第15講導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題(學(xué)生版) 備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)幫(天津?qū)S茫第1頁(yè)
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PAGE1第15講導(dǎo)數(shù)與不等式問(wèn)題(5類核心考點(diǎn)精講精練)1.5年真題考點(diǎn)分布5年考情考題示例考點(diǎn)分析2024年天津卷,第20題,16分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題由導(dǎo)數(shù)求求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)函數(shù)的最值(含參)2023年天津卷,第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題2022年天津卷,第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究不等式恒成立問(wèn)題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零2021年天津卷,第20題,16分求在曲線上一點(diǎn)處的切線方程(斜率)利用導(dǎo)數(shù)研究能成立問(wèn)題函數(shù)極值點(diǎn)的辨析2020年天津卷,第20題,16分利用導(dǎo)數(shù)證明不等式2.命題規(guī)律及備考策略【命題規(guī)律】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容,設(shè)題穩(wěn)定,難度較高,分值為16分【備考策略】1.理解、掌握導(dǎo)數(shù)與不等式的關(guān)系2.能掌握不等式的恒成立與有解問(wèn)題3.具備數(shù)形結(jié)合的思想意識(shí),會(huì)借助圖像解決不等式問(wèn)題4.會(huì)證明不等式問(wèn)題【命題預(yù)測(cè)】本節(jié)內(nèi)容是天津高考卷的必考內(nèi)容,一般給出函數(shù),證明不等式成立,以及求解不等式恒成立及有解問(wèn)題。知識(shí)講解知識(shí)點(diǎn)一.不等式1.恒成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a>f(x)恒成立2.能成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a>f(x)能成立3.恰成立問(wèn)題的轉(zhuǎn)化:a>f(x)在M上恰成立a>f(另一轉(zhuǎn)化方法:若x∈D,fx≥A在D上恰成立,等價(jià)于f(x)在D上的最小值f(x)min4.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對(duì)任意的x5.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對(duì)任意的x16.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),存在x7.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),存在x18.設(shè)函數(shù)f(x)、g(x),對(duì)任意的x1∈[a,b],存在x2∈[c,d],使得f(x1)=g(x2),設(shè)f(9.若不等式fx>g(x)在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D10.若不等式fx<g(x)在區(qū)間D上恒成立,則等價(jià)于在區(qū)間D知識(shí)點(diǎn)二.恒成立問(wèn)題的基本類型在數(shù)學(xué)問(wèn)題研究中經(jīng)常碰到在給定條件下某些結(jié)論恒成立的命題.函數(shù)在給定區(qū)間上某結(jié)論成立問(wèn)題,其表現(xiàn)形式通常有:①在給定區(qū)間上某關(guān)系恒成立;②某函數(shù)的定義域?yàn)槿w實(shí)數(shù)R;③某不等式的解為一切實(shí)數(shù);④某表達(dá)式的值恒大于a等等…恒成立問(wèn)題,涉及到一次函數(shù)、二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象,滲透著換元、化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等思想方法,有利于考查學(xué)生的綜合解題能力,在培養(yǎng)思維的靈活性、創(chuàng)造性等方面起到了積極的作用。因此也成為歷年高考的一個(gè)熱點(diǎn).恒成立問(wèn)題在解題過(guò)程中大致可分為以下幾種類型:一次函數(shù)型;②二次函數(shù)型;③變量分離型;④根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性等性質(zhì);⑤直接根據(jù)函數(shù)的圖象.考點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)與不等式解集問(wèn)題1.(24-25高三·上?!るS堂練習(xí))若函數(shù)y=fx,其中fx=A.0,+∞ B.C.2,+∞ D.2.(2024·山東濰坊·三模)已知函數(shù)fx的導(dǎo)函數(shù)為f'x,且f1=e,當(dāng)A.0,1 B.0,+∞ C.1,+∞ 1.(2024·寧夏銀川·三模)已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線,f'(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù),當(dāng)x>0時(shí),3f(x)+xf'(x)>0A.(1,+∞) C.(?∞,1) 2.(2024·江西南昌·三模)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽,且f2=?1,對(duì)任意x∈R,f(x)+xfA.?∞,1 B.?∞,2 C.3.(23-24高三下·北京·階段練習(xí))已知定義在R上的函數(shù)fx滿足f2+x=f?x,且當(dāng)x>1時(shí),有xf'x4.(23-24高三下·上?!るA段練習(xí))已知函數(shù)fx是定義在R上的偶函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且當(dāng)x<0時(shí),2fx+x5.(2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè))已知定義在0,+∞上的函數(shù)y=fx的導(dǎo)函數(shù)為y=f'x,當(dāng)x>0時(shí),xf'考點(diǎn)二、單變量不等式的證明1.(2023·陜西榆林·二模)已知函數(shù)f(x)=ln(1)討論fx(2)當(dāng)a=2時(shí),證明:fx2.(2024·陜西榆林·三模)已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)當(dāng)m=1時(shí),證明:fx1.(2024高三·全國(guó)·專題練習(xí))設(shè)函數(shù)fx=x+alnx+b,曲線y=f(1)求y=fx(2)證明:fx2.(2024·河北保定·三模)已知函數(shù)f(x)=x2?ax+lnx(1)求a;(2)證明:f(x)≤2x考點(diǎn)三、雙變量不等式的證明1.(2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx(1)求不等式fx(2)若fx的最小值為m,正實(shí)數(shù)a,b滿足1a+2.(2024·貴州黔東南·二模)已知函數(shù)fx=lnx?a(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若x1>x1.(2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=txln(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若a>b>0,證明:lna2.(2024·陜西榆林·一模)已知函數(shù)fx(1)求fx(2)已知α∈0,π2考點(diǎn)四、不等式恒成立問(wèn)題1.(2024高三·全國(guó)·專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)滿足f(x)=ex?x2+2x,若關(guān)于x的不等式f(x)>(2?a)x+12.(24-25高三上·浙江金華·開學(xué)考試)已知函數(shù)fx(1)討論函數(shù)fx(2)當(dāng)x>1時(shí),不等式fx1.(2024·黑龍江大慶·三模)已知a,b∈R,函數(shù)fx=a(1)求fx(2)若fx≥0恒成立,求2.(2024高三·全國(guó)·專題練習(xí))已知函數(shù)fx=xlnx,gx3.(2024·陜西西安·三模)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=fx在點(diǎn)0,f(2)若當(dāng)x≥0時(shí),fx≥1恒成立,求4.(23-24高三上·江蘇南通·階段練習(xí))已知函數(shù)f(x)=ae(1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若f(x)≥2x?x+1恒成立,求實(shí)數(shù)考點(diǎn)五、不等式有解問(wèn)題1.(2023高三·全國(guó)·專題練習(xí))若關(guān)于x的方程5x3=15x?mA.?10,10 B.?10,+∞ C.?∞,?102.(2024·西藏拉薩·二模)已知函數(shù)fx(1)當(dāng)a=0時(shí),求函數(shù)fx(2)若方程fx=ex+11.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx=ex?(1)若φx的最小值為0,求a(2)當(dāng)a<0.25時(shí),證明:方程fx=2x在2.(2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx(1)討論fx3.(23-24高三上·山西呂梁·階段練習(xí))已知函數(shù)fx(1)求fx在x=1(2)若fx≤ax在x∈0,+4.(2024高三·全國(guó)·專題練習(xí))已知函數(shù)fx(1)求函數(shù)fx(2)若對(duì)任意x>0,fx>11.(2022·福建南平·三模)對(duì)任意的x1,x2∈1,3,當(dāng)A.3,+∞ B.3,+∞ C.9,+∞2.(2024·四川成都·二模)在區(qū)間?4,2上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x,使x≤sinA.23 B.12 C.133.(2022·重慶沙坪壩·模擬預(yù)測(cè))若關(guān)于x的方程ex=ax4.(2024·江蘇揚(yáng)州·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx(1)若fx≤0恒成立,求(2)若fx有兩個(gè)不同的零點(diǎn)x1,5.(2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè))已知fx(1)求f'1并寫出(2)證明:f(x)≤x?1.6.(2023·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)f(x)=1(1)求fx(2)證明:ln47.(2024高三·全國(guó)·專題練習(xí))已知函數(shù)fx=ex?1?ax+lnx1.(23-24高三上·陜西咸陽(yáng)·階段練習(xí))已知函數(shù)fx=x2+cosx?1A.?4,4 B.?C.?42,422.(2024·寧夏銀川·模擬預(yù)測(cè))已知a∈N?,函數(shù)fxA.2 B.3 C.6 D.73.(2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè))已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)當(dāng)a≤2時(shí),證明:fx4.(2024高三·全國(guó)·專題練習(xí))設(shè)函數(shù)f(x)=alnx+bx,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1)求a,b;(2)證明:f(x)>e5.(2024·廣西·模擬預(yù)測(cè))設(shè)函數(shù)fx=?aln(1)當(dāng)a=e時(shí),求函數(shù)f(x)(2)證明:fx6.(2024·四川內(nèi)江·三模)已知函數(shù)fx=ln(1)若fx(2)證明:1n+17.(2024·福建福州·三模)已知函數(shù)f(x)=ax?ln(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)若f(x)≥0恒成立,求a的值1.(2024·全國(guó)·高考真題)已知函數(shù)fx(1)求fx(2)當(dāng)a≤2時(shí),證明:當(dāng)x>1時(shí),fx2.(2023·全國(guó)·高考真題)已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)證明:當(dāng)a>0時(shí),fx3.(2023·天津·高考真題)已知函數(shù)fx(1)求曲線y=fx在x=2(2)求證:當(dāng)x>0時(shí),fx(3)證明:564.(2023·全國(guó)·高考真題)(1)證明:當(dāng)0<x<1時(shí),x?x(2)已知函數(shù)fx=cosax?ln5.(2021·全國(guó)·高考真題)已知函數(shù)fx(1)討論fx(2)設(shè)a,b為兩個(gè)不相等的正數(shù),且blna?aln6.(2022·北京·高考真題)已知函數(shù)f(x)=e(1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0))處的切線方程;(2)設(shè)g(x)=f'(x),討論函數(shù)g(x)(3)證明:對(duì)任意的s,t∈(0,+∞),有7.(Ⅰ)若a≤0,討論fx(Ⅱ)若0<a<1(i)證明fx8.(2019·天津·高考真題)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=x2?2ax+2a,x?1,x?alnx,x>1,若關(guān)于A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e【答案】C【解析】先判斷a≥0時(shí),x2?2ax+2a≥0在(?∞,1]上恒成立;若x?alnx≥0在(1,+∞)上恒成立,轉(zhuǎn)化為【詳解】∵f(0)≥0,即a

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