人教版六年級下冊數(shù)學(xué)思維訓(xùn)練講義-第十七講對策問題（含答案）

第十七講對策問題第一部分：趣味數(shù)學(xué)怎樣過河？一個(gè)農(nóng)夫帶著一條狗、一只雞和一袋米去趕集。路上遇到一條河,農(nóng)夫要把這3樣?xùn)|西都運(yùn)過去。然而,只有一條船,而且船很小,每次只能運(yùn)過去一樣?xùn)|西。可是,如果農(nóng)夫不在場,狗要吃雞,雞要去啄米?，F(xiàn)在,請你想一想,農(nóng)夫怎樣才能把這3樣?xùn)|西都運(yùn)過河去,而且不受到任何損失呢?關(guān)鍵是狗不會吃米。因此農(nóng)夫應(yīng)該這樣做:第一步,帶著雞過河。第二步,把雞放在對岸,自己獨(dú)自駕駛小船回到原處第三步,帶著狗過河,到了對岸把狗放下,把雞帶上船,駛回原處。第四步,把雞留在原處,帶著大米過河,放在對岸,然后獨(dú)自劃船回來。最后,帶著雞過河。第二部分：習(xí)題精講專題簡析：同學(xué)們都熟悉“田忌與齊王賽馬”的故事，這個(gè)故事給我們的啟示是：田忌采用了“揚(yáng)長避短”的策略，取得了勝利。生活中的許多事物都蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)道理，人們在競賽和爭斗中總是玩游戲，大至體育比賽、軍事較量等，人們在競賽和爭斗中總是希望自己或自己的一方獲取勝利，這就要求參與競爭的雙方都要制定出自己的策略，這就是所謂“知己知彼，百戰(zhàn)不殆”。哪一方的策略更勝一籌，哪一方就會取得最終的勝利。解決這類問題一般采用逆推法和歸納法。例題1：兩個(gè)人做一個(gè)移火柴的游戲，比賽的規(guī)則是：兩人從一堆火柴中可輪流移走1至7根火柴，直到移盡為止。挨到誰移走最后一根火柴就算誰輸。如果開始時(shí)有1000根火柴，首先移火柴的人在第一次移走多少根時(shí)才能在游戲中保證獲勝。先移火柴的人要取勝，只要取走第999根火柴，即利用逆推法就可得到答案。設(shè)先移的人為甲，后移的人為乙。甲要取勝只要取走第999根火柴。因此，只要取到第991根就可以了（如乙取1根甲就取7根；如乙取2根甲就取6根。依次類推，甲取的與乙取的之和為8根火柴）。由此繼續(xù)推下去，甲只要取第983根，第975根，……第7根就能保證獲勝。所以，先移火柴的人要保證獲勝，第一次應(yīng)移走7根火柴。練習(xí)1：1.一堆火柴40根，甲、乙兩人輪流去拿，誰拿到最后一根誰勝。每人每次可以拿1至3根，不許不拿，乙讓甲先拿。問：誰能一定取勝？他要取勝應(yīng)采取什么策略？2.兩人輪流報(bào)數(shù)，規(guī)定每次報(bào)的數(shù)都是不超過8的自然數(shù)，把兩人報(bào)的數(shù)累加起來，誰先報(bào)到88，誰就獲勝。問：先報(bào)數(shù)者有必勝的策略嗎？3.把1994個(gè)空格排成一排，第一格中放一枚棋子，甲、乙兩人輪流移動棋子，每人每次可后移1格、2格、3格，誰先移到最后一格誰勝。先移者確保獲勝的方法是什么？例題2：有1987粒棋子。甲、乙兩人分別輪流取棋子，每次最少取1粒，最多取4粒，不能不取，取到最后一粒的為勝者。現(xiàn)在兩人通過抽簽決定誰先取。你認(rèn)為先取的能勝，還是后取的能勝？怎樣取法才能取勝？從結(jié)局開始，倒推上去。不妨設(shè)甲先取，乙后取，剩下1至4粒，甲可以一次拿完。如果剩下5粒棋子，則甲不能一次拿完，乙勝。因此甲想取勝，只要在某一時(shí)刻留下5粒棋子就行了。不妨設(shè)甲先取，則甲能取勝。甲第一次取2粒，以后無論乙拿幾粒，甲只要使自己的粒數(shù)與乙拿的粒數(shù)之和正好等于5，這樣，每一輪后，剩下的棋子粒數(shù)總是5的倍數(shù)，最后總能留下5粒棋子，因此，甲先取必勝。練習(xí)2：1.甲、乙兩人輪流從1993粒棋子中取走1?；?粒或3粒，誰取到最后一粒的是勝利者，你認(rèn)為先取的能獲勝，還是后取的能獲勝，應(yīng)采取什么策略？2.有1997根火柴，甲、乙兩人輪流取火柴，每人每次可取1至10根，誰能取到最后一根誰為勝利者，甲先取，乙后取。甲有獲勝的可能嗎？取勝的策略是什么？3.盒子里有47粒珠子，兩人輪流取，每次最多取5粒，最少取1粒，誰最先把盒子的珠子取完，誰就勝利，小明和小紅來玩這個(gè)取珠子的游戲，先名先、小紅后，誰勝？取勝的策略是什么？例題3：在黑板上寫有999個(gè)數(shù)：2，3，4，……，1000。甲、乙兩人輪流擦去黑板上的一個(gè)數(shù)（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則甲勝，否則乙勝。誰必勝？必勝的策略是什么？甲先擦去1000，剩下的998個(gè)數(shù)，分為499個(gè)數(shù)對：（2，3），（4，5），（6，7），……（998，999）?？梢娒恳粚?shù)中的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)。如果乙擦去某一對中的一個(gè)，甲則接著擦去這對中的另一個(gè)，這樣乙、甲輪流去擦，總是一對數(shù)、一對數(shù)地擦，最后剩下的一對數(shù)必互質(zhì)。所以，甲必勝。練習(xí)3：1.甲、乙兩人輪流從分別寫有1，2，3，……，99的99張卡片中任意取走一張，先取卡的人能否保證在他取走的第97張卡片時(shí)，使剩下的兩張卡片上的數(shù)一個(gè)是奇數(shù)，一個(gè)是偶數(shù)？2.兩個(gè)人進(jìn)行如下游戲，即兩個(gè)人輪流從數(shù)列1，2，3，……，100，101勾去九個(gè)數(shù)。經(jīng)過這樣的11次刪除后，還剩下兩個(gè)數(shù)。如果這兩個(gè)數(shù)的差是55，這時(shí)判第一個(gè)勾數(shù)的人獲勝。問第一個(gè)勾數(shù)的人能否獲勝？獲勝的策略是什么？3.在黑板上寫n—1（n＞3）個(gè)數(shù)：2，3，4，……，n。甲、乙兩人輪流在黑板上擦去一個(gè)數(shù)。如果最后剩下的兩個(gè)數(shù)互質(zhì)，則乙勝，否則甲勝。N分別取什么值時(shí)：（1）甲必勝？（2）乙必勝？必勝的策略是什么？例題4：甲、乙兩人輪流在黑板上寫下不超過10的自然數(shù)，規(guī)定禁止在黑板上寫已寫過的數(shù)的約數(shù)，最后不能寫的人為失敗者。如果甲第一個(gè)寫，誰一定獲勝？寫出一種獲勝的方法。這里關(guān)鍵是第一次寫什么數(shù)，總共只有10個(gè)數(shù)，可通過歸納試驗(yàn)。甲不能寫1，否則乙寫6，乙可獲勝；甲不能寫3，5，7，否則乙寫8，乙可獲勝；甲不能寫4，9，10，否則乙寫6，乙可獲勝。因此，甲先寫6或8，才有可能獲勝。甲可以獲勝。如甲寫6，去掉6的約數(shù)1，2，3，6，乙只能寫4，5，7，8，9，10這六個(gè)數(shù)中的一個(gè)，將這六個(gè)數(shù)分成（4，5），（7，9），（8，10）三組，當(dāng)乙寫某組中的一個(gè)數(shù)，甲就寫另一個(gè)數(shù)，甲就能獲勝。練習(xí)4：1.甲、乙兩人輪流在黑板上寫上不超過14的自然數(shù)。書寫規(guī)則是：不允許寫黑板上已寫過的數(shù)的約數(shù)，輪到書寫人無法再寫時(shí)就是輸者?，F(xiàn)甲先寫，乙后寫，誰能獲勝？應(yīng)采取什么對策？2.甲、乙兩人輪流從分別寫有3，4，5，……，11的9張卡片中任意取走一張，規(guī)定取卡人不能取已取過的數(shù)的倍數(shù)，輪到誰無法再取時(shí)，誰就輸。現(xiàn)甲先取，乙后取，甲能否必然獲勝？應(yīng)采取的對策是什么？3.甲、乙兩人輪流在2004粒棋子中取走1粒，3粒，5粒或7粒棋子。甲先取，乙后取，取到最后一粒棋子者為勝者。甲、乙兩人誰能獲勝？例題5：有一個(gè)3×3的棋盤以及9張大小為一個(gè)方格的卡片如圖37-1所示，9張卡片分別寫有：1，3，4，5，6，7，8，9，10這幾個(gè)數(shù)。小兵和小強(qiáng)兩人做游戲，輪流取一張卡片放在9格中的一格，小兵計(jì)算上、下兩行6個(gè)數(shù)的和；小強(qiáng)計(jì)算左、右兩列6個(gè)數(shù)的和，和數(shù)大的一方取勝。小兵一定能取勝嗎？如圖37-1所示，由于4個(gè)角的數(shù)是兩人共有的，因而和數(shù)的大小只與放在A，B，C，D這4個(gè)格中的數(shù)有關(guān)。小兵要獲勝，必須采取如下策略，盡可能把大數(shù)填入A或C格，盡可能將小數(shù)填入B格或D格。由于1+10＜3+9，即B+D＜A+C，小兵應(yīng)先將1放在B格，如小強(qiáng)把10放進(jìn)D格，小兵再把9放進(jìn)A格，這時(shí)不論小強(qiáng)怎么做，C格中一定是大于或等于3的數(shù)，因而小兵獲勝。如小強(qiáng)把3放進(jìn)A格，小兵只需將9放到C格，小兵也一定獲勝。練習(xí)5：1.在5×5的棋盤的右上角放一枚棋子，每一步只能向左、想下或向左下對角線走一格。兩人交替走，誰為勝者。必勝的策略是什么？2.甲、乙兩人輪流往一個(gè)圓桌面上放同樣大小的硬幣，規(guī)則是每人每次只能放一枚，硬幣不能重疊，誰放完最后一枚硬幣而使對方再無處可放，誰就獲勝。如果甲先放，那么他怎樣才能取勝？3.兩人輪流在3×3的方格中畫“√”和“×”，規(guī)定每人每次至少畫一格，至多畫三格，所有的格畫滿后，誰畫的符號總數(shù)為偶數(shù)，誰就獲勝。誰有獲勝的策略？第三部分：數(shù)學(xué)史吳文俊(WentsunWU)，男，1919年5月12日生于上海，1940年畢業(yè)于交通大學(xué)，1949年獲法國國家博士學(xué)位。世界著名數(shù)學(xué)家，中國科學(xué)院數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)研究院系統(tǒng)科學(xué)研究所研究員、名譽(yù)所長，中國數(shù)學(xué)會名譽(yù)理事長。中國數(shù)學(xué)機(jī)械化研究的創(chuàng)始人之一，現(xiàn)任中國科學(xué)院系統(tǒng)科學(xué)研究所名譽(yù)所長、研究員，中國科學(xué)院院士，第三世界科學(xué)院院士；曾任中國數(shù)學(xué)會理事長（1985-1987），中國科學(xué)院數(shù)理學(xué)部主任（1992-1994），全國政協(xié)委員、常委（1979-1998）。他在拓?fù)鋵W(xué)、自動推理、機(jī)器證明、代數(shù)幾何、中國數(shù)學(xué)史、對策論等研究領(lǐng)域均有杰出的貢獻(xiàn),在國內(nèi)外享有盛譽(yù)。他在拓?fù)鋵W(xué)的示性類、示嵌類的研究方面取得一系列重要成果，是拓?fù)鋵W(xué)中的奠基性工作并有許多重要應(yīng)用。他的“吳方法”在國際機(jī)器證明領(lǐng)域產(chǎn)生巨大的影響，有廣泛重要的應(yīng)用價(jià)值。當(dāng)前國際流行的主要符號計(jì)算軟件都實(shí)現(xiàn)了吳文俊教授的算法。曾獲得首屆國家自然科學(xué)一等獎(1956)、中國科學(xué)院自然科學(xué)一等獎(1979)、第三世界科學(xué)院數(shù)學(xué)獎(1990)、陳嘉庚數(shù)理科學(xué)獎(1993)、首屆香港求是科技基金會杰出科學(xué)家獎(1994)、Herbrand自動推理杰出成就獎(1997)、首屆國家最高科學(xué)技術(shù)獎(2000)、第三屆邵逸夫數(shù)學(xué)獎(2006)。吳文俊在數(shù)學(xué)上作出了許多重大的貢獻(xiàn)。◆拓?fù)鋵W(xué)方面，在示性類、示嵌類等領(lǐng)域獲得一系列成果，還得到了許多著名的公式，指出了這些理論和方法的廣泛應(yīng)用。他還在拓?fù)洳蛔兞俊⒋鷶?shù)流形等問題上有創(chuàng)造性工作。1956年吳文俊因在拓?fù)鋵W(xué)中的示性類和示嵌類方面的卓越成就獲中國自然科學(xué)獎一等獲?！魯?shù)學(xué)機(jī)械化或機(jī)器證明方面，從初等幾何著手，在計(jì)算機(jī)上證明了一類高難度的定理，同時(shí)也發(fā)現(xiàn)了一些新定理，進(jìn)一步探討了微分幾何的定理證明。提出了利用機(jī)器證明與發(fā)現(xiàn)幾何定理的新方法。這項(xiàng)工作為數(shù)學(xué)研究開辟了一個(gè)新的領(lǐng)域，將對數(shù)學(xué)的革命產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。1978年獲全國科學(xué)大會重大科技成果獎。◆中國數(shù)學(xué)史方面，吳文俊認(rèn)為中國古代數(shù)學(xué)的特點(diǎn)是：從實(shí)際問題出發(fā)，經(jīng)過分析提高，再抽象出一般的原理、原則和方法，最終達(dá)到解決一大類問題的目的。他對中國古代數(shù)學(xué)在數(shù)論、代數(shù)、幾何等方面的成就也提出了精辟的見解。參考答案：練習(xí)1：1、讓甲先拿，乙每次拿的根數(shù)要保持；與甲拿的根數(shù)和為4，即甲拿1，乙則拿3，甲拿2，乙則拿2；甲拿3，乙則拿1，便可取勝。2、先報(bào)數(shù)者報(bào)7，以后根據(jù)后報(bào)數(shù)者決定，再報(bào)數(shù)時(shí),如果后報(bào)數(shù)者報(bào)8,也報(bào)8如果后報(bào)數(shù)者報(bào)1~7,先報(bào)數(shù)者報(bào)的數(shù)與之和為8，可保證必勝3、1994÷(3+1)=418(組)……2(格)答:先移2格,剩418組,每組4格,后移者移α格,先移者就移(4-x)格,如此推算先移者必勝練習(xí)2：1、1993÷(1+3)=1993÷4=498……1所以先拿的人先拿1粒,然后看另一人拿幾粒,先拿的粒數(shù)與后拿的和是4,則先拿的定勝利。答:先取的能獲勝,先拿的人先拿1粒,然后看另一人拿幾粒,先拿的粒數(shù)與后拿的和是4,則先拿的一定勝利。2、甲能獲取勝利,兩人每次取火柴的最少根數(shù)與最多根數(shù)的和是11,而997=11×181+6,甲先取6根,剩下的火柴恰好是11的倍數(shù),接下來不論雙方拿幾根,先取的人只要總是留給雙方的火柴是11的倍數(shù),就確保能拿到最后一根。3、47÷(1+5)=47÷6=7(次)…5(顆)只要小明先取5棵,然后再看小紅每次取幾個(gè),只要每次與小紅所取棋子數(shù)和滿足是6,小明就能取勝。練習(xí)3：1、能,99張卡片中有50個(gè)奇數(shù),49個(gè)偶數(shù),先取卡片的人只要取走一張奇數(shù)卡片,剩下的奇數(shù)卡片與偶數(shù)卡片數(shù)目一樣多。以后當(dāng)乙取走奇數(shù)卡片時(shí),甲取偶數(shù)卡片;當(dāng)乙取走偶數(shù)卡片時(shí),甲取走奇數(shù)卡片。2、能。第一個(gè)人只需在第一步畫去47,48,49,…,54,55這九個(gè)數(shù),剩下的數(shù)分為兩組:(1,56),(2,57),(3,58),(4,59),…,(45,100),(46,101),當(dāng)?shù)诙€(gè)人在剩余的數(shù)中畫去九個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)數(shù)都不對應(yīng);那么第一個(gè)人第三次只需刪除這九個(gè)數(shù)的對應(yīng)數(shù)(如第二個(gè)人畫去的九個(gè)數(shù)中如有對應(yīng)的數(shù),第一個(gè)人第三次可以畫去其他對應(yīng)的數(shù))。這樣剩下的一定是相對應(yīng)的兩個(gè)數(shù)。它們的差就等于55。3、甲要求剩下的數(shù)不互質(zhì),乙要求剩下的數(shù)互質(zhì),容易得到分類方式為奇、偶數(shù)分類。①首先,項(xiàng)n為偶數(shù),則2,3,4,…,n里偶數(shù)比奇數(shù)多1個(gè),若甲每次都取奇數(shù),那么不論乙怎么取,最后剩下的兩個(gè)數(shù)肯定全為偶數(shù),不互質(zhì),甲必勝。②若n為奇數(shù):則把2,3,4,…,n分組,相鄰兩個(gè)數(shù)為一組:(2,4),(4,5),(6,7),…,(n-1,n),相鄰的兩個(gè)數(shù)都互質(zhì),那么無論甲取哪個(gè)數(shù),乙就取組內(nèi)的另外一個(gè)數(shù),則剩下的數(shù)還是分成組的互質(zhì)數(shù),最后剩下的一定是兩個(gè)互質(zhì)數(shù),即乙獲勝答;n為偶數(shù)時(shí)甲必勝,n為奇數(shù)時(shí)乙必勝。練習(xí)4：1、甲不能寫1,否則乙寫6,乙可獲勝;甲不能寫3,5,7,否則乙寫8,乙可獲勝。甲不能寫4,9,10,否則乙寫6,乙可獲勝因此,甲先寫6或8,才有可能獲勝甲可以獲勝如甲寫6,去掉6的約數(shù)1、2、3、6,乙只能寫4、5、7、8、9、10這六個(gè)數(shù)中的一個(gè),將這六個(gè)數(shù)分成(4,5),(7,9),(8,10)三組,當(dāng)乙寫某組中的一個(gè)數(shù),甲就寫另一個(gè)數(shù),甲就能獲勝。2、這些數(shù)中,倍數(shù)關(guān)系有:3的倍數(shù)6、9;4的倍數(shù)8;5的倍數(shù)是10甲要獲勝,每次取后留下的要是奇數(shù)次機(jī)會因此甲要先取3,這樣6、9就不可以取如果乙取4,則甲取5,乙取5,則甲取10以后無論怎么取，甲始終能取走最后一個(gè)能取的數(shù)。3、甲第一次取1個(gè),之后若乙取1,甲取7;若乙取3,則甲5取;若乙取5,甲取3;若乙取7,甲取1，這樣每次減少8個(gè),250此后還剩2004-1-2000=3個(gè),甲取3個(gè),甲勝。答:甲能獲勝