內蒙古部分2023-2024學年高二年級下冊期末考試數學試題（含答案）

內蒙古部分名校2023-2024學年高二下學期期末考試數學考試

注意事項：

1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在

本試卷上無效.

3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.

4.本試卷主要考試內容：高考全部范圍.

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項

是符合題目要求的.

I.若集合2=卜卜2—X<X<2},5={—1,0,1,2},則幺口5=()

A.°B.{0,1}C.{-1,0}D.{-1,0,1}

2.已知復數z滿足2z-i=zi,則月=（)

A.V5B.—C.—D.V3

35

3.從一批棉花中隨機抽測了8根棉花的纖維長度（單位：mm）,其數據為88,89,76,101,121,89,

90,90,則該組數據的第60百分位數為（）

A.89B.90C.89.5D.101

4.已知3cosa=l-cos2a,貝Ucosa=()

11—1—V5—1+y/-5

A.D.C.D.

2244

5.設等比數列｛%｝的前〃項和為S〃，且53=3邑+耳，則｛%｝的公比］為（）

A.1或一3B.1或3C.一1或一3D.一1或3

6.有5本不同的書，其中語文書2本，數學書2本，物理書1本.若將其隨機擺放到書架的同一層上，則

相同科目的書相鄰的排法有（）

A.12種B.18種C.24種D.36種

7.已知歹是拋物線=2.（夕〉0）的焦點，點〃（1,4）在C上，則（）

A.以為直徑的圓與歹軸相切，切點為（0,1）

B.以為直徑的圓與歹軸相切，切點為（0,2）

C.以披為直徑的圓與C的準線相切，切點為（5，1）

D.以以為直徑的圓與C的準線相切，切點為（§,2）

8.若直線/是曲線歹=lnx—1與y=ln(x—1)的公切線，則直線/的方程為()

A.y=x-2B.y=xC.y=x+\D.y=ex

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題

目要求。全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.

TT

9.已知函數/(x)=3cos(2x—萬)，則下列結論正確的是()

JTJT

A.3是/(x)的一個周期B./(x)的圖象關于點(-七，0)對稱

C./(X—巴)為奇函數D./(x)在區(qū)間[-巴,芻上的最大值為3

632

10.定義在區(qū)上的函數/(%)滿足/(盯)=0(%)+M(歹)，則()

A-/(0)=0B./(-1)=0

C./(x)為偶函數D./(x)可能在(1,+8)上單調遞增

11.已知球。的直徑為尸0,48,C為球面上的三點，尸0，平面48c.若A48C是邊長為2省的等邊

三角形，且尸。=石，則下列說法正確的是()

A.球。的體積為B.二面角尸一4§一。的正切值為*

63

TT

C.平面尸48與平面48c的夾角為女D.過48中點的平面截球。所得截面面積的最小值為3兀

4

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.

12.已知(0,2)是雙曲線-—/=加的一個焦點，則加=.

13.設S“是等差數列｛%｝的前〃項和，且數列｛邑-〃2｝是公差為1的等差數列，則｛%｝的通項公式為%=

14.若不等式k/+伍+/7)》-4＜》對工€[1,2丁恒成立，則8a+6的最大值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.(13分)

在A48C中，內角4尻。所對的邊分別為“c，旦(6-a)(中nZ+sin3)+c(sin3+sinC)=0.

(1)求角/；

(2)已知。=3,求A48C面積的最大值.

16.(15分)

如圖，在正四棱柱48CD—44Gq中，4B=2,=3,E,尸分別為&〃，48的中點，。為四邊

形Z8CD的中心.

(1)證明：。。］〃平面￡尸。1.

(2)求二面角F-ECX-4的余弦值.

17.(15分)

已知橢圓C的兩個焦點是大(1,0),與(—1,0),點河在橢圓。上，且惘制+|%|=4.

(1)求橢圓C的標準方程；

12

(2)已知。為坐標原點，直線/與橢圓C交于48兩點，且CML08,證明：直線/與圓/+/=不相

切.

18.(17分)

某校為激發(fā)學生對天文、航天、數字科技三類知識的興趣，舉行了一次知識競賽(三類題目知識題量占比

111212

分別為一,一,一).甲回答這三類問題中每道題的正確率分別為一,一,一.

424333

(1)若甲在該題庫中任選一題作答，求他回答正確的概率.

(2)知識競賽規(guī)則隨機從題庫中抽取2〃道題目，答對題目數不少于"道，即可以獲得獎勵.若以獲得獎

勵的概率為依據，甲在〃=5和〃=6之中選其一，問應選擇哪個？

19.(17分)

若存在正實數%對任意xe。，使得0</(x)?ax2,則稱函數/(刀)在。上被。控制.

(1)已知函數/(x)=lnx+a在［l,+oo)上被a控制，求a的取值范圍.

(2)①證明：函數g(x)=x-ln(x+l)在(0,+co)上被g控制.

②設〃eN*,證明：1+士+…+/^<21n(〃+l).

4I/

高二數學考試參考答案

1.B2.C3.B4.A5.D6.C7.B8.A9.BD10.ABD11.ACD

12.-213.2n14.3

15.解：(1)因為(6—〃)(51114+51115)+0($吊5+5111。)=0,

所以由正弦定理可得(b-a)(a+b)+c(b+c)=0,即〃+c?一/=_bc.

122_2-be_1

由余定理可得cos/=-----———

2bc~2bc~~2

又/￡(0,兀)，所以4=飛-.

(2)由(1)可知/+/一/=一力。，所以〃+。2+匕。=9.

因為〃+，之2加(當且僅當b=c時，等號成立),

所以〃+/+加=922bc+be,

解得be<3(當且僅當b=c時，等號成立)，

所以A48C面積的最大值為LX3X@=±8.

224

16.(1)證明：連接5。,OF.因為。為四邊形Z8CD的中心，所以。為8D的中點.

又/為4s的中點，所以0E/〃/￡>,OF=-AD

2

因為E為42的中點，所以2E〃4D,D[E=gAD,

所以。1E〃OE,DXE=OF,

所以四邊形。。在為平行四邊形，則0,//EF.

又。2a平面EFC],￡/匚平面￡尸。1，所以。2〃平面EFC].

(2)解：在正四棱柱45C。-44cl2中，以幺為坐標原點，所在直線分別為x,y,z軸,

建立如圖所示的空間直角坐標系.

因為Z8=2,Z4=3,所以G(2,2,3),E(l,0,3),F(0,1,0),

則屬=(1,2,0),定=(-1,1,-3).

設平面CXEF的法向量為〃=(x,j,z),

n-ECX=x+2y=0,-

則_____-令y=—1，得x=2,z=—1,即〃=(2,—1,—1).

n-EF=-x+y-3z=0,

連接4C].易知碗=(0,0,1)是平面AXECX的一個法向量,

因為二面角F-EQ-4的平面角為銳角，所以二面角F-EQ-4的余弦值為—.

6

17.(1)解：設橢圓C的標準方程為=+《=1(。〉6〉0),

ab

C=l,

由題意可知<2。=4,

a2=b2+c2,

b=V3,

522

解得。=2,所以橢圓。的標準方程為土+二=1.

43

C=l,

1nD/o1

(2)證明：由題意，圓x2+/=亍的圓心為o(o,o),半徑為號一.

當直線I的斜率不存在時，由對稱性可知AAOx=NBOx=45°,

不妨設幺(/,%),則]+。=1,|/|=|比|=2?，即直線/的方程為手或》=—2手,

此時直線/與圓/+v2=上相切.

7

當直線I的斜率存在時，設直線I的方程為y=kx+m,A(Xl,%),B(x2,y2),

r22

土+匕=1

聯立｛43一'得(4左2+3)f+8而x+4機2—12=0,

y=kx+m,

由A=64k2m2-4(4左2+3)(4療-12)>0,得4〃+3—/〉0,

2

士工用,曰8km4m-12

由韋達定理俏西+%=E''

一..7m2-12k2-12

22

則OA-OB=xxx2+yxy2=(1+k)xrx2+km(x1+x2)+m=----..------=0,

212左2+12

H即nm=---------.

7

圓心。到)的距離為J時=上包,此時直線/與圓/+/=U相切.

7T7I77-7

19

綜上，直線/與圓/+/=上相切.

7

is.解:(1)設所選的題目為天文、航天、數字科技相關知識的題目分別為事件4,幺2,4,所選的題目

回答正確為事件6,

則尸(5)=p(4)尸(同4)+尸(4)尸(冏4)+尸(4)尸(5|4)=；X：+；X:+：X；=：,

所以甲在該題庫中任選一題作答，他回答正確的概率為

2

(2)當〃=5時，設X為甲答對題目的數量數量，則X:5(10,/?),

故當〃=5時，甲獲得獎勵的概率4=P(X=5)+P(X>6).

當〃=6時，甲獲得獎勵的情況可以分為如下情況：

①前10題答對題目的數量大于等于6；

②前10題答對題目的數量等于5,且最后2題至少答對1題；

③前10題答對題目的數量等于4,且最后2題全部答對.

故當”=6時，甲獲得獎勵的概率5=P(X26)+尸(X=5)x[l—(1—3)x(1—；)]+

1131

P(X=4)x/x5=P(X>6)+^-尸(X=5)+aP(X=4),

則5—4=24)—；尸(X=5)=1[^；(1)10-C；°(gy°]<0,

所以甲應選77=5.

19.解：因為/(x)=lnx+a在工+oo)上單調遞增，所以/(x)2/(I)=a〉0.

由/(x)Wax?,KT#a(x2-l)-lnx>0

1Q21

令F(x)=a(x2-l)-lnx,xG[1,+oo),則F\x)=lax——=—----.

xx

當0<Q<3時，由廠'(x)=0,得工=，，〉1,

所以當時，F\x)<0,函數/(x)單調遞減，F(x)<F(l)=0,不符合題意；

V2a

當a2；時，2a21,因為x?l,所以2。/一12()，則尸(乃之。，所以函數尸(x)在口,+oo)上單調遞增,

F(x)>F(l)=0,符合題意.

綜上，a的取值范圍為［；,+oo).

1