2024-2025學(xué)年浙江省臺州市某中學(xué)高二（上）月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

2024-2025學(xué)年浙江省臺州市書生中學(xué)高二(上)月考數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.已知點4(2,—3),B(—3,—2)直線1過點且與線段4B相交，則直線/的斜率k的取值范圍是()

313

A.(-oo,-4]U[-,+oo)B.(一8,一力U[-,+oo)

C.[一4梳]D.[1,4]

2.。為空間任意一點，若麗=一那+髀+t沃，若4B,C,P四點共面，貝亞=()

111

A.1B-C-D-

Zo4

3.過點4(1,4)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為()

A.x—y+3=0B.%+y-5=0

C.4x—y=0或％+y—5=0D,4x—y=0或久一y+3=0

4.設(shè)直線Z：%+y-1=0,一束光線從原點。出發(fā)沿射線y20)向直線Z射出，經(jīng)，反射后與第軸交于

點M,再次經(jīng)久軸反射后與y軸交于點N.若而=乎，貝總的值為()

O

321

A.-B.-C.-D.2

二、填空題：本題共1小題，每小題5分，共5分。

5.已知m：(a-l)x+(2a+3)y-a+6=0,當(dāng)坐標(biāo)原點。到直線m的距離最大值時，a=.

三、解答題：本題共8小題，共96分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

6.(本小題12分)

如圖，在平行六面體ABCD-AB'C'D'中，AB=4,AD=3,AA'=5,/.BAD=ABAA'=Z.DAA'=60°,

且點尸為8C'與B'C的交點，點E在線段AC'上，且AE=2EC'.

(1)求力C'的長；

=xAB+yAD+zAA',求久，y,z的值.

(3)而與宿所成角的余弦值.

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7.(本小題12分)

已知直線/的斜率為3,縱截距為-1.

(1)求點(2,4)關(guān)于直線珀勺對稱點坐標(biāo)；

(2)求與直線I平行且距離為3的直線方程.

8.(本小題12分)

在菱形2BCD中，對角線BD與x軸平行，D(-3,l),4(一1,0),點E是線段4B的中點.

(1)求點8的坐標(biāo)；

(2)求過點4且與直線DE垂直的直線.

9.(本小題12分)

如圖，兩個等腰直角△P4C和△ABC,AC=BC,PA=PC,平面P4C1平面ABC,M為斜邊力B的中點.

(1)求證：AC1PM；

(2)求二面角P-CM-B的余弦值.

10.(本小題12分)

22

(1)已知直線人：ax—2y=2a—4,l2：2x+ay=2a+4,當(dāng)0<a<2時，直線h，%與兩坐標(biāo)軸圍成一

個四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時，求實數(shù)a的值；

(2)已知直線Z過點P(3,2),且與x軸、y軸的正半軸分別交于4B兩點，如圖所示，求△4B。的面積的最小

值及此時直線I的方程.

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11.(本小題12分)

平面直角坐標(biāo)系中，圓M經(jīng)過點4(居1),B(0,4),C(-2,2).

⑴求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)。(0,1),過點D作直線內(nèi),交圓M于P,Q兩點，P,Q不在y軸上.

⑴過點。作與直線。垂直的直線以交圓M于E,F兩點，記四邊形EPFQ的面積為S,求S的最大值；

(ii)設(shè)直線OP,BQ相交于點N,試討論點N是否在定直線上，若是，求出該直線方程；若不是，說明理由.

12.(本小題12分)

如圖，在四棱錐P—4BCD中，平面PCD1平面4BCD,且△PCD是邊長為2的等邊三角形，四邊形ABCD是

矩形，BC=2^/2,M為BC的中點.

(1)求直線PB與平面4MP所成角的正弦值；

(2)求點。到平面4MP的距離.

13.(本小題12分)

如圖4,在三棱臺力BC-4/忑1中，底面△ABC是邊長為2的正三角形，側(cè)面力(7的4為等腰梯形，且公的

=441=1,D為41cl的中點.

(1)證明：AC1BD；

(2)記二面角Ai-AC-B的大小為d8￡百芻時，求直線A4i與平面所成角的正弦值的取值范圍.

?5

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參考答案

l.A

2.C

3.0

4.B

6.解：(1')--AC=AC+CC=AB+AD+A47,

又ZB=4,AD=3,AA'=5,/.BAD=^BAA'=^.DAA'=60°,

---?2-->2-->2---*2-->-->-->---7--->----)

??.4C'=AB+AD+44'+2(245-AD+AB-AAf+AD-AA'}

=42+32+52+2x(4x3x1+4x5x1+3x5x=97,

AC,=A/97；

(2)由題意，可得加=加+黃二界—軻

=^(AB+AD++ZT)=

11

xy=z=飛

⑶由麗=前一相

可得|而|二J(AD-AB)2=JAD2-2AB-AD+AB2

=J9+16-2x4x3xI=713,

又麗?宿=(AD-AB)■(AB+AD+研

-->-->-->2--?---i-->2-->--?--?----i

=AD-AB+AD+AD-AA-AB-AB?AD-AB-AA

111119

=3x4x-+9+3x5x--16-4x3x-4x5x-=—―,

乙乙乙乙乙

麗

故cos<BD,AC'》—-----Z---_______2___1971261

一I畫砌一gxF2522'

則而與前所成角的余弦值為-1吵坐.

7.解：已知直線1的斜率為3,縱截距為-1,則方程為：y=3x-1,

(1)設(shè)點(2,4)為點4貝必關(guān)于直線/的對稱點坐標(biāo)為4(。力)，

則直線A4'與直線Z垂直，貝林44?的=—1，即"x3=—1①,

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且44的中點(亨，號)在直線I上，所以號=3x號—1②，

聯(lián)立①和②，解得a=l，b=卷，

所以點(2,4)關(guān)于直線1的對稱點坐標(biāo)為《食

(2)設(shè)所求的直線為匕因為直線Y與直線1平行且距離為迎，

又因為直線/方程為：y=3x-l,即3久-y-l=0,

所以可設(shè)直線廠的方程為：3%-y+c=0,

利用兩平行線間的距離公式得：

J；4=聞,解得c=9或—11,

所以與直線/平行且距離為四的直線方程為：3x-y+9=0或3%-)/-11=0.

8.解:(1)???四邊形4BC0為菱形,BO〃x軸,???4C1久軸，可設(shè)

\AD\=\CD\,:.J(-3+I)?+(1-0)2=忒-3+1)2+(l-t)2,

解得：t=0(舍)或t=2,C(-l,2).

A,C中點坐標(biāo)為(—1,1),

由于。(一3,1),且(-1,1)是B,D中點，B點坐標(biāo)為(1,1),

(2)2(—1,0),由中點坐標(biāo)公式得E(0,與，

又D(-3,1),kDE=

則過點4且與直線DE垂直的直線斜率為：6,

:?所求直線方程為：y-6x+6,即6尤一y+6=0.

9.(1)證明：取AC中點D,連接MD,PD,如圖，

又M為4B的中點，所以MD〃BC,又力C1BC,則MD1AC,

又△P4C為等腰直角三角形，PA1PC,PA=PC,

所以PD1AC,又MDnPD=D,MD,PDu平面PMD,

所以AC1平面PMD,又PMu平面PMD,

所以AC1PM；

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(2)解:由(1)知，PD1AC,又平面P4C1平面ABC,

平面PACC平面力BC=AC,PDu平面PAC,

所以PD1平面4BC,即PD,AC,DM兩兩互相垂直，

故以。為原點，~DA,DM,而為x、y、z軸正方向，

建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)4c=2,則4(1,0,0),5(-1,2,0),C(-1,0,0),P(0,0,l),

所以而=(1,0,1),CM=(1,1,0),

設(shè)元=Q,y,z)為平面PCM的一個法向量，由￡_L而，nlCM,

則有［而硬=x+y=0,令z=L§Pn=(-1,1,1),

取平面BCM的一個法向量為溫=(0,0,1),

則cos(m,n)===+=號，

\m\?|n|7J3

由圖可知，二面角P—CM-B的平面角為鈍角，

故二面角P-CM-B的余弦值為-圣

10.解:(1)由于直線dx—2y=2ci—4,

當(dāng)久=0時，y=2—a,即直線h和y軸交于點A(0,2—a),

由于直線％：2%+a2y=2a2+4,

當(dāng)y=0時，x=a2+2,即%與久軸交于點。(小+2,0),

易知：A和，2均經(jīng)過定點(2,2),即兩直線交于點8(2,2),

如圖所示：

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x22

則四邊形ABC。的面積S=SAA0B+BOC=,*(2-a)2+x(a+2)x2=(a—|)+半N容

即當(dāng)a=：時，S=^-,

L4,min

所以四邊形的面積最小時，a=|.

(2)由題意設(shè)直線l的方程為?+(=l(a>0,b>0),所以(+W=L

由基本不等式可得三+122O,當(dāng)且僅當(dāng)3=4，即a=6,b=4時等號成立，

ab7abab

所以ab>24.

所以△力B。的面積S=^ab4X24=12,

即△力B。的面積的最小值為12,此時直線/的方程為R3=1,即2久+3y-12=0.

所以△AB。面積的最小值為12,此時直線/的方程為2x+3y-12=0.

1L解：①設(shè)圓M的方程為(x-a)2+(y-b)2=7-2,

,(A/3—a)2+(1—6)2=r2(a=0

則,(0-a)2+(4—6)2=r2,解得b=2,

2

,(-2-a)+(2—6)2=r2b2=4

所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為#+(y-2)2=4；

(n)設(shè)直線。的方程為y=kx+1,Bp/cx-y+1=0,

則圓心(0,2)到直線人的距離心=慌;?=J

所以IPQI=22三=2

(i)若k=0,則直線已斜率不存在，

則|PQ|=2?\EF\=4,

則S=||EF|-|PQ|=4后

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若k*0,則直線L得方程為y=—a+1，即％+ky-k=0,

K

k

則圓心(0,2)到直線的距離d2=下百，

所以附=25一號=2帶獸,

則S=1|FF|-\PQ\=2J4k2,即：“=2；1^霽￥

=2&+君七=2；12+/+&+2±2『2+］心噎+F=7,

當(dāng)且僅當(dāng)/=2，即卜=±1時，取等號,

綜上所述，因為7=陷＞44，

所以S的最大值為7；

(九)設(shè)PQiM，Q(x2,y2),

聯(lián)立｛；=k^~+\—4,消y得(/+1)/-2日一3=0,

2女—3

則+%2=應(yīng)"工7562=后工7,

直線。P的方程為y=3，

人1

直線BQ的方程為y+4,

人2

'y=—x

聯(lián)立y=Mx+4,解得久=WS?

,X2

n?_2^14%I%2_4yi%2_4(Zcxi+1)尤2_4kxiq+4%2_—6%i—2%2

人-%i3%i+%2-3%i+%2-3%i+%2—3%i4-%2-3%i+%2

所以N段鞋■「2),

所以點N在定直線y=—2上.

12.解：(1)如圖,取。C中點為。，2B中點為G,連接OG,

由題設(shè)可知，OP_L平面力BCD,

故以點。為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

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貝IJO(OOO),尸(0,0,避)，71(272-1,0),

8(2",1,0),M(也1,0),

設(shè)平面/MP的一個法向量為元=(x,y,z)f

尸Z=(2避1,-避)，PM=(m,1,一避),

^.,(PA-n=0_r/p,f2V2x—y—=0

則由｛而刀=O'可用I送X+y—&=o;

令y=1,可得x=避，y=^/3,

故平面4MP的一個法向量為7=(裾,1,4)，

記直線PB與平面力MP所成角為a,而=(2避,1,一避)，

所以sina=|cos(P5,n)|=|篇司=加言語=今

故直線PB與平面力MP所成角的正弦值為座；

(2)如圖，平面PC。1平面4BCD,四邊形2BCD是矩形,

因為四邊形ABCD是矩形，所以BC1CD,AD1CD,

又平面PC。C平面ABC。=CD,BC,ADu平面ABC。,

所以AD1平面PCD,BC1平面PCD,

故401PD,BC1PC,

在直角△PCM中，PC=2,CM=",貝i]PM=y/6,

在直角△ABM中，AB=2,BM="，貝IjAM=

在直角△PCM中，PD=2,AD=2避，貝！jPA=2避，

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貝！I有PM?+AM2=PA2,即力M1PM；

同理可求得4。=3,MO=y/3,

設(shè)點。到平面4Mp的距離為h,

11

由Up—/