2024-2025學(xué)年度七年級數(shù)學(xué)上冊第1章有理數(shù)重難點講解

第1章有理數(shù)（1）——重難點

內(nèi)容范圍：

?重難點知識導(dǎo)航

直點才

知識點一：有理數(shù)的概念及分類

1.正數(shù)和負(fù)數(shù)

比較項目正數(shù)負(fù)數(shù)

概念大于零的數(shù)小于零的數(shù)

表示“+”號可以省略號不能省略

意義增加，收入，上升，等減少，支出，下降，等

2.有理數(shù)的分類

類型整數(shù)分?jǐn)?shù)

正數(shù)正整數(shù)正分?jǐn)?shù)

零零X

負(fù)數(shù)負(fù)整數(shù)負(fù)分?jǐn)?shù)

3.三類“非”數(shù)

類型正數(shù)零負(fù)數(shù)

非負(fù)數(shù)7qX

非正數(shù)XNq

非零數(shù)qXq

例1.

1.紐約、悉尼與北京的時差如下表（正數(shù)表示同一時刻比北京時間早的時數(shù)，負(fù)數(shù)表示同

一時刻比北京時間晚的時數(shù)）:

城市悉尼紐約

時差/時+2-13

當(dāng)北京10月9日23時，悉尼、紐約的時間分別是（）

A.10月10日1時；10月9日10時

B.10月10日1時；10月8日10時

C.10月9日21時；10月9日10時

D.10月9日21時；10月10日12時

例2.

133

2.把下列各數(shù)填入相應(yīng)的集合內(nèi).一10,8,-7-,3-,-10%,—,2,0,3.14,-67,

24101

3

0.618,-1,0.3080080008...

7

正數(shù)集合｛

負(fù)數(shù)集合｛

整數(shù)集合｛

分?jǐn)?shù)集合｛

變式1.

2

3.如圖，兩個圈分別表示正數(shù)集和整數(shù)集，請你從-3,9,0,-10%,3.14,亍，1300這

試卷第2頁，共8頁

些數(shù)中，選擇適當(dāng)?shù)臄?shù)填入圖中相應(yīng)的位置.

4.我們把整數(shù)和分?jǐn)?shù)統(tǒng)稱為“有理數(shù)”，那為什么叫有理數(shù)呢？有理數(shù)在英語中是

“raticmalnmibe*,而“力加㈤”通常的意思是“理性的”，中國近代譯著者在翻譯時參考了這

種方法，而這個詞的詞根“心，。”源于古希臘，是“比率”的意思、，這個詞的意思就是

整數(shù)的“比”，所謂有理數(shù)，就是可以寫成兩個整數(shù)之比的形式的數(shù).

⑴對于0.3是不是有理數(shù)呢？我們不妨設(shè)0.3=x，則10x0.3=10x，即3.3=10尤，故

3+0,3=10%＞即3+x=10x，解得x=；，由此得：無限循環(huán)小數(shù)有理數(shù)（填“是”或“不

是，）；

⑵請仿照（1）的做法，將0,6寫成分?jǐn)?shù)的形式（寫出過程）；

⑶在，仁。，-9,0.知6.21中，屬于非負(fù)有理數(shù)的是.

■點/

知識點二：數(shù)軸及有理數(shù)大小比較

1.數(shù)軸上常見模型

模型圖形關(guān)系

兩點間的AB

AB=\a-b

距離aob

動點尸到

PA+PB>AB,

A8兩點

APB

AB=\a-b\

的距離之----------1--------------1~~1------------------------J--?

a0b

和的最小最小值為。-4

值

a

點的左右AP<---------B

??1A左減右加

平移0b

找出循環(huán)規(guī)律，等邊三角

數(shù)軸上翻(?B

，，形的循環(huán)次數(shù)是3,正方

轉(zhuǎn),D4???i>

-4-3-2101234形的循環(huán)次數(shù)是4,

若點48是折疊后的重

合點，對折點為尸，則

APB

數(shù)軸折疊---------11-1>

aocbc-a=b-c,或者：

a+b

c=---

2

2.有理數(shù)的大小比較

方法依據(jù)步驟

在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的1.數(shù)軸表示2.根據(jù)左右位置

數(shù)軸法

數(shù)大比大小；

1.確定類型，選擇法則；2.根

口訣法（法正數(shù)大于零，負(fù)數(shù)小于零，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，據(jù)法則比較大?。?/p>

則）兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的反而小3.如果是兩個負(fù)數(shù)，需要先比

較絕對值；

例1.

5.等邊VABC在數(shù)軸上的位置如圖所示，點A、C對應(yīng)的數(shù)分別為。和-1.若VABC繞頂

點沿順時針方向在數(shù)軸上連續(xù)翻轉(zhuǎn)，翻轉(zhuǎn)一次后點B所對應(yīng)的數(shù)為1,則連續(xù)翻轉(zhuǎn)2023次

后點8所對應(yīng)的數(shù)是（）

B

，C]\A，，，

-2-10123

A.不對應(yīng)任何數(shù)B.2021C.2022D.2023

例2.

6.給出下面六個數(shù)：

試卷第4頁，共8頁

_3

2.5,1,—2,—2.5,0,

2

⑴先畫出數(shù)軸，再把表示上面各數(shù)的點在數(shù)軸上表示出來.

(2)用“<”將上面的各數(shù)連接起來.

變式1.

7.我們知道數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，例如|3-1|可表示為數(shù)軸上3和1這

兩點的距離，而|3-1|即則表示3和-1這兩點的距離.式子卜-1|的幾何意義是數(shù)軸

上x所對應(yīng)的點與1所對應(yīng)的點之間的距離，而|尤+2]=|尤-(-2)|,所以|x+2|的幾何意義就

是數(shù)軸上x所對應(yīng)的點與-2所對應(yīng)的點之間的距離.根據(jù)以上發(fā)現(xiàn)，則|x+4|+|x-6|的最小

值為.

變式2.

8.已知數(shù)軸上點A,8對應(yīng)的數(shù)分別為a,b,且％=。+2,點尸在線段A3上，點”為數(shù)

軸上一動點，其對應(yīng)的數(shù)為相.我們規(guī)定：點M到點尸的距離的最小值為點M到線段48的

“到達(dá)距離”.

M

?????1111111111111A

—8-7-6-5-43-2-10123456789

圖1

-8-7-6-5-4^3-2-10123456789

備用圖

⑴如圖1,當(dāng)點M與數(shù)軸上原點重合時，

①如果a=-3,那么點M到線段AB的“到達(dá)距離”是；

②如果點M到線段AB的“到達(dá)距離”是2,那么a=；

⑵當(dāng)點A對應(yīng)的數(shù)。在-2~3之間(包含-2,3)時，如果點M到線段A8的“到達(dá)距離”始

終大于3,直接寫出機的取值范圍.

直點才

知識點三：相反數(shù)與倒數(shù)

1.相反數(shù)與倒數(shù)比較

比較

相反數(shù)倒數(shù)

項目

乘積為1的兩個

定義只有正負(fù)號不同的兩個數(shù)互為相反數(shù)

數(shù)互為倒數(shù)

a的倒數(shù)是

法則。的相反數(shù)是一。

-(a^O)

a

1互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上表示的點在原點的兩側(cè)，到原點若〃力互為倒數(shù)，

性質(zhì)

的距離相等；2.若互為相反數(shù)，貝|a+6=0,：=-1(620)則ab=\

b

特殊倒數(shù)等于本身的

相反數(shù)等于本身的數(shù)是0

數(shù)數(shù)是±1

例1.

9.如圖，數(shù)軸上的單位長度為1,有三個點A,B,C.若C,B兩點表示的數(shù)互為相反數(shù),

則圖中點A表示的數(shù)是()

-ACB”

A.2B.1C.-2D.-4

例2.

10.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的是()

A.-(+7)與+(-7)B.—0.5與+(-0.5)

D.

變式L

11.如圖，四個有理數(shù)機，"，P,q在數(shù)軸上對應(yīng)的點分別為“，N,P,。，若〃+4=0,

則加，“，P,4四個數(shù)中負(fù)數(shù)有()個

PNMQ

-----1A1AA1----1----A---1->

A.1B.2C.3D.4

變式2.

12.已知°、b互為相反數(shù)，c、1互為倒數(shù)，加|=2010,則巴也+4_|川=.

m

試卷第6頁，共8頁

知識點四：絕對值

1.絕對值的概念及性質(zhì)

概念

及性表述運用

質(zhì)

在數(shù)軸上，一個數(shù)所對的點到原點的1.用絕對值求數(shù)軸上兩點之間的距離；

概念

距離叫做這個數(shù)的絕對值2.用數(shù)軸求多個絕對值之和的最小值；

,,fa(a>0)

法則“-a(a<0)L化簡絕對值；2.計算；

1.判斷式子的正負(fù)；2.求極值；

1.|?|>0；2.若尤=同，貝|%=±a；

性質(zhì)3.已知絕對值，求原數(shù)；

3.若同+網(wǎng)=0,則a=0,0=0

4.非負(fù)數(shù)原理的運用；

例1.

13.有理數(shù)”,4c在數(shù)軸上的位置如圖所示.下列式子母送的是()

abc

-101”

A.a<b<cB.|a-^|=-(?-&)C.|a-l|=a-lD.\c-d\=c-a

例2.

14.數(shù)學(xué)實驗室：點A、8在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b,A、8兩點之間的距離表示為AB,

在數(shù)軸上A、8兩點之間的距離AB=|a-6|.

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問題：

(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是一，數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是二

(2)數(shù)軸上若點A表示的數(shù)是了,點B表示的數(shù)是-2,則點A和8之間的距離是_，若筋=2,

那么x為」

(3)利用數(shù)軸,求|x+2|+|x-1|的最小值」

(4)當(dāng)天是_時，代數(shù)式|無+2|+|龍-[=5；

變式1.

15.對于若干個數(shù)，先將每兩個數(shù)作差，再將這些差的絕對值進行求和，這樣的運算稱為對

這若干個數(shù)的“差絕對值運算”，例如，對于1，2,3進行“差絕對值運算“，得到：

|1-2|+|2-3|+|1-3|=4.

①對2,-3,5,9進行“差絕對值運算”的結(jié)果是39；

②尤，-3,6的“差絕對值運算”的最小值是9；

③a,b,c的“差絕對值運算”化簡結(jié)果可能存在的不同表達(dá)式一共有7種；

以上說法中正確的個數(shù)為()

A.3個B.2個C.1個D.0個

變式2.

16.小宇是七年級(1)班數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)小組長，他想帶領(lǐng)本小組同學(xué)一起復(fù)習(xí)絕對值的相關(guān)知

識，整理了以下題目：

(1)|-5|=；

(2)若岡=4,則x的值為；

(3)若|"3|與|26-4|互為相反數(shù)，則；

(4)若|x+3|+卜-2|=5,則所有符合條件的整數(shù)無的和為；

(5)有理數(shù).、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡|a+〃+|a-c|+|6-c|的結(jié)果是；

~~Cb6_a__

(6)若你是學(xué)習(xí)小組成員，請針對絕對值的復(fù)習(xí)給大家提一條復(fù)習(xí)建議.

試卷第8頁，共8頁

參考答案:

1.A

【分析】本題主要考查了正數(shù)和負(fù)數(shù)，掌握題意是解題的關(guān)鍵.由統(tǒng)計表得出，悉尼比北京

早2小時，紐約比北京晚13小時，計算即可.

【詳解】解：悉尼的時間：10月9日23時+2小時=10月10日1時；

紐約的時間：10月9日23時-13小時=10月9日10時.

故選A.

2.見解析

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類：有理數(shù)分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)；有理數(shù)分為正有理數(shù)、0、負(fù)

有理數(shù)；整數(shù)分為正整數(shù)、0、負(fù)整數(shù).根據(jù)有理數(shù)的分類在所給的數(shù)中分別找出正數(shù)、負(fù)

數(shù)、整數(shù)、分?jǐn)?shù).

333

【詳解】正數(shù)集合｛8,3-,—,2,3.14,0.618,0.3080080008............｝；

負(fù)數(shù)集合｛一10，-7；,-10%,-67,-1

整數(shù)集合｛-10,8,2,0,-67,-1

1333

分?jǐn)?shù)集合｛-7],3-,-10%,—,3.14,0.618

3.見解析

【分析】本題考查了有理數(shù)的分類.正數(shù)集合與整數(shù)集合的交集是正整數(shù)集合.注意數(shù)字0,

它不屬于正數(shù)和負(fù)數(shù)，是整數(shù).根據(jù)正數(shù)及整數(shù)的概念進行區(qū)分判斷，兩個集合里都含有的

數(shù)就是符合條件的數(shù).

2

【詳解】解：-3,9,0,-10%,3.14,亍，1300中，

2

屬于正數(shù)的有：9,3.14,1300；

屬于整數(shù)的有：-3,9,0,1300.

所以既是正數(shù)也是整數(shù)的是9,1300.

答案第1頁，共9頁

4.⑴是

⑶亍，0,0.43，16.2

【分析】(1)根據(jù)有理數(shù)的概念求解即可；

(2)根據(jù)題目中給出的運算方法；

(3)根據(jù)有理數(shù)的概念求解即可.

【詳解】(1)由解題過程可知，無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，

故答案為：是；

(2)設(shè)0.6=x,貝I]10X0.6=10X,

即6.6=10x,

故6+0.6=10x>

BP6+x=10x,

2

解得x=

2

即o.6=§；

(3)在1-1產(chǎn),0,-9,0.始,16.21中，屬于非負(fù)有理數(shù)的是1，0,0.43,16.2,

故答案為：學(xué)22，0,0,43,16.2.

【點睛】此題考查了有理數(shù)的概念，無限循環(huán)小數(shù)轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌

握有理數(shù)的概念.

5.D

【分析】根據(jù)VABC是等邊三角形，找出它的運動規(guī)律并進行計算即可.

【詳解】解：由題意可得，

每3次翻轉(zhuǎn)為一個循環(huán)組依次循環(huán)

,?2023+3=674.....1,

翻轉(zhuǎn)2023次后點B在數(shù)軸上，

.,.點B對應(yīng)的數(shù)是674x3+1=2023.

故選：D.

【點睛】本題考查了數(shù)軸，找到VABC的運動規(guī)律是解決此類問題的關(guān)鍵.

答案第2頁，共9頁

6.（1）見解析

3

（2）-2.5<-2<--<0<1<2.5

【分析】本題主要考查了用數(shù)軸表示有理數(shù)，利用數(shù)軸比較有理數(shù)的大小，求一個數(shù)的絕對

值和化簡多重符號：

（1）在數(shù)軸上表示出各數(shù)即可；

（2）根據(jù)（1）所畫數(shù)軸結(jié)合數(shù)軸上左邊的數(shù)小于右邊的數(shù)用小于號將各數(shù)連接起來即可.

【詳解】（1）解：數(shù)軸表示如下所示：

,3

（2）解：由（1）得一2.5v—2<—<0<1<2.5.

2

7.10

【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點間的距離，由題意可知|x+4|+|x-6|表示的是一個數(shù)到T和

6的距離的和，而T和6間的距離為10,據(jù)此即可求解，理解兩點間的距離，就是兩個點

表示的有理數(shù)的差的絕對值是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：：,+4|+卜-6|表示的是一個數(shù)到-4和6的距離的和，而-4和6間的距離為10,

，k+4|+卜一6|的最小值為10,

故答案為：10.

8.⑴①1；②-4或2

（2）7〃<一5或加>8

【分析】本題主要考查了數(shù)軸上兩點間的距離，數(shù)軸上的動點問題：

（1）①根據(jù)“到達(dá)距離”的定義，即可求解；②根據(jù)“到達(dá)距離”的定義，即可求解；

（2）根據(jù)題意可得點8對應(yīng)的數(shù)a在。?5之間（包含0,5）,再由“到達(dá)距離”的定義，可

得加<-2—3=-5或機>5+3=8,即可求解.

【詳解】（1）解:①3,

".b=a+2=—\,

:點M與數(shù)軸上原點重合，

答案第3頁，共9頁

.??點M到線段AB的“到達(dá)距離”是1；

故答案為：1

②：點M到線段AB的“到達(dá)距離”是2,

，。=2或。+2=—2,

a=T或2；

故答案為：-4或2

(2)解：：點A對應(yīng)的數(shù)。在-2~3之間(包含-2,3),b=a+2,

，點8對應(yīng)的數(shù)。在。?5之間(包含0,5),

V點M到線段A8的“到達(dá)距離”始終大于3,

，機＜-2—3=-5或機＞5+3=8,

即m的取值范圍為帆＜-5或MI＞8.

9.D

【分析】本題考查數(shù)軸上表示的數(shù)，根據(jù)相反數(shù)在數(shù)軸上的位置確定原點的位置是解題的關(guān)

鍵.根據(jù)點夙C表示的數(shù)互為相反數(shù)得到數(shù)軸原點的位置，讀出點A表示的數(shù)即可求解.

【詳解】解：根據(jù)點8、C表示的數(shù)互為相反數(shù)，可得圖中點。為數(shù)軸原點，

?111??????

ACDB

.,.點A對應(yīng)的數(shù)是-4,

故選：D.

10.D

【分析】本題考查相反數(shù)的定義，熟練掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.根據(jù)相反數(shù)的定義

進行判斷即可.

［詳解］解：7-(+7)=-7,+(-7)=-7,

，-(+7)=+(-7),故A不符合題意;

V+(-0.5)=-0.5,故B不符合題意;

154

???一『_"與二不互為相反數(shù)，故C不符合題意;

W0woJ

???+(小四與十焉)

互為相反數(shù)，故D正確;

答案第4頁，共9頁

故選：D.

11.C

【詳解】本題主要考查了數(shù)軸和正負(fù)數(shù)，先根據(jù)相反數(shù)的意義，確定原點，再根據(jù)各數(shù)在原

點的位置確定數(shù)的正負(fù)，根據(jù)相反數(shù)的意義確定原點的位置是解決本題的關(guān)鍵.

【解答】解：：〃+q=0,

???〃與q互為相反數(shù)，

原點為0,如圖：

PNMOQ

----111AAA111->

則在原點左側(cè)的數(shù)有三個，

即加，“，P,4四個數(shù)中負(fù)數(shù)有3個.

故選：C.

12,-2009

【分析】根據(jù)題意得到“+6=。,4=1M=2010或-2010,再代入如即可求解.

m

【詳解】解：因為。、b互為相反數(shù)，c、d互為倒數(shù)，

所以。+/?=0,4=1,m=2010或一2010,

所以^^+4-|"7|=°+1-2010=0+1—2010=—2009.

mm

【點睛】本題考查了相反數(shù)、倒數(shù)的定義，絕對值的意義，有理數(shù)的運算等知識，理解相關(guān)

概念并正確進行計算是解題關(guān)鍵.

13.C

【分析】本題主要考查了根據(jù)數(shù)軸上點的位置判斷式子符號，化簡絕對值，先根據(jù)數(shù)軸得到

一,進而得至!Ja—bvO,<7-1<0,c—a>0,據(jù)此化簡絕對值即可得到答案.

【詳解】解：由題意得，，

??CL—Z?<0,(2—1<0,C—Q>0,

工—(a-/?),_1|——(a_1),|c-6z|—c_a,

???四個選項中只有C選項中的式子錯誤，符合題意，

故選：C.

14.(1)3,4

⑵|x+2|,T或0

答案第5頁，共9頁

(3)3

⑷一3或2

【分析】本題考查兩點間的距離.絕對值的意義，熟練掌握兩點間的距離公式，利用數(shù)形結(jié)

合的思想進行求解，是解題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)兩點間的距離公式進行計算即可；

(2)根據(jù)兩點間的距離公式進行計算即可；

(3)設(shè)表示x的點為M,表示-2的點為A,表示1的點為8,則,+2|+k-1|是點M'與點A

的距離與點M與點B的距離之和.結(jié)合數(shù)軸，根據(jù)點M的位置分類討論計算+MB

即可；

(4)由(3)可得當(dāng)彳<一2或彳>1時，|x+2|+|x—l|=5才成立，分x<—2和x>l兩種情況，

去掉絕對值符號，求解即可.

【詳解】(1)數(shù)軸上表示2和5的兩點之間的距離是|2-5|=3,

數(shù)軸上表示1和-3的兩點之間的距離是|1-(-3)|=4.

故答案為：3,4

(2)表示數(shù)x的點A和表示-2的點B之間的距離AB=|x-(-2)|=|x+2|,

若AB=2,則點A到點8的距離為2,

:點8表示的數(shù)是-2,

...點A表示的數(shù)是T或0,

為-4或0.

故答案為：|x+2|,T或0

(3)設(shè)表示x的點為表示-2的點為A,表示1的點為8,則|x+2|+|x-l|是點M與點A

的距離與點M與點B的距離之和，即|x+2|+|x—1|=MA+MB.

若點M在點A的左側(cè)，即x<-2,如下圖：

MAB

l.ljIIjIII?

-4-3-2-101234

答案第6頁，共9頁

VAB=|-2-l|=3,

|x+2|+|x-1|>3；

若點"在線段45上，即-2WxWl,如下圖：

AMB

IIJl.lJIII/

-4-3-2-101234)

則MA+MB=AB,

|%+2|+|x—1|=3；

若點〃在點2的右側(cè)，即尤>1,如下圖：

ABM

II▲II1l.lI>

-4-3-2-101234

則M4+MB>AB,

VAB=|-2-l|=3,

|x+2|+|x-1|>3；

綜上所述，|x+2|+|%-l|>3,即|x+2|+|x—1］的最小值為3.

故答案為：3

(4)由(3)可得當(dāng)x<-2或x>l時，|x+2|+|x-1=5才成立，

當(dāng)x<-2時，|x+2|+|x-=5可化為：—x—2—x+l=5,

解得：x=-3,

當(dāng)x>l時，|x+2|+|x—=5可化為：x+2+x-l=5,

解得：x=2,

綜上，當(dāng)彳=一3或2時，,+2|+,一1|=5.

故答案為：-3或2

15.C

【分析】本題考查了新定義運算，化簡絕對值符號，整式的加減運算.①根據(jù)“差絕對值運

算”的運算方法進行運算，即可判定；②根據(jù)“差絕對值運算”的運算方法進行運算，即可判

定；③首先根據(jù)“差絕對值運算”的運算方法進行運算，再分類討論，化簡絕對值符號，即可

判定.

答案第7頁，共9頁

【詳解】解：對2,-3,5,9進行“差絕對值運算”得：

|2-(-3)|+|2-5|+|2-9|+|-3-5|+|-3-9|+|5-9|

=5+3+7+8+12+4

=39,故①正確；

對無，—3,6進行“差絕對值運算"得：|^+3|+|J;—6|+|—3—6|=|x+3|+|^—6|+9,

卜+3|+卜-6|表示的是數(shù)軸上點苫到_3和6的距離之和，

，當(dāng)-3Vx<6時，|x+3|+|x-6|有最小值，最