據(jù)勾股定理得：BD=^AB2-AD2=752-42=3；

在RM4CD中,根據(jù)勾股定理得：CD=^AC2-AD2=782-42=473-

止匕時(shí)+3;

如圖2所示，此時(shí)A/BC為鈍角三角形，

在氏小/8〃中，根據(jù)勾股定理得：BD=底爐-AD?-42=3；

在RtLACD中，根據(jù)勾股定理得：CD=JAC?-AD?=7§2-42=4G，

止匕時(shí)8c=8。一DC=46一3.

綜上，3c的長(zhǎng)為46+3或4百-3.

故答案為：46+3或46-3.

圖1圖2

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理進(jìn)行計(jì)算，會(huì)運(yùn)用分類(lèi)討論的思想進(jìn)行

分析.

3.（2022?北京?101中學(xué)八年級(jí)期中）在放A/BC中，/4CB=90°,AC=4,AB=5.點(diǎn)尸在直線/C上，

且AP=6,則線段4P的長(zhǎng)為.

【答案】36-4或3G+4

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，作出圖形，分類(lèi)討論，根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】

解：如圖，

???ZACB=90°,AC=4,AB=5

BC=dAB2-AC?=A/52-42=3

在RtASPC中，pc=^PB--BC1=V62-32=36

■■PA=PC-AC=3y/3-4^PA^PC+AC^-iy/3+4

故答案為：36-4或3右+4

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理，根據(jù)題意作出圖形，分類(lèi)討論是解題的關(guān)鍵.

4.（2022?安徽?宿城第一初級(jí)中學(xué)七年級(jí)期末）在A/BC中，Z5=90°,^5=12cm,8C=9cm,點(diǎn)。是N3

的中點(diǎn)，點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)，沿線段AB以每秒3cm的速度運(yùn)動(dòng)到3.當(dāng)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間”秒時(shí)，APCD

的面積為6cm2.

【答案】三14或市22

14

【分析】根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到8。=5/8=6cm,再由三角形的面積公式推出產(chǎn)。=]cm,結(jié)合圖

形可以分點(diǎn)尸在點(diǎn)D左側(cè)和點(diǎn)尸在點(diǎn)D右側(cè)兩種情況進(jìn)行討論，由線段之間的和差關(guān)系及行程問(wèn)題公式（時(shí)

間=路程-速度）進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：???點(diǎn)。是N8的中點(diǎn)，

AD=BD=—AB=6cm,

2

,1

又S?c3=6cm2,即5^0x2。=6,

4

解得PD=1Cm,

當(dāng)點(diǎn)尸在點(diǎn)。左側(cè)時(shí)，

4414

PD=—cm,貝U4尸=4。一尸。=6—=w（cm；

AP14

此時(shí)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間4=7=3秒.

當(dāng)點(diǎn)。在點(diǎn)。右側(cè)時(shí)，

4422

PD=—cm,貝！]AP=AD+PD=6+—=——（cm

333、

AP7?

此時(shí)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間4==三秒，

綜上，點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為w或w秒.

,1422

故答案為：■或不.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是求得尸。長(zhǎng)度后結(jié)合圖形分情況進(jìn)行討論（點(diǎn)尸在點(diǎn)。左側(cè)和

點(diǎn)尸在點(diǎn)。右側(cè)）.

易錯(cuò)三等腰三角形的腰和底不明時(shí)，考慮不全面而漏解

例題：（2022?浙江紹興?二模）在A/BC中，NC=4,BC=2,AB=25以Z8為邊在ANBC外作等腰直角

△ABD,連接CD,貝UCD=.

【答案】2j而或2萬(wàn)或3行

【解析】

【分析】

分三種情況畫(huà)出圖形，由全等三角形的性質(zhì)及勾股定理可得出答案.

【詳解】

解：如圖1,ZABD=90°,

圖1

?：AC=4,BC=2,AB=2y/5,

：.AC+BC=AB2,

...△NC2為直角三角形，ZACB=90°,

延長(zhǎng)C8,過(guò)點(diǎn)。作。于點(diǎn)E,

'：DE±CB,

：.NBED=NACB=9Q°,

：.ZCAB+ZCBA=90°,

???△/皿為等腰直角三角形，

：.AB=BD,ZABD=90°,

ZCBA+ZDBE=90°,

：.ZCAB=ZEBD,

在Zk/CB與ABED中，

ZACB=ZBED

<ZCAB=ZEBD,

AB=BD

???△ACB"LBED(AAS)f

：.BE=AC=4,DE=CB=2,

：.CE=6,

根據(jù)勾股定理得：CD=s/CE2+DE2=2V10；

如圖2,NBAD=90。,過(guò)點(diǎn)。作。E_LC4,垂足為點(diǎn)￡.

圖2

V5C±G4,

???/AED=NACB=90。,

：.ZEAD+ZEDA=90°,

?；LABD為等腰直角三角形，

：.AB=AD,ZBAD=90°f

:?NCAB+NDAE=90。,

：./BAC=/ADE,

在AACB與ADEA中，

ZACB=ZDEA

<ZCAB=ZEDA,

AB=DA

???△ACB注ADEA(.AAS)f

；?DE=AC=4,AE=BC=2,

：.CE=6,

根據(jù)勾股定理得：CD=y/CE2+DE2=2V13；

如圖3,NADB=90。,過(guò)點(diǎn)0作DELCH垂足為點(diǎn)￡,過(guò)點(diǎn)4作4b_LDE,垂足為點(diǎn)尸.

圖3

ZACB=90°,

：.ZCAB+ZCBA=90°f

,/ZDAB+ZDBA=90°,

：.ZEBD+ZDAF=90°,

■:/EBD+/BDE=9V,ZDAF+ZADF=90°f

ZDBE=ZADF9

在△4FD和△。仍中，

/DBE=/ADF

</BED=/AFD,

DB=AD

：.AAFD^ADEB(AAS)f

：.AF=DE,DF=BE,

2+DF+BE=4,

：.DF=BE=\,

：.CE=DE=3,

CD=yJCE2+DE2=372.

綜合以上可得CD的長(zhǎng)為2瓦或2g或3也.

故答案為2加或2回或3VL

【點(diǎn)睛】

此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握全等三角形的判定與

性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.(2021?遼寧?沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí))如圖，在放ZUBC中，/ACB=90°,AB=5cm,AC

=3c%,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)B出發(fā)沿射線3C以lc%/s的速度移動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為/秒，當(dāng)為等腰三角形

時(shí)，/的取值為

B

【答案】5或8或亍

O

【解析】

【分析】

當(dāng)A/BP為等腰三角形時(shí)，分三種情況：①當(dāng)48=2尸時(shí)；②當(dāng)/2=4P時(shí)；③當(dāng)AP=/尸時(shí)，分別求出

的長(zhǎng)度，繼而可求得f值.

【詳解】

在MA/8C中，BC^^AB2-AC^^S2-32=16,

.".BC=4Cem)；

①當(dāng)48=8尸時(shí)，如圖1,，=5；

②當(dāng)尸時(shí)，如圖2,BP=2BC=8cm,f=8；

③當(dāng)AP=4P時(shí)，如圖3,AP=BP=tcm,CP=(4-t)cm,AC=3cm,

在RfA/C尸中，AP2=AO+CP2,

所以「=32+(4T『，

解得：片臺(tái)25，

o

25

綜上所述：當(dāng)A/2P為等腰三角形時(shí)，f=5或彳=8或/=彳.

O

故答案為：5或f=8或片臺(tái)25.

O

【點(diǎn)睛】

本題考查了勾股定理以及等腰三角形的知識(shí)，解答本題的關(guān)鍵是掌握勾股定理的應(yīng)用，以及分情況討論，

注意不要漏解.

2.(2022?湖北武漢?八年級(jí)階段練習(xí))必△48C中，直角邊/C=8,斜邊48=17,在直線/C上取一點(diǎn)￡),

使為等腰三角形，則該等腰三角形的周長(zhǎng)為

【答案】50或34+3^34或34+5V34或——

8

【分析】分三種情況討論：①如圖1,當(dāng)/8=2。=17時(shí)；②如圖2,當(dāng)/8=ND=17時(shí)；③如圖3,當(dāng)AB

為底時(shí)，AD=BD.

【詳解】解：在尺必/臺(tái)。中，BC=^AB2-AC2=15-

①如圖，

當(dāng)48=80=17時(shí)，CD=C/=8時(shí),

AD=16,

.”.△ABD的周長(zhǎng)為17x2+16=50；

②如圖，

當(dāng)AB=AD=17時(shí)，

得CD=AD-AC=9或CD=AD+AC=25,

在Rt^BCD中，BD=yjBC2+CD2=V152+92=3734或=^BC2+CD2=V152+252=5734，

.,.△ABD的周長(zhǎng)為17+17+3扃=34+3后或17+17+5房=34+5后.

③如圖，

當(dāng)43為底時(shí)，設(shè)4D=AD=x,則CD=x-8,

在RtLBCD中，BD』CD2十BC2,

289

即V=(X-8)2+152,解得:X=-----

16

.3巾“且289289…425

/A\ABD的周長(zhǎng)為——+——+17=——

16168

綜上，△45。的周長(zhǎng)為50或34+3扃或34+5后或一1.

8

475

故答案為：50或34+3扃或34+5扃或丁.

O

【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的存在性問(wèn)題，分類(lèi)討論思想是本題的關(guān)鍵.

3.（2022?遼寧朝陽(yáng)?中考真題）等邊三角形/8C中，。是邊5c上的一點(diǎn)，BD=2CD,以為邊作等邊三

角形連接C￡.若CE=2,則等邊三角形45C的邊長(zhǎng)為.

【答案】3或小叵.

13

【分析】分兩種情況，先證明AG4E=A54D（"S）,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得出答案.

【詳解】解：如圖，E點(diǎn)在4D的右邊，

MDE與AABC都是等邊三角形，

:.AC=AB,AE=AD,ZDAE=ABAC=60°,

NDAE-NCAD=ZBAC-ZCAD,

即ZCAE=ZBAD.

在\CAE和\BAD中,

AC=AB

<NCAE=/BAD,

AE=AD

,ACAE'MAD(SAS),

;.CE=BD=2,

QBD=2CD,

:.CD=lf

BC=BD+CD=2+\=3,

二?等邊三角形/BC的邊長(zhǎng)為3,

如圖，E點(diǎn)在4。的左邊,

/.BE=CD,AABE=ZACD=60°,

/./EBD=120。，

過(guò)點(diǎn)石作斯_L8C交C5的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，則NE5尸=60。，

A7/T11

:.EF=—BE=—CD,BF=-BE=-CD,

2222

7

:.CF=BF+BD+CD=-CD,

2

在RtAEFC中，CE=2,

:.EF2+CF2=CE2=4

V32,7,2

(±.CD)+(-CD)=4,

2

:_CD=^-^.CD=-^-(舍去)，

1313

i.BC=巫,

13

...等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為名叵，

13

故答案為：3或處.

13

【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明AC4E=AS/Z)是解題的

關(guān)鍵.

易錯(cuò)四求立體圖形中兩點(diǎn)距離最短時(shí)無(wú)法找到正確的展開(kāi)方式

例題：（2021?新疆伊犁?八年級(jí)階段練習(xí)）如圖，一只螞蟻從長(zhǎng)為4c加、寬為3cm,高是12c冽的長(zhǎng)方體紙

箱的4點(diǎn)沿紙箱爬到5點(diǎn)，那么它所行的最短路線的長(zhǎng)是。加.

【分析】先將圖形展開(kāi)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短,由勾股定理解答即可.

【詳解】解：如圖

=y/265

如圖

AB=^152+42=4141

如圖

圖3

AB=?2、12=y/193

■：V193<A/24?<^265

它所行的最短路線的長(zhǎng)為：V193

故答案為：V193.

【點(diǎn)睛】本題考查平面展開(kāi)圖一最短路徑問(wèn)題，是重要考點(diǎn)，掌握分類(lèi)討論法是解題關(guān)鍵.

【變式訓(xùn)練】

1.（2022?廣東梅州?八年級(jí)期末）如圖所示，/2CZ1是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)/2=20僅，寬40=10〃?.中間豎有一

堵磚墻高血W=27".一只螞蚱從/點(diǎn)爬到。點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它至少要走的路程.

【答案】26m

【分析】連接NC,利用勾股定理求出/C的長(zhǎng)，再把中間的墻平面展開(kāi)，使原來(lái)的矩形長(zhǎng)度增加而寬度不

變，求出新矩形的對(duì)角線長(zhǎng)即可.

【詳解】解：如圖所示，將圖展開(kāi)，圖形長(zhǎng)度增加2MV,

原圖長(zhǎng)度增加4米，則43=20+4=24（%），

連接NC,

:四邊形N2CD是長(zhǎng)方形，AB=24m,寬/。=10a，

-"-AC=yjAB2+BC2=V242+102=26（加），

...螞蚱從/點(diǎn)爬到C點(diǎn)，它至少要走26m的路程.

故答案為：26m.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平面展開(kāi)最短路線問(wèn)題及勾股定理，根據(jù)題意畫(huà)出圖形是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2022?福建?武平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖1,圓柱形容器高為6cm,底面周長(zhǎng)為6cH7,在杯內(nèi)壁離

杯底2cm的點(diǎn)2處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿2c機(jī)與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)/處，則螞蟻

從外壁N處到達(dá)內(nèi)壁8處的最短距離為

【答案】36

【分析】將杯子側(cè)面展開(kāi)，作4關(guān)于跖的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)H,根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可知H8的長(zhǎng)度即為所求.

【詳解】解：如圖：將杯子側(cè)面展開(kāi)，作A關(guān)于EF的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',

A'B=yjA'D1+BD1=3V5(cm).

答：螞蟻從外壁/處到達(dá)內(nèi)壁8處的最短距離是3石cm.

故答案為：375.

【點(diǎn)睛】本題考查了平面展開(kāi)最短路徑問(wèn)題，將圖形展開(kāi)，利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)和勾股定理進(jìn)行計(jì)算是解題

的關(guān)鍵.同時(shí)也考查了同學(xué)們的創(chuàng)造性思維能力.

3.(2022?廣東韶關(guān)實(shí)驗(yàn)中學(xué)八年級(jí)期中)如圖，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)BE=15cm,寬/3=10cm,高20cm,點(diǎn)

/在8上，且CN=5cm,一只螞蟻如果要沿著長(zhǎng)方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)"，需要爬行的最短距離是

【答案】25

【分析】首先將長(zhǎng)方體沿S、HE、BE剪開(kāi)，向右翻折，使面A8CD和面3即C在同一個(gè)平面內(nèi)，連接

AM-,或?qū)㈤L(zhǎng)方體沿CH、GD、G”剪開(kāi)，向上翻折，使面/BCD和面。C〃G在同一個(gè)平面內(nèi)，連接

或?qū)㈤L(zhǎng)方體沿N3、AF、￡尸剪開(kāi)，向下翻折，使面C8E"和下面在同一個(gè)平面內(nèi)，連接然后分別在

RtAADM與RtMBM與RtAACM,利用勾股定理求得的長(zhǎng)，比較大小即可求得需要爬行的最短路程.

【詳解】解：將長(zhǎng)方體沿C"、HE、BE剪開(kāi)，向右翻折，使面N3CD和面在同一個(gè)平面內(nèi)，連接

AM,如圖1,

G_______H

CM

圖1圖2圖3

由題意可得：MD=MC+CD=5+\0=15cm,AD=20cm,

在中，根據(jù)勾股定理得：AM=y]i52+202=25cm；

將長(zhǎng)方體沿C//、GD、